VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN

Dr. Teguh Hadi Priyono

Variabel Acak

Variabel acak adalah deskripsi numerik dari hasil percobaan. Variabek acak ini biasanya menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil percobaan. Nilai numerik dapat bersifat diskrit (hasil hitungan) yang merupakan bilangan bulat/tidak bisa pecahan, dan kontinu (hasil pengukuran) yang bisa berupa pecahan.

Variabel acak diskrit hanya mengambil nilai-nilai tertentu yg terpisah, yg umumnya dihasilkan dr perhitungan suatu obyek. Contoh; jika ada 100 karyawan, maka perhitungan orang yg tidak masuk kerja hari Senin dapat mengambil nilai-nilai: 0, 1, 2, 3, ……., 100. Contoh lain; penjualan mobil, jumlah produk rusak, dsb

Variabel acak kontinu yaitu nilai yang dihasilkan dari pengukuran, hasil pengukuran dapat berbeda tergantung siapa yang melakukan dan metode, serta tingkat ketelitian. Nilai hasil pengukuran tidak bisa setepat hasil perhitungan, maka nilai hasil pengukuran bisa bervariasi dalam suatu selang nilai tertentu. Misal; jarak antara Bogor ke Jakarta, dapat sejauh 80 km, 80,5 km, 80,55 km, dsb tergantung pd ketelitian alat ukur dan si pengukur. Contoh; isi botol, timbangan suatu paket, tinggi badan, berat badan, dsb.

Distribusi Probabilitas Variabel Acak DiskritDistribusi probabilitas Variabel acak menggambarkan bagaimana suatu probabilitas didistribusikan thd nilai-nilai dari variabel acak tsb. Untuk variabel diskrit X, distribusi probabilitas;

p(x) = P(X = x)

Jml mobil terjual (x)

Jml hari p(x)

0 54 0,18

1 117 0,39

2 72 0,24

3 42 0,14

4 12 0,04

5 3 0,01

Total 300 1,00

Tabel tersebut menunjukkan bahwa mobil terjual sehari 1 unit dengan probabilitas 0,39.

Terjual 3 unit atau lebih mobil terjual, maka probabilitas P(x ≥ 3) = p(3) + p(4) + p(5) = 0,14 + 0,04 + 0,01 = 0,19

Syarat fungsi probabilitas diskrit;(i) p(x) ≥ 0 atau 0 ≤ p(x) ≤ 1(ii)∑ p(x) = 1(iii)Fungsi distribusi probabilitas

tidak boleh negatif 0 1 2 3 4 5

Jml Mobil Terjual

0,10

0,00

0,20

0,30

0,40

0,50

p(x)

Pro

babili

tas

x

Fungsi Probabilitas Kumulatif

Fungsi probabilitas kumulatif digunakan untuk menyatakan jumlah dr seluruh nilai fungsi probabilitas yang lelih kecil atau sama dengan suatu nilai yg ditetapkan. Misal; berapa probabilitas bahwa mobil terjual dlm sehari kurang atau sama dengan 3. Maka, dapat dijumlahkan probabilitas dr nilai-nilai x = 0, x = 1, x = 2, dan x = 3. Jadi P(x ≤ 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) = 0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14 = 0,95. Scr matematis, fungsi probabilitas kumulatif dinyatakan;

F(x) = P(X ≤ x) Fungsi probabilitas kumulatif variabel diskritJml mobil terjual (x)

Jml hari p(x) F(x) = P(X ≤ x)

0 54 0,18 0,18

1 117 0,39 0,57

2 72 0,24 0,81

3 42 0,14 0,95

4 12 0,04 0,99

5 3 0,01 1,00

Total 300 1,001 2 3 5

0,2

0

0,4

0,6

0,8

1,0

F(x)

4 x

Distribusi Probabilitas Variabel Acak KontinuDistribusi probabilitas Variabel acak kontinu dinyatakan dengan fungsi ƒ(x), dan sering disebut sbg fungsi kepadatan (density function) atau fungsi kepadatan probabilitas. Nilai ƒ(x) bs lebih dari 1.

Syarat fungsi kepadatan probabilitas;(i) ƒ(x) ≥ 0

(ii) ∫ ƒ(x)dx = 1

Catatan: ƒ(x) dx = P[x ≤ X ≤ (x + dx)], yaitu probabilitas bahwa nilai X terletak pd interval x dan x + dx.

∞

-∞

Fungsi Probabilitas Kumulatif Variabel Acak Kontinu, dihitung dengan rumus integral, yaitu

F(x) = P(X ≤ x) = ∫ ƒ(x)dx dimana nilai-nilai x bersifat kontinu atau dalam suatu integral

Misal; Variabel X mempunyai fungsi kepadatan probabilitas ƒ(x) sbb:ƒ (x) = 2e-2x , untuk x > 0ƒ (x) = 0, untuk x ≤ 0

∞

-∞

Misal; Variabel X mempunyai fungsi kepadatan probabilitas ƒ(x) sbb:ƒ (x) = 2e-2x , untuk x > 0ƒ (x) = 0, untuk x ≤ 0

(a)gambar ƒ(x)(b)gambar F(x) = P(X ≤ x)(c)Cari P(2 < X < 4) = P(2 ≤ X ≤ 4); berlaku untuk variabel kontinu

ƒ (x) = 2e-2x , e = 2,718

(a) untuk x = 0, ƒ (0) = 2x = 0,5 ƒ (0,5) = 2 . (1/2,718)

= 0,7358x = 1 ƒ (1) = 2 . 1/(2,718)2

= 0,271

(b) F(x) = P(X ≤ x) = ∫ (x) dx = 1 – e-2x , x >0 = 0 , x ≤ 0

untuk x = 0, F(0) = 0 x = 0,5 F(0,5) = 1 – e-1

= 1 – (1/2,718) = 0,6321

x = 1 F(1) = 1 – [1/(2.718)2] = 0,8647

f(x)

x0

1

2

0,5

1

x0

0,5

1,0

0,5

1

F(x)x

0

(c)P(2 < X < 4) = ∫ 2e-2x dx = e-4 – e-8

= 1/e4 – (1/e8) = 0,018

atau

P(2 < X < 4) = F(4) – F(2) = (1 – e-8) – (1 – e-4)

= 0,018

4

2

Fungsi Probabilitas Bersama (Joint Probability)Dalam prakteknya, seringkali dihadapkan pada kondisi ruang sampel yang berdimensi lebih dari satu sehingga nilai-nilai merupakan hasil dari beberapa variabel acak. Misal; perhitungan keuntungan suatu perusahaan dengan melibatkan total penjualan (X1), total biaya (X2), pengukuran produktivitas pekerja dengan melibatkan variabel total barang yg diproduksi, total pekerja, tk kerusakan produk, dsb.

Bila X dan Y adalah dua variabel acak diskrit, probabilitas bersama dinyatakan sbg sebuah fungsi ƒ(x,y) yang diambil oleh variabel acak x dan y, dirumuskan:

ƒ(x,y) = P(X = x, Y = y) dimana nilai ƒ(x,y) menyatakan peluang bahwa x dan y terjadi scr bersamaan

Contoh, Penerimaan mahasiswa baru, x menyatakan nilai rata-rata terendah yg diterima, dan y menyatakan umur maksimum calon mahasiswa. Maka ƒ(7,17) menyatakan probabilitas bahwa nilai rata-rata mahasiswa yg mendaftar 7 dan dia berusia 17 tahun.

Variabel Diskrit

Dua buah dadu dilempar scr bersama-sama, maka kemungkinan mata dadu pertama yg muncul (hasil) adalah X = 1, 2, 3, 4, 5, 6, sedangkan mata dadu kedua adalah Y = = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Variabel X dan Y terjadi bersama-sama, suatu lemparan didapat (2,4) dalam satu kali lemparan.

Karena ada 36 hasil/outcome, maka tiap-tiap hasil mempunyai probabilitas yang sama, p(x,y) = P(X = x, Y = y) = 1/36,untuk semua nilai X dan Y.

Nilai Harapan dan Varians dr Variabel Acak DiskritRata-rata μ dr distribusi probabilitas adalah nilai harapan (expected value)dari variabel acaknya. Nilai harapan variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang terhadap seluruh kemungkinan hasil dimana penimbangnya adalah nilai probabilitas yg dihubungkan dgn setiap hasil (outcome).

Nilai Harapan Variabel Acak Distkrit

E(X) = μx

= Σ xi p(xi)

= x1 p(x1) + x2 p(x2) + x3 p(x3) + ………… + xN p(xN)

Varians (σ2)dari variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang dr kuadrat selisih antara setiap kemungkinan hasil dan rata-ratanya dimana penimbangnya adalah probabilitas dr masing-masing hasil tsb.

Varian Variabel Acak Distkrit

σ2 = E(X - μ)2

= ∑(xi - μ)2 p(xi)

Standar Deviasi Variabel Acak Distkrit

σ = √σ2

N

i = 1

N

i = 1

Contoh, X adalah banyaknya pesanan barang dlm satuan yg masuk selama seminggu. P(X) = probabilitas terjadinya X = x

X 0 1 2 3p(xi) 0,125 0,375 0,375 0,125

Hitung rata-rata banyaknya pesanan atau pesanan yg diharapkan, dan hitung pula varians dan standar deviasinya.

μx = E(X) = Σ xi p(xi) = (0) p(x0) + (1) p(x1) + (2) p(x2) + (3) p(x3)

= 0 (0,125) + 1 (0,375) + 2 (0,375) + 3 (0,125) = 1,5

σ2 = E (X - μ)2

= Σ(xi - μ)2. p(xi) = (0 – 1,5)2 .0,125 + (1 – 1,5)2 .0,375 + (2 – 1,5)2 .0,375 + (3 –

1,5)2 .0,125 = 0,75

σ = √0,75 = 0,866

Nilai Harapan dr Fungsi Probabilitas Bersama

Jika probabilitas bersama dinotasikan (x,y) untuk variabel acak X dan Y, maka nilai harapan dr variabel acak h(x,y) yang merupakan fungsi dr X dan Y adalah:

E[h(x,y)] = ΣΣ h(x,y). P(x,y)

E(X + Y) = ΣΣ (x + y) p(x,y) = [(2 + 0). 0] + [(2 + 1). 0,1] + [(2 + 2) . 0.1] + [(2 + 3). 0,2] + [(2 + 4). 0] + [(3 + 0). 0,1] + [(3 + 1). 0] + [(3 + 2). 0,1] + [(3 + 3). 0] + [(3 + 4).0,2] + [(4 + 0).0,1] + [(4 + 1). 0,1] + [(4 + 2). 0] + [(4 + 3). 0] +[(4 + 4). 0] = 4,8

E(X) = Σx p(x) E(Y) = Σy q(y) = 2 (0,4) + 3 (0,4) + 4 (0,2) = 0 (0,2) + 1 (0,2) + 2 (0,2) + 3 (0,2) + 4 (0,2) = 2,8 = 2

E(X) + E(Y) = 2,8 + 2 = 4,8

E(XY) = ΣΣ (xy) p(x,y) = [(2 . 0). 0] + [(2 . 1). 0,1] + [(2 . 2) . 0.1] + [(2 . 3). 0,2] + [(2 . 4). 0] + [(3 . 0). 0,1] + [(3 . 1). 0] + [(3 . 2). 0,1] + [(3 . 3). 0] + [(3 . 4).0,2] + [(4 . 0). 0,1] + [(4 . 1). 0,1] + [(4 . 2). 0] + [(4 . 3). 0] +[(4 . 4). 0] = 5,2

X Y

0 1 2 3 4 p(x)

2 0 0,1 0,1 0,2 0 0,4

3 0,1 0 0,1 0 0,2 0,4

4 0,1 0,1 0 0 0 0,2

q(y) 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 1,0

Diketahui p(x,y) sbb

KovariansKovarians adalah suatu pengukuran yg menyatakan variasi bersama dr dua variabel acak. Kovarians antara dua variabel acak diskrit X dan Y dinotasikan σxy dan didefinisikan:

σxy = Σ [Xi – E(X)][Yi – E(Y)] p (xi,yi)

Contoh:

N

i = 1

p(xi,yi) Kondisi PerekonomianInvestasi pada

Perusahaan

A B

0,2 Resesi -$ 100 -$ 200

0,5 Perekonomian Stabil $ 100 $ 50

0,3 Perekonomian Berkembang Pesat

$ 250 $ 350

Jika X adalah investasi di perusahaan A, dan Y adalah investasi di perusahaan B

E(X) = μx = (-100). 0,2 + (100). 0,5 + (250). 0,3 = $ 105E(Y) = μy = (-200). 0,2 + (50). 0,5 + (350). 0,3 = $ 90

Var (X) = σ2x = (-100 – 105)2. 0,2 + (100 – 105)2. 0,5 + (250 – 105)2. 0,3

= 14,725[σx = 121,35]Var (Y) = σ2

y = (-200 – 90)2. 0,2 + (50 – 90)2. 0,5 + (350 – 90)2. 0,3 =

37.900 [σY = 194,68]

Kovar(xy) = σxy = [(-100 – 105). (-200 – 90)] . 0,2 + [(100 – 105). (50 – 90)] . 0,5 + [(250 – 105). (350 – 90)] . 0,3

= 23,300