ujung pangkal F=300 N ke kanan fileGambar di samping menjelaskan tiga buah vektor gaya : 100 N ke...
Transcript of ujung pangkal F=300 N ke kanan fileGambar di samping menjelaskan tiga buah vektor gaya : 100 N ke...
1. Pengertian Besaran Vektor
Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (nilai) saja. Beberapa besaran
skalar di antaranya : semua besaran pokok, jarak, laju, usaha atau energi, daya, massa jenis, luas, volum,
muatan listrik, potansial listrik, kapasitas, dan kuat arus listrik.
Besaran vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan juga arah. Beberapa besaran
skalar di antaranya : perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, impuls, momentum, momen gaya dan
kuat medan magnet. Besar (nilai) dari suatu besaran vektor selalu positif.
2. Menggambar Vektor dan Menulis Notasi Besaran Vektor
Sebuah vektor digambarkan dengan sebuah
anak panah yang terdiri atas pangkal dan ujung. Panjang
anak panah menyatakan besar atau nilai, dengan
menggunakan skala sembarang. Arah anak panah (dari
pangkal ke ujung) menyatakan arah vektor.
Gambar di samping menjelaskan tiga buah
vektor gaya : 100 N ke kanan, 200 N ke kiri, dan 300 N ke
kanan. Ditetapkan skala panjang 2 cm sama dengan 100 N,
sehingga 200 N sama dengan skala panjang 4 cm dan 300
N sama dengan 6 cm.
Notasi besaran vektor dapat berupa huruf besar
(kapital) atau huruf kecil. Untuk tulisan cetak, notasi tersebut
biasanya berupa huruf tebal misalnya, A atau a dan dibaca
vektor A. Untuk tulisan tangan, notasi besaran vektor berupa huruf diberi tanda panah di atasnya,
misalnya atau A a . Dua buah vektor dikatakan sama jika besar dan arah kedua vektor sama. Sebuah
vektor dikatakan berlawanan (negatif) terhadap vektor lain jika kedua vektor mempunyai besar sama
tetapi arahnya berlawanan.
1. Penjumlahan Vektor Secara Grafis
Penjumlahan vektor secara grafis terdiri dari dua, yaitu a) cara polygon dan b) cara jajar
genjang. Berikut ini penjelasan dari kedua cara tersebut.
a. Cara Poligon
Ciri-ciri melukis vektor dengan cara poligon adalah:
“ujung vektor A bertemu dengan pangkal vektor B”
Aturan melukis penjumlahan vektor dengan cara poligon sebagai berikut.
1. Lukis salah satu vektor (sebut vektor pertama).
2. Lukis vektor kedua dengan pangkal di ujung vektor pertama (arahnya harus tepat), bertemu
vektor ketiga dengan pangkal di ujung vektor kedua, dan seterusnya sampai semua vektor
yang akan dijumlahkan telah dilukis.
3. Vektor hasil penjumlahan (disebut resultan) didapat dengan menghubungkan pangkal vektor
pertama ke ujung terakhir.
F=100 N ke kanan
pangkal ujung
F=200 N ke kiri
F=300 N ke kanan
Gambar Resultan dua buah vektor R = A+B dan R = B+A secara POLIGON
Gambar Resultan tiga buah vektor R = A+B+C secara POLIGON
b. Cara Jajaran Genjang
Ciri-ciri melukis vektor dengan cara jajar genjang adalah:
“ pangkal vektor A bertemu dengan pangkal vektor B”
Aturan melukis penjumlahan vektor dengan cara jajaran genjang sebagai berikut.
1. Lukis vektor pertama dan vektor kedua dengan titik pangkal berhimpit.
2. Lukis sebuah jajaran genjang dengan kedua vektor tersebut sebagai sisi-sisi.
3. Resultan adalah diagonal jajaran genjang yang titik pangkalnya sama dengan titik pangkal
kedua vektor.
Gambar Resultan dua buah vektor R = A+B secara JAJAR GENJANG
Gambar Resultan tiga buah vektor R = A+B+C secara JAJAR GENJANG
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
B
A O
B
A
R
O
B R
O
A
O
B
A
C O
A
B
R
C
O
B
A O
B
A
R
B
O
A
C
B
O
C
S
Soal :
Empat buah vektor A, B, C, dan D memiliki arah dan
besaran seperti pada gambar berikut ini. Pernyataan
yang benar adalah...
a. A + B + C = D
b. D + A + B = C
c. A + D + C = B
d. B + C + D = A
e. A + B + C + D = 0
Penyelesaian :
Dalam poligon pada gambar soal terlihat bahwa dua
anak panah yang ujungnya bertemu adalah A dan B dan dua anak panah yang pangkalnya
bertemu adalah B dan C, sehingga anak panah yang menutup poligon adalah B. Dengan
demikian, vektor resultannya adalah B. Jadi pernyataan yang benar adalah A + D + C = B.
sehingga jawabannya adalah (C).
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. Lengkapilah tabel berikut ini! Dengan memberikan tanda silang (X) jika besaran termasuk
besaran vektor atau besaran skalar.
Nama Besaran Vektor Skalar
Kecepatan X -
Perpindahan
Kelajuan
Gaya
Usaha
Energi
Percepatan
Kuat Arus
Suhu
2. Lukislah besaran vektor berikut ini!
a. 4 cm Ke arah sumbu X positif.
b. 5 cm ke arah sumbu Y negatif.
c. 3 cm membentuk sudut 30O terhadapa sumbu X positif.
d. 5 cm membentuk sudut 60O terhadap sumbu Y negatif.
3. Tentukan resultan dari kedua vektor berikut secara poligon dan secara jajar genjang!
a. A = 3 cm ke Timur, B = 4 cm ke utara.
b. A = 3 cm ke sumbu X positif, B = 4 cm membentuk sudut 30O terhadap sumbu positif.
4. Dari kelima diagram vektor dibawah ini,
B
A
D
C
Yang menggambarkan D = A + B + C adalah….
5. Gambar dibawah ini merupakan penjumlahan vektor secara segitiga
Gambar yang resultan vektornya sama dengan nol adalah….
2. Penjumlahan Vektor Secara Analitis
a) Menentukan Resultan Dua Vektor dengan Rumus Kosinus
Perhatikan gambar di sampingini. Besar resultan dari dua
vektor F1 dan F2 yang membentuk sudut 𝛼dapat dinyatakan
dengan :
2 2 2 cosR A B AB
Dengan :
R = Resultan kedua vektor
A , B = Dua buah vektor
θ = sudut antara kedua vektor A dan B.
Soal :
Dua buah vektor masing – masing besarnya F1 = 3 N dan F2 = 5 N, kedua vektor tersebut
berapda pada satu titik tangkap dan membentuk sudut 60O, maka tentukan : a. Resultan kedua
vektor tersebut; b. Arah resultan vektor terhadapa F1
Penyelesaian :
Diketahui :
F1 = 3 N; F2 = 5 N; θ = 60O
ditanya : a. R = …?; b. arah ?
jawab :
a. Menentukan Resultan (R)
2 2
1 2 1 2
2 2
2 cos
3 5 2.3.5cos60
9 25 15
49 7 N
O
R F F F F
R
R
R
b. Untuk menentukan arah kita gunakan persamaan Berikut ini!
F1
F2 R
F1
F2
R
60O
2
sinsin60
7 5
0,87 sin
5 0,87sin
7
sin 0,621
38,4
O
O
FR
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) Menentukan Resultan Dua Vektor atau Lebih
Untuk menjumlahkan dua vektor atau lebih dengan metode analitis, terlebih dulu kita bahas
menguraikan vektor.
Menguraikan vektor
Sebuah vektor dapat diuraikan menjadi komponen horisontal dan vertikal . sebuah vektor A
dapat diuraikan menjadi komponen – komponen yang saling tegak lurus yaitu AX dan AY.
Soal :
1. Sebuah vektor perpindahan sebesar 200 m terletak pada bidang XOY dan membentuk
sudut 30O terhadap sumbu X positif, maka tentukan : a. Komponen perpindahan yang
searah sumbu X; b. Komponen perpindahan yang searah sumbu Y
Penyelesaian :
Diketahui : s = 200 m; θ = 30O
Ditanya : a. sX = …?; b. sY = … ?
Jawab :
a. Komponen perpindahan pada sumbu X
cos
200 cos30
1200 3
2
100 3 m
x
O
x
x
x
s s
s
s
s
b. Komponen perpindahan pada sumbu Y
sin
200 sin30
1200
2100 m
x
O
x
x
x
s s
s
s
s
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Perhatikan gambar berikut
A
AX
Ay
y
x
vektor A dapat diuraikan menjadi dua vektor, yaitu A dan AX Y
cosx
A A
sinY
A A
2 2
X YA A A
} komponen vektor A
s
sX
sy
y
x
o
30O
dari gambar di samping, tentukan :
a. komponen pada sumbu X vx
b. komponen pada sumbu vY
c. besar vektor v
v
2
3
4
5
Jawab:
a. Komponen pada sumbu (vX)
vX = 4 m/s (Karena ada 4 kotak ke arah sumbu x positif)
b. Komponen pada sumbu (vX)
vY = 5 m/s (Karena ada 5 kotak ke arah sumbu y positif)
c. Besar vektor (v) 2 2 2 24 5
16 25 41 m/s
X Yv v v
v
Setelah memahami penguraian vektor, selanjutnya kita bahas penjumlahan dua buah vektor
atau lebih dengan memperhatikan soal penyelesaian berikut ini!
Soal :
Resultan dari ketiga vektor pada gambar berikut ini adalah ….
Penyelesaian :
1. Menguraikan masing – masing vektor.
1
1 1
1
1
3 60
cos
3cos60
13 1,5
2
O
X
O
X
X
F N
F F
F
F N
1
1 1
1
1
3 60
sin
3sin60
13 3 1,5 3
2
O
y
O
Y
Y
F N
F F
F
F N
2
2 2
2
2
3 180
cos
3cos180
3 1 3
O
X
O
X
X
F N
F F
F
F N
2
2 2
2
2
3 180
sin
3sin180
3 0 0
O
y
O
y
y
F N
F F
F
F N
1
F2
F1 F1y
F1x F3x
F3y
F3
3
3 3
3
3
6 270
cos
6cos270
16 3
2
O
X
O
X
X
F N
F F
F
F N
3
3 3
3
3
6 270
sin
6sin270
16 3 3 3
2
O
y
O
y
y
F N
F F
F
F N
*) semua sudut diukur dari sumbu X positif.
2. Menjumlahkan komponen – komponen vektor.
1 2 3
1,5 3 3
1,5 N
X X X X
X
X
F F F F
F
F
1 2 3
1,5 3 0 3 3
1,5 3 N
y y y y
y
y
F F F F
F
F
3. Menentukan resultan.
2 2
221,5 1,5 3
2,25 6,75 9 3 N
X yR F F
R
R
1. Sebuah balok ditarik dengan gaya F = 100 N membentuk sudut 60O terhadap bidang datar.
Tentukan komponen gaya sumbu X dan sumbu Y.
2. Resultan ketiga gaya dibawah ini adalah….
3. Tiga buah vektor setitik tangkap terlihat seperti
gambar berikut. Besar masing-masing vektor
adalah :
|V1| = 30 satuan
|V2| = 30 satuan
|V3| = 40 satuan
Besar resultan ketiga vektor tersebut adalah …
4. Tiga buah gaya masing – masing 8√3 N, 12 N, dan 6 N berada pada bidang cartesian x – y.
gaya pertama searah sumbu x, gaya kedua searah sumbu y dan gaya ketiga membentuk
sudut 30O terhadap sumbu x negatif, tentukan : a. Resultan gaya pada sumbu X; b. Resultan
gaya pada sumbu Y; c. Resultan dari ketiga gaya.
5. Pada gambar di bawah, F1 = F2 = 10 N dan F3 = 15 N. Nilai resultan ketiga gaya dalam arah
sumbu X adalah … N.
6. Perhatikan gambar di bawah ini. Besar dan arah resultannya adalah…
7. Perhatikan ganbar. Sebuah bola ditarik oleh tiga gaya dengan arah berbeda-beda. Jika satu
petak mewakili dua Newton, maka resultan gaya yang bekerja pada balok adalah…
1. Perkalian Skalar dengan Vektor
Vektor B = k A dengan k bilangan(skalar) adalah suatu vektor yang besarnya k kali besar A dan
arahnya searah dengan vektor A jika k positif dan berlawanan arah dengan vektor A jika k negatif.
2. Perkalian Titik (Dot Product)
Perkalian titik A.B didefinisikan sebagai suatu skalar yang sama dengan hasil kali dari besar kedua
dengan kosinus sudut apitnya.
Secara matematis, ditulis :
cosA B AB atau cosB A BA
Dengan 0o ≤ θ≤180o
Oleh karena AB cosθ = BA cosθ, maka pada perkalian titik berlaku hukum komutatif :
A B B A
Berikut adalah beberapa hal penting tentang perkalian titik
a. Pada perkalian titik berlaku hukum distributif.
A B C A B A C
b. Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus, yaitu sudut apit θ= 90º, maka :
600
Y
X
F1
F2
F3
600
Utara
Timur 60
o
F1=2 N F2=4 N
30
o
30
o
F3=6 N
Barat
Selatan
F
F
F
0A B
c. Jika kedua vektor A dan B searah yaitu θ= 0o, maka :
A B AB
d. Jika kedua vektor A dan B berlawanan arah, yaitu θ= 180o, maka :
A B AB
3. Perkalian Silang (Cross Product)
Perkalian silang AxB didefinisikan sebagai suatu vektor yang arahnya tegak lurus pada bidang di
mana A dan b mengikuti aturan tangan kanan, sementara besarnya sama dengan hasil kali dari besar
kedua vektor dengan sinus sudut apit antara kedua vektor tersebut. Secara matematis ditulis :
sinC A B
Berikut adalah beberapa hal penting tentang perkalian silang.
a. Nilai 0o ≤ θ≤180o, sehingga nilai C dalam C=AB sin θ selalu positif.
b. Perkalian silang bersifat antikomutatif.
A B B A
c. Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus, yaitu sudut apit θ= 90o, maka :
A B AB
d. Jika kedua vektor A dan B segaris kerja, dapat searah atau berlawanan arah, maka :
0A B
Soal :
1. Dua buah vektor masing-masing 10 satuan dan 5 satuan. Vektor tersebut satu sama
lainnya saling tegak lurus, maka hasil perkalian titiknya adalah ....
Penyelesaian :
misalkan A = 10 satuan, B = 5 satuan, dan θ = 90O
cos
10 5 cos90
50 0
0
O
A B AB
A B
A B
A B
Soal :
2. Dua buah vektor V1 dan V2 masing-masing besarnya 5 satuan dan 6 satuan, keduanya saling
mengapit sudut sebesar 370. Hitunglah: a. Hasil perkalian titik kedua vektor!; b. Besar hasil
perkalian silang kedua vektor!
Penyelesaian :
a. Hasil perkalian titik kedua vektor b. Hasil perkalian silang kedua vector
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
cos
5 6 cos37
30 0,8
24 satuan
O
V V V V
V V
V V
V V
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
sin
5 6 sin37
30 0,6
18 satuan
O
V V V V
V V
V V
V V
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -----------
1. Dua buah vektor masing-masing 20 satuan dan 10 satuan. Keduanya membentuk sudut
tertentu. Hasil perkalian titik kedua vektor tersebut jika sudut antara keduanya:
a. 0o
b. 60o
c. 90o
2. Dua buah vektor masing-masing 30 satuan dan 20 satuan. Keduanya membentuk sudut
tertentu. Hasil perkalian silang kedua vektor tersebut jika sudut antara keduanya:
a. 0o
b. 30o
c. 90o
3. Dua buah vektor a
dan b
masing - masing besarnya 10 N dan 8 N, saling mengapit sudut 300.
Besarnya vektor a
xb
atau bxa
adalah ……
4. Vektor Satuan
a. Vektor Satuan di dalam Bidang
Suatu vektor pada suatu bidang dapat dinyatakan dalam vector satuan. Seperti gambar berikut:
adalah vektor satuan darah arah sumbu X.
j adalah vektor satuan darah arah sumbu Y.
i
Vektor i dan j disebut vektor satuan Karena besar vektor ini sama dengan satu.
1 dan j =1i .
Suatu vektor di dalam suatu bidang dapat dinyatakan dalam vektor satuan, yaitu :
r xi y j
Dengan besarnya :
2 2r x y
Yang digambarkan sebagai berikut:
b. Vektor Satuan di dalam Ruang
Suatu vektor satuan di dalam ruang, dinyatakan sebagai : (lihat
gambar)
adalah vektor satuan darah arah sumbu X.
j adalah vektor satuan darah arah sumbu Y.
adalah vektor satuan darah arah sumbu Z.
i
k
Suatu vektor di dalam ruang dapat dinyatakan dalam bentuk
vektor satuan, yaitu :
r xi y j zk
Dengan besarnya :
2 2 2r x y z
Yang digambarkan sebagai berikut:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soal :
1. Jika pada suatu bidang XOY terdapat 8 6r i j satuan, maka tentukan : a. besar vektor
r ; b. arah vektor .r
Penyelesaian:
Diketahui :
8 6r i j x = 8 satuan ; y = 6 satuan.
a. Menentukan besar vektor .r b. menentukan arah vektor .r
2 2
2 28 6
100
10 satuan
r x y
r
r
r
6
8
37O
ytg
x
tg
2. Jika diketahui vektor ˆˆ ˆ3 2A i j k dan vektor ˆˆ ˆ3 4B i j k , maka nyatakan A B ke
dalam vektor satuan dan hitung besarnya.
Penyelesaian:
Menentukan vektor A B menentukan besar vekto A B
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ3 2 3 4
ˆˆ ˆ3 1 1 3 2 4
ˆˆ ˆ2 4 2
A B i j k i j k
A B i j k
A B i j k
2 2 22 4 2
4 16 4
24 2 6 satuan
A B
A B
A B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5. Perkalian Dua Vektor Satuan
a. Perkalian Titik atau Dot Product
Perhatikan gambar berikut ini!
Jika :
ˆ ˆ 1.1cos0 1
ˆ ˆ 1.1cos0 1
ˆ ˆ 1.1cos0 1
o
o
o
i i
j j
k k
ˆˆ 1.1cos90 0
ˆˆ 1.1cos90 0
ˆ ˆ 1.1cos90 0
o
o
o
i k
j k
i j
ˆ ˆˆ ˆ 0
ˆ ˆˆ ˆ 0
ˆ ˆ ˆ ˆ 0
i k k i
j k k j
i j j i
Sehingga dapat diambil kesimpulan :
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 1i i j j k k
Selain perkalian di atas = NOL.
b. Perkalian Silang atau Cross Product
Perhatikan gambar di samping!
Jika :
ˆ ˆ 1.1sin0 0
ˆ ˆ 1.1sin0 0
ˆ ˆ 1.1sin0 0
o
o
o
i i
j j
k k
ˆ ˆˆ ˆ 1.1sin90
ˆˆ ˆ ˆ1.1sin90
ˆ ˆ ˆ ˆ1.1sin90
o
o
o
i j k k
j k i i
k i j j
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ
j i i j k
k j j k i
i k k i j
Untuk memudahkan dalam memahami perkalian silang vektor
satuan dapat dituliskan :
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
i j k
j k i
k i j
untuk perkalian silang KEBALIKANNYA bertanda
NEGATIF (-)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soal :
Diberikan dua vektor satuan dalam ruang sebagai berikut. ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ3 2 4 dan 2 3 A i j k B i j k
Tentukan : a. beserta besarnya.A B ; b. beserta besarnya.A B
Penyelesaian:
a. menentukan beserta besarnya.A B
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ3 2 4 2 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 3 3 3 2 2 2 2 3 4 2 4 4 3
6 0 0 0 2 0 0 0 12
20
A B i j k i j k
A B i i i j i k j i j j j k k i k j k k
A B
A B
b. menentukan beserta besarnya.A B
2 2 2
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ3 2 4 2 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 3 3 3 2 2 2 2 3 4 2 4 4 3
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 3 9 4 0 6 8 4 0
ˆˆ ˆ2 7
2 1 7
4 1 49
54
A B i j k i j k
A B i i i j i k j i j j j k k i k j k k
A B k j k i j i
A B i j k
A B
A B
A B
1. lengkapilah tabel dot product berikut ini!
. i j k
i 1
j
k 0
2. lengkapilah tabel cross product berikut ini!
X i j k
i 0 k
j
k
3. dua vektor masing – masing : ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 4 5 dan 4 3 2A i j k B i j k , nyatakan kedua vektor
tersebut dalam bentuk : a. A B ; b. A B ; c. 2 3A B ; d. 2 3B A
A. SOAL PILIHAN GANDA
1. berikut ini adalah besaran – besaran vektor, kecuali ….
A. Perpindahan D. momentum
B. Berat E. usaha
C. percepatan
2. Kelompok besaran di bawah ini yang termasuk besaran vektor adalah . . . .
A. kelajuan, kuat arus, gaya D. tegangan, intensitas cahaya, gaya
B. energi, usaha, banyak mol zat E. gaya, percepatan, waktu
C. kecepatan, momentum, kuat arus listrik
3. Dua buah vektor masing – masing besarnya 3 satuan dan 4 satuan. Sudut antara kedua vektor
tersebut adalah 90O. resultan dari vektor tersebut adala….
A. 7 satuan D. 5 satuan
B. 1 satuan E. 12 satuan
C. 0,75 satuan
4. Ada tiga buah gaya dengan besar masing – masing 14 N arah timur, 8 N arah selatan, 8 N arah barat.
Resultan ketigagaya tersebut adalah ….
A. 6 N D. 12 N
B. 8 N E. 16 N
C. 10 N
5. Dua buah vektor memiliki besar yang sama. Jika hasil bagi selisih dan resultan antar kedua vektor
tersebut adalah 1
22
maka cosinus sudut apit antara kedua vektor adalah ….
A. 1
3 D.
12
2
B. 1
2 E.
13
2
C. 1
6. Dua buah vektor besarnya sama yaitu F, bia perbandingan jumlah dan besar selisih kedua vektor
sama dengan 3 , maka sudut yang dibentuk kedua vektor itu adalah ….
A. 30O D. 60O
B. 37O E. 120O
C. 45O
7. Bila hasil perkalian silang kedua vektor sama dengan nol, maka kedua vektor ….
A. Searah D. berlawanan arah
B. Membentuk sudut 60O E. membentuk sudut 45O
C. Tegak lurus
8. Tiga buah gaya yang masing – masing nilainya 6 N, 5 N dan 4 N digambarkan dalam diagram
Cartesius seperti berikut:
Resultan ketiga gaya tersebut adalah … N
A. √31 D. √7
B. √63 E. √5
C. √11
9. Seseorang menarik meja ke arah barat dengan gaya 60 N. Jika 1 cm mewakili gaya 15 N, gambar
vektor gaya tersebut yang benar adalah . . . .
A. D.
B. E.
C. Perhatikan gambar vektor- vektor berikut untuk menjawab soal no 10 sampai no 12
10. Gambar resultan dari a + b dengan metode jajargenjang yang benar adalah . . .
A. D.
B. E.
C.
11. Gambar resultan dari a + c + d dengan metode poligon yang benar adalah....
A. D.
B. E.
C.
12. Gambar resultan dari a + b – c – d dengan metode analisis yang benar adalah ....
A. D.
B. E.
C.
13. Vektor gaya (F) mempunyai titik asal (6,–4) dan titik ujung (8,2). Bila ditulis dalam vektor satuan, maka
F adalah ….
A. ˆ ˆ2 2F i j D. ˆ ˆ14 2F i j
B. ˆ ˆ2 6F i j E. ˆ ˆ14 6F i j
C. ˆ ˆ2 6F i j
14. Diketahui vektor ˆˆ ˆ5 2A i j k m . Jika besar 2 adalah 74 m,A B maka vektor adalah ....B
A. ˆˆ ˆ4 5 8i j k m D. ˆˆ ˆ6 3 5i j k m
B. ˆˆ ˆ2 3i j k m E. ˆˆ ˆ8 6 5i j k m
C. ˆˆ ˆ8 4i j k m
15. Usaha dirumuskan sebagai perkalian titik antara gaya dengan perpindahan. Seseorang
memindahkan sebuah benda dengan gaya ˆˆ ˆ2 3F i j k N , sehingga mengalami perpindahan
ˆ ˆ3 3s i j m . Usaha yang dilakukan orang tersebut adalah ….
A. 9 Nm D. 18 Nm
B. 10 Nm E. 20 Nm
C. 15 Nm
16. Hasil perkalian silang antara vektor 1ˆˆ ˆ2 3 3F i j k dan 2
ˆˆ ˆ3 6 4F i j k adalah ….
A. ˆˆ ˆ4 13 18i j k D. ˆˆ ˆ6 21 17i j k
B. ˆˆ ˆ6 17 21i j k E. ˆˆ ˆ8 19 21i j k
C. ˆˆ ˆ6 19 21i j k
17. Diketahui vektor ˆ ˆ6 12P i j dan ˆ ˆQ ai bj . Jika kedua vektor saling tegak lurus, maka ….
A. 1
3a b D.
1
3a b
B. 1
2a b E.
1
2b a
C. 1
2a b
18. Pernyataan berikut yang benar adalah ….
A. A B A B D. A B B A
B. A B B A E. A B B A
C. A B A B
19. Dua buah partikel bergerak dari suatu titik. Partikel pertama bergerak dengan persamaan kecepatan
ˆ ˆ2 4 ,v i j sedangkan partikel kedua bergerak dengan kecepatan ˆ ˆ2 4 .v i j jika besar resulran
kedua vektor 44, maka sudut yang dibentuk oleh kedua partikel tersebut adalah ….
A. 120O D. 45O
B. 90O E. 30O
C. 60O
20. Dua buah vektor besarnya sama yaitu F, bila resultan kedua vektor sama dengan F , maka sudut
yang dibentuk kedua vektor itu adalah ….
A. 30O D. 60O
B. 37O E. 120O
C. 45O
B. SOAL URAIAN
1. Mobil bergerak sejauh 6 km ke timur, kemudian 2 km ke selatan, dan seterusnya bergerak 2 km ke
barat. Hitung besar dana rah resultan perpindahan tersebut?
2. Sebuah perahu menyebrangi sungai yang lebarnya 180 meter dan kecepatan arus airnya 4 m/s. bila
perahu diarahkan menyilang tegal lurus arus sungai dengan kecepatan 3 m/s, maka hitung :
a. Kecepatan resultannya
b. Ke arah mana perahu meluncue melintasi sungai itu
c. Lamanya perahu menyebrang
d. Panjang lintasan yang dilalui perahu
3. Tiga buah vektor yang besarnya masing – masing V1 = 80 N, V2 = 80 N, dan V3 30 N, yang tampak
seperti gambar berikut:
Tentukan :
a. Jumlah komponen vektor terhadap sumbu X.
b. Jumlah komponen vektor terhadap sumbu Y.
c. Besarnya resultan dari ketiga vektor.
d. Arah resultan terhadap sumbu X positif.
4. Tiga buah vektor diberikan dengan persamaan ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 , 2A i j B i j dan ˆ ˆ2 4 ,C i j tentukan dan
gambarkan hasil operasi penjumlahan berikut menggunakan metode analitis dan metode poligon:
a. 2A B b. 2B A c. A B C
5. Dari vektor pada soal nomor 4, tentukan :
a. A B c. A B C
b. B A d. A B C
1. EBTANAS 1988
Jika besar vektor A = 10 satuan, membuat sudut 60O dengan sumbu X positif, maka besar vektor
tersebut dalam sumbu X dan sumbu Y adalah ….
A. AX = 10 satuan; AY = 10 satuan D. AX = 5 satuan; AY = 5√3 satuan
B. AX = 10 satuan; AY = 10√3 satuan E. AX = 5√3 satuan; AY = 5 satuan
C. AX = 5 satuan; AY = 5 satuan
2. EBTANAS 1986
Vektor A = 3 satuan, B = 4 satua. A + B = 5 satuan. Besar sudut yang diapit vektor A dan B adalah
….
A. 90O D. 120O
B. 45O E. 180O
C. 60O
3. EBTANAS 2006
Dua buah vektor gaya F1 dan F2 masing – masing besarnya 15 N dan 9 N, bertitik tangkap sama dan
saling mengapit sudut 60O, nilai resultan dari kedua vektor tersebut ….
A. 15 N D. 24 N
B. 20 N E. 30 N
C. 21 N
4. EBTANAS 1986
Jika sebuah vektor dari 12 N diuraikan menjadi dua buah vektor yang saling tegak lurus dan sebuah
diantaranya membentuk sudut 30O dengan vektor itu, maka besar masing – masing vektor adalah
….
A. 6 N dan 6√3 N D. 3 N dan 3√2 N
B. 6 N dan 2√2 N E. 3 N dan 3√3 N
C. 6 N dan 3√2 N
5. EBTANAS 1998
Pada gambar di samping, komponen vektor gaya F menurut sumbu X
adalah ….
A. 1
3 F2
D. 1
F2
B. 1
2 F2
E. 1
3 F2
C. 1
F2
6. UN 2016
Rute perjalanan sebuah robot track line adalah sebagai berikut:
9 m menuju ke timur
15 m membentuk sudut 53O dari timur ke utara
9 m menuju ke bara
Perpindahan robot track line adalah … m
A. 5 D. 15
B. 8 E. 29
C. 12
7. UN 2016
Seorang anak kecil berjalan sejauh 10 m kea rah timur, kemudian berbelok ke utara sejauh 6 m dan
kembali kea rah barat sejauh 2 m, untuk kemudian berhenti. Besar Perpindahan anak kecil tersebut
adalah … m
A. 2 D. 14
B. 6 E. 18
C. 10
8. UN 2016
Seorang berjalan ke arah barat sejauh 5 m, kemudian berbelok ke selatan sejauh 3 m dan setelah
itu anak tersebut melanjutkan perjalanan ke arah timur sejauh 9 m. maka perpindahan anak
tersebut adalah … m
A. 5 D. 20
B. 9 E. 22
C. 17
9. UN 2013
Vektor gaya F1, F2, dan F3 terletak pada sebuah diagram kartesius
seperti gambar. Resultan ketiga vektor adalah….
A. √26 N D. √168 N
B. √76 N E. √204 N
C. √84 N
10. UN 2013
Perhatikan gambar di samping. Besar resultan ketiga gaya tersebut adalah ....
A. 0 D. 8√3 N
B. 2√3 N E. 12√3 N
C. 4√3 N
11. UN 2013
Perhatikan gambar berikut!
Tiga buah vektor gaya, masing-masing besarnya F1 = 12 N, F2 = 6 N, dan F3 = 12 N tersusun seperti
gambar. Resultan ketiga vektor tersebut adalah….
A. 6 N D. 16 N
B. 8 N E. 20 N
C. 12 N
12. UN 2013
Tiga buah vektor kecepatan v1, v2, dan v3 titik tangkap seperti gambar tersebut. Diketahui v1 = 30
satuan, v2 = 30 satuan, v3 = 10 satuan, maka besar resultan ketiga vektor adalah….
A. 100 satuan D. 10√10 satuan
B. 10√3 satuan E. 130 satuan
C. 10√5 satuan
13. UN 2013
Perhatikan gambar! Resultan ketiga vektor gaya tersebut adalah….
A. 10 N D. 5 N
B. 8 N E. 4 N
C. 6 N
14. UN 2013
Resultan ketiga gaya pada gambar di samping adalah….
A. 24 N D. 10 N
B. 16 N E. 4 N
C. 12 N
15. UN 2013
Vektor F1 = 9 N, F2 = 15 N, dan F3 = 10 N diletakkan pada diagram Cartesius seperti pada gampar.
Berapa resultan ketiga vektor tersebut?
A. 6 N D. 12 N
B. 8 N E. 16 N
C. 10 N
16. UN 2013
Tiga buah vektor gaya setitik tangkap seperti gambar, masing-masing F1 = 10 N, F2 = 4 N dan F3 = 3
N. Berapa resultan ketiga gaya tersebut? (Sin 37o = 0,6 dan Cos 37o = 0,8)
A. 2,5 N D. 6 N
B. 5 N E. 7,5 N
C. 5,5 N
17. UN 2012
Tiap skala pada gambar berikut ini setara dengan besar
gaya 1 N. Besar resultan kedua vektor gaya tersebut
adalah…
A. 13 N
B. 15 N
C. 17 N
D. 18 N
E. 21 N
18. UN 2012
Dua buah vektor gaya F1 dan F2 masing-masing besarnya 15 N dan 9 N, bertitik tangkap sama dan
saling mengapit sudut 60°, nilai resultan dari kedua vektor tersebut ...
A. 15 N D. 24 N
B. 20 N E. 30 N
C. 21 N
19. UN 2012
Jika pada suatu bidang XOY terdapat vektor posisi r = 4i + 4j , maka besar dan arah vektor r adalah…
A. 8 m ; 45O D. 4 2 m ; 90O
B. 4 2 m ; 45o E. 4 3 m ; 45O
C. 8 m ; 90O
20. UN 2012
Vektor F1 = 14 N dan F2 = 10 N diletakkan pada diagram Cartesius seperti pada gambar.
Resultan |R| = F1 + F2 dinyatakan dengan vektor satuan adalah...
A. 7i + 10√3j
B. 7i + 10j
C. 3i + 7√3j
D. 3i + 10j
E. 3i + 7j
21. UN 2012
Sebuah benda bergerak dengan lintasan seperti grafik berikut :
Perpindahan yang dialami benda sebesar ….
A. 23 m
B. 21 m
C. 19 m
D. 17 m
E. 5 m
22. UN 2012
Seorang anak naik sepeda ke sekolah dengan lintasan seperti gambar. Besar perpindahan anak
tersebut dari keberangkatannya sampai tiba di sekolah adalah….
A. 300 m
B. 400 m
C. 500 m
D. 700 m
E. 900 m
23. UN 2012
Budi berjalan sejauh 6 meter ke timur, kemudian 6 meter ke selatan, dan 2 meter le timur.
Perpindahan Budi dari posisi awal adalah ….
A. 20 m D. 10 m
B. 14 m E. 8 m
C. 12 m
F1
F2
F1
F2 60
X ( satuan vektor ; i )
Y ( satuan vektor ; j )
Ruma
h 500
m
MA
N 100
m
300 m
mula bergerak
x(m
)
y(m
)
berhenti
bergerak
A B
-5
-5
0
3
10
24. UN 2012
Seorang anak berlari menempuh jarak 80 m ke utara, kemudian membelok ke timur 80 m dan ke
selatan 20 meter. Besar perpindahan yang dilakukan anak tersebut adalah ….
A. 60 m D. 120 m
B. 80 m E. 180 m
C. 100 m
25. UN 2008
Fitria melakukan perjalanan napak tilas dimulai dari titik A ke titik B : 600 m arah utara; ke titik C 400
m arah barat; ke titik D 200 m arah selatan; dan kemudian berakhir di titik E 700 m arah timur. Besar
perpindahan yang dialami Fitria adalah....
A. 100 m D. 1500 m
B. 300 m E. 1900 m
C. 500 m
26. UN 2007
Vektor F1 = 14 N dan F2 = 10 N diletakkan pada diagram Cartesius seperti pada gambar.
Resultan |R| = F1 + F2 dinyatakan dengan vektor satuan adalah...
A. 7i + 10√3j D. 3i + 10j
B. 7i + 10j E. 3i + 7j
C. 3i + 7√3j
27. UMPTN 1996
Perhatikan vektor – vektor yang besar dan arahnya terlukis pada kertas berpetak seperti gambar.
jika panjang satu petak adalah 1 newton (N), maka besar resultan kedua vektor adalah ….
A. 8 N D. 11 N
B. 9 N E. 12 N
C. 10 N
:: catatan ::
MATERI : KOMPONEN VEKTOR
Kelompok :
Nama : 1……………………………..
2……………………………..
3……………………………..
4……………………………..
A. Tujuan
1. Siswa mampu mengukur besar vektor dengan arah yang berbeda-bea
2. Siswa mampu mengukur besar sudut yang dibentuk oleh vektor
3. Siswa mampu menghitung besar kesalahan relatif dari percobaan vektor
4. Siswa mampu menuliskan persamaan vektor dari percobaan yang dilakukan
B. Alat dan Bahan
1. Neraca pegas (3 buah)
2. Benang
3. Kertas grafik
4. Papan triplek
5. Paku payung
6. Busur derajat
C. Langkah Kerja
1. Siapkan benang dan ikat membentuk huruf Y seperti gambar berikut.
2. Kaitkan neraca pegas pada tiap ujung benang sehingga membentuk seperti gambar
berikut.
3. Siapkan papan triplek, tancapkan dua paku payung kemudian kaitkan dua neraca pegas
pada paku payung. Tarik neraca pegas ketiga sehingga dua neraca pegas pertama yang
terikat pada paku payung membentuk sudut 900 (siku-siku). Pastikan sudut siku-siku itu
dengan meletakkan kertas grafik milimeter pada papan triplek.
4. Tandai titik sambungan benang yang membentuk sudut siku-siku dan titik lain pada
benamg penghubung neraca pegas ketiga. Kemudian, hubungkan titik potong benang (siku-
siku) dengan masing-masing paku payng dan titk kedua sehingga membentuk garis.
Perpanjang garis yang menghubungkan titik siku-siku dengan titik lain sehingga
membentuk gambar seperti berikut.
5. Catat hasil yang ditunjukkan oleh neraca pegas sebagai vektor F1 dan F2 untuk dua neraca
pegas saling menyiku. Cata pula hasil yang ditunjukkan oleh neraca pegas ketiga sebagai
vektor F.
Informasi :
Vektor F1 dan F2 merupakan komponen dari F.
Vektor F merupakan vektor negatif dari tarikan neraca pegas ketiga, karena ketiga Vektor
gaya membentuk kesetimbangan, sehingga resultannya nol.
Ketiga gaya itu dapat digambar sebagai berikut.
6. Ukurlah sudut α, yaitu sudut antara garis hubung putus-putus (mewakili F) denga vektor F1.
7. Lakukan percobaan seperti langkah 1 sampai dengan 6 sebanyak 3 kali dengan cara
memindahkan salah satu paku payung yang tertancap.
8. Masukkan data hasil percobaan anda ke dalam tabel.
9. Hitung kesalahan relatif dari pengukuran.
D. Data Hasil Penelitian
Percobaan ke F1 F2 F α
1
2
3
α
F2
F
F1
𝛼
4
E. Analisis Data
1. Lengkapi data percobaan dengan tabel berikut ini.
Percobaan ke F1 F2 F α Sin α F1 Sin α F2Sin α
1
2
3
4
2. Amati tabel tersebut, adakah kecenderungan nilai yang sama? Tuliskan pada bagian yang
mana ……………………………………………………………………………………………………………
3. Biasanya komponen vektor ada yang dinamakan komponen pada sumbu x dan komponen
pada sumbu y. Adakah yang memiliki kecenderungan sama dengan penamaan itu? Tuliskan
bagian mana yang dimaksud ………………………………………………………………………………………………
4. Besar kesalahan relatif dari percobaan adalah
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
F. Kesimpulan
1. Hubungan antara nilai, F, F1, F2 dan sudut α dapat ditulis sebagai berikut.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
2. Jika komponen vektor dinyatakan dengan Fx, dan Fy, maka dapat dituliskan rumus
komponen sebagai berikut.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
MATERI : RESULTAN DUA VEKTOR
Kelompok :
Nama : 1……………………………..
2……………………………..
3……………………………..
4……………………………..
A. Tujuan
1. Siswa mampu mengukur besar vektor dengan arah yang berbeda-bea
2. Siswa mampu mengukur besar sudut yang dibentuk oleh vektor
3. Siswa mampu menghitung besar kesalahan relati dari percobaan vektor
4. Siswa mampu menuliskan persamaan vektor dengan menggunakan metode analitis dari
percobaan yang dilakukan
B. Alat dan Bahan
1. Neraca pegas (3 buah) 4. Busur derajat
2. Paku payung (2 buah) 5. Benang secukupnya
3. Alas dari triplek 6. Paku paying, papan triplek, dan benang secukupunya
C. Langkah Kerja
Alternatif pertama
1. Menyiapkan benang dan ikat membentuk huruf Y seperti gambar berikut.
2. Menancapkan dua buah paku payung pada papan triplek (setelah diberi kertas di atasnya),
kemudian memasang neraca pegas seperti seperti gambar berikut.
3. Tarik neraca pegas ketiga (tidak dikaitkan ke paku payung) sampai posisi tertentu.
Pertahankan dalam keadaan diam, kemudian catatlah ketiga gaya yang ditunjukkan neraca
pegas. Beri tanda pada titik sambung benang dan pada garis yang dihubungkan pada
neraca pegas ketiga.
4. Setelah dilepas, gambarkan garis yang menghubungkan titik-titik yang sudah ditandai
dengan paku payung sehingga membentuk gambar sebagai berikut.
5. Ukurlah sudut α, yaitu sudut antara F1 dengan F1.
6. Lakukan percobaan berulang-ulang dengan mengubah tarikan neraca pegas ketiga.
Kemudian ikuti langkah 2,3 dan 4
7. Masukkan data hasil percobaan dalam tabel
8. Hitung kesalahan relatif yang dilakukan.
F1
F2
F3
α
Alternatif kedua
1. Susunlah statif, katrol bertangkai, dan beban seperti gambar berikut.
2. Letakkan papan triplek yang dilapisi kertas dibelakangnya sehingga seperti gambar
berikut.
3. Aturlah beban A, B, dan C sehingga mencapai keseimbangan (sistem tidak gerak lagi).
4. Nyatakan di A, B, dan C dengan F1, F2, FR.
5. Ukurlah sudut α.
6. Lakukan percobaan beberapa kali, kemudian masukkan data percobaan ke dalam tabel.
D. Data Hasil Percobaan
Percobaan ke F1 F2 FR α
1
2
3
4
5
E. Analisis Data
1. Lakukan anallisis data dengan melengkapi tabel berikut.
Percobaan
ke F1 F2 FR α Cos α 2 F1 F2 Cos α
F12+ F2
2+2 F1 F2
Cos α
1
2
3
4
5
2. Amati tabel analisis data, adakah kecenderungan membentuk pola tertentu? Kecenderungan
apa yang terlihat? Sebutkan pada bagian mana.
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
α
A
C
B
C
α
A
C
B
3. Berdasarkan kecenderungan yang ada, buatlah formula dalam bentuk persamaan
matematis (rumus)
………………………………………………………………………………………………………………
4. Adakah kesalahan yang diperoleh ? berikan penjelasan di mana letak kesalahan yang
mungkin dilakukan
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
5. Hitung besar kesalahan relatif dari percobaan
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
F. Kesimpulan
Berdasarkan data dan analisis diperoleh kesimpulan bahwa
1. Penjumlahan dua vektor dapat menggunakan formula atau rumus
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
2. Beberapa kesalahan yang perlu diperbaiki dalam percobaan, yaitu
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………