MATRIKS DAN VEKTOR

Ellyta Berliani Pintauli

2013330034

Dosen: Dede Saputra

Mata Kuliah: Matematika

TEKNIK LINGKUNGAN

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SAHID JAKARTA

MATRIKS

Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur

dalam baris dan kolom yang diletakkan dalam kurung biasa atau kurung siku.

(Herry Sukarman, 2002:hal 270). Matriks dinotasikan dengan huruf kapital A, B,

K, dan sebagainya.

Contoh: A = [141315

263025 ]

Bilangan–bilangan yang tersusun dalam baris-baris dan kolom-kolom

tersebut disebut elemen/unsur. Elemen matriks A yang terletak di baris ke-2 dan

kolom ke-1 dinotasikan sebagai a21 =13.

Contoh: Berapakah nilai a31 dan a32 untuk matriks A di atas ?

Jawab: a31 =15, a32 =25

Matriks A di atas mempunyai 3 baris dan 2 kolom. Banyaknya baris dan

banyaknya kolom suatu matriks menentukan ukuran dari matriks tersebut.

Ordo

Ordo adalah ukuran suatu matriks yang dinyatakan dalam banyaknya baris

kali banyaknya kolom.

Jadi matriks A berordo 3 X 2 dan ditulis A3 x 2

Bentuk umum :

A =

[a1. 1 a1 .2 a1. 3 . .. a1. n

a2. 1 a2 .2 a2. 3 . .. a2. n

a3 . 1 a3 . 2 a3. 3 . .. a3. n

: : : . .. :am . 1 am . 2 am .3 . .. am . n

]a1. 1= elemen matriks pada baris 1, kolom 1

a1. 2= elemen matriks pada baris 1, kolom 2

a1. 3= elemen matriks pada baris 1, kolom 3

.

.

.

am . n= elemen matriks pada baris m, kolom n

Contoh :

B = [ 2 5 −4−1 6 7 ]

Ordo matriks B adalah B2 x 3

a1. 3= - 4

a2. 2= 6

Jenis-jenis Matriks

Berdasarkan ordonya terdapat jenis matriks, sebagai berikut:

a. Matrik bujursangkar/persegi yaitu matriks berordo n x n atau banyaknya

baris sama dengan banyaknya kolom disebut juga sebagai matriks kuadrat

berordo n.

Contoh : A = [2 0 5 31 8 6 45 9 0 67 −3 −5 10

]Diagonal samping Diagonal utama

B2 x 2 = [1 36 12 ]

, maka 1 dan 12 berada pada diagonal utama B.

b. Matriks baris yaitu matriks berordo 1 x n atau hanya memiliki satu baris.

Contoh: C1 x3 = [ 1 3 5 ]c. Matriks kolom yaitu matriks berordo n x 1atau hanya memiliki satu kolom

Contoh

: E2 x1 = [84 ]

d. Matriks tegak yaitu matriks berordo m x n dengan m>n

Contoh: A = [647

813 ]

, A berordo 3 X 2 dan 3 > 2 sehingga matriks A

tampak tegak

e. Matriks datar yaitu matriks berordo m x n dengan m<n

Contoh: F = [24 3

65

10 ], F berordo 2 X 3 dan 2<3 sehingga matriks F

tampak datar.

Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya terdapat jenis-jenis matriks:

a. Matriks nol yaitu matriks yang semua elemen penyusunnya adalah 0 dan

dinotasikan sebagai O.

Contoh: O1 x3 = [ 0 0 0 ] , O2 x 2= [0 00 0 ]

b. Matriks diagonal yaitu matriks persegi yang semua elemen diatas dan

dibawah diagonalnya adalah 0 dan dinotasikan sebagai D.

Contoh: D3 x 3 = [1 0 00 2 00 0 3 ]

c. Matriks skalar yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada

diagonalnya sama.

Contoh: D4 x4 = [5 0 0 00 5 0 00 0 5 00 0 0 5

]d. Matriks simetri yaitu matriks persegi yang setiap elemennya, selain

elemen diagonal, adalah simetri terhadap diagonal utama.

Contoh: F2 x2 = [3 11 4 ]

e. Matriks simetri miring yaitu matriks simetri yang elemen-elemennya,

selain elemen diagonal, saling berlawanan.

Contoh: G3 x 3 = [ 0 5 −7−5 0 −27 2 0 ]

f. Matriks Identitas/satuan yaitu matriks diagonal yang elemen-elemen pada

diagonal utamanya adalah 1, sedangkan semua elemen yang lainnya nol,

dan dinotasikan sebagai I.

Contoh: I2 x 2 = [1 00 1 ]

g. Matriks segitiga atas yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di bawah

diagonal utamanya adalah 0.

Contoh: G3 x 3 = [1 3 50 2 40 0 6 ]

h. Matriks segitiga bawah yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di atas

diagonal utamanya adalah 0.

Contoh: H3 x 3 = [1 0 06 2 04 9 6 ]

i. Matriks transpose yaitu matriks yang diperoleh dari memindahkan elemen-

elemen baris menjadi elemen pada kolom dan elemen-elemen kolom

menjadi elemen pada baris. Trans=perpindahan dan pose=letak. Transpose

matriks A dilambangkan dengan AT

Contoh: A3 x 2 = [647

813 ]

, maka AT

= [68 4

173 ]

, ordo AT

adalah 2 X 3.

Kesamaan Matriks

Dua buah matriks atau lebih dikatakan sama bila dan hanya bila

mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen penyusun yang seletak juga

sama.

Contoh: A2 x3 = [24 3

648 ]

, B2 x3 = [24 3

648 ]

maka A = B

Perhatikan bahwa C2 x3 = [24 8

643 ]

dan C2 x3 A2 x3 karena ada elemennya

yang seletak dan nilainya tidak sama.

Perhatikan juga bahwa D = [234

468 ]

dan D A karena ordo kedua matriks

tersebut tidak sama.

Contoh :

A = B

[2 −35 4 ]

= [63

9−3

5 4 ] Tentukan nilai a dan b dari kesamaan matriks berikut

a. [3a −42b −5 ]=[−12 −4

9 −5 ]3a = -12

a = -12/3

a = -4

2b = 9

b = 9/2

b = 4,5

b.

[−1 6 a−14 a+5 3 ]=[−1 3 b+2

2a 3 ]4a + 5 = 2a

4a – 2a = -5

2a = -5

a = -5/2

6a – 1 = 3b + 2

6(-5/2) – 1 = 3b + 2

-15 – 1 = 3b + 2

-16 = 3b + 2

3b = 18

b = 6

Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya

1. Penjumlahan Matriks

Prinsip penjumlahan dua atau lebih matriks yaitu menjumlahkan setiap

elemennya yang seletak.

Jika A + B = C, maka elemen-elemen C diperoleh dari penjumlahan

elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu cij = aij + bij untuk elemen C

pada baris ke-i dan kolom ke-j.

Akibatnya, matriks A dan B dapat dijumlahkan apabila kedua matriks

memiliki ordo yang sama.

Contoh: A =[1 23 4 ]

, B =[5 67 8 ]

maka A + B =[1 23 4 ]

+ [5 67 8 ]

=[ 6 810 12 ]

= C

Perhatikan bahwa C mempunyai ordo sama dengan A dan B.

Sifat-sifat penjumlahan matriks:

a. A+B = B+A (hukum komutatif untuk penjumlahan)

b. A+(B+C) = (A+B)+C (hukum asosiatif untuk penjumlahan)

c. A+O = O+A

d. (A+B)T

= AT

+ BT

2. Pengurangan Matriks

Operasi pengurangan pada matriks menggunakan prinsip yang sama

seperti pada operasi penjumlahan. Matriks A dikurangi matriks B dengan

cara mengurangi elemen matriks A dengan elemen matriks B yang seletak.

Jika AB = C, maka elemen-elemen C diperoleh dari pengurangan elemen-

elemen A dan B yang seletak, yaitu cij = aij bij atau pengurangan dua

matriks ini dapat dipandang sebagai penjumlahan, yaitu A + (-B)

Syarat : Matriks A dan B dapat dikurangkan jika ordo kedua matriks

tersebut sama.

Contoh: A = [567

490 ]

, B = [351

642 ]

AB = [567

490 ]

[351

642 ]

= [2 −21 56 −2 ]

atau AB = A+(-B) = [567

490 ]

+ [−3 −6−5 −4−1 −2 ]

= [2 −21 56 −2 ]

Kaidah ilmu hitung yang berlaku pada pengurangan adalah :

a. AA = O

b. A O = A

3. Perkalian Matriks

Operasi perkalian pada matriks ada dua macam yaitu perkalian matriks

dengan skalar dan perkalian matriks dengan matriks.

Perkalian Matriks dengan skalar

Matriks A dikalikan dengan c suatu bilangan/skalar maka cA diperoleh

dari hasil kali setiap elemen A dengan c. Dengan demikian, matriks –A

dapat dipandang sebagai hasil kali matriks A dengan skalar (-1). Jadi –A

= (-1)A.

Berikut ini adalah contoh perkalian matriks dengan bilangan skalar

Contoh: P = [3 85 1 ]

maka 4P= 4 [3 85 1 ]

= [12 3220 4 ]

Jika a dan b bilangan real dan B, C dua matriks dengan ordo sedemikian

hingga dapat dilakukan operasi hitung berikut, maka berlaku sifat-sifat

perkalian matriks dengan skalar :

1) a(B+C)=aB+aC

2) a(BC) = aBaC

3) (a+b)C = aC+bC

4) (a-b)C = aCbC

5) (ab)C = a(bC)

6) (aB)T

= aBT

Perkalian matriks dengan matriks

Dua matriks AB dapat dikalikan bila dan hanya bila jumlah kolom matriks

A sama dengan jumlah baris matriks B. Jadi Amxn Bnxp bisa

didefinisikan, tapi Bnxp Amxn tidak dapat didefinisikan.

A B AB

mxn

nxp=

mxp

Untuk menguji apakah dua matriks dapat dikalikan atau tidak dan juga

untuk menentukan ordo hasil perkaliannya, dapat juga menggunakan

aturan memasang kartu domino sebagai berikut :

sama

1 x 2 2 x 3

1x3 (Hasil)

Elemen-elemen dari AB diperoleh dari hasil kali setiap baris pada matriks

A dengan setiap kolom pada matriks B, kemudian dijumlahkan menjadi

satu elemen. Untuk lebih jelasnya, berikut ini diberikan contoh- contoh

perkalian matriks dengan matriks.

Contoh Perkalian Matriks 1xp dengan matriks px1 :

B = [ 6 8 7 ] dan C = [472 ]

, B1 x3 C3 x 1 = [(6 x 4 )+(8 x 7 )+(7 x2 )] = [ 94 ]

Contoh perkalian matriks px1 dengan matriks 1xp:

A=[254]

dan B=[ 6 8 7 ]

A3 x 1B1 x3 = [2 x6 2x 8 2 x75 x6 5x 8 5 x74 x 6 4 x8 4 x 7 ]

= [12 16 1430 40 3524 32 28 ]

Hasilkalinya merupakan suatu matriks berordo 3X3.

Contoh perkalian matriks mxn dengan matriks nxp:

A = [1 23 4 ]

, B = [1 0 10 2 0 ]

A2 x 2B2 x3 = [1 23 4 ][1 0 1

0 2 0 ]

AB = [(1 x 1)+(2 x 0) (1 x 0)+(2 x 2) (1x 1)+(2 x 0)(3 x1 )+(4 x0 ) (3 x0 )+( 4 x2 ) (3 x1 )+(4 x0 ) ] =

[1 4 13 8 3 ]

Untuk matriks A dan matriks C pada contoh-contoh di atas, A3 x 1C3 x 1

tidak dapat didefinisikan.

Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks :

1) A(BC) = (AB)C

2) A(B+C) = AB + AC

3) (B+C)A = BA + CA

4) A(BC) = ABAC

5) (BC)A = BACA

6) a(BC) = (aB)C = B(aC)

7) AI = IA = A

Perlu diingat bahwa bila AB dapat didefinisikan, maka BA belum tentu

dapat didefinisikan, sehingga AB belum tentu sama dengan BA.

Determinan Matriks

Untuk setiap matriks persegi terdapat suatu bilangan tertentu yang disebut

determinan. Determinan adalah jumlah semua hasil perkalian elementer yang

bertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A). (Howard Anton, 1991 : hal 67)

Yang diartikan dengan sebuah hasil perkalian elementer bertanda dari suatu

matriks A adalah sebuah hasil perkalian elementer pada suatu kolom dengan +1

atau -1.

Determinan matriks berordo 2 X 2

Jika matriks A = [a bc d ]

maka det (A) = |A| = |a bc d

| = adbc

Sebagai

pengingat ketentuan di atas diperoleh dari [a bc d ]

Contoh: P = [8 43 4 ]

, maka det(P) = |P|=|8 43 4

|= (8x4)-(4x3) = 20

Determinan matriks berordo 3 X 3

Untuk mencari determinan matriks berordo 3 X 3 dapat digunakan dua

metode, sebagai berikut:

a. Metode Sarrus

Jika matriks B =

[ p q rs t uv w x ]

maka det(B) = |B| =

|p q rs t uv w x

| = ptx + quv +rsw – rtv – qsx-

puw

Sebagai pengingat ketentuan di atas diperoleh dari

[ p q rs t uv w x ] p q

s tv w

Perlu diperhatikan bahwa cara demikian tidak berlaku bila matriks

berordo 4x4 dan yang lebih tinggi lagi.

Contoh: Q = [2 4 61 3 57 8 9 ]

, maka det(Q) = |Q| adalah

|2 4 61 3 57 8 9

| =

[2 4 61 3 57 8 9 ]2 4

1 37 8 = (2x3x9)+(4x5x7)+(6x1x8)-(6x3x7)-

(2x5x8)-(4x1x9) = 242-242 = 0

b. Metode Kofaktor

Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij adalah matriks bagian

dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemennya pada baris

ke-i dan elemen-elemen pada kolom ke-j.

Contoh: Q = [2 4 61 3 57 8 9 ]

, maka M11 = [2 4 61 3 57 8 9 ]

=[3 58 9 ]

M12 =[2 4 61 3 57 8 9 ]

= [1 57 9 ]

, M13 =[2 4 61 3 57 8 9 ]

=[1 37 8 ]

M11 , M12 dan M13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke-1 dari

matriks Q.

Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A

dilambangkan dengan Kij = (-1)i+ j

|M ij| = (-1)

i+ jdet (Mij )

Untuk mencari det(A) dengan metode kofaktor cukup mengambil satu ekspansi

saja misal ekspansi baris ke-1

Contoh: Q = [2 4 61 3 57 8 9 ]

, untuk mendapatkan det(Q) dengan metode kofaktor

adalah mencari terlebih dahulu determinan-determinan minornya yang diperoleh

dari ekspansi baris ke-1 diatas, yaitu det(M11 )=-13 , det(M12 )=-26 dan det(M13

) =-13, maka :

|Q|= q11 .k11 +q12 .k12 + q13 .k13

= q11 .(-1)1+1

det(M11 )+q12 (-1)1+2

det(M12 )+q13 (-1)1+3

det(M13 )

= 2.134.26 + 6.13 = 0

3. Adjoin Matriks

Adjoin matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut,

dilambangkan dengan adj A = (kij )t

Contoh: Q = [2 4 61 3 57 8 9 ]

telah diketahui dari hitungan sebelumnya bahwa k11

=13, k12 =26 dan k13 =13 sekarang kita hanya mencari kofaktor dari ekspansi

baris ke-2 dan ekspansi baris ke-3, yaitu :

k21 =(-1)2+1

|4 68 9

|=12, k22 =(-1)

2+2|2 67 9

|=24, k23 =(-1)

2+3|2 47 8

|=12

k31 =(-1)3+1

|4 63 5

|=2, k32 =(-1)

3+2|2 61 5

|=4, k33 =(-1)

3+3|2 41 3

|=2

Adj A = [k11 k 21 k31

k12 k 22 k32

k13 k 23 k33] =

[13 −12 2−26 24 −413 −12 2 ]

Hal yang menarik dalam mencari adjoin matriks berordo 2x2 ditunjukkan

sebagai berikut :

Jika A2 x 2=[a bc d ]

, maka kofaktor-kofaktornya adalah k11 =d, k12 =-c, k21 =-b

dan k22 =a. Kemudian Adj A = [k11 k21

k12 k22] =

[ d −b−c a ]

Hal ini sama artinya dengan menukarkan elemen-elemen pada diagonal utamanya

dan mengubah tanda pada elemen-elemen pada diagonal lainnya

. Invers Matriks

Pengertian Invers matriks : Lawan atau kebalikan suatu matriks dalam perkalian

yang dilambangkan dengan A−1

.

Berlaku AA−1

= A−1

A = I, I matriks identitas.

Contoh:

Di koperasi sekolah Ana membeli 5 buah buku tulis dan 6 buah pensil, Ani

membeli 6 buah buku tulis dan 8 buah pensil. Untuk itu Ana membayar Rp.

8000,- dan Ani membayar sebesar Rp. 10.000,-. Berapakah harga buku tulis per-

buah dan pensil per-buah ?

Misalkan x=harga buku tulis per-buah dan y=harga pensil per-buah. Sistem

persamaan linearnya: 5x+6y=8000

6x+8y=10000

[5 66 8 ][ x

y ]=[800010000]

atau A2 x 2 [ x

y ]= B2 x1 ,

A2 x 2 [ x

y ] = B2 x1 , maka A

−1.A

[ xy ]

= A−1

.B

I. [ x

y ] = A

−1.B

[ xy ]

= A−1

.B

Kita tunjukkan bahwa hasil kali C2 x 2 = [ 2 −3

2

−32

54

] dengan A2 x 2 adalah I2 x 2

(matriks identitas), sebagai berikut: [ 2 −3

2

−32

54

] [5 66 8 ]

=[1 00 1 ]

. Maka C2 x 2

adalah invers matriks A2 x 2 atau C= A−1

.

Sehingga kita dapat memperoleh nilai x dan y, sebagai berikut: [ x

y ]=A

−1.B=

[ 2 −32

−32

54

] [800010000]

=[1000500 ]

Cara mencari invers matriks berordo 2x2 dan invers matriks berordo 3x3

dipaparkan berikut ini.

1. Invers matriks berordo 2x2

Jika A =[a bc d ]

, maka A−1

=

1det ( A ) .Adj (A) =

1det ( A ) [ d −b

−c a ]Contoh: A=

[5 33 2 ]

, tentukan A−1

!

Jawab: det(A) = (5x2) (3x3) = 1

A−1

=

11 [ 2 −3

−3 5 ]=

[ 2 −3−3 5 ]

2. Invers matriks berordo 3x3

Jika B3 x 3 , maka B−1

=

1det (B ) .Adj(B)

Contoh : B = [1 2 30 4 50 0 6 ]

,tentukan invers dari matriks segitiga tersebut!

Jawab : Untuk mencari determinan matriks B, cara paling praktis adalah dengan

metode kofaktor dengan mengekspansi baris yang memuat nol terbanyak yaitu

baris ke-3, maka det(B)=6(1x4-0x2)= 24

Adj B =

[+|4 50 6

| −|2 30 6

| +|2 34 5

|

−|0 50 6

| +|1 30 6

| −|1 30 5

|

+|0 40 0

| −|1 20 0

| +|1 20 4

| ]=

[24 −12 −20 6 −50 0 4 ]

B−1

=

124

[24 −12 −20 6 −50 0 4 ]

=

[1 −1224

− 224

06

24− 5

24

0 04

24]

Sifat-sifat invers matriks :

1. (AB)−1

= B−1

A−1

2. Jika AB = BA = I, maka A dan B dikatakan sebagai matriks yang saling invers

karena A = B−1

dan B = A−1

Bila suatu matriks A mempunyai determinan nol atau det(A) = 0 maka

matriks A tidak mempunyai invers. Suatu matriks yang tidak mempunyai invers

disebut matriks singular. Bila det(A)0, maka matriks A pasti mempunyai invers.

Suatu matriks persegi yang mempunyai invers disebut matriks non singular.

PERSAMAAN MATRIKS

1. A.X = B

A-1.A.X = A-1.B

I.X = A-1.B

X = A-1.B

Jadi jika A.X = B, maka X = A-1.B

2. X.A = B

X.A.A-1 = B.A-1

X.I = B.A-1

X = B.A-1

Jadi jika X.A = B, maka X = B.A-1

Contoh : Tentukan matriks X nya

1.[3 11 2 ]. X=[5 −15

0 10 ]X=[3 1

1 2 ]−1

.[5 −150 10 ]

= 16−1 [ 2 −1

−1 3 ] .[5 −150 10 ]

=15 [10 −40

−5 45 ]

=[ 2 −8−1 9 ]

2.X .[1 2

1 4 ]=[ 6 −4−2 4 ]

X=[ 6 −4−2 4 ] .[1 2

1 4 ]−1

X=[ 6 −4−2 4 ] . 1

4−2 [ 4 −2−1 1 ]

X=12

.[ 6 −4−2 4 ] .[ 4 −2

−1 1 ]

X=12

.[28 −16−12 8 ]

X=[14 −8−6 4 ]

PEMAKAIAN INVERS MATRIKS

Invers matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Contoh :

Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan matriks

x + 7y = 13

2x + 5y = 8

jawab :

[1 72 5 ] .[xy ]=[13

8 ]

[ xy ]=[1 7

2 5 ]−1

.[138 ]

[ xy ]= 1

5−14 [ 5 −7−2 1 ] .[13

8 ]

[ xy ]= 1

−9 [ 9−18]

[ xy ]=[−1

2 ]jadi x = -1, dan y = 2

A

B

VEKTOR

Pengertian Vektor

Di dalam kehidupan sehari-hari, kita sering mendengar kata-kata seperti

suhu, gaya, panjang, percepatan, pergeseran dan sebagainya. Apabila diperhatikan

besaran yang menyatakan besarnya kuantitas dari kata-kata tersebut ada

perbedaanya yaitu ada yang hanya menunjukkan nilai saja, tetapi ada yang

menunjukkan nilai dan arahnya. Besaran itu sering disebut skalar dan vektor.

Setiap besaran skalar seperti panjang, suhu dan sebagainya selalu dikaitkan

dengan suatu bilangan yang merupakan nilai dari besaran itu. Sedangkan untuk

besaran vektor seperti gaya, percepatan, pergeseran dan sebagainya, disamping

mempunyai nilai juga mempunyai arah. Jadi vektor adalah suatu besaran yang

mempunyai nillai (besar / norm ) dan arah. Tunjukkan contoh-contoh lain yang

merupakan vektor?

Untuk menyatakan sebuah vektor biasanya digunakan notasi huruf kecil

tebal atau bergaris atas atau bawah, misalnya : u atau u atau u . Secara geometri

sebuah vektor diwakili oleh sebuah ruas garis berarah dengan panjang ruas garis

itu menunjukkan besar, sedangkan arahnya menunjukkan arah vektor itu. Jika ruas

garis AB seperti pada gambar 1(a) adalah sebuah vektor v dengan titik A disebut

titik pangkal ( initial point ) dan titik B disebut titik ujung ( terminal point ) maka

kita dapat menuliskan v = A⃗B

Vektor-vektor yang mempunyai panjang yang sama dan arah yang sama

dinamakan ekivalen, maka vektor yang ekivalen dianggap sama walaupun vektor-

vektor tersebut mungkin diletakkan didalam kedudukan yang berbeda seperti pada

gambar 1 (b) berikut :

( a ) Vektor A⃗B ( b ) Vektor-vektor yang ekivalen

A(xA,yA)

X

Y

u

O

B(xB,yB)

Gambar 1

Ukuran (panjang) atau norm suatu vektor v ditulis dengan notasi |v|.Vektor yang panjangnya sama dengan satu satuan panjang disebut vektor satuan.

Sehingga vektor satuan dari suatu vektor a dirumuskan dengan

1|a|

a

Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan pasanagn

bilangan berurutan, misalnya diberikan sebuah titik A(x1,y1) maka didapatkan ruas

garis berarah dari titik pusat sumbu O(0,0) ke titik A yaitu O⃗A . Bentuk ruas garis

berarah O⃗A disebut sebagai vektor posisi dari titik A, sehingga didapatkan O⃗A =

(x1,y1) = (x1

y1) ; dengan x1 dan y1 merupakan komponen vektor . Dengan

demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik ujung suatu titik yang

diketahui disebut vektor posisi. Koordinat titik yang diketahui itu merupakan

komponen-komponen vektor posisinya.

Perhatikan gambar berikut :

Vektor u dapat dituliskan :

u = A⃗B = ( xB−x A

y B− y A) dengan

O⃗A=¿ (x A ¿)¿¿

¿¿ dan

O⃗B=¿ (xB ¿)¿¿

¿¿

disebut komponen vektor

Gambar 2

Sehingga vektor u pada gambar 2 diatas dapat dinyatakan:

u = A⃗B = ( xB−x A

y B− y A) =

(6−15−2)

= (53 )

Sedangkan O⃗A=¿ (1 ¿ )¿

¿¿¿

disebut vektor posisi titik A dan

XO

ja

i

A(x,y)

Y

O⃗B=¿ (6 ¿ ) ¿¿

¿¿ disebut vektor posisi titik B.

Panjang vektor u adalah |u|=√52+32=√25+9=√34

Ruang Lingkup Vektor

Seperti dalam geometri yang diajarkan di SMK yaitu geometri datar dan

geometri ruang, maka vektor yang akan dibicarakan meliputi :

1. Vektor di dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )

Untuk memudahkan menjelaskan vektor kepada siswa maka pada bidang

dibuat sebuah sistem koordinat kartesius, sehingga setiap vektor yang sejajar

bidang koordinat diwakili oleh vektor yang besar dan arahnya sama dan terletak

pada bidang tersebut. Vektor-vektor yang sejajar dengan suatu bidang datar

dinamakan vektor-vektor koplanar. Dan untuk menyatakan vektor yang lain pada

bidang kartesius, digunakan vektor satuan, sehingga jika A(x,y) serta i dan j

masing-masing vektor pada arah positif pada sumbu x dan y. Untuk lebih jelasnya

perhatikan gambar 3 berikut:

Suatu vektor a dalam koordinat kartesius

tersebut dapat dinyatakan :

a = O⃗A = (x,y) = (x

y) = x i + y j

Panjang vektor a adalah √ x2+ y2 dan

besarnya tg =

yx

Gambar 3.

Sedangkan i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan

pada sumbu Y, maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam

vektor i dan j atau bentuk komponennya yaitu :

i =

(1 ¿ ) ¿¿

¿¿ dan j =

(0 ¿ ) ¿¿

¿¿

Contoh:

XO

3

a

5

A(5,3)

Y

O

zp

k

ji

P3

P2

Z

P1

X

Y

xp

yp

P(x,y,z)

Vektor O⃗A pada gambar berikut dapat dinyatakan

Vektor a = O⃗A = 5 I + 3 j

( kombinasi linier dari i dan j )

atau vektor a = O⃗A = (53 )

( bentuk komponen )

Gambar 4

2. Vektor di dalam Ruang Dimensi Tiga ( R3 )

Untuk menentukan kedudukan atau letak titik di dalam ruang dapat

digunakan sistem koordinat dengan sumbu X , Y dan Z dengan masing-masing

sumbu saling tegak lurus dan berpotongan di sebuah titik O, Sebuah titik P dalam

ruang disajikan dalam pasangan berurutan (x,y,z) dengan salib sumbu kartesius

digunakan aturan tangan kanan seperti pada gambar 5 berikut :

Jarak P sampai bidang YOZ

adalah x atau PP1 = xp

Jarak P sampai bidang XOZ

adalah y atau PP2 = yp

Jarak P sampai bidang XOY

adalah z atau PP3 = zp

Gambar 5

Dengan demikian vektor posisi P adalah O⃗P dinyatakan dengan bentuk

sebagai berikut :

a

b

a + b

b

a

a + bb

a

O⃗P = x i + y j + z k jika i, j dan k merupakan vektor satuan dalam koordinat

ruang. ( i: vektor satuan pada sumbu X; j: vektor satuan pada sumbu Y dan k;

vektor satuan pada sumbu Z )

atau

O⃗P=( xyz )

Besar ( panjang / norm ) vektor O⃗P tersebut adalah |⃗OP|=√x2+ y2+z2 .

Sebagai contoh, misalkan sebuah titik A (3,2,4), maka vektor posisi titik A adalah

O⃗A atau a dapat dinyatakan dengan :

a = O⃗A = 3 i + 2 j + 4 k atau a = O⃗A = (324 )

Operasi Vektor

Penjumlahan Vektor

Dua buah vektor a dan b dapat dijumlahkan yang hasilnya a + b dengan

cara sebagai berikut :

Perhatikan gambar 6 berikut :

Gambar 6

Dua vektor pada gambar 6 diatas dapat dijumlahkan dengan dua cara

yaitu :

a). aturan segitiga vektor, yaitu pangkal b digeser ke ujung a sehingga:

Gambar 7

b). aturan jajaran genjang, yaitu pangkal b digeser ke pangkal a,

kemudian dilukis jajaran genjang, sehingga:

a + bb

a

b1800-

Gambar 8

Jika kedua vektor mengapit sudut tertentu maka besarnya jumlah dua

vektor tersebut dapat dicari dengan menggunakan rumus aturan cosinus

seperti pada trigonometri yaitu:

Gambar 9

Maka didapat :

( a + b )2 = a2 + b2 –2ab Cos (1800 - )

= a2 + b2 –2ab Cos

Jadi a + b = √a2+b2 -2 ab Cos α

Sehingga jika = 900 maka Cos = 0 maka a + b = √a2+b2

Jika vektor disajikan dalam bentuk komponen maka penjumlahan dapat

dilakukan dengan menjumlahkan komponennya, misalnya:

a = (62 )

dan b = (14)

maka a + b = (6+12+4 )

= (76 )

Sifat penjumlahan vektor:

Jika a, b dan c adalah suatu vektor maka:

1) a + b = b + a sifat komulatif

2) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) sifat asosiatif

3) Setiap vector mempunyai elemen identitas, yaitu vektor nol

sehingga a + 0 = a + 0

4) Setiap vektor mempunyai invers ( yaitu vektor negatif )

sehingga a + ( - a ) = 0

Dua vektor yang sama besar dan arahnya berlawanan

dinamakan dua vektor yang berlawanan

Contoh:

A O

B

C

1) Buktikan bahwa sudut yang menghadap busur setengah

lingkaran adalah sudut siku-siku.

Bukti:

Perhatikan gambar berikut :

Gambar 10

Kita tunjukkan bahwa vektor A⃗B tegak lurus pada vektor B⃗C

dengan memisalkan O sebagai pusat dari setengah lingkaran

maka:

A⃗B .B⃗C = (⃗OA+O⃗B ).( B⃗O+O⃗C )

= (⃗OC+O⃗B ). (−O⃗B+O⃗C )

= O⃗C . O⃗C−O⃗B .O⃗B

= |⃗OC|2−|⃗OB|2

= O ( terbukti )

karena O⃗C dan O⃗B mempunyai panjang yang sama.

2) Diketahui vektor :

a = (−1

23 )

; b = ( 2−1−2 )

dan c = (−1−2

3 )Tentukan x jika : a) x = a + b

b) x + a = c

Penyelesaian :

a). x = a + b

= (−1

23 )

+ ( 2−1−2 )

= (111)

b). x + a = c x = c - a

a - ba

b

= (−1−2

3 ) -

(−123 )

= ( 0−4

0 )3) Ditentukan titik-titik P(2,7,8) dan Q(-1,1,-1). Tentukanlah

dalam bentuk komponen vektor yang diwakili oleh P⃗R

apabila R adalah titik pada P⃗Q sehingga P⃗R =

13 P⃗Q dan

berapa koordinat R.

Penyelesaian :

P⃗Q = q – p

= (−1

1−1 )−(2

78)=(−3

−6−9 )

Karena P⃗R =

13 P⃗Q sehingga komponen vector yang diwakili oleh

P⃗R =

13

(−3−6−9 )

= (−1−2−3 )

Misal koordinat titik R adalh (x,y,z) maka:

P⃗R = r – p (−1−2−3 )

= ( xyz )

- (278 )

( xyz )

= (−1−2−3 )

+ (278 )

= (155 )

Jadi koordinat R (1,5,5)

Selisih Dua Vektor

Selisih dua vektor a dan b, dinyatakan sebagai a - b dapat dipandang

sebagai penjumlahan vektor a dengan invers vektor b atau - b ditulis a – b =

a + ( - b ) digambarkan sebagai berikut:

ab

- b

a -b

a3a -2a

Gambar 11

Contoh:

Diketahui dua titik P(-1,4,3) dan titik Q(2,1,-3)

Tentukan vektor P⃗Q

Penyelesaian :

P⃗Q = O⃗Q−O⃗P

= ( 2

1−3)−(−1

43 )=( 3

−3−6 )

Perkalian Vektor dengan Skalar

Jika a suatu vektor dan k adalah skalar ( bilangan nyata ) maka

perkalian vektor a dengan skalar k ditulis ka atau ak merupakan vektor yang

panjangnya k|a| dan mempunyai arah yang sama dengan a, sedangkan - ka

adalah vektor yang panjangnya k|a| tetapi berlawanan arah dengan a.

Dengan kata lain didefinisikan :

Sebagai contoh dapat digambarkan :

Gambar 12

k a = a + a + a +….+ a

sebanyak k suku

Berdasarkan pengertian diatas, maka dapat disimpulkan bahwa:

a). Jika ada 2 vektor yang sejajar, maka yang satu dapat dinyatakan

sebagai hasil perbanyakan vektor yang lain dengan skalar.

b). Untuk membuktikan dua vektor sejajar cukup membuktikan salah

satu vektor merupakan kelipatan vektor yang lain dalam bentuk

komponen.

Perkalian Titik ( Dot Product )

Hasil kali titik atau dot product antara dua buah vektor akan

menghasilkan suatu skalar atau bilangan real. Perkalian titik sering

disebut juga perkalian skalar dua vektor. Hasil kali skalar dua vektor a

dan b didefinisikan :

a.b = |a||b|Cos

dimana adalah sudut yang diapit oleh kedua vektor a dan b.

Dari definisi diatas, dapat kita tentukan sifat-sifat hasil kali skalar

sebagai berikut :

1). Jika a dan b merupakan dua vektor yang arahnya sama maka a.b =

|a||b|2). Jika a dan b merupakan dua vektor yang berlawanan arah maka a.b

= - |a||b|3). Jika a dan b merupakan dua vektor yang tegak lurus maka a.b = 0

4). Jika a dan b merupakan dua vektor dan a.b 0 maka sudut antara

dua vektor tersebut adalah sudut lancip

5). Jika a dan b merupakan dua vektor dan a.b 0 maka sudut antara

dua vektor tersebut adalah sudut tumpul

6). Sifat komutatif yaitu a.b = b.a

7). Sifat distributif yaitu a.( b + c ) = a.b + a.c

Apabila vektor a dan b yang dinyatakan dalam bentuk komponen,

misalnya : a = a1 i + a2 j + a3 k dan b = b1 i + b2 j + b3 k maka :

a.b = ( a1 i + a2 j + a3 k ). ( b1 i + b2 j + b3 k ). Dengan menggunakan sifat

distributif dan hasil kali skalar dua vektor yang saling tegak lurus dan

searah maka :

baxb

i . i = i2 = 1 ; j . j = j2 = 1 dan k . k = k2 = 1

i . j = 0 ; j . k = 0 dan k . i = 0

Dengan demikian, kita peroleh rumus hasil kali skalar dua vektor yaitu :

untuk vektor a = a1 i + a2 j + a3 k dan b = b1 i + b2 j + b3 k maka : a.b =

a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ( bukti diserahkan kepada peserta diklat )

Contoh:

1). Hitunglah perkalian skalar antara:

a=2 i+3 j+5k dan b=i+ j+k

Penyelesaian:

a .b = 2.1 + 3.1 + 5.1

= 2 + 3 + 5 = 10

2). Diketahui vektor-vektor sebagai berikut:

a=¿ (1¿ ) (2 ¿ ) ¿¿

¿¿

b=¿ (5 ¿ ) (4 ¿ ) ¿¿

¿¿Tentukan hasil kali skalar dua vektor tersebut

Penyelesaian:

a .b = 1.5 + 2.4 + 4.0

= 5 + 8

=13

Perkalian Silang ( Cross Product )

Perkalian silang sering disebut juga perkalian vektor antara dua vektor.

Perkalian vektor antara vektor a dan b didefinisikan sebagai vektor yang

mempunyai besar |a||b| Sin , dengan adalah sudut yang diapit oleh

kedua vektor. Arah vektor hasil kalinya adalah tegak lurus vektor a dan

b serta vektor a , b dan ax b dalam urutan membentuk system tangan

kanan, sehingga dapat digambarkan sebagai berikut :

Perhatikan bahwa :

|axb| = |a||b| Sin

bxa = -(ax b)

Jika = 00 maka |axb| = 0

Jika =900 maka |axb| = |a||b|Secara geometri, norm perkalian antara dua vector merupakan luas

bangun segi empat yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Sifat ini

dapat diturunkan dari persamaan Lagrange. |axb|2 = |a|2|b|2 – (a.b)2

Apabila vektor dinyatakan dalam bentuk vektor satuan i , j dan k

Misalnya : a = a1 i + a2 j + a3 k dan b = b1 i + b2 j + b3 k

Karena i x i = 1.1 Sin 00 = 0 analog sehingga : ixi = jxj = kxk = 0

Juga i x j = 1.1 Sin 900 = 1 dalam arah OZ yaitu i x j = k sehingga i x j =

k ; j x k = i dan k x i = j

Maka : axb = ( a1 i + a2 j + a3 k )x ( b1 i + b2 j + b3 k ).

Dengan sifat diatas dan hukum distributive dapat dijabarkan menjadi :

axb = ( a2b3 –a3b2) i – (a1b3 –a3b1) j + (a1b2 – a2b1) k . Dan apabila ditulis

dalam bentuk determinan matriks, maka kita dapatkan rumus sebagai

berikut :

axb =

|i j k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

|

Contoh :

Diketahui vektor p = 2i + 4j + 3k dan q = i + 5j - 2k

Tentukan pxq

Penyelesaian :

pxq =

|i j k2 4 31 5 −2

|

= |4 35 −2

| i -

|2 31 −2

| j +

|2 41 5

| k

= ( -8-15) i - ( -4-3) j + (10-4) k

= -22 i + 7 j + 6 k

W

L

a b

W

a b=2,5 m

1 m

W

Contoh Aplikasi Vektor

Perhatikan contoh soal berikut ini :

Andaikan sebuah benda yang beratnya (W) adalah 304 N diangkat dengan

rantai seperti pada gambar.

Jika panjang a = b = 2,5 m. dan

panjang benda L = 2 m. Tentukan

gaya yang terjadi pada rantai a atau b

!

Penyelesaian :

Sin =

12,5 = 0,4 = 260 12l

Maka : W2 = a2 + b2 + 2ab Cos 2

3042 = a2 + b2 + 2ab Cos 520 24l

= a2 + a2 + 2aa Cos 520 24l

= 2a2 + 2a2 + Cos 520 24l

= a2 ( 2 + 2. 0,68 )

Sehingga a2 =

3042

3 ,36 = 27504,762 . Jadi a adalah 165,85 N