MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear...

39
Sistem Persamaan Linear MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3

Transcript of MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear...

Page 1: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

Sistem PersamaanLinear

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

TIM DOSEN

3

Page 2: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

Sub Pokok Bahasan

• Pendahuluan

• Solusi SPL dengan OBE

• Solusi SPL dengan Invers matriks dan Aturan Crammer

• SPL Homogen

Beberapa Aplikasi Matriks

• Rangkaian listrik

• Jaringan Komputer

• Model Ekonomi

• dan lain-lain.

2 2/12/2017

Sistem Persamaan Linear

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 3: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidakmemuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian,pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri.

Contoh :

Jika perusahaan A membeli 1 Laptop (𝑥) dan 2 PC (𝑦) maka ia harusmembayar $ 5000, sedangkan jika membeli 3 Laptop dan 1 PC makaia harus membayar $ 10000.

Representasi dari masalah tersebut dalam bentuk SPL

ቊx + 2y = 5000

3x + y = 10000

Pendahuluan

Page 4: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

4 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Bentuk umum system persamaan linear𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2

⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛

Dapat ditulis dalam bentuk𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

… 𝑎1𝑛… 𝑎2𝑛

⋮ ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2

⋱ ⋮… 𝑎𝑚𝑛

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

=

𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑚

Pendahuluan(2)

Page 5: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

5 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Atau

𝐴𝑋 = 𝐵

dimana

– 𝐴 dinamakan matriks koefisien

– 𝑋 dinamakan matriks peubah

– 𝐵 dinamakan matriks konstanta

Contoh :

Perhatikan bahwa SPL

ቊx + 2y = 5000

3x + y = 10000

dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks1 23 1

𝑥𝑦 =

500010000

Pendahuluan(3)

Page 6: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

6 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Solusi SPL adalah Himpunan bilangan Real dimana jikadisubstitusikan pada peubah suatu SPL akan memenuhi nilaikebenaran SPL tersebut.

Perhatikan SPL :

ቊx + 2y = 5000

3x + y = 10000Maka

{x = 3000, y =1000 } merupakan solusi SPL{x = 1000, y =3000 } bukan solusi SPL

Suatu SPL, terkait dengan solusi, mempunyai tiga kemungkinan :• SPL mempunyai solusi tunggal• SPL mempunyai solusi tak hingga banyak• SPL tidak mempunyai solusi

Solusi SPL

Page 7: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

7 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

CASE I

Perhatikan SPL

ቊx −y = 0

2x−y =2

Jika digambar dalam kartesius

Artinya : SPL 2𝑥 – 𝑦 = 2 dan 𝑥 – 𝑦 = 0 mempunyai solusi tunggal, yaitu 𝑥 = 2, 𝑦 = 2

Solusi SPL_Ilustrasi Pada Bidang Kartesius

(2, 2) merupakan titik potong duagaris tersebut

Tidak ada titik potong yang lain selain titik tersebut

(2,2)

2

2

𝑦 = 𝑥

1

𝑦 = 2𝑥 − 2

𝑥

𝑦

Page 8: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

8 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

CASE II

Perhatikan SPL

ቊx −y = 0

2x−2y =0

Jika kedua ruas pada persamaan kedua dikalikan ½, maka akan diperoleh persamaanyang sama dengan pers. pertama

Jika digambar dalam kartesius

Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah berimpit (Titik potong kedua garis banyak sekalidisepanjang garis tersebut)

Artinya, SPL diatas mempunyai solusi tak hingga banyak

Solusi SPL_Ilustrasi Pada Bidang Kartesius(2)

𝑥 − 𝑦 = 0

2𝑥 − 2𝑦 = 0

𝑥

𝑦

Page 9: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

9 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

CASE III

Perhatikan SPL

ቊx −y = 0

2x−2y =2

Jika digambar dalam kartesius

Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah sejajar (Tak akan pernah diperoleh titik potongkedua garis itu)

Artinya, SPL diatas TIDAK mempunyai solusi

Solusi SPL_Ilustrasi Pada Bidang Kartesius(3)

𝑥 − 𝑦 = 0

1

2𝑥 − 2𝑦 = 2

𝑥

𝑦

Page 10: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

10 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBETulis SPL dalam bentuk matriks yang diperbesarLakukan OBE sampai menjadi eselon baris tereduksi

Contoh :Tentukan solusi dari SPL

3𝑥 – 𝑦 = 5𝑥 + 3𝑦 = 5

Jawab :Matriks yang diperbesar dari SPL

Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE

~5

5

31

13

~

5

5

13

31

~

10

5

100

31

~

1

5

10

31

1

2

10

01

Page 11: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

11 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Tulis kembali matriks yang diperbesar hasil OBE menjadi perkalianmatriks

Maka, solusi SPL tersebut adalah 𝑥 = 2 dan 𝑦 = 1

Contoh :

Tentukan solusi (jika ada) dari SPL berikut :

a. ቐ𝑎 + 𝑐 = 4𝑎 – 𝑏 = –12𝑏 + 𝑐 = 7

Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE(2)

1

2

1

0

0

1

y

x

Page 12: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

12 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

b. ቐ𝑎 + 𝑐 = 4𝑎 – 𝑏 = –1– 𝑎 + 𝑏 = 1

c. ቐ𝑎 + 𝑐 = 4𝑎 – 𝑏 = –1– 𝑎 + 𝑏 = 2

Jawab :

a.

Terlihat bahwa solusi SPL adalah 𝑎 = 1, 𝑏 = 2, dan 𝑐 = 3

7

1

4

120

011

101

3

2

1

100

010

001

Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE(3)

Page 13: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

13 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

b.

Jika dikembalikan kedalam bentuk perkalian matriks diperoleh :

Ini memberikan 𝑎 + 𝑐 = 4 dan 𝑏 + 𝑐 = 5.

Dengan memilih 𝑐 = 𝑡, dimana 𝑡 adalah parameter.

Maka solusi SPL tersebut adalah :

, dimana 𝑡 adalah parameter

1

1

4

011

011

101

0

5

4

000

110

101

0

5

4

000

110

101

c

b

a

0

5

4

1

1

1

t

c

b

a

Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE(4)

Page 14: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

14 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

c.

Terlihat bahwa ada baris nol pada matriks koefisien tetapi matrikskonstanta pada baris ke-3 sama dengan 1 (tak nol)

Dari baris ke-3 diperoleh hubungan bahwa

0. 𝑎 + 0. 𝑏 + 0. 𝑐 = 1.

Tak ada nilai 𝑎 , 𝑏 dan 𝑐 yang memenuhi kesamaan ini.

Jadi, SPL tersebut tidak memiliki solusi.

2

1

4

011

011

101

1

5

1

000

110

101

1

5

1

000

110

101

c

b

a

Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE(5)

Page 15: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

15 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Contoh :

Diketahui SPL :

𝑥 + 2𝑦 – 3𝑧 = 43𝑥 – 𝑦 + 5𝑧 = 2

4𝑥 + 𝑦 + (𝑎2 – 14) 𝑧 = 𝑎 + 2

Tentukan 𝑎 sehingga SPL :

a. Mempunyai solusi tunggal

b. Tidak mempunyai solusi

c. Solusi yang tidak terhingga

Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE(6)

Page 16: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

16 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Jawab: Matrik diperbesar dari SPL adalah

a. Agar SPL mempunyai solusi tunggal:

𝑎2 – 16 0 sehingga 𝑎 ≠ 4 dan 𝑎 ≠ −4

~

214-14

2513

43-21

2

aa

142-70

101470

43-21

2 aa

416-00

101470

43-21

~2 aa

Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE(7)

Page 17: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

17 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

b. Perhatikan baris ketiga

0𝑥 + 0𝑦 + (𝑎2 – 16𝑎) 𝑧 = 𝑎 – 4

SPL tidak mempunyai solusi saat 𝑎2 – 16 = 0 dan 𝑎– 4 ≠ 0

Sehingga 𝑎 = 4 dan 𝑎 4.

Jadi, 𝑎 = – 4.

c.SPL mempunyai solusi tak hingga banyak jika memenuhi persamaan

𝑎2 – 16 = 0 dan 𝑎 – 4 = 0

Jadi, 𝑎 = 4

.

416-00

101470

43-21

2 aa

Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE(8)

Page 18: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

18 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Tinjau persamaan linear berikut𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

… 𝑎1𝑛… 𝑎2𝑛

⋮ ⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2

⋱ ⋮… 𝑎𝑛𝑛

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

=

𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑛

atau𝐴𝑋 = 𝐵

Jika kedua ruas dikalikan dengan𝐴−1, maka didapat𝐴−1𝐴 𝑋 = 𝐴−1𝐵

Karena 𝐴−1𝐴 = 𝐼 maka𝑋 = 𝐴−1𝐵

Ingat bahwa suatu matriks A mempunyai invers jika danhanya jika det(𝐴) ≠ 0.

Solusi SPL dengan Matriks Invers

Page 19: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

19 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Contoh :

Tentukan solusi dari SPL berikut :

൞a + c = 4

a – b = –12b + c = 7

Jawab :

Perhatikan bahwa

Jadi A mempunyai Invers

Solusi SPL dengan Matriks Invers(2)

0 1

120

01-1

101

A

1-2-2

111-

121-1

A

Page 20: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

20 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

sehingga X = A–1 B berbentuk :

Jadi, Solusi SPL tersebut adalah

Solusi SPL dengan Matriks Invers(3)

3

2

1

c

b

a

7

1-

4

1-2-2

111-

121-

c

b

a

Page 21: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

21 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Misalkan SPL ditulis dalam bentuk AX = B, yaitu :𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

… 𝑎1𝑛… 𝑎2𝑛

⋮ ⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2

⋱ ⋮… 𝑎𝑛𝑛

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

=

𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑛

Jika determinan A tidak sama dengan nol maka solusi dapat ditentukansatu persatu (peubah 𝑘𝑒 − 𝑖, 𝑥𝑖)

Langkah-langkah aturan cramer adalah :

a. Hitung determinan A

b. Tentukan Ai matriks A dimana kolom ke-i diganti oleh B.

Contoh :

𝐴2 =

𝑎11 𝑏1𝑎21 𝑏2

… 𝑎1𝑛… 𝑎2𝑛

⋮ ⋮𝑎𝑛1 𝑏𝑛

⋱ ⋮… 𝑎𝑛𝑛

Solusi SPL dengan Aturan Cramer

Page 22: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

22 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

c. Hitung |Ai|d. Solusi SPL untuk peubah adalah

Contoh :Tentukan solusi 𝑏 dari SPL berikut :

൞a + c = 4

a – b = –12b + c = 7

Jawab :Perhatikan bahwa

Solusi SPL dengan Aturan Cramer(2)

)det(

)det(

A

Ax i

i

1

120

01-1

101

A

Page 23: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

23 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Maka

Jadi, Solusi peubah b yang memenuhi SPL adalah b = 2

Solusi SPL dengan Aturan Cramer(3)

)A ( det

) Ab (det b

1

170

01-1

141

70

1-1 1

10

01 (-4)

17

01- 1

) 0 - 7 ( 1 ) 0 - 1 ( (-4) ) 0- 1- ( 1 7 (-4) 1-

Page 24: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

24 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Tentukan solusi SPL untuk peubah a ?

Solusi SPL dengan Aturan Cramer(4)

1

127

01-1-

104

det

det

A

Aa a

1

5 0 4-

) (-7) - 2- ( 1 ) 0- 1- ( 4

27

1-1- 1 0

12

01- 4

Page 25: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

25 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Bentuk umum

𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

… 𝑎1𝑛… 𝑎2𝑛

⋮ ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2

⋱ ⋮… 𝑎𝑚𝑛

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

=

00⋮0

SPL homogen merupakan SPL yang konsisten (selalumempunyai solusi).Solusi SPL homogen dikatakan tunggal jika solusi itu adalah

{𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 0}Jika tidak demikian,SPL homogen mempunyai solusi tak hinggabanyak(biasanya ditulis dalam bentuk parameter)

Sistem Persamaan Linear Homogen

Page 26: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

26 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Contoh :Tentukan solusi SPL homogen berikut

2𝑝 + 𝑞 – 2𝑟 – 2𝑠 = 0𝑝 – 𝑞 + 2𝑟 – 𝑠 = 0

– 𝑝 + 2𝑞 – 4𝑟 + 𝑠 = 03𝑝 – 3𝑠 = 0

SPL dapat ditulis dalam bentuk

Sistem Persamaan Linear Homogen(2)

0

0

0

0

3- 0 0 3

1 4- 2 1-

1- 2 1- 1

2- 2- 1 2

Page 27: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

27 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

dengan melakukan OBE diperoleh :

Maka solusi SPL homogen adalah :𝑝 = 𝑎,𝑞 = 2𝑏 ,𝑠 = 𝑎, dan 𝑟 = 𝑏,dimana a, b merupakan parameter.

Sistem Persamaan Linear Homogen(3)

0

0

0

0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 2- 1 0

1- 0 0 1

Page 28: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

28 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Contoh :

Diketahui SPL

a. Tentukan b agar SPL memiliki solusi tak hingga banyak

b. Tuliskan solusi SPL tersebut

Jawab :

Solusi suatu SPL homogen adalah tak tunggal

jika det(A) = 0.

Sistem Persamaan Linear Homogen(4)

0

0

0

-1 1 0

1 -1 0

0 0 -

z

y

x

b

b

b

Page 29: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

29 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

(–b) ((1 – b)(1 – b)) – 1 = 0

(–b) (b2 – 2b + 1 – 1) = 0

(–b) (b2 – 2b) = 0

b = 0 atau b = 2

Solusi SPL tak hingga banyak saat 𝑏 = 0 atau 𝑏 = 2

Sistem Persamaan Linear Homogen(5)

0

110

110

00

b

b

b

011

11

b

bb

Page 30: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

30 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Saat b = 0

Dengan OBE maka

Misalkan p,q adalah parameter Riil, maka

Sistem Persamaan Linear Homogen(6)

0

0

0

1 1 0

1 1 0

0 0 0

z

y

x

0 0 0

0 0 0

1 1 0

~

0 0 0

1 1 0

0 0 0

~

1 1 0

1 1 0

0 0 0

q

q

p

z

y

x

qp

1

1-

0

0

0

1

Page 31: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

31 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Saat b = 2

Dengan OBE maka

Misalkan q adalah parameter Riil, maka

Sistem Persamaan Linear Homogen(7)

0

0

0

110

110

002

z

y

x

~

110

110

002

~

110

110

001

~

110

110

001

000

110

001

q

q

q

z

y

x

1

1

00

Page 32: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

32 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Perhatikan ilustrasi segitiga berikut :

Sistem Persamaan Linear

ba

c

Tunjukan bahwa :

a2 = b2 + c2 – 2bc cos

Page 33: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

33 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Jawab :

Dari gambar tersebut diketahui bahwa :

c cos + b cos = a

c cos + a cos = b

b cos + a cos = c

atau

Sistem Persamaan Linear(2)

c

b

a

ab

ac

bc

cos

cos

cos

0

0

0

Page 34: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

34 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Perhatikan bahwa :

dengan aturan Crammer diperoleh bahwa :

Sistem Persamaan Linear(3)

0

0

0

det

ab

ac

bc

ab

cb

b

acc

01

010

3121

acbabc

abc

ac

ab

bca

2

0

0

cos

ab

baa

c

abc

abc

232110

01

2

1

Page 35: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

35 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Sistem Persamaan Linear(4)

abc

baaac

2cos

2232

bc

bac

2

222

Jadi, terbukt bahwa :

a2 = b2 + c2 – 2bc cos

Page 36: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

36 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

1. Tentukan solusi SPL berikut :

2. Tentukan solusi SPL :2𝑝 – 2𝑞 – 𝑟 + 3𝑠 = 4

𝑞 + 2𝑠 = 1–2𝑝 + 𝑝 –2𝑞 – 4𝑠 = –2

3. Tentukan solusi SPL homogen berikut :

LATIHAN

42

963

1282

ba

ba

ba

0188102

07

077102

0745

tsrqp

tsr

tsrqp

trqp

Page 37: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

37 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

4. Diketahui SPL AX = B

Tentukan solusi SPL di atas dengan menggunakan :

– operasi baris elementer (OBE )

– Invers matrik

– Aturan Cramer

5. Diketahui

Tentukan yang memenuhi.

LATIHAN(2)

,

1 2 0

0 1- 1

1 0 1

A

3

2

1

x

x

x

X

1

1

1

dan B

45

22

02

41

21

13XX

4

2

3

1

x

x

x

xX

Page 38: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

38 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

6. SPL homogen (dengan peubah p, q, dan r)

Tentukan nilai k sehingga SPL punya solusi tunggal

7. Misalkan

Tentukan vektor tak nol sehingga

LATIHAN(3)

01

02

02

2

rqkpk

rq

rqp

35

31B

y

xu uuB 6

Page 39: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR file3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti

THANK YOU