Tugas Komputasi Numerik.pdf

D E P A R T E M E N T E K N I K K I M I A U N I V E R S I T A S I N D O N E S I A

2013

TUGAS PRA-UAS MATA KULIAH KOMPUTASI NUMERIK

Saeful Pranata | 1106013290 | Teknologi Bioproses

Tugas Pra-UAS Komputasi Numerik | 1

to

T

dXW F

-r'

1/2 1/2

3 m m o oT 1/2 1/2

m m o o

k .K .P .K Pr'

1 K .P 1 K .P

1/ 2

T 1/ 2

0.285 0.154 0.077 0.0775.92

1 0.12 1 0.12-r'3.534 1.9096 0.077 0.077

1 1 1.111 0.12 1 0.12

X X

X X

X X

X X

Soal 1. Persamaan Disain Fixed Bed Reactor

Packed-bed reactors adalah reaktor tubular terisi oleh partikel-partikel katalis. Persamaan disain

reaktor bed adalah sebagai berikut,

(1.1)

Dimana : X adalah Nilai Konversi Metanol menjadi Formaldehida,

W adalah jumlah katalis yang digunakan/diisikan dalam reaktor, kg katalis.

Fo adalah laju umpan reakton masuk reaktor, mol/jam.

Persamaan laju untuk konversi metanol menjadi Formaldehida adalah

(1.2)

Dan berdasarkan penentuan harga kontanta Km, Pm, Ko maka menjadi didapat persaman laju

reaksi berikut

, mol/g. jam

Untuk menghitung harga W/Fo reaktor, maka perlu melakukan perhitungan dengan

mengintegrasi harga dX/-r’T dalam rentang konversi tertentu. Dengan kemampuan anda dalam

Komputasi Numerik, hitunglah harga W/Fo dengan rentang konversi tabel berikut.

Tabel Konversi Xawal dan X akhir

No.kode Xawal X akhir B1 0 0,3 B2 0 0,5 B3 0 0,7 B4 0 0,9 B5 0,1 0,5 B6 0,1 0,7


B7 0,1 0.9 B8 0,3 0,7 B9 0,3 0,9

B10 0,4 0,9

Penyelesaian:

Batas yang digunakan adalah seperti yang tertera pada B1, yaitu dari 0 sampai 0,3.

W = Fo ∫

∫

∫

(1.3)

Seperti yang diketahui bahwa nilai –r’T adalah A

*

+(

)

B C

Setelah membuat analogi seperti di atas, maka dengan bantuan program Microsoft Excel dapat

diketahui nilai A, B, C dan 1/-r’T dengan memasukkan nilai batas B1.

Interval yang digunakan = 0,02

X A B C -r’T 1/r'T (f(x)) 2f(x)

0 0.1299 4.534 1.0419 0.0275 36.3608 72.72155

0.02 0.1098 4.4874 1.0409 0.0235 42.5391 85.07828

0.04 0.1007 4.4411 1.04 0.0218 45.8604 91.72071

0.06 0.0936 4.395 1.0391 0.0205 48.8128 97.62554

0.08 0.0875 4.3491 1.0382 0.0194 51.63 103.26

0.1 0.0821 4.3034 1.0373 0.0184 54.4048 108.8096

0.12 0.0772 4.2579 1.0364 0.0175 57.1875 114.3751

0.14 0.0727 4.2127 1.0355 0.0167 60.0112 120.0224

0.16 0.0686 4.1676 1.0346 0.0159 62.9004 125.8008

0.18 0.0647 4.1228 1.0337 0.0152 65.8753 131.7506

0.2 0.0611 4.0782 1.0328 0.0145 68.954 137.908


0.22 0.0577 4.0338 1.032 0.0139 72.1536 144.3072

0.24 0.0545 3.9896 1.0311 0.0132 75.4909 150.9818

0.26 0.0515 3.9456 1.0302 0.0127 78.9832 157.9663

0.28 0.0486 3.9018 1.0293 0.0121 82.6485 165.2969

0.3 0.0459 3.8582 1.0285 0.0116 86.5061 173.0122

Setelah mendapatkan hasil seperti tabel di atas, lalu digunakan persamaan Trapezoidal untuk

mendapatkan nilai integrasinya:

∑

∑

Jadi, hasil intergral persamaan pada soal dengan batas 0 sampai 0,3 menghasilkan nilai sebesar

19,305.


Soal 2. Pertumbuhan Bakteri

Ulangilah Studi kasus 18.2 halaman 683 (Bab 18, Chapra-Raymond versi bahasa) dengan

menggunakan beberapa metode selain metode Ralston.

1. Tunjukkan proses perhitungan sampai mendapatkan error yang sekecil-kecilnya dibanding

hasil yang sebenarnya (cara analitis/kalkulus). Boleh menggunakan program excel, dll.

2. Gambarkan kurva dalam diagram x-y untuk menunjukkan hubungan antara pertumbuhan

organisme (konsentrasi organisme) vs jumlah hari pembiakan organisme.

Penyelesaian:

Metode Runge-Kutta orde ketiga:

[

]

Di mana:

(

)

x = 2 ; y = 100000

(

)


[

]

*

+

x = 4 ; y = 1538730,4

(

)

[

]

[

]

x = 6 ; y = 244878,3

(

)


[

]

*

+

x = 8 ; y = 362809,1

(

)

[

]

*

+


(

)

[

]

*

+

(

)

[

]

*

+


(

)

[

]

*

+

Metode Runge-Kutta Orde keempat:

[

]

y = 66299x + 101576 R² = 0.9827

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1400000

0 5 10 15 20

Ko

nse

ntr

asi o

rgan

ism

e

Jumlah hari pertumbuhan

Pertumbuhan Mikroba dengan Metode Runge-Kutta Orde 3

Series1

Linear (Series1)

Poly. (Series1)


Di mana:

(

)

Untuk t= 0 ; p = 100.000

K1 = ( ) = = 23714

K2 = (

) = = 28750.79

K3 = = f(1, 128750.8) = 29791.62

K4 = = f (2, 159583.2) = 35941.87

h =35941.87

Untuk t= 2 ; p = 155607,9

K1 = ( ) = = 35170,25

K2 = (

) = = 41777,43

K3 = = f(1, 197385,3) = 42963,47

K4 = = f (2, 241534,8) = 50440,45

h = 347662,1

Untuk t= 4 ; p = 236538,2


K1 = ( ) = = 49633,37

K2 = (

) = = 57202,32

K3 = = f(5,293745,5) = 58276,44

K4 = = f (6, 353091,1) = 65859,18

h =347662,1

Untuk t= 6 ; p = 347662,1

K1 = ( ) = = 65224,05

K2 = (

) = = 72074,55

K3 = = f(7, 419736,6) = 72695,31

K4 = = f (8, 493052,7) = 78163,38

h =488313,9

Untuk t= 8 ; p = 488313,9

K1 = ( ) = = 77874,94

K2 = (

) = = 81475,84

K3 = = f(9, 569789,7) = 81583,66

K4 = = f (10, 651481,2) = 82636,32

h =648483,3

Untuk t= 10 ; p = 648483,3


K1 = ( ) = = 82644,8

K2 = (

) = = 81092,62

K3 = = f(11, 729575,9) = 81146,95

K4 = = f (12, 810777,2) = 77011,32

h = 809576,9

Untuk t= 12 ; p = 809576,9

K1 = ( ) = = 77091,65

K2 = (

) = = 70761,73

K3 = = f(13, 880338,6) = 71371,05

K4 = = f (14, 952319) = 63497,01

h = 951975,1

Untuk t= 14 ; p = 951975,1

K1 = ( ) = = 63539,56

K2 = (

) = = 54875,43

K3 = = f(15, 1006851 ) = 56151,95

K4 = = f (16, 1064279) = 47130,75

h = 951975,1

Untuk t= 16 ; p = 1063909


K1 = ( ) = = 47193,09

K2 = (

) = = 38799,22

K3 = = f(17, 1102708) = 40357,31

K4 = = f (18, 1144624) = 32295,87

h = 1144016

Untuk t= 18 ; p = 1144016

K1 = ( ) = = 32417,75

K2 = (

) = = 25708,9

K3 = = f(19, 1169725) = 27131,79

K4 = = f (20, 1198280) = 20950,82

h =1197603

y = 63223x + 135361 R² = 0.9879

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1400000

0 5 10 15 20

Ko

nse

ntr

asi o

rgan

ism

e

Jumlah hari pertumbuhan

Pertumbuhan Mikroba dengan Metode Runge-Kutta Orde 4

Series1

Linear (Series1)


Soal 3. Studi Kasus Perhitungan: Kuantitas Panas

Ulangilah Studi kasus 15.2 halaman 549 (Bab 15, Chapra-Raymond versi bahasa).

1. Tunjukkan dengan proses perhitungan sampai mendapatkan error yang sekecil-kecilnya dari

kuantitas panas yang diperlukan dalam rentang suhu tertentu (lihat tabel) dan mulai ukuran

segmentasi h berapakah untuk mendapatkan % error dibawah 0,01%. Perhitungan error

didasarkan pada hasil perhitungan analitisnya (hasil sebenarnya). Boleh menggunakan excel,

atau program lainnya untuk membantu perhitungan.

2. Gambarkan/sketch dalam diagram x-y untuk menunjukkan perhitungan integrasinya antara %

error dengan step langkah.

Tabel Rentang suhu Perhitungan Panas sensible

No.kode Suhu awal, oC Suhu akhir,

oC

A1 -100 0

A2 -75 25

A3 -50 50

A4 -25 75

A5 0 100

A6 25 125

A7 50 150

A8 75 175

A9 100 200

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal ini, dapat digunakan analogi yang sama seperti pada soal 1. Dari Studi

Kasus 15.2, diketahui panas yang diperlukan dihitung dengan rumus

(3.1)

Kapasitas panas suatu materi dapat bertambah terhadap suhu sesuai dengan hubungan

(3.2)

Dalam keadaan ini, Anda diminta untuk menghitung panas yang diperlukan guna menaikkan

suhu 1.000 gram materi dari -50oC sampai 50

oC. Persamaan di atas memberikan suatu cara untuk

menghitung harga rata-rata

∫

(3.3)

yang dapat dimasukkan ke dalam persamaan (3.1) sehingga


∫

(3.4)

a. Perhitungan integrasi secara analitis

∫

Rentang suhu antara -50oC sampai 50

oC (b = 50; a = -50)

∫

b. Perhitungan dengan metode numerik

1. n (segmen) = 5; h = 20

di mana nilai c(T) adalah f(xi)

xi f(xi) 2f(xi)

-50 0.12486 0.24972

-30 0.12756 0.25512

-10 0.13047 0.26093

10 0.13359 0.26717

30 0.13692 0.27384

50 0.14046 0.28092

∑


Persen error perhitungan di atas adalah

|

|

|

|

2. n (segmen) = 10; h = 10


xi f(xi) 2f(xi)

-50 0.12486 0.24972

-40 0.12618 0.25236

-30 0.12756 0.25512

-20 0.12899 0.25797

-10 0.13047 0.26093

0 0.132 0.264

10 0.13359 0.26717

20 0.13523 0.27045

30 0.13692 0.27384

40 0.13866 0.27732

50 0.14046 0.28092

∑



|

|

|

|

3. n (segmen) = 20; h = 5


xi f(xi) 2f(xi)

-50 0.12486 0.24972

-45 0.12551 0.25103

-40 0.12618 0.25236

-35 0.12686 0.25373

-30 0.12756 0.25512

-25 0.12827 0.25653

-20 0.12899 0.25797

-15 0.12972 0.25944

-10 0.13047 0.26093

-5 0.13123 0.26245

0 0.132 0.264

5 0.13279 0.26557

10 0.13359 0.26717

15 0.1344 0.2688

20 0.13523 0.27045

25 0.13607 0.27213

30 0.13692 0.27384

35 0.13778 0.27557

40 0.13866 0.27732

45 0.13955 0.27911

50 0.14046 0.28092

∑


|

|

|

|


4. (segmen) = 50; h = 2


xi f(xi) 2f(xi)

-50 0.12486 0.24972

-48 0.12512 0.25024

-46 0.12538 0.25077

-44 0.12565 0.25129

-42 0.12591 0.25183

-40 0.12618 0.25236

-38 0.12645 0.25291

-36 0.12673 0.25345

-34 0.127 0.254

-32 0.12728 0.25456

-30 0.12756 0.25512

-28 0.12784 0.25568

-26 0.12812 0.25624

-24 0.12841 0.25682

-22 0.1287 0.25739

-20 0.12899 0.25797

-18 0.12928 0.25856

-16 0.12957 0.25914

-14 0.12987 0.25974

-12 0.13017 0.26033

-10 0.13047 0.26093

-8 0.13077 0.26154

-6 0.13107 0.26215

-4 0.13138 0.26276

-2 0.13169 0.26338

0 0.132 0.264

2 0.13231 0.26463

4 0.13263 0.26526

6 0.13295 0.26589

8 0.13326 0.26653

10 0.13359 0.26717

12 0.13391 0.26782

14 0.13424 0.26847

16 0.13456 0.26913

18 0.13489 0.26979

20 0.13523 0.27045

22 0.13556 0.27112

24 0.1359 0.27179

26 0.13623 0.27247

28 0.13657 0.27315

30 0.13692 0.27384

32 0.13726 0.27452

34 0.13761 0.27522

36 0.13796 0.27592

38 0.13831 0.27662

40 0.13866 0.27732

42 0.13902 0.27804

44 0.13938 0.27875

46 0.13973 0.27947

48 0.1401 0.28019

50 0.14046 0.28092

∑


|

|

|

|


5. n (segmen) = 100; h = 1


xi f(xi) 2f(xi)

-50 0.12486 0.24972

-49 0.12499 0.24998

-48 0.12512 0.25024

-47 0.12525 0.2505

-46 0.12538 0.25077

-45 0.12551 0.25103

-44 0.12565 0.25129

-43 0.12578 0.25156

-42 0.12591 0.25183

-41 0.12605 0.2521

-40 0.12618 0.25236

-39 0.12632 0.25264

-38 0.12645 0.25291

-37 0.12659 0.25318

-36 0.12673 0.25345

-35 0.12686 0.25373

-34 0.127 0.254

-33 0.12714 0.25428

-32 0.12728 0.25456

-31 0.12742 0.25484

-30 0.12756 0.25512

-29 0.1277 0.2554

-28 0.12784 0.25568

-27 0.12798 0.25596

-26 0.12812 0.25624

-25 0.12827 0.25653

-24 0.12841 0.25682

-23 0.12855 0.2571

-22 0.1287 0.25739

-21 0.12884 0.25768

-20 0.12899 0.25797

-19 0.12913 0.25826

-18 0.12928 0.25856

-17 0.12942 0.25885

-16 0.12957 0.25914

-15 0.12972 0.25944

-14 0.12987 0.25974

-13 0.13002 0.26003

-12 0.13017 0.26033

-11 0.13032 0.26063

-10 0.13047 0.26093

-9 0.13062 0.26123

-8 0.13077 0.26154

-7 0.13092 0.26184

-6 0.13107 0.26215

-5 0.13123 0.26245

-4 0.13138 0.26276

-3 0.13153 0.26307

-2 0.13169 0.26338

-1 0.13184 0.26369

0 0.132 0.264

1 0.13216 0.26431

2 0.13231 0.26463

3 0.13247 0.26494

4 0.13263 0.26526

5 0.13279 0.26557

6 0.13295 0.26589

7 0.1331 0.26621

8 0.13326 0.26653

9 0.13343 0.26685

10 0.13359 0.26717

11 0.13375 0.2675

12 0.13391 0.26782

13 0.13407 0.26815

14 0.13424 0.26847

15 0.1344 0.2688

16 0.13456 0.26913

17 0.13473 0.26946

18 0.13489 0.26979

19 0.13506 0.27012

20 0.13523 0.27045

21 0.13539 0.27078

22 0.13556 0.27112

23 0.13573 0.27146

24 0.1359 0.27179

25 0.13607 0.27213

26 0.13623 0.27247

27 0.1364 0.27281

28 0.13657 0.27315

29 0.13675 0.27349

30 0.13692 0.27384

31 0.13709 0.27418

32 0.13726 0.27452

33 0.13744 0.27487

34 0.13761 0.27522

35 0.13778 0.27557

36 0.13796 0.27592

37 0.13813 0.27627

38 0.13831 0.27662

39 0.13849 0.27697

40 0.13866 0.27732

41 0.13884 0.27768

42 0.13902 0.27804

43 0.1392 0.27839

44 0.13938 0.27875

45 0.13955 0.27911

46 0.13973 0.27947

47 0.13992 0.27983

48 0.1401 0.28019

49 0.14028 0.28056

50 0.14046 0.28092


∑


|

|

|

|

Karena tabelnya sangat panjang, untuk perhitungan selanjutnya tabel perhitungan dari Microsoft

Excel tidak dicantumkan.

Untuk n = 500; h = 0,2; I = 13246,972;

Untuk n = 1000; h = 0,1; I = 13234,486;

Untuk n = 2000; h = 0,05; I = 13228,243;

Untuk n = 10000; h = 0,01; I = 13223,2486;

Jadi, untuk mendapatkan persen error di bawah 0,01% diperlukan segmentasi h mulai dari 0,01

dengan persen kesalahan 0,009%.


Seperti yang terlihat dari grafik, hubungan antara step yang diambil dengan persen error

berbanding lurus, di mana semakin besar step size yang diambil maka persentase error akan

semakin besar, begitupun sebaliknya.

0.009 0.04 0.09 0.19 0.94

1.89

4.72

9.45

18.9

y = 0.9452x - 0.0031 R² = 1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 5 10 15 20 25

Pe

rse

n E

rro

r

Step yang diambil

Hubungan antara persen error dan step yang diambil

Series1

Linear (Series1)


1

0.144 0.5381

0.077 0.077

1 0.12

X

X

X

X

1/ 2

T 1/ 2

0.285 0.154 0.077 0.0775.92

1 0.12 1 0.12-r'3.534 1.9096 0.077 0.077

1 1 1.111 0.12 1 0.12

X X

X X

X X

X X

Soal 4.

Bila laju reaksi dari soal 1 berikut

, mol/g.jam

Dan terdapat hubungan antara tekanan oksigen (Po2) dengan konversi oksigen (X)

diformulasikan sebagai

2 2

o

O O

1P P

1

X To

X T

Bila laju reaksi oksigen dalam soal pertama, –r = -dPo2/dt = -Poo2 dX/dt, dengan initial condition

X=0 atau Poo2 = 0,144 atm, pada saat t = 0 detik. Dapatkah anda dengan menggunakan

perhitungan metode numerik, membuat hubungan antara Konversi X dan tekanan oksigen (Po2)

vs rentang waktu jam.

Penyelesaian:

Tugas Komputasi Numerik.pdf

Documents

Transcript of Tugas Komputasi Numerik.pdf