Integrasi Numerik.pdf
Transcript of Integrasi Numerik.pdf
INTEGRASI NUMERIK
INTEGRASI NUMERIK
Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan(derivative)Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.
INTEGRASI NUMERIKFungsi yang dapat dihitung integralnya :
Fungsi yang rumit misal :
Cxxxdxx
Cxdxx
Cbaadxbax
Cbaadxbax
Caedxe
Cnaxdxax
axax
nn
+−=
+=
++=+
++−=+
+=
++
=
∫∫
∫∫
∫
∫+
||ln||ln
||ln1
)sin(1)cos(
)cos(1)sin(
1
1
dxexx x5.0
2
0
23
sin5.01)1cos(2
∫ +++
INTEGRASI NUMERIK
Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan. digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x. Penerapan integral : menghitung luas dan volume-volume benda putar
Dasar Pengintegralan NumerikDasar Pengintegralan NumerikPenjumlahan berbobot dari nilai fungsi
)(...)()(
)()(
1100
0
nn
i
n
ii
b
a
xfcxfcxfc
xfcdxxf
+++=
≈∑∫=
x0 x1 xnxn-1
f(x)
x
Dasar Pengintegralan NumerikDasar Pengintegralan NumerikMelakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.
Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak.
0
2
4
6
8
10
12
3 5 7 9 11 13 15
Dasar Pengintegralan NumerikDasar Pengintegralan Numerik
Formula Newton-Cotes
- Berdasarkan pada
dxxfdxxfIb
a n
b
a ∫∫ ≅= )()(
Nilai hampiran f(x) dengan polinomial
nn
1n1n10n xaxaxaaxf ++++= −
−Λ)(
fn (x) bisa fungsi linearfn (x) bisa fungsi kuadrat
fn (x) bisa juga fungsi kubik ataupolinomial yang lebih tinggi
Polinomial dapat didasarkan pada data
INTEGRASI NUMERIK
Luas daerah yang diarsir L dapatdihitung dengan :L =
( )∫b
adxxf
Metode Integral Reimann
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35
Metode Integral Reimann
Luasan yang dibatasi y = f(x) dansumbu x Luasan dibagi menjadi N bagian padarange x = [a,b]Kemudian dihitung Li : luas setiappersegi panjang dimana Li=f(xi). ix∆
Metode Integral Reimann
Luas keseluruhan adalah jumlah Li dandituliskan :
DimanaDidapat
( ) ( ) ( ) ( )
( ) i
n
ii
n
n
xxf
xxfxxfxxfxxfLLLLL
∆=
∆++∆+∆+∆=++++=
∑=0
3221100
210
.....
( ) ( )∑∫=
=n
ii
b
axfhdxxf
0
hxxxx n =∆==∆=∆=∆ ...210
∫1
0
2 dxxL =Contoh
Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x untuk range x = [0,1]
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x**2
ContohDengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :
Secara kalkulus :
Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333= 0,052
( )( )( ) 385,085,31.0
00.181.064.049.036.025.016.009.004.001.001.0
)(.10
0
==++++++++++=
= ∑=i
ixfhL
.....3333,0|31 1
03
1
0
2 === ∫ xdxxL
Algoritma Metode Integral Reimann:
Definisikan fungsi f(x)Tentukan batas bawah dan batas ata integrasiTentukan jumlah pembagi area NHitung h=(b-a)/NHitung
∑=
=N
iixfhL
0)(.
Metode Integrasi TrapezoidaAproksimasi garis lurus (linier)
[ ])()(
)()()()(
10
1100i
1
0ii
b
a
xfxf2h
xfcxfcxfcdxxf
+=
+=≈ ∑∫=
x0 x1
f(x)
L(x)
x
AturanAturan KomposisiKomposisiTrapesiumTrapesium
[ ] [ ] [ ]
[ ])()()()()(
)()()()()()(
)()()()(
n1ni10
n1n2110
x
x
x
x
x
x
b
a
xfxf2x2fxf2xf2h
xfxf2hxfxf
2hxfxf
2h
dxxfdxxfdxxfdxxf n
1n
2
1
1
0
++++++=
++++++=
+++=
−
−
∫∫∫∫−
ΛΛ
Λ
ΛΛ
x0 x1
f(x)
xx2h h x3h h x4
nabh −
=
Metode IntegrasiTrapezoida
( ) ( )( )
( ) iiii
iiii
xffL
atau
xxfxfL
∆+=
∆+=
+
+
.21
.21
1
1
∑−
==
1
0
η
iiLL
( ) ( )nn
n
iii fffffhffhL +++++=+= −
−
=+∑ 1210
1
01 2...22
221
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= ∑
−
=n
n
ii fffhL
1
10 2
2
Algoritma Metode Integrasi Trapezoida
Definisikan y=f(x)Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)Tentukan jumlah pembagi nHitung h=(b-a)/nHitung
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= ∑
−
=n
n
ii fffhL
1
10 2
2
AturanAturan Simpson 1/3Simpson 1/3
Aproksimasi dengan fungsi parabola
[ ])()()(
)()()()()(
210
221100i
2
0ii
b
a
xfxf4xf3h
xfcxfcxfcxfcdxxf
++=
++=≈ ∑∫=
x0 x1
f(x)
xx2h h
L(x)
AturanAturan Simpson 1/3Simpson 1/3
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇒=
=⇒=
−=⇒=
=−
=−
=
+===
−−−−
+
−−−−
+−−−−
=
1 xx0 xx
1 xxh
dxd h
xx 2
abh
2ba x bx ax let
xfxxxx
xxxx
xfxxxx
xxxx xfxxxx
xxxxxL
2
1
0
1
120
21202
10
12101
200
2010
21
ξξξ
ξξ ,,
,,
)())((
))((
)())((
))(()())((
))(()(
)()()()()()()( 212
0 xf2
1xf1xf2
1L ++−+
−=
ξξξξξξ
AturanAturan Simpson 1/3Simpson 1/3
)()()()()()()( 212
0 xf2
1xf1xf2
1L ++−+
−=
ξξξξξξ
1
1
23
2
1
1
3
1
1
1
23
0
1
12
1
0
21
1
10
1
1
)23
(2
)(
)3
()()23
(2
)(
)1(2
)()1)(
)1(2
)()()(
−
−−
−
−−
++
−+−=
++−+
−=≈
∫∫
∫∫∫
ξξhxf
ξξhxfξξhxf
dξξξhxfdξξ(hxf
dξξξhxfdξLhdxxfb
aξ
[ ])()()()( 210
b
axfxf4xf
3hdxxf ++=∫
AturanAturan KomposisiKomposisiSimpsonSimpson
x0 x2
f(x)
x4h h xn-2h xn
nabh −
=
…...
hx3x1 xn-1x
Metode Integrasi SimpsonDengan menggunakan aturan simpson, luasdari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dansumbu X dapat dihitung sebagai berikut:
atau dapat dituliskan dengan:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnn ffhffhffhffhffhffhL ++++++++++++= −−− 11243322110 23
23
...23
23
23
23
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++= ∑∑ n
genapii
ganjilii ffffhL
0 24
3
N = 0 – n
L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln
Cara II (Buku Rinaldi Munir)
Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tsb
02
20002
2002 !2)()(
!2)()()( f
hhxxf
hxfxf
hhxxxf
hxxfxp ∆
−++=∆
−+∆+=
Cara II (Buku Rinaldi Munir)
Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]
02
00
02
00
02
2
2
3
0
2
0
200
22
2
2
3
0
2
0
2
00
2200
2
02
2
0
322
3422
44
68
242
|462
!2)(
)(
fhfhxhfL
fhhfhxhfL
fhh
hhf
hhxhfL
fhx
hxf
hxxfL
dxfhhxxf
hxfL
xdxpdxxfL
hxx
h
hh
∆+∆+=
∆⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+∆+=
∆⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+∆+=
∆⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+∆+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆
−+∆+=
==
==
∫
∫∫
Cara II (Buku Rinaldi Munir)
Mengingat
Maka selanjutnya
010 fff −=∆
)4(3
334
3
332
3222
)2(3
)(22
210
210
012010
012010
fffhL
fhfhfhL
fhfhfhhfhfxhfL
fffhffhxhfL
++=
++=
+−+−+=
+−+−+=
01201120102 2)()( ffffffffff +−=−−−=∆−∆=∆
AturanAturan Simpson 3/8Simpson 3/8Aproksimasi dengan fungsi kubik
[ ])()()()(
)()()()()()(
3210
33221100i
3
0ii
b
a
xfxf3xf3xf8h3
xfcxfcxfcxfcxfcdxxf
+++=
+++=≈ ∑∫=
x0 x1
f(x)
xx2h h
L(x)
x3h
AturanAturan Simpson 3/8Simpson 3/8
)())()((
))()(()())()((
))()((
)())()((
))()(()())()((
))()(()(
3231303
2102
321202
310
1312101
3200
302010
321
xfxxxxxx
xxxxxxxfxxxxxx
xxxxxx
xfxxxxxx
xxxxxxxfxxxxxx
xxxxxxxL
−−−−−−
+−−−
−−−+
−−−−−−
+−−−
−−−=
[ ])()()()( 3210
b
a
b
a
xfxf3xf3xf8h3
3abh ;L(x)dxf(x)dx
+++=
−=≈ ∫∫
Error Pemenggalan
3abh ;f
6480abfh
803E 4
545
t−
=−
−=−= )()()( )()( ξξ
Metode Integrasi Gauss
Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) berdasarkan titik2 data diskrit. Dengan batasan :
H samaLuas dihitung dari a sampai b
Mengakibatkan error yang dihasilkancukup besar.
Metode Integrasi GaussMisal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang[-1,1]
Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)
Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 menjadi m. trapezoidaKarena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilaitersebut sehingga error integrasinya min
( )
2
)1()1()1()1(2
)(1
1
=
−+≈−+≈= ∫−
h
ffffhdxxfI
)()()( 2211
1
1
xfcxfcdxxfI +≈= ∫−
Metode Integrasi GaussBagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah inidianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikutdijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3
)()()( 2211
1
1
xfcxfcdxxfI +≈= ∫−
0
32
0
21
1
1
3322
311
1
1
2222
211
1
12211
1
121
==+
==+
==+
==+
∫
∫
∫
∫
−
−
−
−
dxxxcxc
dxxxcxc
dxxxcxc
dxcc
Didapat
31
31
1
21
21
−==
==
xx
cc
Metode Integrasi Gauss
Persamaan dibawah ini dinamakanmetode Gauss Legendre 2 titik
)31()
31()(
1
1
−+=∫
−
ffdxxf
Transformasi
Range [a,b] [-1,1] X u f(x) g(u) dx du
∫=b
ai dxxfL )( ∫
−
=1
1)( duugLi
Transformasi
duabdx
uabbax
aububax
aabuxabuax
uabax
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
−++=
−++=
+++=++=−
+=
−−
2
2)()(
2
2))(1(2))(1(22
21
a x b
-1 u 1
Transformasi
duuabbafabduug ∫∫−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++
−=1
1
1
1 2)()()(
21)(
∫−
=1
1
)( duugLi
( ))()()(21)( 2
121 abuabfabug ++−−=
AnalisaDibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisiendalam operasi aritmatika, karena hanyamembutuhkan dua buah evaluasi fungsi. Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebihdahulu menjadi
∫−
1
1
)( duug
Algoritma Integrasi KuadraturGauss dengan Pendekatan 2 titik
Definisikan fungsi f(x)Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)Hitung nilai konversi variabel :
Tentukan fungsi g(u) dengan:
Hitung
( ) )(21
21 abuabx ++−=
( ))()()(21)( 2
121 abuabfabug ++−−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
31
31 ggL
Contoh Soal
Metode Gauss Legendre 3 Titik
Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari denganmembuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilaitepat untuk 6 buah fungsi berikut :
Dengan cara yang sama didapat
)()()()( 332211
1
1
xfcxfcxfcdxxfI ++≈= ∫−
543
2
)(;)(;)()(;)(;1)(
xxfxxfxxfxxfxxfxf===
===
95;
98;
95
321 === ccc
53;0;53 321 ==−= xxx
Metode Gauss Legendre 3 Titik
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=∫
− 53
950
98
53
95)(
1
1
gggduug
Algoritma Metode Integrasi Gauss Dengan Pendekatan 3 Titik
Metode Gauss n-Titik
Beberapa Penerapan IntegrasiNumerik
Menghitung Luas DaerahBerdasarkan GambarMenghitung Luas dan Volume Benda Putar
Menghitung Luas DaerahBerdasarkan Gambar
Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandaiatau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnyaadalah 100.000 mm atau 100 m.Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam halini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:
Skala 1:100000
0 105
6
3
15
9
Menghitung Luas DaerahBerdasarkan Gambar
Dari tabel di atas, luas area dapat dihitungdengan menggunakan 3 macam metode:Dengan menggunakan metode integrasi Reimann
Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida
Dengan menggunakan metode integrasi Simpson
5.7316
0== ∑
=iiyhL
5.7322
15
1160 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= ∑
=iiyyyhL
74243 160 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++= ∑∑
== genapii
ganjilii yyyyhL
Menghitung Luas dan Volume Benda Putar
Luas benda putar:
Volume benda putar:
∫=b
ap dxxfL )(2π
[ ]∫=b
ap dxxfV 2)(π
Contoh :
Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian
bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perludihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya, bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.
Bagian I:
Bagian II:
4 cm
6cm
7 cm
12 cm
7 cm
5 cm
I II III IV
satuan dalam cm
ππ 56)7)(4(2 ==IL
ππ 196)7)(4( 2 ==IV
( ) ππ 288)12(122 ==IIL
( )( ) ππ 345612122 2 ==IIV
Contoh :Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagianarea , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:
Pada bagian II dan IV: danDengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:
ππ 10822
2)(4
150 =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++= ∑
=iiIVII yyyhLL
( ) ππ 5.118722
4
1
225
20 =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++== ∑
=iiIVII yyyhVV
IVII LL = IVII VV =
Contoh :Luas permukaan dari botol adalah:
Luas = 1758.4 cm2Volume botol adalah:
Volume = 18924.78 cm3
4.1758560
10828810856
==
+++=+++=
πππππ
IVIIIIII LLLLL
πππππ
60245.118734565.1187196
=+++=
+++= IVIIIIII VVVVV