MODUL PRAKTIKUM METODE NUMERIK.pdf

1

MODUL PRAKTIKUM

METODE NUMERIK

DOSEN PENGAMPU :

FERRY WAHYU WIBOWO, S.Si., M.Cs.

JURUSAN S1 TEKNIK INFORMATIKA

STMIK AMIKOM YOGYAKARTA

YOGYAKARTA

2011

S1 Teknik Informatika Praktikum Metode Numerik

i

Format Laporan Praktikum

Metode Numerik

1. Laporan praktikum ditulis tangan, tidak diperkenankan dicetak printer.

Sistematika laporan praktikum mengikuti alur seperti berikut :

LAPORAN PRAKTIKUM

SAMPUL MUKA WARNA UNGU ................................................... i

BAB I PENDAHULUAN …………………………………………..... 1

( Latar Belakang, Tujuan dan Manfaat)

BAB II TEORI SINGKAT …………………........................................

BAB III METODOLOGI PENELITIAN ……......................................

BAB IV ANALISA DAN PEMBAHASAN..........................................

BAB V KESIMPULAN ........................................................................

DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………….....

LAMPIRAN HASIL PRAKTIKUM YANG DITANDATANGANI ....

2. Sampul laporan praktikum berwarna ungu dan dicetak printer. Logo Amikom

berukuran 5,5x5,5 cm.

3. Laporan praktikum menggunakan ukuran kertas A4.

4. Lampiran hasil praktikum merupakan hasil praktikum asli yang telah

ditandatangani praktikan dan asisten praktikum, jika tidak sesuai dengan yang

ditentukan maka laporan tidak akan dinilai.

5. Penjelasan dari bab-bab tersebut sebagai berikut :

PENDAHULUAN

Pendahuluan menyediakan sebuah penilaian (assesment) kritis pada rujukan-

rujukan terkait dengan permasalahan yang sedang dilakukan dan memberikan

inspirasi bagaimana permasalahan tersebut diselesaikan. Tempatkan tujuan dan

manfaat penelitian secara jelas untuk menerangkan praktikum yang dilakukan.

TEORI SINGKAT

Teori singkat meliputi bahan dan penelitian dari eksperimental yang

dilakukan bisa merujuk ke buku, jurnal, dan paper lainnya. Pada bagian ini perlu

dijelaskan informasi dari orang yang melakukan, dengan penulisan nama orang

disertai tahun buku / jurnal rujukan dari daftar pustaka. Metode yang sudah

dipublikasikan oleh peneliti lain seharusnya cukup ditunjukkan dengan referensi,

sedangkan yang perlu dijabarkan secara lengkap hanya modifikasi terkait.

METODOLOGI PENELITIAN

Penulisan metode / demo program dituliskan semua alat (hardware) /

program (software) yang digunakan, langkah-langkah untuk memulai sampai

mendapatkan hasil. Bab ini bisa menggunakan penjelasan gambar.

ANALISA dan PEMBAHASAN

Teks rumus dan persamaan seharusnya ditulis dalam satuan internasional

(SI), kalaupun ada yang ditulis dalam satuan lokal misalnya British Standard atau

American Standard hendaknya dituliskan juga faktor konversinya.

Pembahasan seharusnya jelas (clear) dan ringkas (concise). Pembahasan

seharusnya mengembangkan penjelasan yang meyakinkan (cogent explanations)

dan mengeksplorasi signifikansinya. Dalam kasus studi komputasional, jika


ii

mungkin hasil seharusnya dibandingkan dengan informasi yang dapat digunakan

dari kerja eksperimental yang sudah dipublikasikan atau yang sudah diterbitkan.

Rumus matematika ditulis dan dipilih rumus matematika yang sederhana.

Teks yang memiliki banyak rumus matematika, masing-masing rumus perlu

diberi penomoran di sebelah kanannya.

2/bac XXX (1)

6543210 22

fffffffh

dxxf (2)

Penulisan tabel dan gambar

Tabel 1. Penulisan dalam Tabel

No Variabel Data

(satuan)

Data

(satuan)

1 Komputer 1 buah 2,0 GHZ

2 Motherboard 1 buah 31 kbps

3 Monitor 1 buah 50 Hz

Gambar 1. Kotak dalam Makalah

(Sumber gambar, jika mengambil dari karya orang lain)

KESIMPULAN

Kesimpulan utama dihadirkan secara ringkas.

DAFTAR PUSTAKA

Daftar pustaka yang dirujuk semua dituliskan dalam daftar pustaka. Hindari

rujukan dari wikipedia dan blog yang tak jelas pertanggungjawaban

ilmiahnya!!!

Contoh Penulisan Daftar Pustaka :

G. Eason, B. Noble, and I. N. Sneddon, “On certain integrals of Lipschitz-

Hankel type involving products of Bessel functions,” Phil. Trans. Roy.

Soc. London, vol. A247, pp. 529–551, April 1955.

J. Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, 3rd ed., vol. 2.

Oxford: Clarendon, 1892, pp.68–73.

I. S. Jacobs and C. P. Bean, “Fine particles, thin films and exchange

anisotropy,” in Magnetism, vol. III, G. T. Rado and H. Suhl, Eds. New

York: Academic, 1963, pp. 271–350.

K. Elissa, “Title of paper if known,” unpublished.


iii

R. Nicole, “Title of paper with only first word capitalized,” J. Name Stand.

Abbrev., in press.

Y. Yorozu, M. Hirano, K. Oka, and Y. Tagawa, “Electron spectroscopy studies

on magneto-optical media and plastic substrate interface,” IEEE Transl. J.

Magn. Japan, vol. 2, pp. 740–741, August 1987 [Digests 9th Annual Conf.

Magnetics Japan, p. 301, 1982].

Sampul kulit menggunakan format :

LAPORAN PRAKTIKUM

METODE NUMERIK

(TULISKAN JUDUL PRAKTIKUM )

Disusun oleh :

Nama : (Nama Praktikan)

NIM / Kelas : (NIM / Kelas Praktikan)

Nama Asisten : 1. Asisten Praktikum 1

2. Asisten Praktikum 2

3. Asisten Praktikum 3

JURUSAN S1 TEKNIK INFORMATIKA

STMIK AMIKOM YOGYAKARTA

YOGYAKARTA

2011

1

MODUL I

PENGENALAN SCILAB

1. Struktur SciLab

Program Scilab sudah memiliki text editor didalamnya. Perintah/kode progam

Scilab dapat dituliskan di dalam jendela Scilab Execution (Scilex) ataupun di jendela

SciNotes (text editor Scilab). Namun untuk praktikum Metode Numerik ini, program

dituliskan pada SciNotes.

2. Ekstensi File

File program Scilab memiliki ekstensi *.sce. File ini masih dalam bentuk text

format. Untuk mengeksekusi file *.sce, pertama kali file tersebut dibuka di dalam

Scilab. Kemudian dieksekusi (ctrl + l).

3. Perintah SciLab

3.1. Vektor

Cara untuk membuat vektor dalam Scilab sebagaimana berikut : (vektor disebut

juga dengan array satu dimensi) x=[0;2;5]

3.2. Matriks

Cara untuk membuat matriks dalam Scilab sebagaimana berikut : (matriks disebut

juga array dua dimensi)

A=

872

150

634

Perintah pada SciLab sebagaimana berikut : A=[4 -3 6;0,5,1;-2 7 8]

3.3. Vektor Otomatis

Cara menciptakan vector secara otomatis dari 1 hingga 9 dengan faktor kenaikan

sebesar 0.1. B = 1:0.1:9

3.4. Menjalankan Function pada Vektor

Vektor dapat diberlakukan suatu function secara bersamaan dengan perintah : C = sin(B)

3.5. Membuat Plot dari Vektor

Dua vektor B dan C dapat dibuat plot B versus C dengan perintah : plot2d(B,C)

3.6. Matriks Bilangan Random

Cara membuat matriks m x n yang berisi bilangan random sebagaimana berikut : rand(n,m)

3.7. Loops dan Condition

Looping dan condition di dalam Scilab sebagaimana berikut :


2

ans = 0; n = 1; term = 1;

while( ans + term ~= ans )

ans = ans + term;

term = term*x/n;

n = n + 1;

end

ans

kemudian dijalankan perintah sebagaimana berikut : x = 1.0

exec('(lokasi folder penyimpan)\ex.sci')

Selain itu : for j=-4:2:6

disp(j**2)

end

Hasilnya adalah : 16, 4, 0, 4, 16, 36

3.8. Pernyataan IF

Pernyataan IF di dalam Scilab sebagaimana berikut : if <ungkapan> then

<pernyataan>

else if <ungkapan> then

<pernyataan>

else

<pernyataan>

end

3.9. Function

Contoh function pada Scilab : function y = ex(x)

// EX fungsi sederhana untuk menghitung exp(x)

y = 0; n = 1; term = 1;

while( y + term ~= y )

y = y + term;

term = term*x/n;

n = n + 1;

end

endfunction

cara menjalankan : exec(‘(lokasi folder penyimpan)\ex.sci’)

ex(1.0)

3.10. Grafik dua dimensi

Program plot sederhana :

// inisialisasi sumbu x

x=[0:0.1:2*%pi]';

//plot sederhana

y1=sin(x);

y2=cos(x);

plot2d([x x],[y1 y2], [-4, -8])


3

xtitle("gambar gabungan sin_x dan cos_x","sumbu

x","sumbu y")

Program subplot :

// Program visualisasi dengan subplot

x=[0:0.1:2*%pi]';

//persamaannya:

y1=sin(x);

y2=cos(x);

subplot(1,2,1)

plot2d(x,y1)

xtitle('gambar 1','x','y1')

subplot(1,2,2)

plot2d(x,y2)

xtitle('gambar 2','x','y2')

3.11. Grafik tiga dimensi

Program menggunakan meshgrid :

x=-1:0.05:1;

y=x;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

zz=(yy.^2)-(xx.^2);

mesh(xx,yy,zz)

Program menggunakan surf :

x=-1:0.05:1;

y=x;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

zz=(yy.^2)-(xx.^2);

surf(xx,yy,zz)

Program plot3d1 dan contour :

clf

x=linspace(0,2*%pi,50); y=x;

z=cos(x')*cos(y);

subplot(2,1,1)

plot3d1(x,y,z)

subplot(2,1,2)

contour(x,y,z,10)

xtitle ('dengan contour','x','y')

Tugas

1. Amati fitur-fitur yang ada dalam scilab.

2. Analisa setiap program scilab yang dikerjakan.

4

MODUL II

PENYELESAIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KARAKTERISTIK

Akar-akar persamaan karakteristik adalah penyelesaian dari suatu persamaan

polinomial. Polinomial tersebut berorde (berpangkat) 2 atau lebih, biasa disebut

dengan persamaan Non Linear. Untuk persamaan orde 2 atau tiga masih mudah untuk

menyelesaikan. Namun untuk persamaan berorde tinggi diperlukan metode numerik

untuk mempermudah pencarian akar persamaan tersebut.

Beberapa metode yang bisa digunakan akan dijelaskan di bawah ini :

1.METODE BISECTION

Metode Bisection digunakan untuk mencari akar persamaan non linear melalui

proses iterasi dengan persamaan :

2/bac XXX (2.1)

dimana nilai 0. ba XfXf (2.2)

Kelemahan metode ini adalah :

1. Jika akar persamaan lebih dari satu, maka nilai tersebut hanya bisa ditemukan

satu persatu/tidak bisa sekaligus.

2. Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner).

3. Proses iterasi tergolong lambat.

Berikut algoritma penyelesaian Metode Bisection :

1. Langkah pertama, menentukan dua nilai x (xa dan xb) sebagai nilai awal

perkiraan. Kedua nilai ini harus memenuhi syarat persamaan 2.2.

2. Langkah kedua, jika nilai awal telah didapatkan selanjutnya menentukan nilai

x (misal xc) baru menggunakan persamaan 2.1

3. Langkah ketiga, mencari nilai f(xc)

4. Langkah selanjutnya, melakukan langkah 2 dan 3 hingga didapatkan f(xc) = 0

atau mendekati 0.

Eksekusi program scilab untuk persamaan :

04011.688.9 10

1.68

c

ec

Program scilab :

1. Program persamaan non-linier function y=nonlin(c)

y=((9.8*68.1)/c)*(1-exp(-10*c/68.1))-40

endfunction

2. Program Bisection function akr=bisection(akper, ats, bwh)

fa=akper(ats);

fb=akper(bwh);

if fa*fb > 0,

break

end


5

tolr=1E-5; Ea=1.1*tolr;

Itr=0; Itmax=30;

while Ea>tolr & Itr<Itmax,

akr=(ats+bwh)/2;

Itr=Itr+1;

fr=akper(akr);

if fr*fa > 0 then ats=akr;

else bwh=akr;

end

Ea=abs(ats-bwh);

end

endfunction

3. Program Utama getf('c:/scinum/bisection.sci')

getf('c:/scinum/nonlin.sci')

x1=14

x2=16

xc=bisection(nonlin,x1,x2)

Contoh :

Carilah akar persamaan 173 xxxf

1. Langkah pertama, menentukan dua nilai x awal. Misal : xa = 2.6 dan xb = 2.5.

Kemudian cek apakah kedua nilai tersebut memenuhi syarat?

875.015.275.25.2

376.016.276.26.2

3

3

fxf

fxf

b

a

Karena f(xa).f(xb) < 0 maka kedua nilai perkiraan di atas benar.

2. Langkah kedua, mencari nilai xc

2/bac xxx atau 55.22/5.26.2 cx

dan

2686.0155.2755.255.23

fxf c

karena nilai f(xc) negatif maka f(xc) menggantikan f(xb).

3. Langkah ketiga, mencari nilai xd

575.22/55.26.2 dx

dan

04886.01575.27575.2575.23

fxf d

4. Langkah keempat, mencari nilai xe

5625.22/575.26.2 ex

dan

11108.015625.275625.25625.23

fxf e

5. Langkah berikutnya, ulangi langkah-langkah di atas hingga menemukan f(xn)

yang mendekati nol atau exfxf nn 1 . Sedangkan e dapat ditentukan

sendiri, misalnya Ex10-5

.

Tugas

1. Analisa eksekusi program scilab untuk metode bisection.


6

2. Buatlah program implementasi dari algoritma di atas! Hasil program di atas f(x)

tidak pernah nol bulat (-3,472 x 10-8

) dengan x = 2.571201.

3. Seorang peneliti mikroprosesor menemukan hubungan waktu kinerja panas (t)

dengan energi (E) yang dimiliki mikroprosesor tersebut dengan suatu persamaan

t=4E3+3E-2E

2. Berapakah energi yang diperlukan untuk membuat breakdown

dalam waktu nol.

2.METODE NEWTON-RAPHSON

Metode Newton-Raphson juga digunakan untuk menyelesaikan persamaan non

linear f(x). Rumus penyelesaian

n

l

nnn xfxfxx /1 (2.3)

Sedangkan persamaan non linear dapat diselesaikan jika memenuhi syarat

sebagaimana berikut :

1./. 1111 xfxfxfxf llll (2.4)

dimana x1 adalah titik awal yang ditentukan sebelum melakukan iterasi.

Keterbatasan dari metode ini adalah :

1. Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa titik penyelesaian, maka akar-akar

penyelesaian tersebut tidak dapat dicari secara bersamaan.

2. Tidak dapat mencari akar imajiner(kompleks).

3. Tidak dapat mencari akar persamaan yang tidak memenuhi syarat persamaan

2.4, meskipun sebenarnya persamaan memiliki akar persamaan.

4. Untuk persamaan yang sangat kompleks, pencarian turunan pertama dan

kedua sangatlah sulit.

Berikut algoritma Metode Newton-Raphson :

1. Mencari turunan pertama dan kedua dari persamaan yang ada.

2. Menentukan nilai x1 sebagai nilai perkiraan awal dan kemudian mengecek

apakah memenuhi persyaratan persamaan 2.4.

3. Jika memenuhi, maka iterasi dilakukan untuk mencari nilai xn.

4. Begitu seterusnya hingga antara xn-1-xn= 0 atau <= nilai e (error). Nilai error

ini dapat ditentukan sendiri.

Program Metode Newton-Raphson : function y=f(x)

y=2*x**3+x-1;

endfunction

function y=df(x)

y=6*x**2+1;

endfunction

function x=newtonraphson(x0, tol);

i=1;

ea(1)=100;

x(1)=x0;

while abs(ea(i))>=tol;

x(i+1)=x(i)-f(x(i))/df(x(i));

ea(i+1)=abs((x(i+1)-x(i))/x(i+1));


7

i=i+1;

end

printf(' i \t X(i) Error aprox (i) \n');

for j=1:i;

printf('%2d \t %11.7f \t %7.6f \n',j-1,x(j),ea(j));

end

endfunction

Contoh :

Carilah persamaan non linear di bawah ini dengan Metode Newton Raphson :

03 2 xexf x

1. Langkah pertama, mencari turunan persamaan tersebut

6

6

xll

xl

exf

xexf

2. Langkah kedua, menentukan nilai x1, misalnya x1= 1.

281718.361

281718.3161

281718.0131

3

3

23

ef

ef

ef

ll

l

jadi

1085845.0./. 1111 xfxfxfxf llll

karena syarat dipenuhi maka proses iterasi dapat dilanjutkan.

3. Langkah ketiga, melakukan iterasi persamaan 2.3 untuk mencari xn jika e (error)

= Ex10-7

.

0858845.0

9141155.0/

21

1112

xx

xfxfxx l

4. Langkah keempat, karena selisih x lebih besar dari e dan bukan 0 maka

0040975.0

910018.0/

32

2223

xx

xfxfxx l

Dan seterusnya hingga selisihnya sama dengan nol atau lebih kecil dari e.

Tugas

1. Analisa program Newton-Raphson yang telah dikerjakan.

2. Buatlah program yang menerapkan algoritma di atas. Jika jawaban benar maka

akar f(x) =0.9100076 atau mendekatinya.

3. Seorang ekonom menemukan bahwa hubungan permintaan (x) dengan besar

inflasi (y) adalah y=x4-9x

2+2x

-2. Tentukan jumlah permintaan yang menandakan

bahwa inflasi sebesar nol! (error = 0.01).

8

MODUL III

PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SERENTAK

Persamaan Linear serentak adalah suatu persamaan dengan variabel bebas, misalnya :

nn

nn

nn

xaxaxaxay

xaxaxaxay

xaxaxaxay

33332321313

23232221212

13132121111

...

...

...

Penyelesaian dari persamaan tersebut bisa menggunakan bantuan matriks. Namun

untuk ordo (jumlah variabel dan jumlah persamaan) yang tinggi, penyelesaian dapat

menggunakan nilai pendekatan. Oleh sebab itu, metode numerik bisa digunakan untuk

persamaan ini. Metode yang bisa dipakai akan dijelaskan di bawah ini.

1. METODE JACOBI

Metode iterasi Jacobi adalah metode penyelesaian persamaan serentak melalui

proses iterasi dengan menggunakan persamaan sebagaimana berikut :

n

j

n

jiiijiii

n xaaahx1

)(1

1 / (3.1)

dimana j <> i

Kelemahan dari metode ini adalah :

1. Jika ordo persamaan cukup tinggi maka konsumsi waktu untuk eksekusi program

menjadi lama.

2. Metode ini hanya bisa dipakai jika persamaan yang akan diselesaikan memenuhi

syarat persamaan berikut

n

j

ijii aa1

, Ni ,...,,2,1 (3.2)

dimana j <> I

Algoritma Metode Jacobi

1. Cek apakah susunan persamaan yang akan diselesaikan memenuhi syarat

persamaan 3.2. Jika ya, maka lanjut ke langkah kedua.

2. Menyusun matriks koefisien, matriks variabel, dan matriks hasil.

3. Langkah ketiga adalah menentukan titik variabel x awal kemudian melakukan

iterasi dengan persamaan 3.1 hingga didapatkan nilai variabel x yang tidak

berubah atau hampir tidak berubah dari iterasi yang sebelumnya.

Eksekusi program scilab dari persamaan berikut :

5x + y – 3z = -65

-x + 4y + 3z = 35

-3x – 5y + 2z = -40

Program scilab : //iterasi: metoda Jacobi

A=[5 1 -3;

-1 4 3;

-3 -5 2];

C=[-65;35;-40];


9

[m,m]=size(A);

Es=ones(m,1);

Er=Es;

Es=10D-7*Es;

Iter=1;

Itmax=30;

xhsl=zeros(m,1);

xaw=xhsl;

while Er>Es & Iter<Itmax,

for i=1:m

jum=C(i,1);

for j=1:m

if j<>i then

jum=jum-A(i,j)*xaw(j,1);

end

end

xhsl(i,1)=jum/A(i,i);

end

if Iter > 1 then

Er=abs((xhsl-xaw)./xaw);

end

xaw=xhsl

Iter=Iter+1

end

Contoh :

Carilah penyelesaian dari persamaan sebagaimana berikut :

88 321 xxx

427 321 xxx

1292 321 xxx

Langkah pertama, menyusun urutan persamaan sehingga memenuhi persyaratan pada

persamaan 3.2.

Urutannya sebagai berikut :

1. Persamaan 88 321 xxx diletakkan pada posisi paling pertama karena

koefisien a11 memiliki nilai paling besar. Kemudian posisi nomor dua adalah

persamaan 427 321 xxx karena koefisien a22 memiliki nilai paling besar

dari ketiga persamaan. Dan yang terakhir adalah persamaan 1292 321 xxx .

2. Langkah kedua, menyusun matriks koefisien, matriks variabel dan matriks hasil.

matriks koefisien :

A=

921

271

118

matriks variabel :

x=

3

2

1

x

x

x


10

matriks hasil :

h=

12

4

8

3. Langkah ketiga, menentukan titik awal variabel, misal diambil nilai awal dari x1,

x2, x3 = 0. Kemudian melakukan iterasi dengan persamaan 3.1 hingga nilai x1, x2,

x3 tidak berubah. Contoh iterasi pertama sebagai berikut :

1)00(8

8

8

8

1

3

11

13

2

11

12

1

x

xa

ax

a

ax

571.0)00(571.0

7

4

2

3

22

23

2

22

21

2

x

xa

ax

a

ax

333.1)00(333.1

9

12

3

2

33

32

1

33

31

3

x

xa

ax

a

ax

setelah dilanjutkan hingga iterasi ke 8 maka hasil dari x1, x2, x3 semuanya adalah

1.

Tugas

1. Analisa eksekusi program scilab yang telah dicoba.

2. Buatlah program yang mengimplementasikan algoritma di atas.

3. Seorang distributor komputer melakukan penjualan produknya yang dipengaruhi

oleh 3 faktor, yaitu x, y, dan z. Hasil dari penjualan tersebut memberikan 3 buah

persamaan sebagaimana berikut :

8686

1573

306104

zyx

zx

zyx

Tugas Anda sebagai programmer adalah membantu distributor tersebut dengan

membuatkan program untuk mencari nilai x, y, dan z. nilai error = 0.01

menggunakan Metode Jacobi.

2.METODE GAUSS SEIDEL

Metode Gauss Seidel digunakan untuk menyelesaikan persamaan serentak. Metode

ini lebih cepat dibandingkan dengan Metode Jacobi. Metode Gauss Seidel ini

menggunakan persamaan sebagaimana berikut :

N

ij

n

j

ii

iji

j

n

j

ii

ij

ii

in

i xa

ax

a

a

a

bx

1

)(1

1

11 (3.3)

dimana :

i = 1, 2,...N

n = 1, 2,...


11

Algoritma Gauss Seidel

1. Cek apakah susunan persamaan yang akan diselesaikan memenuhi syarat

persamaan 3.3. Jika ya, maka lanjut ke langkah kedua.

2. Menyusun matriks koefisien, matriks variabel, dan matriks hasil.

3. Menentukan titik variabel x awal kemudian melakukan iterasi dengan persamaan

3.3 hingga didapatkan nilai variabel x yang tidak berubah atau hampir tidak

berubah dari iterasi yang sebelumnya.

Eksekusi program scilab dari persamaan berikut :

5x + y – 3z = -65

-x + 4y + 3z = 35

-3x – 5y + 2z = -40

Program Scilab : //iterasi: metoda Gauss Seidel

A=[5 1 -3;

-1 4 3;

-3 -5 2];

C=[-65;35;-40];

[m,m]=size(A);

Es=ones(m,1);

Er=Es;

Es=10D-7*Es;

Iter=1;

Itmax=30;

xhsl=zeros(m,1);

xaw=xhsl;

while Er>Es & Iter<Itmax,

for i=1:m

jum=C(i,1);

for j=1:m

if j<>i then

jum=jum-A(i,j)*xhsl(j,1);

end

end

xhsl(i,1)=jum/A(i,i);

end

if Iter > 1 then

Er=abs((xhsl-xaw)./xaw);

end

xaw=xhsl

Iter=Iter+1

end

Contoh :

Carilah penyelesaian dari persamaan ini menggunakan metode Gauss Seidel :


12

1292

427

88

321

321

321

xxx

xxx

xxx

1. Langkah pertama, menyusun urutan persamaan sehingga memenuhi persyaratan

pada persamaan 3.2. Urutannya sebagai berikut :

persamaan 88 321 xxx diletakkan pada posisi paling pertama dikarenakan

koefisien a11 memiliki nilai paling besar. Kemudian posisi nomor dua adalah

persamaan 427 321 xxx dikarenakan koefisien a memiliki nilai paling

besar dari ketiga persamaan. Dan yang terakhir adalah persamaan

1292 321 xxx .

2. Langkah kedua, menyusun matriks koefisien, matriks variabel dan matriks hasil.

matriks koefisien :

A=

921

271

118

matriks variabel :

x=

3

2

1

x

x

x

matriks hasil :

h=

12

4

8

3. Langkah ketiga, menentukan titik awal misalnya : 0,, )1(

3

)1(

2

1

1 xxx kemudian

melakukan iterasi dengan persamaan 3.3, yaitu :

0

1

3

2

)(

11

11

11

1

11

1)2(

1

j j

n

j

jn

j

jx

a

ax

a

a

a

hx

)1(

3

11

13)1(

2

11

12

11

1)2(

1 0 xa

ax

a

a

a

hx

1)00(01)2(

1 x

1

1

3

3

)(

22

21

22

2

22

2)2(

2

j j

n

j

jn

j

jx

a

ax

a

a

a

hx

)1(

3

22

23)2(

1

22

21

22

2)2(

1 0 xa

ax

a

a

a

hx

7147.0)07/1(571.0)2(

2 x

2

1

3

4

)(

33

31

33

3

22

2)2(

3

j j

n

j

jn

j

jx

a

ax

a

a

a

hx

)2(

2

33

32)2(

1

33

31

33

3)2(

3 0 xa

ax

a

a

a

hx


13

032.1)9/714.09/2(333.1)2(

3 x

Setelah dilanjutkan sampai iterasi ke-N ditemukan hasil dari x1, x2, x3=1.

Tugas

1. Analisa eksekusi program scilab untuk metode Gauss Seidel yang telah dicoba.

2. Buatlah implementasi program dengan Scilab pada persoalan di atas.

3. Seorang distributor komputer melakukan penjualan produknya yang dipengaruhi

oleh 3 faktor, yaitu x, y, dan z. Hasil dari penjualan tersebut memberikan 3 buah

persamaan sebagaimana berikut :

8686

15753

306104

zyx

zyx

zyx

Tugas Anda sebagai programmer adalah membantu distributor tersebut dengan

membuatkan program untuk mencari nilai x, y, dan z. nilai error = 0.01

menggunakan Metode Gauss Seidel.

14

MODUL IV

PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINEAR SERENTAK

Persamaan Non Linear serentak adalah dua buah persamaan berordo (pangkat)

lebih dari satu. Masing-masing persamaan memiliki kaitan sehingga penyelesaian

persamaan satu dapat digunakan sebagai penyelesaian dalam persamaan yang lainnya.

Salah satu metode yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan non linear

serentak adalah Metode Newton Raphson.

METODE NEWTON RAPHSON

Metode Newton Raphson ini memiliki proses iterasi yang cepat. Namun hanya

terbatas pada persamaan berordo dua atau tiga. Untuk ordo yang lebih besar,

persoalan akan menjadi kompleks dikarenakan ada penghitungan determinan matriks

ordo tinggi.

Algoritma Newton Raphson

1. Menyelesaikan 2 persamaan Non Linear serentak menjadi :

F(x1,x2)=0 dan G(x1,x2)=0

2. Mencari nilai fungsi F(x1,x2), G(x1,x2) dan turunan fungsi tersebut terhadap

masing-masing variabelnya, yaitu dF/dx1, dF/dx2, dG/dx1, dG/dx2 pada titik awal

yang ditentukan yaitu 0

1x dan 0

2x .

3. Mencari nilai r1 dan s1 (r1 dan s1 adalah deviasi dari nilai x1 dan x2), dengan

aturan sebagaimana berikut :

21

21

221

221

1

//

//

/),(

/),(

dxdGdxdG

dxdFdxdF

dxdGxxG

dxdFxxF

r

21

21

211

211

1

//

//

),(/

),(/

dxdGdxdG

dxdFdxdF

xxGdxdG

xxFdxdF

s

kemudian dengan pendekatan didapatkan

1

0

2

1

2

1

0

1

1

1

sxx

rxx

4. melakukan operasi iterasi dengan mengulang langkah kedua sampai didapatkan

nilai r dan s nol atau mendekati nol/error.

Contoh :

Carilah penyelesaian dari persamaan non linear serentak sebagaimana berikut :

21

2

12

112

33.0ln4

6.12 2

xxxx

exxxx

Penyelesaiannya adalah :

1. Langkah pertama, menyusun persamaan di atas menjadi bentuk : F(x1,x2)=0

G(x1,x2)=0

yaitu :

21

2

1221

12121

33.0ln4,

06.12),( 2

xxxxxxG

xxexxxFx


15

2. Langkah kedua, Mencari nilai fungsi dan turunannya pada 0

1x dan 0

2x misalkan

ditentukan nilai awalnya sebesar 40

1 x dan 30

2 x akan didapatkan :

799148273.0),(

6.12)4)(3()3exp(4,

6.12),(

21

21

121212

xxF

xxF

xxexxxFx

dan

090160536.0,

3434.043ln4,

33.0ln4,

21

2

21

21

2

1221

xxG

xxG

xxxxxxG

nilai turunannya :

130768282.232/433/42/3/4/

803847577.23.34232/

199148273.4)3exp(44/

9590212932.2)3exp(3/

2122

211

112

21

2

2

xxxdxdG

xxdxdG

exxdxdF

exdxdF

x

x

3. Langkah ketiga, mencari nilai r1 dan s1

115249096.0

130768282.2803847577.2

199148273.4950212932.2

130768282.2090160536.0

199148273.4799148273.0

1

r

109340978.0

130768282.2803847577.2

199148273.4950212932.2

090160536.0803847577.2

799148273.0950212932.2

1

s

sehingga,

109340978.3109340978.03

115249096.4115249096.04

1

0

2

1

2

1

0

1

1

1

sxx

rxx

4. Langkah keempat, mengulang langkah kedua dan ketiga hingga didapatkan nilai

r1 dan s1 sama dengan nol.

Hasil akhirnya adalah x1=4.1131531474 dan x2=3.1080320798

Tugas

1. Buatlah program menggunakan Scilab pada contoh di atas.

2. Buatlah program untuk menyelesaikan persamaan non linear serentak dari

persamaan 2121 log2 xxxx dan 2

121 ln32 xexxx

16

MODUL V

INTERPOLASI

Interpolasi adalah mencari nilai dari suatu fungsi yang tidak diketahui melalui

nilai-nilai fungsi yang diketahui. Dengan kata lain, fungsi tersebut tidak diketahui

persamaannya namun yang diketahui hanya nilainya. Misalnya suatu fungsi yang

bernilai sebagai berikut :

x f(x)

0 0

0.2 0.406

0.4 0.846

0.6 1.386

0.8 2.060

1.0 3.114

1.2 5.114

Kemudian dicari nilai x dimana f(x) = 3.015.

Penyelesaian dari interpolasi dapat menggunakan bantuan Tabel Beda Hingga.

Berikut penjelasan mengenai Tabel Beda Hingga.

Tabel Beda Hingga

dari kasus di atas jika dibuat tabel beda hingga sebagai berikut :

x f(x) Δf(x) Δf(x)2 Δf(x)

3 Δf(x)

4 Δf(x)

5 Δf(x)

6

0.0 0.000

0.406

0.2 0.406 0.034

0.440 0.048

0.4 0.846 0.082 0.040

0.552 0.088 0.064

0.6 1.368 0.170 0.104 0.254

0.692 0.192 0.318

0.8 2.060 0.361 0.422

1.054 0.614

1.0 3.114 0.976

2.030

1.2 5.144

1. INTERPOLASI METODE NEWTON GREGORY FORWARD (NGF)

Interpolasi metode Newton-Gregory Forward adalah metode yang digunakan untuk

menyelesaikan persoalan interpolasi dengan menggunakan persamaan sebagai berikut:

00

3

0

2

00!

1...21...

!3

21

!2

1f

n

nssssf

sssf

ssfsfxf n

s

(5.1)

dimana h

xxs s 0 dan 0f didapatkan melalui Tabel Beda Hingga.

Metode ini memiliki keterbatasan antara lain :


17

1. Hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan interpolasi equispaced.

(x1-x0=x2-x1=x3-x2=...=xn-xn-1=konstan atau h = konstan)

2. Hanya cocok untuk menyelesaikan persoalan interpolasi untuk nilai xs terletak di

dekat nilai awal x1 dan x0 (nilai error-nya kecil).

3. Tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan interpolasi balik

(invers interpolation).

Namun metode ini sangat efektif digunakan untuk mencari nilai f(x) di sekitar titik

awal.

Algoritma NGF

1. Langkah pertama, mencari nilai-nilai beda hingga dari f(x) dengan bantuan Tabel

Beda Hingga.

2. Langkah kedua, mencari nilai s dan nilai fungsi f(xs) dengan persamaan 5.1.

Contoh :

Carilah nilai dari f(xs) dengan xs = 1.03 menggunakan metode NGF.

n x f(x)

0 1.0 1.449

1 1.3 2.060

2 1.6 2.645

3 1.9 3.216

4 2.2 3.779

5 2.5 4.338

6 2.8 4.898

Penyelesaian :

1. Langkah pertama, mencari nilai-nilai beda hingga dari data yang diberikan.

s x f(x) Δf(x) Δf(x)2 Δf(x)

3 Δf(x)

4 Δf(x)

5 Δf(x)

6

0 1 1.45

0.611

1 1.3 2.06 -0.026

0.585 0.012

2 1.6 2.65 -0.014 -0.006

0.571 0.006 0.004

3 1.9 3.22 -0.008 -0.002 -0.001

0.563 0.004 0.003

4 2.2 3.78 -0.004 0.001

0.559 0.005

5 2.5 4.34 0.001

0.560

6 2.8 4.9

2. Langkah kedua, mencari nilai s dengan persamaan 5.1.

1.013.1

103.10

h

xxs s

dengan bantuan tabel didapatkan,

001.0;004.0;006.0;012.0;026.0;611.0 0

6

0

5

0

4

0

3

0

2

0 ffffff

sehingga,


18

5118136.1

!6

54321

!5

4321

!4

321

!3

21

!2

1

0

6

0

5

0

4

0

3

0

2

00

fssssss

fsssss

fssss

fsss

fss

fsfxf s

Tugas

1. Buatlah program menggunakan Scilab dari persoalan di atas.

2. Buatlah program untuk mendapatkan nilai f(x) dimana x = 2.09 menggunakan

NGF

n x f(x)

0 1.0 4.90

1 1.25 5.00

2 1.5 5.243

3 1.75 5.467

4 2.0 5.689

5 2.25 5.887

6 2.5 6.03

7 2.75 6.288

8 3 6.489

2.INTERPOLASI METODE STIRLING

Interpolasi Metode Stirling adalah metode penyelesaian interpolasi menggunakan

persamaan sebagai berikut :

...2

6

2

6

3

25

2

2

4

1

4

2

23

1

2

22

1

21

3

62

5

3

5

2

41

3

2

3

1

201

0

f

ss

ffs

f

ss

ffsf

ss

ffsfxf s

dimana :

h

xxs s 0 dan

!

1...321

k

kjsjsjsjsjs

k

js

Keuntungan dari metode ini adalah jika nilai f(x) yang dicari berada di sekitar nilai

tengah maka nilai error-nya kecil.

Algoritma Stirling

1. Langkah pertama, mencari nilai beda hingga dan membuat Tabel Beda Hingga.

2. Langkah kedua, mencari nilai s dan mencari nilai f(xs) dengan persamaan 5.2.

Contoh

Carilah nilai f(xs) pada xs = 1.87 dengan Metode Stirling

(5.2)


19

n X f(x)

-3 1.0 1.449

-2 1.3 2.060

-1 1.6 2.645

0 1.9 3.216

1 2.2 3.779

2 2.5 4.338

3 2.8 4.898

Penyelesaian :

1. Langkah pertama, mencari nilai beda hingga dari data di atas.

s x f(x) Δf(x) Δf(x)2 Δf(x)

3 Δf(x)

4 Δf(x)

5 Δf(x)

6

-3 1 1.45

0.611

-2 1.3 2.06 -0.026

0.585 0.012

-1 1.6 2.65 -0.014 -0.006

0.571 0.006 0.004

0 1.9 3.22 -0.008 -0.002 -0.001

0.563 0.004 0.003

1 2.2 3.78 -0.004 0.001

0.559 0.005

2 2.5 4.34 0.001

0.560

3 2.8 4.9

2. Langkah kedua, mencari nilai s dan f(xs)

1.013.1

9.187.10

h

xxs s

dari tabel beda hingga diketahui ;008.0;563.0;571.0 1

2

01 fff

001.0;003.0;004.0;002.0;004.0;006.0 3

6

1

5

3

5

2

4

1

3

2

3 ffffff

sehingga,

23

15

2

2

5

2

15

25

11

3

2

3

1

201

05

ff

fff

fxf

159402.32

6

25

6

15

25

25

2

4

15

4

25

3

62

5

3

5

2

4

fff

f

jadi f(1.87) = 3.159402

Tugas

1. Buatlah program menggunakan Scilab dari implementasi permasalahan di atas.

2. Buatlah program untuk mendapatkan nilai f(x) dimana x = 1.89 menggunakan

Metode Stirling


20

n X f(x)

0 1.0 4.90

1 1.25 5.00

2 1.5 5.243

3 1.75 5.467

4 2.0 5.689

5 2.25 5.887

6 2.5 6.03

7 2.75 6.288

8 3 6.489

3. Interpolasi Metode Lagrange

Interpolasi Lagrange memiliki penyelesaian dengan persamaan sebagaimana berikut :

0

0302010

321

...

...f

xxxxxxxx

xxxxxxxxxf

n

n

1

1312101

320

...

...f

xxxxxxxx

xxxxxxxx

n

n

2

2321202

310

...

...f

xxxxxxxx

xxxxxxxx

n

n

3

3332313

210

...

...f

xxxxxxxx

xxxxxxxx

n

n

n

nnnnn

n fxxxxxxxx

xxxxxxxx

1321

1321

...

......

(5.3)

Kelebihan dari metode Lagrange adalah :

1. Interpolasi Metode Lagrange dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan

interpolasi equispaced (h = konstan) atau non equispaced (h= todak konstan).

2. Metode Lagrange dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus interpolasi dan

invers interpolasi (interpolasi balik).

3. Metode Lagrange dapat digunakan untuk mencari nilai fungsi yang variabelnya

terletak di daerah awal, akhir, maupun tengah.

4. Tidak membutuhkan tabel beda hingga dalam proses penyelesaiannya sehingga

penyelesaian persoalaan lebih mudah.

Contoh :

Carilah nilai dari f(x) pada x = 1.03 dengan tabel sbb :

n X f(x)

0 1.0 0.000

1 1.2 0.2625

2 1.5 0.9123

3 1.9 2.3170

4 2.1 3.2719

5 2.5 5.7268

6 3.0 9.8875

Penyelesaian :


21

0

6540302010

654321 fxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxf

1

615141312101


xxxxxxxxxxxx

2

625242321202


xxxxxxxxxxxx

3

635343231303


xxxxxxxxxxxx

4

645434241404


xxxxxxxxxxxx

5

654535251505


xxxxxxxxxxxx

031352.06

564636261606

543210

f

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

Tugas :

1. Buatlah implementasi program dengan Scilab dari persoalan di atas.

2. Carilah nilai f(x) dengan x = 2.39

n X f(x)

0 1.0 4.90

1 1.25 5.00

2 1.5 5.243

3 1.75 5.467

4 2.0 5.689

5 2.25 5.887

6 2.5 6.03

7 2.75 6.288

8 3 6.489

22

MODUL VI

INTEGRASI NUMERIK

1. Integrasi Numerik Metode Trapezoidal

Integrasi numerik adalah proses menyelesaikan nilai dari suatu integral f(x) pada

batas tertentu (x=x0-xn) dengan menggunakan persamaan 6.1 untuk non equispaced

dan 6.2 untuk equispaced.

1

1

12

12

01

01

2...

22

nn

nn ffxx

ffxx

ffxx

dxxf (6.1)

nn ffffffh

dxxf 13210 ...22

(6.2)

Dimana h=x1-x0=x2-x1=... dan seterusnya

Program scilab : x = (0:0.1:1.0);

deff(‘[y]=f(x)’,’y=x^3-2*x+sin(x)’);

inttrap(x,f(x))

Contoh :

Carilah nilai integral dengan batas x = 1.0 sampai x = 2.8 dari tabel di bawah ini

dengan Metode Trapezoidal.

n X f(x)

0 1.0 1.449

1 1.3 2.060

2 1.6 2.645

3 1.9 3.216

4 2.2 3.779

5 2.5 4.338

6 2.8 4.898

Penyelesaian :

Dari tabel di atas diketahui bahwa persamaan yang digunakan adalah equispaced

(persamaan 6.2)

6543210 22

fffffffh

dxxf

76345.5

898.4338.4779.3216.3645.2060.22449.12

0.13.1

Tugas

1. Buatlah program menggunakan SciNotes untuk mengeksekusi program yang

dicontohkan.

2. Buatlah program implementasi dari penyelesaian persoalan di atas dengan Scilab

menggunakan Metode Trapezoidal.

3. Carilah nilai dari integral dari x = 1.0 hingga x = 3 dengan Metode Trapzoida dari

tabel berikut :


23

n x f(x)

0 1.0 4.90

1 1.25 5.00

2 1.5 5.243

3 1.75 5.467

4 2.0 5.689

5 2.25 5.887

6 2.5 6.03

7 2.75 6.288

8 3 6.489

24

REFERENSI

1. Anonim, -, Modul Praktikum Metode Numerik

2. Sasongko, S. B., 2010, Metode Numerik dengan Scilab, Yogyakarta : Penerbit

ANDI.

1

1 LAPORAN PRAKTIKUM - METODE NUMERIK

PENGENALAN SCILAB Nama :

NIM / Kelas :

Semester :

Data Pengamatan :

1. Fungsi-fungsi fitur Scilab

No. Gambar Penjelasan

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

2. Perintah Scilab

No. Perintah Hasil

1. Vektor :

2. Matriks :


2

3. Vektor Otomatis :

4. Function pada vektor :

5. Plot dari vektor :

6. Matriks bilangan random:

7. Loops dan condition:

Load file :

Instruksi for :

8. Buat pernyataan IF :

9. Function :


3

10. Grafik dua dimensi :

Subplot sederhana :

11. Grafik tiga dimensi :

- Meshgrid :

- Surf :

- Plot3dl dan contour :


4

Yogyakarta,

Asisten Praktikum, Praktikan,

( )

NIM :

( )

NIM :

1


METODE BISECTION Nama :

NIM / Kelas :

Semester :

1. Program percobaan

Program Analisa Program