Nama : Vito Fabian Hernandhika

NIM : 4611414036

Soal !

1. Jelaskan dan berikan contoh fungsi surjektif, injektif dan bijektif !2. Sebutkan jenis-jenis fungsi dan berikan contohnya!

Jawab :

1. a. FUNGSI INJEKTIF ( SATU-KE-SATU )Fungsi f disebut fungsi satu-satu (one-to-one) atau injektif jika semua preimage adalah unik. Dengan kata lain, jika a ≠ b maka f (a) ≠ f (b).  Atau jika a = b maka f (a) = f (b).  Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan memiliki bayangan sama.

Contoh 1 : Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fungsi satu-ke-satu. Di sini f(1) = w, f(2) = u, dan f(3) = v. Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u, v, w}, yang dalam hal ini anggota dari himpunan B. Mengapa dikatakan fungsi satu-ke-satu? Karena, anggota daerah asal dari f adalah A memiliki tepat satu pasangan pada daerah kawan dari f adalah B. Dan tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan yang sama pada himpunan B.

Contoh 2 :Misalkan f : Z    ->   Z.. Tentukan apakah f(x) = x – 1 merupakan fungsi satu-ke-satu?Solusi :Berdasarkan definisi, Fungsi f disebut fungsi satu-satu (one-to-one) atau injektif jika semua preimage adalah unik. Dengan kata lain, jika a ≠ b maka f (a) ≠ f (b).  Atau jika a = b maka f (a) = f (b). f(x) = x – 1 adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk a ≠ b, maka a – 1 ≠ b – 1. Misalnya untuk x = 2, f(2) = 1 dan untuk x = -2, f(-2) = -3.

b. FUNGSI SURJEKTIF ( PADA / ONTO )Fungsi f dikatakan surjektif (surjective) atau pada (onto) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Fungsi f disebut fungsi pada (onto) atau surjektif jika setiap y pada B memiliki preimage. Dengan kata lain, untuk setiap y dalam B terdapat sebuah x dalam A demikian hingga f (x) = y.

Contoh 1 :Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupakan fungsi pada karena semua anggota B merupakan jelajah dari f. Selain itu anggota daerah asal dari f adalah A memiliki tepat satu pasangan pada daerah kawan dari f adalah B.

Contoh 2 :Misalkan f : Z   ->    Z.. Tentukan apakah f(x) = x – 1 merupakan fungsi onto atau surjektif?Solusi :Berdasarkan definisi, Fungsi f disebut fungsi pada (onto) atau surjektif jika setiap y pada B memiliki preimage. Dengan kata lain, untuk setiap y dalam B terdapat sebuah x dalam A demikian hingga f (x) = y.f(x) = x – 1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi, yaitu y = x – 1 akan dipenuhi untuk x = y + 1.

3.FUNGSI BIJEKTIF (Korespondensi Satu-satu) Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi  yang injektif dan  surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A dan B berada dalam korespondensi satu-satu”. Contoh:

 1) Relasi dari himpunan A = {a, b, c} ke himpunan B = {p,q, r} yang didefinisikan  sebagai diagram di samping adalah suatu fungsi yang bijektif.

2) Fungsi f yang memasangkan setiap negara di dunia dengan ibu kota negaranegara di dunia adalah fungsi korespondensi satu-satu (fungsi bijektif), karena  tidak ada satu kotapun yang menjadi ibu kota dua negara yang berlainan.

2. Jenis – jenis Fungsi Jika suatu fungsi f mempunyai daerah asal dan daerah kawan yang sama,

misalnya D, maka sering dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi tidak dinyatakan maka yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan real (R). Untuk  fungsi-fungsi pada R kita kenal beberapa fungsi antara lain sebagai berikut.

a.  Fungsi Konstan

b.  Fungsi Identitas

c.  Fungsi Linear Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a

      d.  Fungsi Kuadrat  Fungsi f: R→R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a,b,c ∈ R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat.

e.  Fungsi Rasional Fungsi rasional adalah suatu fungsi terbentuk f(x) =Q(x)  P(x) dengan P(x) dan Q(x) adalah suku banyak dalam x dan Q(x) ≠ 0.

Fungsi R→R yang didefinisikan sebagai: f : x→ x disebut fungsi identitas.