FUNGSI HARMONIK

Definisi

H :R2→R2

( x , y )→H ( x , y )

Fungsi H ( x , y ) disebut fungsi harmonik jika dan hanya jika turunan parsial pertama dan kedua (terhadap x dan y) kontinu dan memenuhi persamaan Laplace

∂2H∂ x2

+ ∂2H∂ y2

=0

atau dapat ditulis

H xx ( x , y )+H yy (x , y )=0

Contoh:

Misalkan u ( x , y )= x2− y2 dan v ( x , y )=2xy .

Apakah u dan vadalah fungsi harmonik?

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa

ux=2x uxy=0 vx=2 y vxy=2

uy=−2 y uyx=0 v y=2 x v yx=2

uxx=2 uyy=−2 vxx=0 v yy=0

ux=2x=v y dan uy=−2 y=−v x ⟹memenuhi persamaan Cauchy-Riemann.

uxx+uyy=2+ (−2 )=0 dan vxx+v yy=0+0=0 ⟹memenuhi persamaan Laplace.

∴u dan v fungsi harmonik .

Contoh:

Apakah f ( x , y )=e− y sin x adalah fungsi harmonik?

Penyelesaian:

∂ f∂ x

=e− ycos x ∂ f∂ y

=−e− y sin x

∂2f∂ x2

=−e− ysin x ∂2 f∂ y2

=e− ysin x

∂2f∂ x2

+ ∂2 f∂ y2

=0 sehingga memenuhi persamaan Laplace.

∴ f ( x , y ) adalah fungsi harmonik.

TEOREMA

Misal f ( z )=u ( x , y )+ i v ( x , y ) .

f analitik di domain D maka udan v harmonik di D.

Bukti:

Misaf ( z )=u ( x , y )+ i v ( x , y ) analitik di D maka f ' ( z ) ada ∀ z∈D.

f ' (z) ada ⟹ memenuhi persamaan Cauchy-Riemann

⟹∂u∂x

= ∂v∂ y

dan ∂u∂ y

=−∂ v∂ x

ux=v y dan uy=−v x

∂2u∂ x2

= ∂2 v∂ x∂ y

, ∂2u∂ y∂ x

= ∂2 v∂ y2

uxx=v yx , uyx=−v xx

∂2u∂ y2

= −∂2 v∂ x ∂x

, ∂2u∂ x∂ y

=−∂2 v∂x2

uxy=v yy , uyy=−v xy

Karena ∂2u

∂ y∂ x= ∂2u∂x ∂ y

dan ∂2v

∂ y∂ x= ∂2 v∂x ∂ y

uyx=uxy , v yx=vxy

maka ∂2u∂ x2

+ ∂2u∂ y2

=0 dan ∂2 v∂ x2

+ ∂2 v∂ y2

=0. uxx+uyy=0, vxx+v yy=0

∴udan v harmonik.

TEOREMA

Fungsi f ( z )=u ( x , y )+ i v ( x , y )analitik di domain D jika dan hanya jika v adalah harmonik sekawan dari u .

Contoh:

Carilah harmonik sekawan dari u ( x , y )= y3−3 x2 y jika ada.

Penyelesaian:

Misal harmonik sekawan dari u ( x , y )= y3−3 x2 y ada, maka f ( z )=u ( x , y )+ iv ( x , y ) analitik.

f ( z ) analitik maka

∂u∂ x

= ∂v∂ y

dan ∂u∂ y

=−∂ v∂ x

sehingga

∂u∂ x

=−6 xy=∂ v∂ y

∂u∂ y

=3 y2−3x2=−∂ v∂ x

Karena ∂u∂ x

=−6 xy=∂ v∂ y

maka v ( x , y )=−3 xy2+C ( x )

maka ∂v∂ x

=−3 xy2+C ' ( x )

3 x2−3 y2=−3 xy2+C ' ( x )

C ' ( x )=3 x2

C ( x )=x3+k

Ambil k=0 maka C ( x )=x3

Maka v ( x , y )=−3 x y2+x3 adalah harmonik sekawan dari u ( x , y ) .

∴ f ( z )= y3−3 x2 y+i (x3−3 xy2 )