92834685 Osilator Harmonik Kuantum

download 92834685 Osilator Harmonik Kuantum

of 14

description

Osilator Harmonik

Transcript of 92834685 Osilator Harmonik Kuantum

  • Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)

    Osilator Harmonik Kuantum

    Telah digambarkan sebelumnya dalam Bagian 8.2 dari penyelesaian persamaan stasioner

    Schrodinger untuk partikel dalam potensial persegi dengan baik, di mana V (x) memiliki Struktur

    sederhana khusus (tahapan fungsi).

    Sekarang, kita akan menampilkan solusi dari persamaan Schrodinger untuk masalah serupa,

    tetapi dengan V (x) sangat tergantung pada x, Gambar. 27, seperti:

    Ini yang disebut dengan potensial osilator harmonik.

    Gambar 27: Potensial osilator harmonik.

    Dalam satu dimensi, osilasi Hamiltonian dari massa m diberikan oleh:

    Dimana adalah energi kinetik dan adalah energi potensial dari massa.

  • Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)

    Kita akan menemukan energi (nilai eigen) dan fungsi eigen dari osilator harmonik dengan

    memecahkan persamaan stasioner Schrodinger (persamaan eigen) untuk osilator

    harmonik menggunakan dua pendekatan yang berbeda.

    Terlebih dulu, kita akan memecahkan persamaan dengan menggunakan teknik Operator aljabar

    yang didasarkan pada notasi Dirac. Pendekatan ini memiliki beberapa keuntungan dan

    memanfaatkan hubungan pergantian di antara operator yang dilibatkan dan sifat mereka.

    Dalam pendekatan kedua, kita akan mengubah persamaan stasioner Schrodinger ke persamaan

    yang berbeda di orde kedua, dan akan ditemukan solusi persamaan ke dalam fungsi khusus.

    14.1 Teknik Operator Aljabar

    Teknik Operator aljabar didasarkan pada hubungan pergantian dua matriks Hermitian operator

    yang termasuk dalam perubahan dari osilator harmonik: posisi dan momentum

    Kami akan memperkenalkan Operator non-Hermitian sebagai:

    dan adjoin dari operator ini

    Menggunakan hubungan pergantian (491), kita menemukan bahwa operator ditampilkan

    hubungan komutatif:

  • Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)

    Hal ini memungkinkan kita untuk menulis Hamiltonian dalam bentuk yang serupa:

    Oleh karena itu, persamaan nilai eigen

    Bisa ditulis dengan:

    Mengalikan Persamaan (497) dari kiri oleh , dan menggunakan normalisasi kita

    dapatkan:

    Sehingga:

    Kita mendapatkan:

    Dengan demikian, energi dari osilator harmonik kuantum tidak pernah bernilai nol.

    Dari Pers. (497), kita bisa menghasilkan sebuah persamaan nilai eigen baru ini dengan

    mengalikan persamaan dari kiri:

  • Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)

    Menggunakan hubungan komutatif (494), kita dapat menulis persamaan. (501) sebagai:

    Menambahkan kedua ruas kita peroleh:

    Memperkenalkan notasi kita melihat bahwa adalah fungsi karakteristik dari

    dengan nilai eigen

    Dengan demikian, operator bekerja pada keadaan energi E transformasi dari keadaan ini

    menuju keadaan energy . Oleh karena itu, operator disebut raising operator

    atau creation operator.

    Sekarang, kita mengalikan Persamaan. (503) dari kiri oleh , Kita memperoleh:

    Proses yang sama seperti di atas, kita mendapatkan:

    Dengan demikian, keadaan adalah fungsi karakteristik dari dengan nilai

    eigen

  • Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)

    Demikian pula, kita dapat menunjukkan bahwa keadaan adalah sebuah fungsi

    eigen dari dengan nilai eigen

    Sekarang, pertimbangkan perlakuan operator pada fungsi eigen dan nilai eigen.

    Perhatikan persamaan nilai eigen untuk

    Mengalikan persamaan (506) dari kiri dengan , kita dapatkan:

    Dan dengan menggunakan hubungan komutatif (494), kita dapatkan:

    Oleh Karenanya:

    Dengan demikian, keadaaan merupakan fungsi karakteristik dari

    dengan nilai eigen

    Oleh karena itu, operator disebut lowering operator atau annihilation operator.

    Misalkan bahwa keadaan dari energi E adalah keadaan terendah (dasar) osilator

    harmonik . Dengan demikian, spektrum energi (nilai eigen), ditunjukkan

  • Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)

    Gambar 28.Spektrum energi dari osilator harmonik

    Pada Gambar. 28, bentuk tangga tingkat dengan spasi yang sama dipisahkan oleh

    dimana satu kenaikan dipengaruhi oleh dan satu turun dipengaruhi oleh . kuantum

    osilator harmonik memiliki spektrum energi diskrit.

    Pertimbangkan pengaruh pada keadaan dasar

    Persamaan ini tidak dapat dipenuhi. Jika tidak akan ada nilai lain eigen lebih rendah

    dari E. Jadi, harus identik dengan nol:

    Oleh karena itu, persamaan nilai eigen untuk keadaan dasar adalah

    Dengan demikian, energi (nilai eigen) dari keadaan dasarnya adalah

    Kita dapat meringkas bahwa energi nilai eigen dari harmonik osilator adalah diskrit.

  • Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)

    dengan fungsi eigen yang sesuai

    Dari persamaan di atas, yang dimulai dengan , kita dapat memperoleh set lengkap vektor

    eigen dari osilator harmonik dengan berulang kali menerapkan operator pada bentuk eigen

    . Bagaimanapun bentuk eigen ditemukan pada hal ini dengan tidak normal. Proses

    normalisasi dari memberikan :

    Dengan menggunakan hubungan komutif

    ( Pembuktian oleh induksi memberikan petunjuk tentang permaslahan pada siswa)

    Kita dapan melanjutkan persamaan (515) dengan mereduksi ke

    Jadi, fungsi eigen yang normal dari osilator harmonik adalah :

  • Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)

    Persamaan (519) menunjukkan bahwa sebuah fungsi eigen dapat disimpulkan dari fungsi eigen

    bentuk dasarnya dengan n kali mengulangi penghitungan dengan operator . Jadi hal

    tersebut cukup untuk mengetahui fungsi eigen dalam bentuk dasarnya untuk menemukan semua

    fungsi eigen dari osilator harmonik.

    Ini merupakan solusi lengkap dari permasalahan. Hal ini menunjukkan hubungan komutatif

    (499) yang semua kita perlukan untuk memecahkan permasalahan osilator harmonik dengan

    lengkap. Untuk setiap jalan yang efektif kita mencari struktur penting tentang masalah nilai-nilai

    eigen dan vektor eigen dari harmonik osilator. Menggunakan definisi bentuk dasar (511), kita

    mungkin menemukan bentuk eksplisit dari fungsi dasar eigen. Menggantikan dari Persamaan.

    (492) dan menggunakan bentuk eksplisit dari kita peroleh

    Dengan bentuk sederhana

    Dimana

    Sehingga

  • Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)

    Integrasikan persamaan (522) kita peroleh

    Jadi fungsi gelombang dari bentuk dasar adalah Gaussian. Fungsi gelombang dari

    bentuk lain dapat ditemukan dari hubungan

    Menggunakan definisi dari persamaan (493) kita temukan dalam bentuk posisi x :

    Dari persamaan (521) kita ketahui bahwa

    Sehingga

    Dengan bentuk yang sama kita peroleh

  • Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)

    Kita dapat perkenalkan parameter baru yaitu :

    Dan dapat ditulis persamaan gelombang sebagai

    Dimana adalah polinomial Hermit dengan derajat n .

    Yang pertama adalah beberapa polynomial Hermite

    Polinomial Hermite memenuhi persamaan diferensial sebagai berikut :

    Gambar 29: nilai eigen energi Pertama dan fungsi eigen dari osilator harmonik.

  • Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)

    Pertimbangkan osilator harmonik dalam keadaan dasar menggunakan representasi klasik energi,

    dengan fungsi

    Karena, partikel harus dibatasi ke x posisi, seperti

    Yakni

    Nilai maksimum dari disebut titik balik klasik.

    Karena fungsi gelombang tidak terbatas pada , lihat pada gambar 29, mekanika

    kuantum dapat memprediksi bahwa osilator harmonik dapat diklasifikasikan pada bagian

    terlarang.

    14.2 Metode Fungsi Khusus

    Kami akan menyelesaikan solusi dari persamaan nilai eigen dari osilator harmonik, kali ini

    dengan menggunakan persamaan Schrdinger stasioner dalam bentuk persamaan diferensial di

    orde kedua. Titik awal persamaan Schrdinger stasioner untuk osilator harmonik dengan

    Hamiltonian adalah dalam bentuk

    Karena dalam satu dimensi, persamaan Schrodinger (nilai eigen) mengambil

    bentuk

    atau mengalikannya dengan dan membaginya denga , kita memperoleh persamaan

    diferensial orde kedua

  • Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)

    Ini bukan sebuah persamaan diferensial linear, dan tidak mudah untuk mendapatkan solusi. Kita

    bisa melanjutkan dengan cara berikut. Dengan memperkenalkan variabel baru

    kita dapat menulis persamaan. (540) dalam bentuk sederhana

    Terlepas dari sulit, kita akan mencoba untuk memecahkan persamaan diferensial (542).

    Yang pertama, kita akan menemukan solusi dari Persamaan. (542) dalam batas asimtotik

    besar . Dalam batas ini, kita dapat mengabaikan bentuk sebagai kecil dibandingkan

    dengan dan memperoleh

    Solusi persamaan (543) adalah dalam bentuk

    di mana C adalah konstanta.

    Oleh karena itu, kita akan mencoba untuk menemukan solusi dari Persamaan. (542)

    dalam bentuk

    yaitu dalam bentuk solusi yang menujukkan asimtotik (544).

  • Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)

    Dengan mensubstitusikan Persamaan. (545) ke dalam Pers. (542), kita mendapatkan

    Memperkenalkan variabel baru , dan sebuah fungsi baru untuk yang

    persamaan diferensial (546) diubah ke

    Persamaan ini identik dengan persamaan diferensial untuk polinomial Hermite,dengan

    di mana n adalah integer.

    Dengan demikian, fungsi dari gelombang osilator harmonik berbentuk

    dimana N adalah konstanta normalisasi.

    Karena n adalah integer, kita menemukan persamaan dari Pers. (549) dan (541) bahwa

    energi nilai eigen E adalah

  • Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)

    Singkatnya, solusi dari persamaan Schrdinger diberikan dalam bentuk diferensial dalam

    sempurnanya dengan hasil yang diperoleh oleh teknik operator aljabar.