92834685 Osilator Harmonik Kuantum
-
Upload
dyah-ayu-daratika -
Category
Documents
-
view
90 -
download
0
description
Transcript of 92834685 Osilator Harmonik Kuantum
-
Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)
Osilator Harmonik Kuantum
Telah digambarkan sebelumnya dalam Bagian 8.2 dari penyelesaian persamaan stasioner
Schrodinger untuk partikel dalam potensial persegi dengan baik, di mana V (x) memiliki Struktur
sederhana khusus (tahapan fungsi).
Sekarang, kita akan menampilkan solusi dari persamaan Schrodinger untuk masalah serupa,
tetapi dengan V (x) sangat tergantung pada x, Gambar. 27, seperti:
Ini yang disebut dengan potensial osilator harmonik.
Gambar 27: Potensial osilator harmonik.
Dalam satu dimensi, osilasi Hamiltonian dari massa m diberikan oleh:
Dimana adalah energi kinetik dan adalah energi potensial dari massa.
-
Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)
Kita akan menemukan energi (nilai eigen) dan fungsi eigen dari osilator harmonik dengan
memecahkan persamaan stasioner Schrodinger (persamaan eigen) untuk osilator
harmonik menggunakan dua pendekatan yang berbeda.
Terlebih dulu, kita akan memecahkan persamaan dengan menggunakan teknik Operator aljabar
yang didasarkan pada notasi Dirac. Pendekatan ini memiliki beberapa keuntungan dan
memanfaatkan hubungan pergantian di antara operator yang dilibatkan dan sifat mereka.
Dalam pendekatan kedua, kita akan mengubah persamaan stasioner Schrodinger ke persamaan
yang berbeda di orde kedua, dan akan ditemukan solusi persamaan ke dalam fungsi khusus.
14.1 Teknik Operator Aljabar
Teknik Operator aljabar didasarkan pada hubungan pergantian dua matriks Hermitian operator
yang termasuk dalam perubahan dari osilator harmonik: posisi dan momentum
Kami akan memperkenalkan Operator non-Hermitian sebagai:
dan adjoin dari operator ini
Menggunakan hubungan pergantian (491), kita menemukan bahwa operator ditampilkan
hubungan komutatif:
-
Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)
Hal ini memungkinkan kita untuk menulis Hamiltonian dalam bentuk yang serupa:
Oleh karena itu, persamaan nilai eigen
Bisa ditulis dengan:
Mengalikan Persamaan (497) dari kiri oleh , dan menggunakan normalisasi kita
dapatkan:
Sehingga:
Kita mendapatkan:
Dengan demikian, energi dari osilator harmonik kuantum tidak pernah bernilai nol.
Dari Pers. (497), kita bisa menghasilkan sebuah persamaan nilai eigen baru ini dengan
mengalikan persamaan dari kiri:
-
Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)
Menggunakan hubungan komutatif (494), kita dapat menulis persamaan. (501) sebagai:
Menambahkan kedua ruas kita peroleh:
Memperkenalkan notasi kita melihat bahwa adalah fungsi karakteristik dari
dengan nilai eigen
Dengan demikian, operator bekerja pada keadaan energi E transformasi dari keadaan ini
menuju keadaan energy . Oleh karena itu, operator disebut raising operator
atau creation operator.
Sekarang, kita mengalikan Persamaan. (503) dari kiri oleh , Kita memperoleh:
Proses yang sama seperti di atas, kita mendapatkan:
Dengan demikian, keadaan adalah fungsi karakteristik dari dengan nilai
eigen
-
Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)
Demikian pula, kita dapat menunjukkan bahwa keadaan adalah sebuah fungsi
eigen dari dengan nilai eigen
Sekarang, pertimbangkan perlakuan operator pada fungsi eigen dan nilai eigen.
Perhatikan persamaan nilai eigen untuk
Mengalikan persamaan (506) dari kiri dengan , kita dapatkan:
Dan dengan menggunakan hubungan komutatif (494), kita dapatkan:
Oleh Karenanya:
Dengan demikian, keadaaan merupakan fungsi karakteristik dari
dengan nilai eigen
Oleh karena itu, operator disebut lowering operator atau annihilation operator.
Misalkan bahwa keadaan dari energi E adalah keadaan terendah (dasar) osilator
harmonik . Dengan demikian, spektrum energi (nilai eigen), ditunjukkan
-
Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)
Gambar 28.Spektrum energi dari osilator harmonik
Pada Gambar. 28, bentuk tangga tingkat dengan spasi yang sama dipisahkan oleh
dimana satu kenaikan dipengaruhi oleh dan satu turun dipengaruhi oleh . kuantum
osilator harmonik memiliki spektrum energi diskrit.
Pertimbangkan pengaruh pada keadaan dasar
Persamaan ini tidak dapat dipenuhi. Jika tidak akan ada nilai lain eigen lebih rendah
dari E. Jadi, harus identik dengan nol:
Oleh karena itu, persamaan nilai eigen untuk keadaan dasar adalah
Dengan demikian, energi (nilai eigen) dari keadaan dasarnya adalah
Kita dapat meringkas bahwa energi nilai eigen dari harmonik osilator adalah diskrit.
-
Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)
dengan fungsi eigen yang sesuai
Dari persamaan di atas, yang dimulai dengan , kita dapat memperoleh set lengkap vektor
eigen dari osilator harmonik dengan berulang kali menerapkan operator pada bentuk eigen
. Bagaimanapun bentuk eigen ditemukan pada hal ini dengan tidak normal. Proses
normalisasi dari memberikan :
Dengan menggunakan hubungan komutif
( Pembuktian oleh induksi memberikan petunjuk tentang permaslahan pada siswa)
Kita dapan melanjutkan persamaan (515) dengan mereduksi ke
Jadi, fungsi eigen yang normal dari osilator harmonik adalah :
-
Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)
Persamaan (519) menunjukkan bahwa sebuah fungsi eigen dapat disimpulkan dari fungsi eigen
bentuk dasarnya dengan n kali mengulangi penghitungan dengan operator . Jadi hal
tersebut cukup untuk mengetahui fungsi eigen dalam bentuk dasarnya untuk menemukan semua
fungsi eigen dari osilator harmonik.
Ini merupakan solusi lengkap dari permasalahan. Hal ini menunjukkan hubungan komutatif
(499) yang semua kita perlukan untuk memecahkan permasalahan osilator harmonik dengan
lengkap. Untuk setiap jalan yang efektif kita mencari struktur penting tentang masalah nilai-nilai
eigen dan vektor eigen dari harmonik osilator. Menggunakan definisi bentuk dasar (511), kita
mungkin menemukan bentuk eksplisit dari fungsi dasar eigen. Menggantikan dari Persamaan.
(492) dan menggunakan bentuk eksplisit dari kita peroleh
Dengan bentuk sederhana
Dimana
Sehingga
-
Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)
Integrasikan persamaan (522) kita peroleh
Jadi fungsi gelombang dari bentuk dasar adalah Gaussian. Fungsi gelombang dari
bentuk lain dapat ditemukan dari hubungan
Menggunakan definisi dari persamaan (493) kita temukan dalam bentuk posisi x :
Dari persamaan (521) kita ketahui bahwa
Sehingga
Dengan bentuk yang sama kita peroleh
-
Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)
Kita dapat perkenalkan parameter baru yaitu :
Dan dapat ditulis persamaan gelombang sebagai
Dimana adalah polinomial Hermit dengan derajat n .
Yang pertama adalah beberapa polynomial Hermite
Polinomial Hermite memenuhi persamaan diferensial sebagai berikut :
Gambar 29: nilai eigen energi Pertama dan fungsi eigen dari osilator harmonik.
-
Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)
Pertimbangkan osilator harmonik dalam keadaan dasar menggunakan representasi klasik energi,
dengan fungsi
Karena, partikel harus dibatasi ke x posisi, seperti
Yakni
Nilai maksimum dari disebut titik balik klasik.
Karena fungsi gelombang tidak terbatas pada , lihat pada gambar 29, mekanika
kuantum dapat memprediksi bahwa osilator harmonik dapat diklasifikasikan pada bagian
terlarang.
14.2 Metode Fungsi Khusus
Kami akan menyelesaikan solusi dari persamaan nilai eigen dari osilator harmonik, kali ini
dengan menggunakan persamaan Schrdinger stasioner dalam bentuk persamaan diferensial di
orde kedua. Titik awal persamaan Schrdinger stasioner untuk osilator harmonik dengan
Hamiltonian adalah dalam bentuk
Karena dalam satu dimensi, persamaan Schrodinger (nilai eigen) mengambil
bentuk
atau mengalikannya dengan dan membaginya denga , kita memperoleh persamaan
diferensial orde kedua
-
Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)
Ini bukan sebuah persamaan diferensial linear, dan tidak mudah untuk mendapatkan solusi. Kita
bisa melanjutkan dengan cara berikut. Dengan memperkenalkan variabel baru
kita dapat menulis persamaan. (540) dalam bentuk sederhana
Terlepas dari sulit, kita akan mencoba untuk memecahkan persamaan diferensial (542).
Yang pertama, kita akan menemukan solusi dari Persamaan. (542) dalam batas asimtotik
besar . Dalam batas ini, kita dapat mengabaikan bentuk sebagai kecil dibandingkan
dengan dan memperoleh
Solusi persamaan (543) adalah dalam bentuk
di mana C adalah konstanta.
Oleh karena itu, kita akan mencoba untuk menemukan solusi dari Persamaan. (542)
dalam bentuk
yaitu dalam bentuk solusi yang menujukkan asimtotik (544).
-
Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)
Dengan mensubstitusikan Persamaan. (545) ke dalam Pers. (542), kita mendapatkan
Memperkenalkan variabel baru , dan sebuah fungsi baru untuk yang
persamaan diferensial (546) diubah ke
Persamaan ini identik dengan persamaan diferensial untuk polinomial Hermite,dengan
di mana n adalah integer.
Dengan demikian, fungsi dari gelombang osilator harmonik berbentuk
dimana N adalah konstanta normalisasi.
Karena n adalah integer, kita menemukan persamaan dari Pers. (549) dan (541) bahwa
energi nilai eigen E adalah
-
Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)
Singkatnya, solusi dari persamaan Schrdinger diberikan dalam bentuk diferensial dalam
sempurnanya dengan hasil yang diperoleh oleh teknik operator aljabar.