ELEKTRON BEBAS KLASIK

(MODEL ELEKTRON BEBAS)

Logam memegang peranan penting dalam kehidupan manusia. Umumnya, logam

memiliki sifat kekuatan fisik tinggi, kerapatan tinggi, konduktivitas listrik dan termal

baik, dan daya refleksi tinggi. Sifat ini berkaitan dengan struktur mikroskopis bahan,

yang dapat diasumsikan bahwa suatu logam mengandung elektron bebas, dengan

konsentrasi besar, yang dapat bergerak dalam keseluruhan volume kristal. Saat atom

bebas membentuk logam, semua elektron valensi menjadi elektron konduksi dalam

logam. Elektron konduksi bergerak bebas di antara ion, sehingga keadaannnya berubah

tajam. Berbeda dengan elektron “cores” yang tetap terlokalisasi sehingga karakternya

relatif tidak berubah.

Dengan demikian, gambaran sederhana tentang kristal logam adalah suatu kisi

ion teratur dalam ruang, dan elektron bebas bergerak di antara ion tersebut. Gambaran

lebih lengkapnya, bahwa ion bergetar secara termal di sekitar titik setimbang, dan

demikian pula elektron bebas bergerak termal di antara ion kristal dan merubah arah

geraknya setiap kali menumbuk ion (kemungkinan besar) atau elektron lain

(kemungkinan kecil). Dalam logam Na, proporsi volume yang terisi oleh ion “cores”

hanya sekitar 15%. Hal ini terjadi karena radius ion Na+ adalah 0,98 Å; sedangkan

setengah jarak antartetangga terdekat atom adalah 1,83 Å. Konsentrasi elektron

konduksi dapat dihitung dari valensi dan kerapatan logam. Jika ρm dan ZV, masing-

masing adalah kerapatan bahan dan valensi atom, maka konsentrasi elektronnya adalah

dengan NA adalah bilangan Avogadro dan M adalah berat atom. Logam memiliki

konsentrasi elektron yang besar, yakni n = 1029

/m3. Misalnya, logam Na, K, Cu, Ag dan

Au adalah monovalen; dan logam Be, Mg, Zn dan Cd adalah divalen. Dalam model

elektron bebas ini elektron mengalami tumbukan dengan fonon dan ketidakmurnian.

Hal ini menghasilkan ungkapan hukum Matthiessen. Selain itu, elektron dapat

melepaskan diri dari permukaan logam sehingga terjadi emisi thermionik. Akhirnya,

bab ini ditutup dengan dikemukakannya beberapa kegagalan model elektron bebas

dalam membahas sifat logam.

Elektron bebas merupakan elektron terluar dari suatu atom yang telah menjadi

baian dari seluruh kristal karena tidak lagi berada dalam pengaruh atom asalnya.

Elektron bebas terlepas berupa hamburan yang dapat disebabkan oleh ion-ion yang

melakukan getaran termal di sekitar kedudukan seimbangnya dan ketidak murnian

kimiawi dan cacat geometrik kristal logam.Logam merupakan suatu kumpulan dari

elektron dan ion – ion positif yang mana mempunyai elektron berupa awan

elektron,energi potensial ion,energi kinetik elektron yang mana energi potensial dari ion

lebih kecil dari energi kinetik elektron. Logam memegang peranan penting dalam

kehidupan manusia, misalnya besi dalam produksi otomobil, tembaga untuk penghantar

listrik dan lain-lain.

Umumnya, logam memiliki sifat kekuatan fisik tinggi, kerapatan tinggi,

konduktivitas listrik dan termal baik, dan daya refleksi tinggi. Sifat ini berkaitan dengan

struktur mikroskopis bahan, yang dapat diasumsikan bahwa suatu logam mengandung

elektron bebas, dengan konsentrasi besar, yang dapat bergerak dalam keseluruhan

volume kristal. Saat atom bebas membentuk logam, semua elektron valensi menjadi

elektron konduksi dalam logam. Elektron konduksi bergerak bebas di antara ion,

sehingga keadaannnya berubah tajam. Berbeda dengan elektron “cores” yang tetap

terlokalisasi sehingga karakternya relatif tidak berubah. Dengan demikian, gambaran

sederhana tentang kristal logam adalah suatu kisi ion teratur dalam ruang, dan elektron

bebas bergerak di antara ion tersebut.

Gambaran lebih lengkapnya, bahwa ion bergetar secara termal di sekitar titik

setimbang, dan demikian pula elektron bebas bergerak termal di antara ion kristal dan

merubah arah geraknya setiap kali menumbuk ion (kemungkinan besar) atau elektron

lain (kemungkinan kecil). Model elektron bebas mengasumsikan potensial kristal sangat

lemah sehingga elektron berprilaku hampir bebas. Elektron bebas terkuantitasi hadir

akibat keterbatasan model elektron bebas klasik. Dimana elektron bebas terkuantisasi

menerapkan prinsip larangan pauli dan kuantisasi energi elektron bebas. Model elektron

bebas memberikan harga energi yang terdistribusi secara terus menerus dari nol sampai

tak hingga, persamaan schrodinger untuk elektron diketahui:

( )

( )

Solusinya adalah

( )

⁄ , untuk fungsi gelombang

dan

( )

, untuk energi elektron

Fungsi gelombang elektron bebas berbentuk:

Persamaan ini mewakili gelombang berjalan dan momentum

.

Model elektron bebas mengasumsikan potensial kristal lemah tetapi tidak sama

dengan nol. Berdasarkan teorema Bloch untuk kristal satu dimensi, diskontinuitas

energi elektron pada batas-batas brillouin zone yaitu untuk

dengan n=±1, ±2,

±3, ….

Daerah ini terdapat pada gambar:

Gambar : (a) daerah reduced zone (b) daerah extended zone

Loncatan antara dua daerah energi disebut energi gap. Untuk mengevaluasi

besarnya energi gap ini digunakan teori peturbasi. Yang persamaannya adalah:

( ) ( ) ⟨

( )| | ( )⟩ ∑

|⟨ | | ⟩|

( )( )

( )( )

Hasil dari penjabaran teori peturbasi ini, memberikan bahwa energi gap pertama

dan kedua besarnya |

| dengan:

∫ ( ) (

)

MODEL ELEKTRON BEBAS KLASIK

Teori Drude tentang Elektron dalam Logam

Drude (1900) mengandaikan bahwa dalam logam terdapat elektron bebas, yang

membentuk sistem gas elektron klasik, yang bergerak acak dalam kristal dengan

kecepatan random vo karena energi termal dan berubah arah geraknya setelah

bertumbukan dengan ion logam. Karena massanya yang jauh lebih besar, maka ion

logam tidak terpengaruh dalam tumbukan ini. Kehadiran medan listrik ε dalam logam

hanya mempengaruhi gerak keseluruhan electron karena ion-ion tertata berjajar dan

bervibrasi di sekitar titik kisi sehingga tidak memiliki neto gerak translasi. Misalnya,

terdapat medan listrik ε dalam arah sumbu-X. Percepatan elektron yang timbul

dengan e dan m*, masing-masing adalah muatan dan massa efektif elektron. Jika waktu

rata-rata antara dua tumbukan elektron dan ion adalah τ, maka kecepatanhanyut dalam

selang waktu tersebut

Oleh karena itu rapat arus yang terjadi

dimana penjumlahan dilakukan terhadap semua elektron bebas setiap satuan volume.

Elektron bergerak secara acak, sehingga Σvo=0. Oleh sebab itu

Karena hubungan Jx=σε, maka menurut konduktivitas listrik memiliki ungkapan

Pengukuran menunjukkan bahwa nilai rata-rata σ logam sekitar 5.10

7(Ωm)

-1.

Dengan menganggap masa efektif m* sama dengan massa bebas mo=9,1.10-31

kg, maka

didapatkan nilai τ berorde 10-14

s. Contoh analisa lain adalah konduktivitas termal.

Misalnya, sepanjang sumbu- X terdapat gradien suhu ∂T/∂x, maka akan terjadi aliran

energi persatuan luas perdetik (arus kalor) Qe. Berdasarkan eksperimen arus kalor Qe

tersebut sebanding dengan gradien suhu ∂T/∂x

dengan K adalah konduktivitas termal. Dalam isolator, panas dialirkan sepenuhnya oleh

fonon. Sedangkan dalam logam dialirkan oleh fonon dan elektron. Tetapi karena

konsentrasi elektron dalam logam sangat besar, maka konduktivitas termal fonon jauh

lebih kecil daripada elektron, yakni Kfonon≅10-2

Kelektron,sehingga konduktivitas fonon

diabaikan. Dari pendekatan teori kinetik gas diperoleh ungkapan konduktivitas termal

dimana CV, v dan l masing-masing adalah kapasitas panas elektron persatuan volume,

kecepatan partikel rata-rata dan lintas bebas rata-rata partikel. Karena CV=(3/2)nk,

(1/2)mv2=(3/2)kT dan l=vτ, maka konduktivitas

Perbandingan konduktivitas termal

Hal ini sesuai dengan penemuan empirik oleh Wiedemann-Frans (1853). Kadang -

kadang perbandingan di atas dinyatakan sebagai bilangan Lorentz

Ternyata, hukum Wiedemann-Frans sesuai dengan pengamatan untuk suhu tinggi

(termasuk suhu kamar) dan suhu sangat rendah (beberapa K). Tetapi, untuk suhu

“intermediate”, K/σT bergantung pada suhu. Dalam teori drude, lintas bebas rata-rata

elektron bebas, l=τvo, tidak bergantung suhu. Namun, karena vo∼T1/2

, maka keadaan

mengharuskan

τ ∼ T-1/2

Hal ini didukung fakta eksperimen bahwa σ∼T-1

, sehingga dari ungkapan

konduktivitas listrik didapatkan

n τ ∼ T-1

atau n ∼ T-1/2

Ungkapan terakhir ini menunjukkan bahwa bila T naik, maka n menurun. Hal ini

tidak sesuai dengan fakta, dan menyebabkan teori Drude tidak memadai.

Model elektron bebasa klasik tentang logam mengambil andaian berikut.

a. Kristal digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positip (yang

membentuk kisi kristal) dan elektron yang bebas bergerak dalam volume kristal.

b. Elektron bebas tersebut diperlakukan sebagai gas, yang masing-masing bergerak

secara acak dengan kecepatan termal (seperti molekul dalam gas ideal – tidak ada

tumbukan, kecuali terhadap permukaan batas)

c. Pengaruh medan potensial ion diabaikan, karena energi kinetik elektron bebas

sangat besar.

d. Elektron hanya bergerak dalam kristal karena adanya penghalang potensial di

permukaan batas.

Misalnya, setiap atom memberikan ZV elektron bebas, maka jumlah total elektron

tersebut perkilomol

Bila elektron berperilaku seperti dalam gas ideal, maka energi kinetik totalnya

sehingga kapasitas panas sumbangan elektron bebas

Kapasitas panas total dalam logam, termasuk sumbangan oleh fonon, adalah

Jadi, setidaknya kapasitas panas logam harus 50% lebih tinggi daripada isolator. Tetapi,

eksperimen menunjukkan bahwa untuk semua bahan padatan (logam dan isolator) nilai

CV mendekati 3R pada suhu tinggi. Pengukuran yang akurat menunjukkan bahwa

sumbangan elektron bebas terhadap kapasitas panas total adalah reduksi harga klasik

(3/2)R oleh factor 10-2

. Oleh karena itu model elektron bebas klasik tidak memberikan

hasil ramalan CV yang memadai. Suseptibilitas magnetik χ mengkaitkan momen

magnetik M dan kuat medan magnetik H melalui ungkapan

Dalam hal ini hanya dibahas untuk bahan isotropik, sehingga χ skalar. Pengaruh

medan magnet luar H terhadap elektron bebas menyebabkan setiap momen dipol μ,

yang acak arahnya, memperoleh energi magnetik

Jika distribusi momen dipol elektron bebas memenuhi statistik Maxwell-

Boltzmann,yakni f(E)=e-E/kT

, maka momen dipol rata-rata dalam arah medan memenuhi

dimana θ adalah sudut antara μ dan H adalah

dengan L(x)=coth x – (1/x) = fungsi Langevin

Dengan menggunakan deret

maka untuk medan H tidak kuat, yakni μH<<kT momen dipol rata-rata tersebut

berharga

Jika jumlah momen dipol magnet adalah N, maka magnetisasinya

Dengan membandingkan diperoleh suseptibilitas magnetik

Tetapi, eksperimen tidak menunjukkan adanya kebergantungan χ terhadap T. Hal ini

berarti model elektron bebas klasik tidak dapat menerangkan tentang mengapa χ untuk

paramagnet elektron tidak bergantung pada T.

Konsep Kuantisasi Energi

1. Energi osilator

Terkuantisasi

Diskrit

2. Teori Einstein untuk Cv

Menggunakan Teori Planck

a) Energi terkuantisasi

w ε

wn ε

3......... 2, 1, 0, n

34-10 x 0545 1, 2π

h

Einsteinharmonik osilator frekuensi wE

b) Maxwell – Boltzman

TB

k

ε

e ε) ( f

h υ ε

TB

k

ε

e )n

ε ( f

33-10 x 1,3805 B

k

rata-rata energi ε

εA

N 3 U

0n

εf

0nn

εεf

ε

0n

TB

k

e-

e

TB

k

w

e

0n

wn

ε

0n

TB

k

w

e

0n

TB

k

w-

e

TB

k

1-

n

ε

TB

k

w

e

TB

k

w-

en

TB

k- ε

TB

kw-

en ln T

Bk-

ε

TB

kw-

en ln T

Bk

- ε

.........T

Bk

w2

eT

Bk

w-

e 1ln T

Bk

wn-

e ln

TB

kw-

e ln T

Bk

- ε

n

TB

kw-

- e

T

Bk

wn-

e

1

1lnln

1

TB

kw-

e - 1ln T

Bk

- ε

w- x T

Bk

w

e - x

2

TB

k

w

e - 1- x T

Bk

w

e - 1 ε

.

TB

kw-

e 1

w TB

kw-e

ε

.

1 - T

Bk

w-

e

Ew

ε

εA

N 3 U

1 -

T

Bk

w-

e

Ew

AN 3

U

1 - T

Bk

w-

e

Ew

AN 3

dT

d

dT

dU

vC

2T

Bk

E w-

T

Bk

Ew

e 2

1 - T

Bk

w

e

w N 3

vC

2

1 - T

Bk

w

e

T

Bk

Ew

e

TB

k

E w

B

k N 3 - v

C

2

1 - T

Bk

w

e

T

Bk

Ew

e

TB

k

E w

R 3- v

C

einsteintik karakterissuhu

Bk

E w

E

θ

2

1TE

θ

e

TE

θ

e

2

T

Eθ

R 3 v

C

T

vC

3R

sT

0

0T

θ ; T

T C ; T

3RC ; T

0C ; 0 T

E

v

v

v

3

1 - T

Bk

w

e

w

1 - T

Bk

w

e

TB

/kB

w T

Bk ε

Jika T >>

0 T

Bk

E w

TB

k

- T

Bk

w

e

TB

kE

w

ε

Tb

k

E w

1

lim0

TB

k ε

T k N 3 U B

T

U

vC

R 3k N 3v

C

Jika T 0

0v

C

2

1TE

θ

e

TE

θ

e

2

T

Eθ

R 3 v

C

T = 0

0R 3

v

C

Jika T <<

Einstein) Teori (kegagalan penuhi tidak ter T 3 vC

MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI

Untuk memperbaiki kegagalan model elektron bebas klasik dalam menelaah sifat

listrik dan magnet bahan, ditawarkan model elektron bebas yang terkuantisasi. Model

ini menggunakan prinsip kuantisasi energi elektron dan prinsip eksklusi Pauli untuk

elektron yang melibatkan distribusi Fermi-Dirac. Model elektron bebas, dimana

pengaruh dari semua elektron bebas yang lain dan semua ion positip direpresentasikan

oleh potensial V sama dengan nol sehingga gaya yang bekerja pada elektron juga sama

dengan nol, secara kuantum mengambil persamaan Schrodinger

dengan solusi fungsi elektron

dan energi elektron

Harga k tidak dibatasi sehingga energi elektron tidak terkuantisasi. Tetapi bila elektron

bebas tersebut bergerak dalam suatu kubus dengan rusuk L, maka haruslah dipenuhi

Dalam ruang k, setiap keadaan elektron direpresentasikan oleh volume sebesar

(2π/L)3, yaitu masing-masing untuk Δnx=Δny=Δnz=1. Semua keadaan elektron yang

berenergi

terletak pada permukaan bola berkari-jari k yang memenuhi

Sedangkan semua keadaan elektron yang berenergi antara E dan E+dE terletak dalam

kulit bola dengan jari-jari antara k dan k+dk dan volume 4πk2dk. Dengan demikian,

jumlah keadaan elektron

Apabila diperhitungkan dua spin elektron, maka jumlah tersebut menjadi

Mengingat ungkapan E=ћ

2k

2/2mo, maka jumlah keadaan elektron persatuan volume

yang berenergi antara E dan E+dE adalah

Prinsip Pauli menyatakan bahwa dalam satu sistem fisis tidak boleh terdapatdua

elektron atau lebih yang mempunyai perangkat bilangan kuantum yang tepat sama.

Prinsip larangan ini dipenuhi oleh elektron yang mengikuti fungsi distribusi Fermi-

Dirac

Pada suhu T=0 K, energi Fermi diungkapkan dalam bentuk EF(0); dan fungsi

distribusi Fermi-Dirac

Dengan kata lain, pada suhu T=0 K semua tingkat energi E<EF(0) terisi penuh

elektron dan E>EF(0) kosong. Sedangkan pada suhu T>0 K berlaku

untuk E < EF → f(E) < 1

untuk E = EF → f(E) = 1/2

untuk E > EF → f(E) > 0

Hal ini berarti pada T>0 K tingkat energi di atas EF sudah terisi sebagian dan di

bawah EF menjadi kosong sebagian.

Model elektron bebas terkuantisasi mengambil andaian sebagai berikut.

a. Kristal logam digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positip

(yang membentuk kisi kristal) dan elektron bebas yang bergerak dalam volume

kristal.

b. Elektron bebas tersebut memenuhi kaidah fisika kuantum, yaitu mempunyai

energi terkuantisasi dan mematuhi larangan Pauli, yang secara menyatu

dirangkum dalam ungkapan rapat elektron

dn = n(E) dE = f(E) g(E) dE

b. Dengan mensubstitusikan diperoleh ungkapan rapat elektron sebagai fungsi dari

energi elektron dan suhu sistem

c. Pengaruh medan ion positip dapat diabaikan karena energi kinetik elektron bebas

sangat besar.

d. Pada permukaan batas antara logam dan vakum yang mengelilinginya terdapat

suatu potensial penghalang υ yang harus diloncati oleh elektron bebas paling

energetik pada suhu T=0 K (energi EF) untuk dapat meninggalkan permukaan

batas logam.

e.

Elektron Bebas Terkuantisasi

Kerena kurang memadai dalam menerangkan beberapa sifat dan prilaku besaran

logam, teori tentang kelistrikan logam diperbaiki dengan memasukkan dua konsep

fisika kuantum yaitu :

1. Kuantisasi energi elektron bebas

2. Prinsip larangan Pauli

Dengan demikian dalam teori yang baru dikenal sebagai model elektron bebas

terkuantisasi digunakan andaian dasar tentang kelistrikan logam serta unsure – unsure

fisika kuantum diatas. Kuantisasi energi elektron bebas dan rapat keadaan energi

elektron

Karena bersifat dualistik elektron bebas dianggap bergerak sebagai gelombang de

Broglie dalam seluruh volume Kristal. Syarat batas yang harus dipenuhi agar

gelombang merupakan solusi untuk perambatan dalam volume Kristal itu adalah syarat

batas siklik Born-van Karmizan yang dapat ditampilkan dalam bentuk :

CiħxL

CiħyL

CiħzL

= 1

Kristal yang dianggap berbentuk kubus dengan rusuk L dan Kx, Ky, dan Kz merupakan

vector propagasi gelombang masing-masing dalam arah-X, arah-Y dan arah-Z. syarat

batas siklik diatas memberikan syarat berikut pada komponen vector propagasi :

Kx = nx (2π / L) nx = 0, +1, +2,……

Ky = ny (2π / L) ny = 0, +1, +2,……

Kz = nz (2π / L) nz = 0, +1, +2,……

Jadi vektor propagasi terkuantisasi dan momentum linear dan energy kinetic elektron

juga terkuantisasi. Perangkat (Kx , Ky, Kz) yang menyatakan suatu keadaan yang boleh

dimiliki elektron dapat dipresentasikan sebagai suatu titik dalam ruang K. dalam ruang

K setiap perangkat (Kx, Ky, Kz) menempati ruangan bervolume (2π/L)3, yaitu untuk

∆nx, ∆ny, ∆nz =1.

Energy elektron yang dicirikan oleh perangkat(Kx, Ky, Kz) besarnya :

Ek = ħ2/ 2mo (Kx

2 + Ky

2 +Kz

2)

Dalam persamaan diatas mo adalah massa elektron bebas. Semua elektron yang

sama energy kinetiknya Ek didalam ruang K terletak permukaan dengan jari [K] yang

besarnya :

K2 = (Kx

2 +Ky

2 +Kz

2) = 2moEk / ħ

2

Dengan demikian semua keadaan elektron dengan energy antara E dan (E +∆E)

dipresentasikanke titik – titik (Kx, Ky, Kz) yang terletak dalam kulit bola berjari – jari k

dan tebal ∆k. dalam ruang elemen volume itu adalah :

4πK2∆k

Dengan demikian jumlah keadaan energi elektronya adalah :

( )

Apabila diperhitungkan dua spin elektron, maka jumlah keadaan energy elektron per

satuan volume dengan vektor propagasi antara K dan (K+∆K) menjadi :

Karena :

√

Sehingga jumlah keadaan elektron per satuan volume dengan energy antara E dan

(E+∆E) adalah :

( )

( )

⁄

⁄

Jadi rapat keadaan elektron adalah :

( )

( )

⁄

⁄

Dalam bahasa sederhana rapat keadaan elektron adalah jumlah temat yang

tersedia per satuan volume Kristal untuk diisi elektron dengan energy antara E dan

(E+∆E) dengan ∆E adalah 1. Tempat tersedia bersangkutan belum tentu terisi elektron,

hal ini bergantung dari fungsi distribusi energi elektron pada energy E dan suhu T

ditempat bersangkutan. Bentuk langsung g(E) seperti gambar dibawah ini :

g(E)

0 (E)

Sesungguhnya energi sepanjang sumbu energi E berharga diskrit, tidak

berkesinambung seperti dikesankan dalam sketsa. Sifat diskrit harga E berkaitan dengan

penerapan syarat batas siklis pada gelombang yang mempresentasikan elektron dalam

volume Kristal. Uraian yang berkaitan dengan prinsip tersebut dapat dijelaskan melalui

larangan pauli dan distribusi energy elektron bebas seperti dibawah ini.

Larangan Pauli

Larangan pauli (1925) pada hakekatnya menyatakan bahwa tidak ada dua atau

lebih elektron dalam suatu sistem yang memiliki energ tepat sama. Dalam mekanika

kuantum hal ini dinyatakan sebagai suatu sistem fisika. Dengan larangan pauli konsisten

pada statistic Fermi-dirac (1926) disingkat FD, yaitu :

( )

( )

dengan E adalan energy elektron bebas, Ef adalah energi Fermi. Sketsa fungsi f(E)

diperlihatkan seperti gambar dibawah ini yang disertai dengan beberapa fungsi T :

Sifat fungsi distribusi Fermi-dirac adalah :

1. Sangat berbeda dengan distribusi MB

2. Pada T = 0, f(E) = 1, bagi semua E<Ef dan f(E) = 0 untuk semua E>Ef

3. apabila (E - Ef) >>kBT, jadi untuk elektron dengan energy E yang besar diatas Ef

sebaranya menjadi f(E) ≡ e –(Kx +Ky+Kz)

jadi sebaranya berkecendrungan sebagai

distribusi Maxwell-Boltzman.

4. Sebaliknya apabila (Ef - E) >>kBT, jadi energy E rendah dan dibawah Ef, f(E) ≡ 1 - e

(Kx +Ky+Kz) artinya untuk E rendah harga F(e)→1.

5. Apabila E = Ef maka pada semua harga T, f(E) = 0,5

Rapat Elektron

Dengan ungkapan untuk rapat keadaan energy elektron g (E) dan sebaran energy

elektron menurut Fermi-dirac, dengan serta merta dapat ditetapkan distribusi diferensial

rapat elektron bebas dalam Kristal dengan fungsi deri energy elektron E :

( ) ( ) ( )

( )

( )

⁄

⁄

( ( ))

sedangkan rapat elektron bebas n yakni jumlah elektron bebas dari semua energi per

satuan volume adalah :

∫ ( ) ∫ ( ) ( )

Kontribusi Elektron Bebas Pada Panas Jenis Logam

Energi kinetik total elektron bebas per satuan volume logam sebagai :

∫ ( ) ( )

Dan hal itu dapat dinyatakan sebagai :

Dengan :

∫ ( )

Pada T = 0 harga f(E) = 1 dan E < Ef

Dari grafik diatas dapat diperoleh gambaran tentang cara mengevaluasi ∆U :

∫ ( ) ( )[ ] ∫[ ( ) ( )[ ]

Dengan demikian maka ungkapan untuk energi internal yang berasal dari energi

kinetik elektron bebas adalah :

∫ ( ) ∫[

] ( ) ( ) ∫[ ][ ( ) ( )

Suku pertama dalam ruas kanan merupakan tetapan, tidak bergantung T. Panas

jenis yang bersumber pada energi kinetik elektron bebas dalam logam adalah :

( ) ( )

[ ]

∫[

]

( ) ∫[ ]

(

) ( )

Evaluasi selanjutnya memberi :

( ) ∫[

]

( )

Khusus ditinjau (Cv)d pada suhu yang sangat rendah katakanlak keadaan dengan

KBT /Ef << 1/100 untuk keadaan seperti ∂f/∂T berarti disekitar E = Ef, sehingga :

( ) ( )∫ [

]

Untuk mengevalusi integral diatas perlu terlebih dahulu dicari ungkaspan untuk

∂f/∂T

( )

( )

( ( ) )

Bataskan besaran baru :

( )

maka :

( ) ( ) ∫ ( )

( )

( )( ) ∫

( )

( )( ) ∫

( )

( )

Karena :

( )

( )

⁄

( )

⁄

Jadi :

( )

Bila diambil kasus untuk T=0 K, maka diperoleh

Dengan demikian suseptibilitas Magnetiknya

Terlihat bahwa suseptibilitas di atas tidak bergantung secara kuat terhadap suhu.

Dengan harga EFo=2 eV didapatkan χ=5.10-6

yang sesuai dengan hasil eksperimen.

Meskipun perhitungan di atas diambil pada suhu nol mutlak, tetapi hasilnya valid dalam

rentang suhu yang cukup besar.

TUGAS FISIKA ZAT PADAT

TENTANG

ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI

Oleh :

LUSI FITRIAN SANI

1010442012

DOSEN : Drs.ALIMIN MAHYUDIN, M.Si

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS ANDALAS

PADANG

2013