Fisika Zat Padat Bab 1 2

7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2

http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 1/27

BAB I

STRUKTUR KRISTAL

1.1 . Pendahuluan

Suatu padatan dapat berupa kristal atau amorf. Berupa kristal jika atom-atom tersususun

sedemikian rupa sehingga posisinya periodik, sedangkan amorf jika atom-atom tersusun secara

tidak periodic. Sebagai ilustrasi untuk mengetahui susunan kristal dan amorf adalah sebagai

berikut:

> > > > > > > > > > > >

> > > > > > > > > > >>

> > > > > > >> > > > > >

> > > > > > > >> > > >

Gambar 1.1a. Struktur ristal Gambar 1.1b. Struktur !morf

1.2 . Kisi Kristal

isi kristal yang biasa disebut kisi dapat dikatakan sebagai abstraksi dari kristal, sehingga

kisi merupakan pola dasar atau pola geometri dari kristal, ilustrasi kisi dapat digambarkan

seperti gambar 1."

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

Gambar 1.". isi kristal

#itik-titik pada gambar 1." merupakan tempat kedudukan atom dalam suatu kristal, pada suatu

kristal setiap titik tersebut dapat ditempati oleh atom yang sama atau atom berbeda, namun

masing-masing posisi satu dengan yang lain tetap periodic.

isi ada dua kelompok: kisi Bra$ais dan non-Bra$ais. isi disebut kisi Bra$ais jika semua

titik kisinya e%ui$alen, sedangkan kisi non-Bra$ais jika ada beberapa titik kisi yang tidak

e%ui$alen. Gambar 1." merupakan ilustrasi dari kisi Bra$ais, sebab setiap titik pada gambar

tersebut sama, sedangkan gambar 1.& merupakan ilustrasi dari kisi non-Bra$ais sebab ada titk

kisi yang berupa ' titik 'yang bulat dan kecil.

1



• • • • •

• • • • •

• • • • •• • • • •

• • • • •

Gambar 1.&. isi non-Bra$ais

1.3 . Sel Satuan

Sel satuan ditentukan oleh dua $ector yang membatasinya, untuk dua demensi sel

satuan merupakan luasan suatu jajaran genjang yang dibatasi oleh sisi-sisi $ector a dan b

seperti gambar 1.&

Gambar 1.&. Sel satuan yang dibatasi $ector a dan b

Sel satuan tersebut mempunyai empat titik kisi di setiap pojoknya, tetapi masing-masing titik

kisi digunakan bersama oleh empat sel terdekat. (adi masing-masing sel satuan mempunyai satu

titik kisi.

Sel satuan untuk tiga demensi dibentuk oleh $ector ba, dan c seperti ditunjukkan

dalam gambar 1.) dan $olume sel satuannya adalah cbaV ×⋅=

Gambar 1.*. Sel satuan dalam " demensi

1.4 . Sel kisi Primitive dan non!rimitive

+

♦

♦

ab

a b

c



Sel satuan yang hanya mempunyai satu titik kisi disebut sel kisi primiti$e, sel tersebut

mempunyai $olune yang paling kecil, sedangkan sel non-primiti$e $olumenya

merupakan kelipatan dari $olume sel primiti$e.

1." . #m!at $elas Kisi Bravais dan tu%uh sistem Kristal

e empat belas macam kisi Bra$ais merupakan konsekuensi dari kondisi simetri

translasi. e empat belas kisi Bra$ais dikelompokkan dalam tujuh sistem kristal, masing-

masing dicirikan oleh bentuk dan simetri dari sel satuan. Sistem ini adalah #riklinik,

monoklinik, orthorhombic, tetragonal, kubik, heksagonal dan trigonalrhombohidral.

asing-masing bentuk kristal ditentukan oleh sumbu kristal ba, dan c serta sudut

kristal β α , dan γ seperti ditunjukkan pada gambar 1./

Gambar 1./. Bentuk kristal " dimensiSedangkan ke tujuh sistem kristal dan ke empat-belas kisi Bra$ais seperti pada table 1.1.

#abel 1.1. Sistem kristal dan kisi Bra$ais

0o. Sistem kristal isi Bra$ais Sumbu kristal dan sudut

kristal pada kon$ensional sel1. #riklinik Simple #riklinik

γ β α ≠≠≠≠ cba

+. onoklinik Simple onoklinik

Base-centered onoklinik β γ α ≠==

≠≠

2

cba

". 3rthorhombik Simple 3rthorhombik

Base-centered 3rthorhombik

4ace-centered 3rthorhombik

Body-centered 3rthorhombik

2===

≠≠

γ β α

cba

&. #etragonal Simple #etragonal

Body-centered #etragonal

2===

≠=

γ β α

cba

). 5ubic Simple cubic

4ace-centered cubicBody-centered cubic

2

===

==

γ β α

cba

"

ab

c

α γ

β



*. #rigonal Simple #rigonal

2,1+ ≠⟨==

==

γ β α

cba

/. 6e7agonal Simple 6e7agonal

1+

2

=

==

≠=

γ

β α

cba

1.& . Arah Kristal

!rah kristal dituliskan sebagai $ector cnbnan R 888 "+1 ++=

9engan :

bnan 8,8 +1 dan cn 8" masing-masing merupakan proyeksi $ector ke arah sumbu

a, b dan c. (ika +1 , nn dan "n merupakan bilangan bulat maka notasi arah kristal tersebut

adalah [ ]"+1 nnn , sedangkan jika +1 , nn atau "n merupakan bilangan pecahan maka

bilangan tersebut dikalikan dengan faktor kelipatan terkecilnya sehingga menjadi

bilangan bulat semua. (ika arah proyeksi $ector ke arah sumbu a, b atau c berla;anan

dengan arah a,b atau c maka arah yang berla;anan tersebut diberi simbul garis atas n .

Beberapa contoh arah kristal diberikan seperti gambar 1.<

Gambar 1.<. !rah bidang [ ] [ ] [ ] [ ]1+11+1=111=11 dan

etika sel satuan mempunyai simetri rotasi sama, maka ada beberapa arah kristal yang

eki$alen, contoh arah eki$alen untuk sistem kubus adalah [ ] [ ] [ ]1=1=1 . Semua arah yang

eki$alen diberi simbul "+1 nnn

1.' . Bidan( Kristal dan Indek )illers

&

a b

c

[ ]11

[ ]111

[ ]1+1[ ]1+1



3rientasi bidang pada suatu kristal ditentukan oleh indek illers, untuk menentukan

orientasi suatu bidang kristal pertama-tama menentukan perpotongan dengan sumbu a, b dan

c. isalkan perpotongan dengan masing-masing sumbunya adalah 7, y dan c, dengan 7 pa,

y %b dan ? rc., kemudian kita cari pasangan tiplet 1@p. 1@% dan 1@ r yang merupakan

pasangan bulat. 0otasi indek illers adalah h k l dengan h 1@p atau kelipatannya = k

1@% atau kelipatannya dan l 1@r atau kelipatanya. Beberapa contoh orientasi bidang kristal

ditunjukkan seperti gambar 1.2

a b

Gambar 1.2 a 3rientasi bidang 11 dan 1

b 3rientasi bidang 1+ dan +1

1.* . +arak Antar Bidan( dari Indek )illers Sama

0otasi jarak antar bidang dari indek illers sama adalah dhkl , rumus untuk menghitung dhkl

tergantung dari struktur kristalnya. Struktur kristal yang sisi-sisinya saling tegak lurus seperti

pada gambar 1.1, maka perhitungannya adalah sebagai berikut:

)

a b

c

11

1

a

b

c

1+

+1

α

β

γ

hkl

d

0ormal

a

b

c

,-



Gambar 1.1. (arak antar bidang dhkl

γ β α coscoscos z y xd hkl === 1.1

berdasarkan rumus trigonometri ada hubungan antara β α cos=cos dan γ cos yaitu:

1coscoscos +++ =++ γ β α 1.+

subtitusi persamaan 1.1 ke dalam persamaan 1.+ menjadi:

1

+++

= + + z d

yd

xd hkl hkl hkl 1."

sehingga :

+@1

+++

111

1

++

=

z y x

d hkl 1.&

karena

l

ncrc z

k

nb

qb y

h

na pa x

==

==

==

maka persamaan 1.& menjadi

+@1

+

+

+

+

+

+

++

=

c

l

b

k

a

h

nd hkl

1.)

dengan n adalah jarak antar bidang ke n.Antuk struktur kubus panjang kisi-kisinya sama yaitu a, maka jarak antar bidang

terdekatnya n1 adalah

( ) +@1+++l k h

ad hkl

++= 1.*

sedangkan struktur tetragonal jarak antar bidang terdekatnya

+@1+++

1

++

=

cl

ak h

d hkl

1./

*



1./ . Be$era!a 0ontoh Struktur Kristal Sederhana

Beberapa contoh struktur kristal sederhana diantaranya kristal: Sodium 5hlorida, 5esium

5hlorida, 6e7agonal 5lose-acked, Cntan dan Ding Sulfida.

Struktur Sodium 5hlorida 0a5l

Struktur kristal molekul 0a5l atau garam dapur berbentuk kristal kubus pusat muka

4ace 5entered 5ubic dan struktur kristalnya merupakan kristal ion, karena struktur kristal

tersebut terdiri dari ion 0aE dan ion 5l- seperti ditunjukkan pada gambar 1.11.

Gambar 1.11. Struktur kristal 0a5l adalah kubus pusat muka abc

dengan ion 0aE dan ion 5l-

osisi Con 0aE berada di : = F F = FF = F F , sedangkan ion 5l- berada di : F FF = F = F = F . (arak antar Con 0a E dan 5l-adalah setengah panjang kisi kubus,

masing-masing Con 0aE dikelilingi oleh enam Con 5l- terdekat. Basis dari kristal 0a5l adalah

0aE pada posisi dan 5l- pada posisi F F F . Struktur kristal jenis 0a5l ini juga dimiliki

antara lain oleh molekul-molekul : i6, g3, n3, !gBr, bS, 5l, Br.

Struktur 5esium 5hlorida 5s5l

Struktur kristal 5s5l berbentuk kubus pusat badan Body 5entered 5ubic sepertiditunjukkan pada gambar 1.1+.

/

ab

c

aa = ab =

ac =



Gambar 1.1+. Struktur kristal 5s5l dengan Con 5sE dan ion 5l-

(arak antara Con 5sE dan ion 5l- adalah setengah diagonal kubus

"+

a dan basis dari

struktur kristal 5s5l adalah ion 5sE pada posisi dan ion 5l - pada posisi F F F . Con 5l-

dikelilingi oleg delapan ion 5s. Struktur kristal jenis 5s5l dipunyai juga antara lain pada

kristal Be5u, !l0i, 5uDn. 5ud, !gg, i6g.

Struktur 6e7agonal 5lose-acked 65

Struktur 65 mempunyai sel primiti$e kisi he7agonal, tetapi dengan dua basis, yaitu

pada posisi dan +

1

+

1

"

+

seperti ditunjukkan pada gambar 1.1". Struktur 65 ideal

perbandinga kisi *",1"

<≈=

a

c . (umlah atom tetangga terdekat sebanyak 1+ atom dan

struktur tersebut merupakan salah satu struktur yang paling padat sama padat dengan

struktur 455. erbandingan $olume atom dengan $olume selnya atomic fraction /& H.

Gambar 1.1". Struktur 65 dengan basis pada

<

a

ab =

c



osisi dan+

1

+

1

"

+

1.1 Struktur Intan

Struktur kristal intan sama dengan struktur kristal 455 dengan & atom di dalamnya pada

posisi&

"

&

"

&

1,

&

"

&

1

&

",

&

1

&

"

&

",

&

1

&

1

&

1, seperti ditunjukkan pada gambar 1.1&

Gambar 1.1&. Struktur kristal intan9alam satu satuan kon$ensional sel terdiri dari < atom yaitu F atom pada masing-masing

* bidang muka kubus, 1@< atom pada masing-masing < pojok kubus dan & atom di dalam kubus.

1.11 Struktur in Sulide 5 nS6

Struktur DnS merupakan struktur kristal ion yang bentuknya sama dengan struktur kristal

intan, dimana ion DnEE pada posisi , F F, F F , F F dan posisi dari ion S - pada

posisi&1

&"

&",

&"

&1

&",

&"

&"

&1,

&1

&1

&1 . !da empat molekul DnS per sel kon$ensional,

Beberapa contoh struktur kristal jenis DnS adalah 5u4, Si5, 5u5l, Ga, Dn Se, Ga!s.

2

&

1

&

1

&

1

+ atom pertitik kisi



BAB II

7I8RAKSI 9#L:)BA;9 :L#< KRISTAL

2.1 Pendahuluan

ita belajar struktur kristal melalui difraksi photon, neutron maupun electron. 9ifraksi

tergantung dari struktur kristal dan panjang gelombangnya. (ika panjang gelombang jauh lebih

besar dari pada ukuran atom atau konstata kisi kristal maka tidak akan terjadi peristi;a difraksi,

tetapi akan terjadi peristi;a pemantulan. Sedangkan jika panjang gelombang mendekati ataulebih kecil ukuran atom dari kristal maka akan terjadi peristi;a difraksi. Akuran atom adalah

dalam orde I !ngstrom maka supaya terjadi peristi;a difraksi panjang gelombangnya harus

dalam orde I. Seperti disebutkan di atas bah;a ada " macam difraksi yaitu difraksi photon,

neutron dan elektron, sehingga sebagai contoh untuk mendapatkan panjang gelombang 1 I λ

1 I maka energi photon, neutron maupun elektron masing-masing:

Jnergi photon photon sinar-K keV hc

h E ",1+≈==

λ

υ

1



Jnergi 0eutron eV m

h

m

p E

nn

n <,++ +

++

≈==λ

Jnergi electron eV

m

h

m

p E

ee

n 1&&

++ +

++

≈==

λ 2.2 Pem$an(kit Sinar=

Sinar K adalah gelombang elektromagnetik yang mempunyai panjang gelombang dalam

orde !ngstrom I, panjang gelombang tersebut sama ordenya dengan konstanta kisi kristal,

sehingga sinar K sangat berguna untuk menganalisa struktur kristal.

Gambar +.1. embangkit Sinar K

Skema pembangkit sinar K seperti ditunjukkan dalam gambar +.1. Jlektron diemisikan

dari katode dalam tabung $akum dan dipercepat oleh beda potensial tinggi yang ditimbulkan

oleh oleh anode dan katode, sehingga electron memperoleh energi kinetik. etika electron

mengenai target, maka sinar akan di emesikan dari target tersebut. #arget yang terpasang pada

anode berupa logam o, 4e , 0i atau 5u.

Jmisi radiasi sinar K mempunyai spectrum kontinu yang lebar dan spectrum diskrit

secara o$erlap. Spektrum kontinu disebabkan emisi radiasi dari interaksi electron dengan

electron luar atom-atom dalam target akibatnya gerak electron ketika menumbuk target

mengalami perlambatan. eristi;a tersebut disebut peristi;a 'bremstrahlungL , sedangkan

spectrum diskrit disebabkan emisi setelah atom-atom dalam target tereksitasi karena electron

yang datang.

4rekuensi maksimum νo dari spectrum kontinu berhubungan dengan potensial

pemercepat eM h νo , sebab energi maksimum foton tidak dapat melebihi energi kinetik dari

electron datang. 6ubungan antara potensial dengan panjang gelombang minimum λo adalah

V

".1+ =λ I +.1

11

!



dengan M #egangan dalam kilo$olt.

etika sinar K mele;ati medium material, maka sebagian sinarK tersebut diserap oleh

material. Cntensitas dari sinar akan berkurang sesuai dengan formula :

( ) x I I α −= e7p

+.+

dengan C adalah intensial a;al pada permukaan medium, 7 jarak lintasan sinar dan α merupakan

koefiisien serapan. Berkurangnya intensitas seperti dalam persamaan +.+ disebabkan karena

peristi;a hamburan dan serapan sinar oleh atom medium.

2.3. <ukum Bra((

etika sinar K monokromatik datang pada permukaan kristal, sinar tersebut akan

dipantulkan. !kan tetapi pemantulan terjadi hanya ketika sudut datang mempunyai harga

tertentu. Besarnya sudut datang tersebut tergantung dari panjang gelombang dan konstanta kisi

kristal. Sehingga peristi;a tersebut dapat digunakan sebagai salah satu model untuk menjelaskan

pemantulan dan interferensi. odel tersebut ditunjukkan dalam gambar +.+, ketika kristal

digambarkan sebagai bidang parallel sesuai dengan bidang orientasi atomnya. Sinar datang

dipantulkan sebagian pada masing-masing bidangnya, dimana bidang tersebut berfungsi seolah-

olah sebagai cermin, dan pantulan sinar-sinar kemudian terkumpul pada detector. arena

kumpulan pantulan sinar - sinar tersebut merupakan sinar-sinar yang koheren dan ada selisih

lintasan dari masing-masing pantulan bidang kristal maka akan terjadi peristi;a interferensi

ketika diterima oleh detector.

Gambar +.+. antulan sinar K pada bidang kristal

1+

θ θ 5

!

B

9

Sinardatang

Sinar pantul

1

+

"

d

J



Cnterferensi kontruktif terjadi jika selisih lintasan antara dua sinar berturutan merupakan

kelipatan dari panjang gelombangnya λ. Berdasarkan gambar +.+ jarak selisih lintasan sinar

pantul 1 dan + adalah AE BD AB −+=∇ +."

dengan θ sind BD AB == dan θ

θ θ sincos+cos.

+

d AD AE == +.&

dengan d merupakan jarak antara + bidang pantul yang berdekatan dan θ sudut antara sinar

datang dan bidang pantul.Substitusi persamaan +.& dalam persamaan +." didapatkan

(θ

θ

θ sin+

sin

cos1+ +

d d =

−=∇ +.)

sehingga interferensi konstruktif terjadi jika

θ λ sin+d n = +.*

dengan n 1,+,",N. berturut-turut menujukkan oder pertama, ke dua, ke tiga dst. ersamaan

+.* pada umumnya disebut sebagai hukum Bragg untuk mempelajari struktur kristal.

(ika panjang gelombang sinar-K λ dapat ditentukan dari macam target tabung generator

sinar-7 dan θ dapat diukur dari percobaan sudut θ merupaka setengah sudut antara sinar datang

dan sinar difraksi. enurut persamaan +.* peristi;a difraksi terjadi apabila λO+d, sehingga

untuk gelombang optik tidak dapat digunakan .

2.4. <am$uran 5Satterin(6 dari suatu Atom

Beberapa atom dikelilingi oleh elektron-elektron yang mengalami percepatan karena

pengaruh medan magnet yang berhubungan dengan sinar-K yang menumbuknya. (ika suatu

muatan dipercepat memancarkan radiasi, demikian juga untuk elekton-elekton atom. !kibat dari

electron-elektron menyerap energy dari sinar-K, dan menghambur kesegala arah. #etapi elektron-

elektron membentuk a;an muatan charge cloud disekeliling atom, sehingga ketika kita

menganggap hamburan dari atom, kita harus memperhitungkan perbedaan fase sinar-sinar

hamburan dari tempat yang berbeda-beda disekitar a;an muatan. (ika hamburan dari sebuah

atom seperti ditunjukkan dalam gambar +.".

1"

Sinar datang

Sinarhamburan

Jlektron



Gambar +.". 6amburan dari sebuah elektron

(ika suatu medan gelombang datar pada sebuah electron diberikan sebagai :

( )t r k i Au ω −⋅= e7p +./

dengan: ! amplitudo, ok $ector gelombang ko +π@λ dan ω frekuensi anguler. edan

hamburan mengeluarkan gelombang sferis yang dituliskan sebagai:

( )[ ]t kDi D

A f u e ω −= e7pP +.<

dengan f e adalah suatu parameter yang diketahui sebagai panjang hamburan scattering length

dari electron, dan 9 adalah jarak radial dari electron ke titik dimana medan di e$aluasi. Besarnya

k adalah angka gelombang dari gelombang terhambur. 9an mempunyai besar sama dengan k.

Sebagai catatan bah;a amplitudo dari gelomabng hambur berkurang dengan seperjarak 1@9,

hal tersebut merupakan bagian dari sifat gelombang sferis.

!ndaikan gelombang datang berinteraksi dengan dua eelektron seperti ditunjukkan pada

gambar +.& dalam hal ini, ke dua electron memancarkan gelombang sferis, dan medan hambur

yang diamati pada suatu jarak tertentu adalah merupakan penjumlahan dari dua medan, dimana

perbedaan fasenya harus turut dihitung, sehingga secara matematis dapat ditulis sebagai:

( ) ( )( )[ ]δ ++= kDiikD D

A f u e e7pe7pP +.2

dengan δ merupakan beda fase antara gelombang dari elektron 1 dan electron +.

Gambar +.&. 6amburan dari + elektron

9ari gambar +.& ketinggalan fase δ gelombang dari electron 1 terhadap electron + dapat ditulis

( ) ( )k ! r ! r " E # E 11 88+ ⋅−⋅=−=

λ π δ +.1

1&

8!

! 8

Sinardatang r

J1

J+

0



dengan r merupakan jarijari $ector electron + relatif terhadap electron 1, 8! dan ! 8 berturut Q

turut merupakan unit $ector arah sinar datang dan sinar hambur, ekspresi untuk δ dapat ditulis

dalam bentuk

r s ⋅=δ +.11dimana $ector hamburan scattering $ector s didefinisikan sebagai:

( ) k k ! ! k s −=−= +.1+

Seperti ditunjukkan dalam gambar +.) , besarnya $ector hamburan diberikan oleh

θ sin+k s = +.1"

dimana θ adalah setengah sudut hamburan scattering angle.

Gambar +.). Mektor hambur s

(ika persamaan +.11 di substitusikan ke persamaan +.2, maka didapatkan( )( )[ ]r siikD

D

A f u e ⋅+=

e7p1e7pP +.1&

di dalam penurunan persamaan tersebut, kita telah memilih pusat koordinat di electron 1. #etapi

untuk lebih sesuai kita pilih pusat disembarang titik. Sehingga untuk hamburan dari + elektron

medan hambur dapat ditulis sebagai :

( ) ( )( )[ ]+1 e7pe7pe7pP r sir siikD D

A f u e ⋅+⋅= +.1)

dimana 1r dan +r merupakan $ector posisi dari dua electron terhadap titik pusat yang baru.ersamaan +.1& merupakan hal khusus dari persamaan +.1), dimana 1 =r dalam hal ini

pusat dipilih posisi electron 1. ersamaan umum untuk 0 electron hambur adalah

( ) ( )∑=

⋅= "

l l e r siikD

D

A f u

1

e7pe7pP

+.1*

dengan l r adalah posisi dari electron ke l , !nalogi dengan hal ini untuk elekron tunggal pada

persamaan +.< , panjang hambur scattering length untuk sistem itu adalah

( )∑ ⋅=l

l e r si f f e7p +.1/

1)

θ +

k

k

s



#otal panjang hambur adalah jumlah dari masing-masing panjang dengan phase telah masuk

dalam perhitungan. Cntensitas C dari sinar hambur adalah proporsional dengan kudrat dari

besarnya medan, sehingga

( )

+++

e7p∑ ⋅=∝ r si f f I e

+.1<hasil persamaan-persamaan +.1/ dan +.1< adalah persamaan dasar dalamperlakuan hamburan

dan proses difraksi.

ersamaan intensitas dalam persamaan +.1< merupakan intensitas hasil interferensi

antara beberapa sinar hambur yang koheren, apabila sinar-sinar hambur tersebut tidak koheren,

maka tidak akan terjadi interfensi, sehingga Cntensitas totalnya+e "f I ∝ +.12

dengan 0 merupakan jumlah hamburan.anjang hambur electron telah dikenal dengan baik dandapat ditemukan dalam buku

elektromagnit yaitu:

( )[ ] ee r f +@1+

+@+cos1 θ += +.+

dengan r e disebut jari-jari klasikclassical radiuselectron, dan mempunyai harga sekitar 1-1) m.

ita sekarang dapat menerapkan hasil itu ke dalam aton bebas tunggal. 9alam usaha

untuk menerapkan persamaan +.1/, dimana jumlah dari semua electron yang tampak, kita

mencatat bah;a electron tidak mempunyai posisi diskrit, tetapi menyebar sebagai muatan a;ancontinu ke seluruh muatan atom. Sehingga perlu dikon$ersi dari bentuk diskrit ke bentuk

kontinu, yaitu dengan mengubah ∑ ke bentuk ∫ :

( ) ( ) ( ) r d r sir f r si f el

l e"e7pe7p ⋅→⋅ ∫ ∑ ρ +.+1

dimana ρr merupakan kerapatan a;an muatan dalam elektron per $olume dan integral

meliputi semua $olume atom. 4aktor hambur atom the atomic scattering factor f a didefinisikan

sebagai integral yang diekspresikan dalam bentuk( ) ( )r sir d f a ⋅= ∫ e7p" ρ +.++

f a merupakan besaran tanpa satuan. Cntegral tersebut dapat merupakan persamaan yang lebih

simple jika kerapatan ρr simetri bola, dan persamaan +.++ menjadi

( ) ( )

dr sr

sr r r f

R

a

sin&

" ρ π ∫ = +.+"

dengan adalah jari-jari atom, Seperti dilihat dalam persamaan +.+" faktor hambur f a

tergantung dari sudut hambur θ sin+k s = , dan hal itu datang dari adanya faktor osilasi( ) sr sr @sin dalam integral. anjang gelombang osilasi adalah berbanding terbalik dengan s

1*



seperti ditunjukkan dalam gambar +.*. ita dapat melihat bah;a sudut hambur + θ bertambah,

sehingga $ector hambur s bertambah pula dan hasinya adalah berkurangnya faktor hambur f a.

Gambar +.*. 4aktor osilasi ( ) sr

sr sin

2.". <am$uran dari Kristal

#ujuan dalam subbab ini untuk mengin$estigasi hamburan dari kristal, dan kita akan

melanjutkan persamaan +.1/ untuk keadaan ini. !nalog dengan pembicaraan hamburan satu

atom, kita definisikan faktor hambur kristal crystal scattering factor f cr sebagai berikut( )∑ ⋅=

l l cr r si f e7p +.+&

penjumlahan dalam hal ini merupakan pada penjumlahan ke seluruh elektron dalam kristal, kita

mungkin membagi persamaan +.+& menjadi + bagian : pertama kita menjumlah ke seluruh

elektron dalam atom tunggal dan jumlah keseluruh atom dalam kisi. (ika penjumlahan yang

pertama menunjukkan faktor hambur atom, maka persamaan +.+& menjadi bentuk

( l l

at cr R si f f ⋅=∑ e7p +.+)

dengan l adalah posisi atom ke l dan f at berhubungan dengan faktor atom.

2.&. Struktur 8aktor Kisi

Struktur faktor kisi S didefinisikan sebagai penjumlahan keseluruhan dari semua sel

satuan, yang dituliskan secara matematika dalam bentuk

∑ ⋅=l

cl R si! e7p +.+*

dengan cl

R merupakan posisi dari sel ke l . 6al ini sangat penting dalam membahas tentang

hamburan sinar-K. arilah kita selidiki ketergantungan S pada $ector hambur s .

1/



ita mulai dengan situasi yang sangat sederhana, suatu hamburan sinar-K satu kisi

monoatomik satu demensi, seperti ditunjukkan dalam gambar +./.

Gambar +./. 6amburan dari kisi satu dimensi

(ika kita misalkan $ector basis dari kisi adalah a , maka struktur faktornya menjadi

( )∑=

⋅= "

l

al si! 1

e7p

+.+/

dimana kita menggantikan al Rcl = dan 0 merupakan jumlah total atom. 9engan penjabaran

secara matematika persamaan +.+/ dapat ditulis sebagai

( )

⋅

⋅

=

+sin

+sin

a s

a s "

!

+.+<

embahasan dalam fisika, kita memilih menge$aluasi S+ dari pada S, sebab S+ merupakan

kuantitas dari intensitas yang diberikan oleh persamaan

( )

⋅

⋅

=

+sin

+sin

+

+

+

a s

a s "

!

+.+2

S+ dalam persamaan +.+2 merupakan perbandingan dari dua fungsi osilasi yang mempunyai

periodisitas π +=⋅ a s , karena 0 sangat besar maka osilasi pembilang lebih cepat dibandingkan

pada penyebut. ada keadaan khusus =⋅ a s baik pembilang dan penyebut hilang bersamaan,

tetapi harga limit dari S+ 0+ yang merupakan nilai yang sangat besar. 0ilai itu mirip dengan

harga S+ pada π +=⋅ a s yaitu S+ 0+. sehingga S+ merupakan suatu fungsi periodic seperti yang

ditunjukkan dalam gambar +.<

1<

Sinar datang

S

1 +

S

!

B

5

9

a



Gambar +.<. 9ifraksi maksimum

ada gambar +.< terdapat + maksimum yaitu pada =⋅ a s dan π +=⋅ a s . 9ari perhitungan

menunjukkan bah;a ketika jumlah sel sangat besar, puncak-puncak kecil dapat diabaikan

terhadap puncak primer puncak yang paling tinggi, sebagai contoh puncak yang paling tinggi

dari puncak-puncak kecil hanya ,& puncak yang primer. 9an kita ambil fungsi S + tidak

berharga nol jika pada puncak primer. ebih jauh dapat juga ditunjukkan bah;a bah;a lebar dari

masing-masing puncak primer maksimum berkurang dengan cepat ketika 0 bertambah. 9an

lebar puncak lenyap ketika limit 0 ∞. Sehingga S+ tidak lenyap hanya jika =⋅ a s , +π Sebab

S+ periodik dengan periodisitas +π, juga terbatas pada semua harga

ha s π +=⋅ , dengan h bilangan asli ,1,+,",N +."

ada harga tersebut S+ sama dengan 0+ atau S0.

ersamaan +.+2menentukan semua arah yang mana S tidak mempunyai harga nol dan

arah disini adalah dimana difraksi terjadi. 9ari persamaan +.1+ dan memperhatikan gambar +./

didapatkan

( ) ( )%B ADa! ! a s −=⋅−=⋅ λ

π

λ

π ++

+."1Rang mana beda fase diantara dua sinar hambur berurutan, sehingga persamaan +." adalah

kondisi untuk interferensi konstruktifpenguatan

Antuk harga tertentu dari h, persamaan +." kenyataannya tidak menentukan arah

tunggal, tetapi arah yang tak berhingga membentuk suatu kerucut yang a7isnya terletak

sepanjang garis kisi. Antuk melihat hal itu kita dapat menulis persamaan +." menjadi

( ) hπ α α

λ

π +coscos

+ =− +."+

12



dimana α adalah sudut antara sinar datang dan garis kisi dan α berhubungan dengan sudut sinar

terdifraksi. 9ifraksi kerucut berhubungan dengan beberapa harga h seperti ditunjukkan pada

gamabr +.2

Gambar +.2. 9ifraksi kerucut untuk order pertama h dan order ke dua h 1

(ika ditinjau $ektor kisi dalam " dimensi maka struktur faktor dalam persamaan +.+*

menjadi

( )( )∑ ++⋅="+1 ,,

"+1e7pl l l

cl bl al si! +.""

dengan ba, dan c merupakan $ector basis, dan penjumlahan rangkap tiga merupakan

penjumlahan semua sel dalam kristal. ita dapat memisah penjumlahan tersebut dalam " bagian penjumlahan

( ) ( ) ( )

⋅

⋅

⋅= ∑∑∑

"+1

"+1 e7pe7pe7pl l l

al sial sial si! +."&

ondisi untuk interferensi konstruktif adalah masing-masing dari tiga faktor tersebut masing-

masing harus terbatas. Ctu berarti bah;a s harus memenuhi ketiga persamaan di ba;ah

π

π

π

+

+

+

l c s

k b s

ha s

=⋅

=⋅

=⋅

+.")

dengan h,k dan l merupakan set bilangan bulat. enulisan dalam bentuk sudut yang dibentuk

oleh s dengan $ector basis, dengan menganalogikan dengan persamaan +."+, persamaan +.")

menjadi

( )

( )

( ) λ γ γ

λ β β

λ α α

l c

k b

ha

=−

=−

=−

coscos

coscos

coscos

"."*

+



dengan ,β α dan γ adalah sudut yang dibentuk antara sinar datang dengan $ekktor basis,

sementara β α , dan γ berhubungan dengan sinar difraksi. ersamaan +.") dan +."* dikenal

sebagai persamaan aue nama orang yang menemukan persamaan tersebut.

2.'. Kisi Resi!rokal dan 7iraksi Sinar=

ulai dengan kisi yang mempunyai $ector basis ba, dan c , kita dapat mendifinisikan

suatu himpunan baru dari $ector basis yaitu 11,ba dan 1c yang memenuhi persamaan

( ) ( )cb

cbaa

×

×⋅=

π +1

( ) ( )ac

cbab

×

×⋅=

π +1 +."/

( ) ( )ba

cbac

××⋅

= π +1

dengan ( cba ×⋅ merupakan $olume sel satuan. ita sekarang dapat menggunakan $ector

11,ba dan 1c sebagai basis dari kisi baru yang $ektornya diberikan sebagai

1"1+11 cnbnan&n ++= +."<

dengan +1,nn dan "n merupakan himpunan bilangan bulat. isi baru tersebut disebut sebagai

kisi resiprokal, dan 11,ba dan 1c disebut sebagai $ector basis resiprokal.

6ubungan antara $ector basis resiprokal 11,ba dan 1c dengan ba, dan c ditunjukkan

pada gambar +.1

+1

a

b

c

1a

1b

1c



Gambar +.1. Mektor basis resiprokal

Mektor 1a merupakan normal dari bidang yang dibentuk oleh $ector b dan c , demikian juga

untuk 1b merupakan normal dari bidang yang dibentuk oleh $ector c dan a ,serta 1c

merupakan normal dari bidang yang dibentuk oleh $ector a dan b . (ika $ector basis ba, dan

c membentuk set orthogonal, maka 11,ba dan 1c juga orthogonal, dengan 1a sejajar dengan

a , 1b sejajar dengan b , demikian juga 1c sejajar dengan c .

6ubungan matematika berikut adalah berguna dalam hubungan dengan kisi resiprokal

π +1 =⋅ aa 11 =⋅=⋅ caba

π +1 =⋅bb 11 =⋅=⋅ cbab +."2π +1 =⋅ cc 11 =⋅=⋅ bcac

baris pertama pada persamaan +."2, sebagai contoh, dapat dibuktikan sebagai berikut: Antuk

membuktikan π +1 =⋅ aa , kita mensubstitusikan persamaan baris pertama persamaan +."/ ke

dalam persamaan tersebut, sehingga ditemukan ( ) ( ) π

π +

+1 =⋅×

×⋅=⋅ acb

cbaaa

, e dua persamaan

berikutnya yaitu 11 =⋅=⋅ caba , untuk membuktikan persaan tersebut kita tahu bah;a Mektor

1a adalah tegak lurus bidang yang dibentuk oleh $ector b dan c , sehingga dot product antara

$ector 1a dengan b maupun c sama dengan nol.

5ontoh kisi reciprocal ditunjukkan pada gambar +.11, gambar +.11a menunjukkan suatu

kisi satu demensi dan resiprokalnya. 5atatan bah;a dalam hal ini 1a adalah sejajar a dan

aa 11 = , gambar +.11b menunjukkan bidang kisi tegaklurus dan resiprokalnya, contoh "

dimensi adalah lebih komplek, tetapi prosedur untuk menentukan 11,ba dan 1c adalah sesuaidengan persamaan +."/, sebagai contoh bah;a kisi suatu kubus sederhana a maka kisi

reciprocal untuk kubus sederhana adalah

( ) aa

cba

a 8++

"1

π π =×=

( ) ba

aca

b 8++"1

π π =×=

+.&

( ) cabaac 8

++"1

π π

=×=

++



dengan persamaan +."/ kita dapat menentukan bah;a resiprokal dari B55 adalah merupakan

kisi dari 455, atau sebaliknya.. ita dapat menentukan bah;a antara kisi dan kisi resiprokalnya

selalu sama dengan system kristalnya, sehingga resiprokal untuk kisi monoklinik, triklinik,

orthorhombic, tetragonal, kubik, trigonal dan he7agonal adalah juga monoklinik, triklinik,

orthorhombic, tetragonal, kubik, trigonal dan he7agonal.

Gambar +.11a. isi dan kisi resiprokal untuk kisi kristal satu demensi

Gambar +.11b. isi resiprokal untuk kisi dua demensi

Sel satuan resiprokal dipilih dalam suatu cara khusus, misalkan pada kisi persegi panjang

seperti pada gambar +.1+ dipilih titik 3 sebagai pusat dan gambar $ector-$ektor kisi dengan cara

menghubungkan setiap titik kisi tetangga ke titik pusat, kemudian gambar garis tegak lurus pada

setiap $ector kisi dari titik tengahnya. uasan terkecil yang dibatasi garis-garis tersebut yang

berupa luiasan persegi panjang ! adalah sel satuan resiprokal dan biasa disebut daerah Brillouin pertama. 9aerah BrillouinBD adalah suatu sel satuan yang diterima, sebab hal itu memenuhi

semua persyaratan penting.Ctu juga mempunyai sifat yang berhubungan dengan titik-titik kisi

tepat pada pusat sel tidak seperti halnya dalam kisi.yang titik-titik kisinya terletak pada pojok sel.

(ika daerah Brillouin pertama sekarang ditranslasikan oleh semua $ector resiprokal Gn maka

seluruh ruang kisi resiprokal tertutup.

9aerah Brillouin untuk kisi "-demensi dapat dikontruksikan mirip pada +-demensi, tetapi

catatan bah;a dalam hal ini $ector resiprokal kisi dibagi dua oleh bidang tegak lurus, dan BD pertama sekarang merupakan $olume terkecil tertutup bidang-bidang tegak lurus tersebut.

+"

isi kristal a



9alam hal paling sederhana yaitu pada kisi kubus sederhana, diba;ah ini adalah daerah Brillouin

pertama untuk kubus sederhana, kubus pusat badan dan kubus pusat muka.

9aerah Brillouin pertama untuk kubus sederhana :

(ika $ektor basis primiti$e dari kisi kubus sederhana dinyatakan dalam yab xaa 8=8 ==

dan z ac 8= , dengan y x 8=8 dan z 8 adalah $ector satuan panjang dan satu sama lain adalah

orthogonal, maka $olume dari sel tersebut adalah "acba =×⋅ . Mektor basis primitif resiprokal

ditentukan seperti pada persamaan +.& yaitu :

xa

a 8+

1

= π

= ya

b 8+

1

= π

dan z a

c 8+

1

= π

+.&1

disini kisi resiprokal merupakan kisi kubus sederhana pula dan konstanta kisinya +π@a.

erbatasan dari daerah-daerah Brillouin C adalah normal bidang pada tengah-tengah enam

$ector resiprokal 111 == cba ±±± :

xa

a 8+

11

±=± π

= ya

b 8+

11

±=±

π

dan z a

c

±=± π

1+

1 +.&+

Jnam bidang membatasi kubus dengan rusuk +π@a dan $olume +π@a", kubus tersebut

merupakan daerah Brillouin C kisi kristal kubus sederhana.

9aerah Brillouin pertama untuk kubus pusat badan :

Mektor basis primiti$e dari kisi kubus pusat badan seperti pada gambar +.1+ dapat

dinyatakan dalam :

( ) z y xa

a 888+

++−= = ( ) z y xa

b 888+

+−=

dan ( ) z y xa

c 888+

−+= +.&"

dengan a merupakan rusuk dari kubus kon$ensional dan z y x 8=8=8 adalah satuan $ector yang

saling tegak lurus orthogonal dan masing-masing satuan $ector parallel dengan rusuk kubus.

+&



Gambar +.1+. Mektor basis primiti$e kubus pusat badan

Molume sel primiti$enya adalah

"

+

1acbaV =×⋅=

+.&&

Mektor basis primiti$e resiprokal dapat ditentukan menggunakan persamaan +."/ :

( ) z ya

a 88+

1 +

= π

= ( ) z xa

b 88+

1 +

= π

= ( ) y xa

c 88+

1 +

= π

+.&)

persamaan +.&) merupakan $ector primiti$e dari kisi kubus pusat muka, sehingga suatu kisi

kubus pusat muka juga merupakan kisi resiprokal kisi kubus pusat badan.

Secara umum $ector kisi resiprokal adalah:

( ) ( ) ( )[ ] z k h yl h xl k a

cl bk ah& 888+111 +++++=++= π +.&*

G paling pendek adalah meliputi 1+ $ektor, dimana semua pilihan tanda adalah independent :

( ) z ya

88+ ±±

π

= ( ) z xa

88+ ±±

π

= ( ) y xa

88+ ±±

π

+.&/

Sel primiti$e kisi resiprokal adalah parallelepiped yang digambarkan oleh 111 == cba .

Molume sel tersebut dalam ruang resiprokal adalah"

111

+

+

=×⋅= acbaV

π

+.&<

Sel tersebut terdiri satu titik kisi resiprokal , sebab masing-masing kedelapan titik pojok dibagi

antara delapan parallelepiped. asing-masing parallelepiped terdiri seperdelapan dari masing-

masing kedelapan titik pojok.

9i dalam fisika ?at padat kita mengambil sel pusat kisi resiprokal sebagai daerah

Brillouin C. asing-masing sel terdiri satu titik kisi pada pusat titik dari sel tersebut. 9aerah

tersebut untuk kisi kubus pusat badan dibatasi oleh normal bidang ke 1+ $ektor persamaan

+.&/ pada titik tengahnya. 9aerah Brillouin C seperti ditunjukkan pada gambar +.1& . Mektor dari titik origin ke pusat masing-masing muka adalah

( ) z ya

88 ±±

π

= ( ) z xa

88 ±±

π

= ( ) y xa

88 ±±

π

+.&2

Semua pilihan tanda adalah independen, memberikan 1+ $ektor.

+)



Gambar +.1&. 9aerah Brillouin C kubus pusat badan

9aerah Brillouin pertama untuk kubus pusat muka :

Mektor basis primitif dari kisi kubus pusat muka seperti pada gambar +.1) dapat

dinyatakan dalam :

( ) z ya

a 88+

+= = ( ) z xa

b 88+

+=

dan ( ) y xa

c 88+

+= +.)

Gambar +.1). Mektor basis primitif kubus pusat muka

Molume sel primitifnya :

"

&

1acbaV =×⋅= +.)1

Mektor basis primitif resiprokal dari kubus pusat muka dapat ditentukan menggunakan persamaan +."/ yaitu :

+*



( ) z y xa

a 888+

1 ++−

= π

= ( ) z y xa

b 888+

1 +−

= π

= ( ) z y xa

c 888+

1 −+

= π

+.)+

persamaan +.)+ merupakan $ektor primitif kubus pusat badan, sehingga kisi kubus pusat badan

adalah resiprokal dari kisi kubus pusat muka. Molume sel primiti$e dari kisi resiprokal adalah

"+

&

a

π . 9aerah Brillouin C dibatasi oleh normal bidang ke < $ektor ( ) z y xa

888+ ±±±

π

pada

titik tengahnya. 9aerah Brillouin C seperti ditunjukkan pada gambar +.1*

Gambar +.1*. 9aerah Brillouin C kubus pusat muka

http:@@;;;.lpp.uns.ac.id@;eb@moodle@moodledata@)/@4isikaDatadatBab1+.9oc

http://www.lpp.uns.ac.id/web/moodle/moodledata/57/Fisika_Zat_Padat_Bab_1_2.Doc

http://www.lpp.uns.ac.id/web/moodle/moodledata/57/Fisika_Zat_Padat_Bab_1_2.Doc

Fisika Zat Padat Bab 1 2

Documents

Transcript of Fisika Zat Padat Bab 1 2