BAB 4 LOGAM I: MODEL ELEKTRON BEBAS

4.1 Kata Pengantar

4.2 Elektron konduksi

4.3 Gas elektron bebas

4.4 Konduktivitas listrik

4.5 Resistivitas listrik terhadap temperatur

4.6 Kapasitas termal pada Elektron Konduksi

4.7 Permukaan Fermi

4.8 Konduktivitas listrik; efek permukaan Fermi

4.9 Konduktivitas termal pada logam

4.10 Pergerakan dalam medan magnet: resonansi siklotren dan efek Hall

4.11 Konduktivitas AC dan sifat optik

4.12 Emisi termionis

4.13 Kesalahan dalam model elektron bebas

4.1 KATA PENGANTAR

Logam sangat berperan penting dalam keseharian kita. Besi dipakai dalam industri

automobil, tembaga dalam jaringan kelistrikan, perak dan emas sebagai perhiasan. Logam-

logam ini telah memerankan sebuah peranan penting dalam perkembangan teknologi kita,

dunia industri dari sejarah awal hingga saat ini dan akan terus berlanjut hingga masa yang

akan datang.

Logam dikarakteristikan dengan sifat fisik pada umumnya yakni: bahan yang kuat,

kerapatan yang tinggi, kelistrikan yang baik, dan konduktivitas panas, serta reflektivitas optik

yang tinggi, karakteristik ini yang menyebabkan logam berkilauan. Penjelasan dari sifat ini

sangat penting bagi fisikawan yang tertarik dalam memahami struktur mikroskopis dari

material, dan juga untuk metalurgist serta teknisi yang menggunakan logam dalam

pekerjaanya.

Pada bab ini kita akan melihat bahwa sifat logam ini sangatlah berhubungan. Dengan

mengasumsikan bahwa logam mengandung konsentrasi besar elektron bebas yang

memungkinkannya berpindah melewati kristal. Dalam bagian kata pengantar kita

mengembangkan konsep dari model elektron bebas. Kita kemudian menjelaskan bagaimana

elektron dapat membawa sebuah arus dalam medan listrik. Setelah itu kita akan menghitung

panas tertentu pada elektron, dan memperlihatkan bahwa kesesuaian dengan percobaan dapat

ditemukan hanya dengan elektron yang mematuhi asas larangan Pauli. Hal ini

memperkenalkan konsep penting dari tingkat Fermi dan permukaan Fermi, yang kemudian

akan bekerja untuk mengembangkan penjelasan lebih jelas mengenai kelistrikan dan

konduksi termal pada logam.

Efek medan magnet dalam pergerakan elektron bebas juga akan didiskusikan. Kita akan

membuktikan, dengan fakta-fakta, bagaimana siklotren beresonansi dan pengukuran efek

Hall dapat menghasilkan keterangan dasar logam.

Beberapa sifat yang sangat menarik mengenai logam yakni dalam jangkauan frekuensi

optik. Kita akan mendiskusikan hal ini dalam beberapa rincian, dan memperlihatkan bahwa

model elektron bebas dapat menjelaskan sifat yang teramati. Kita akan mendiskusikan pula

emisi termionis elektron dari logam. Kemudian, pada akhirnya, kita akan mengupas tuntas

model elektron bebas dan membicarakan batasannya.

4.2 ELEKTRON KONDUKSI

Apakah yang dimaksud dengan Elektron Konduksi? Kita akan menjawab pertanyaan ini

dengan contoh, yakni dengan menggunakan logam yang paling sederhana, Na, sebagai

ilustrasi. Pertama, pertimbangkan Na sebagai gas, yang merupakan kumpulan dari atom-atom

bebas, setiap atom memiliki 11 elektron yang mengorbit mengelilingi inti. Dalam kimia,

elektron-elektron ini dikelompokkan menjadi dua kelas: 10 elektron inti yang terdapat dalam

struktur stabil pada lapisan pertama dan lapisan kedua (orbit Bohr), dan sebuah elektron

valensi terikat longgar pada lapisan terakhir. Elektron valensi ini, yang terletak pada lapisan

atomik ketiga, adalah elektron yang berperan dalam kebanyakan sifat umum kimia dari Na.

dalam reaksi kimia, atom Na biasanya kehilangan elektron valensi ini, karena ikatan yang

longgar dan ion Na+ terbentuk. Inilah yang terjadi, sebagai contoh, dalam NaCl, elektron

yang berpindah dari Na ke atom Cl. Jarak dari lapisan ketiga dalam Na adalah 1.9 Å.

Sekarang atom Na dalam bentuk logam. Dalam keadaan logam, Na memiliki struktur bcc

(Bagian 1.7) dan jarak antar tetangga terdekat adalah 3.7 Å. Kita lihat pada Gambar 4.1

bahwa dalam keadaan padat dua atom saling menindih. Dari pengamatan ini, sebuah elektron

valensi tidak lagi terikat pada ion tertentu, namun terikat pada kedua ion tetangganya pada

waktu yang sama. Ide ini menuntun pada langkah selanjutnya: sebuah elektron valensi

sebenarnya terikat pada keseluruhan kristal, semenjak elektron tersebut dapat bergerak segera

dari satu ion ke ion tetangga dan kemudian dari tetangga ke tetangga dan selanjutnya.

Elektron yang bergerak ini, yang disebut elektron valensi dalam atom bebas, mejadi sebuah

Elektron Konduksi dalam sebuah padat.

Gambar 4.1 Penindihan orbit 3s dalam sodium padat

Tentu saja, setiap atom berkontribusi dalam elektron konduksinya, dan setiap elektron

terikat pada keseluruhan kristal. Hal ini disebut elektron konduksi karena setiap atom dapat

membawa arus listrik dalam gerakan medan listrik. Konduksi dimungkinkan karena setiap

elektron konduksi menyebar ke seluruh medium padat (delokalisasi) dibandingkan terikat

pada atom tertentu lainnya. Sebaliknya, elektron yang sudah terlokalisasi tidak membawa

arus. Sebagai contoh, elektron inti dalam logam Na, terletak dipusat sekeliling inti pada kisi-

kisi tempat, tidak berkontribusi apapun pada arus listrik. Keadaan elektron-elektron ini dalam

medium padat berbeda sedikit dari yang berada dalam atom bebas.

Kesimpulannya : Ketika atom bebas membentuk sebuah logam, kesemua elektron valensi

menjadi elektron konduksi dan keadaannya termodifikasi lebih mendalam, ketika elektron

inti masih terlokalisasi dan sifatnya tidak berubah secara esensial. Seperti halnya elektron

valensi berperan atas sifat kimia, sehingga elektron konduksi berperan dalam kebanyakan

sifat logam, seperti yang akan kita lihat.

Perghitungan jumlah dari elektron konduksi dari valensi logam dan kerapatannya.

Sehingga dalam Na, banyaknya elektron konduksi sama dengan jumlah atom, dan hal yang

sama berlaku untuk K, dan juga untuk logam mulia Cu, Ag, Au, kesemua yang bervalensi

satu. Dalam logam bervalensi dua seperti Be, Mg, Zn, dan Cd jumlah elektron dua kali dari

jumlah atomnya, dan selanjutnya. Jika kerapatan dari substansi adalah ρm, kemudian

konsentrasi atom adalah (ρm/M’)NA, dimana M’ adalah berat atom dan NA adalah bilangan

Avogadro. Valensi atomik dinotasikan oleh Zv, kemudian temukan konsentrasi elektron.*

N ∞ ZV

ρm N A

M '(4.1)

4.3 GAS ELEKTRON BEBAS

Dalam model elektron bebas, yang menjadi dasar dari bab ini, elektron konduksi

diasumsikan menjadi sepenuhnya bebas, kecuali untuk sebuah potensial pada permukaan

(lihat Gambar 4.2), yang memiliki efek membatasi elektron ke bagian dalam spesimen.

Berdasarkan model ini, elektron konduksi bergerak didalam spesimen tanpa bertabrakan,

* Pada bab ini kita gunakan simbol N untuk konsentrasi elektron. Simbol n akan dipakai dalam indeks refraksi optik, hal ini didiskusikan pada Bagian 4.11

kecuali untuk sebuah refleksi yang sekali terjadi dari permukaan, seperti molekul didalam

sebuah gas ideal. Karena hal ini, kita sebut gas elektron bebas.

Gambar 4.2 Potensial dalam model elektron bebas

Lihatlah pada model lebih dekat lagi. Sangatlah mengejutkan bahwa model tersebut valid

untuk kesemuanya, pada pandangan pertama, elektron konduksi berinteraksi dengan ion

dalam background dan juga dengan lainnya. Interaksi ini sangatlah kuat, dan oleh sebab itu

elektron akan mengalami tabrakan lebih sering; gambar gas non ideal yang sangat tinggi

seharusnya muncul terlebih dahulu. Jadi mengapa model elektron bebas bekerja? Jawaban

dari pertanyaan dasar tidaklah diketahui oleh ilmuwan yang pertama kali menemukan

postulat ini. Sekarang kita mengetahui jawabannya, namun karena ini membutuhkan

penggunaaan mekanika kuantum, maka kita akan menunda diskusi hingga Bab 5. Hanya

penyataan kualitatif singkat saja yang dijabarkan disini.

Alasan mengapa interaksi antara ion menjadi lemah. Meskipun elektron berinteraksi

dengan ion melalui daya tarik Coulomb, efek kuantum memperkenalkan sebuah potensial

repulsive tambahan, yang menjaganya untuk membatalkan daya tarik Coulomb. Potensial

net, diketahui sebagai pseudopotensial menjadi lemah, secara khusus dalam kasus logam

alkali. Pendekatan lain yang dapat dicatat bahwa, ketika sebuah elektron melalui sebuah ion,

kecepatannya meningkat secara cepat dalam ion tetangga (Gambar 4.3), dikarenakan

pelemahan dalam potensialnya. Karena hal ini, elektron menghabiskan hanya fraksi kecil

waktunya mendekati ion, dimana potensialnya kuat. Seringnya elektron jauh dari sebuah area

memiliki potensial yang lemah, dan hal ini mengapa elektron menjadi seperti partikel bebas,

pada pendekatan tertentu.† Kita akan membicarakan mengenai interaksi elektron-ion lagi

pada Bagian 5.3 dan pseudopotensial dalam bagian 5.9.

† Catatan bahwa interaksi antara elektron dan ion sangat lemah ketika jarak antara mereka besar, karena ion disaring oleh elektron lainnya. Hal ini berarti bahwa interkasi memiliki bentuk penyaringan short-range potensial coulomb dibandingkan long-range potensial coulomb murni.

Gambar 4.3 Variasi dari kecepatan lokal elektron dalam ruang

Kembali pada interaksi antara Elektron Konduksi dan alasan pada kelemahan interaksinya.

Terdapat dua alasan: Pertama, berdasarkan asas larangan Pauli, elektron berspin pararel

cenderung untuk menjauh satu sama lainnya, dalam hal untuk meminimalkan energi dalam

sistem. Jika dua elektron datang mendekati satu sama lain, energi potensial Coulomb menjadi

sangat besar. Ketika kedua pertimbangan dibawa dalam persamaan matematis, hasil

keadaanya menjadi: setiap elektron dikelilingi oleh sebuah luasan bola yang tidak sempurna

dari elektron lainnya. Luasan ini, dinamakan hole, memiliki jari-jari sekitar 1Å (nilai pastinya

tegantung pada konsentrasi didalam elektron). Ketika elektron bergerak, holenya terkadang

dikenal dengan Fermi hole yang bergerak bersamanya. Kita lihat sekarang mengapa interaksi

antara elektron lemah. Jika kita meninjau interaksi antara dua elektron tertentu, kita temukan

bahwa elektron lainnya mendistribusikan dirinya dalam sebuah keadaan dimana dua elektron

tadi tertutupi dari yang lainnya. Konsekunsinya, disana terjadi interaksi yang sangat kecil

diantara mereka.

Gas elektron bebas dalam logam berbeda dari gas pada umumnya dalam beberapa aspek

tertentu. Pertama, gas elektron bebas dibebankan (dalam gas biasa, molekul biasanya netral).

Gas elektron bebas sebenarnya menyerupai sebuah plasma. Kedua, konsentrasi elektron

dalam logam adalalah sebesar: N ≅ 1029 elektron.m-3. Berbeda dengan gas pada umumnya

yang memiki 1025 molekul.m-3. Kita dapat juga mengartikan bahwa gas dalam logam adalah

sebuah plasma tebal.

Model kita mengenai elektron (terkadang disebut model jellium) bersesuaian dalam

mengambil ion postif logam dan menempelinya secara beraturan keseluruh sampel. Dalam

hal ini, terdapat background positif yang perlu dalam mengambil muatan neurality. Namun,

dikarenakan distribusi beraturan, ion mendesak medan nol pada elektron; ion-ion membentuk

sebuah jelly yang menyebabkan elektron bergerak.

4.4 KONDUKTIVITAS LISTRIK

Hukum konduksi listrik dalam logam-Hukum Ohm-adalah

I = V/R, (4.2)

dimana I adalah arus, V adalah perbedaan potensial, dan R resistansi dari kabel. Kita akan

menyatakan hukum ini dalam sebuah bentuk yang berdiri sendiri pada panjang dan

perpotongan kabel, karena faktor ini, bagaimanapun, menyimpang pada fisika dasar

konduksi. Andaikan bahwa L dan A adalah, berturut-turut, panjang dan perpotongan kabel:

maka

J=¿ IA , δ=¿

VL

, R=¿ Lρ

A, (4.3)

dimana J adalah kerapatan arus (arus persatuan luas), δ medan lsitrik, dan ρ adalah

resistivitas listrik. Kebalikannya resistivitas disebut konduktivitas, dinotasikan dengan σ.

Sehingga,

σ=1ρ

, (4.4)

Ketika kita mensubstitusikan (4.3) dan (4.4) kedalam (4.2), kita dapatkan

J = σδ , (4.5)

yang dibentuk dari hukum Ohm yang kita akan gunakan. Karena dimensi ρ adalah ohm-m, σ

memiliki dimensi ohm-1m-1. Sekarang kita ingin menunjukkan σ dalam bentuk sifat

mikroskopis menyinggung elektron konduksi.

Arus dikarenakan pergerakan elektron konduksi didalam pengaruh medan, karena partikel

ini terbebani, pergerakannya mengarahkan pada arus listrik; pergerakan partikel netral tidak

akan mengarahkan pada arus listrik. Kita katakan bahwa elektron konduksi yang berperan

dalam arus karena ion terikat kepada dan bervibrasi dikisi-kisi. Mereka tidak memiliki

pergerakan translasi net, dan oleh sebab itu tidak berkontribusi ke arus. Sekarang kita akan

memperlakukan pergerakan Elektron Konduksi dalam sebuah medan elektrik.

Pertimbangkan satu jenis elektron: medan mendesak elektron dengan gaya – eδ. Terdapat

juga sebuah gaya friksi dikarenakan tumbukan elektron dengan sisa mediumnya. Kita

asumsikan bahwa gaya friksi ini memiliki bentuk – m* v/τ, dimana v adalah kecepatan

elektron dan τ adalah konstanta yang disebut waktu tumbukan. Gunakanlah hukum Newton,

kita dapatkan

m*dvdt

= - eδ - m*vt, (4.6)

dimana m* adalah massa efektif dari elektron.‡ Kita akan lihat bahwa efek tumbukan, seperti

dalam friksi atau gaya viskositas, cenderung untuk mengurangi kecepatan hingga nol. Kita

tertarik dalam solusi steady-state; bahwa, dimana dv/dt = 0. Solusi yang bersesuaian dengan

(4.6) dalam kasus ini adalah

v=−¿ eτ

m∗¿¿ Ɛ

(4.7)

Hal ini, kemudian dalam kecepatan steady-state elektron (dalam diskusi friksi hal ini biasa

disebut kecepatan terminal). Ini berlawanan dengan Ɛ karena muatan dalam elektron negatif.

Gambar 4.4 (a) Medan listrik berlaku pada sebuah kabel logam. (b) Random

terhadap pergerakan aliran elektron. Lingkaran mewakilkan pusat yang tersebar.

‡ Massa efektif dari elektron dalam sebuah logam, dinotasikan dengan m*, adalah pada umumnya berbeda dari massa elektron, biasanya dinotasikan dengan m atau m0. Perbedaan ini dikarenakan interaksi elektron dengan kisi-kisi, seperti akan didiskusikan dalam Bagian 5.15. Massa efektif dalam berbagai logam ditulis dalam Tabel 4.1.

Kita akan membuat sebuah perbedaan disini antara dua kecepatan yang berbeda terasosiasi

dengan elektron: Kecepatan muncul dalam (4.7) disebut kecepatan aliran. Hal ini dilapiskan

pada kecepatan atau kecepatan yang lebih tinggi. Seperti dalam gas pada umumnya, elektron

memiliki pergerakan acak meski dalam ketiadaan dalam medan. Hal ini dikarenakan fakta

bahwa elektron bergerak kira-kira dan adakalanya meyebar dan berubah arah. Pergerakan

acak, yang mengkontribusikan arus nol, ada juga yang hadir dalam medan; namun dalam

kasus terdapat kecepatan net tambahan berlawanan dengan medan, seperti pada (4.7).

Perbedaan antara random dan pergerakan aliran diperlihatkan dalam Gambar 4.4. kita akan

menunjukkan dua kecepatan dengan vτ dan vd; akan diperlihatkan nantinya bahwa vd ≪ vτ.

Rapat arus J dapat dihitung dari (4.7). Karena terdapat sebuah muatan (-Ne) per unit

volum, dan karena setiap elektron memiliki kecepatan aliran diberikan oleh (4.7), hal ini

berarti bahwa jumlah muatan yang lewat sebuah unit area per unit waktu adalah

J= (−Ne )¿ (4.8)

Arus pararel terhadap medan. Bandingkan (4.8) dengan hukum Ohm, (4.5), temukan

pernyataan berikut untuk konduktivitas,

σ= Ne2τm∗¿¿

(4.9)

yang merupakan pernyataan kita cari. Kita lihat bahwa σbertambah sebagaimana N

bertambah. Hal ini pantas karena, sebagiamana N (atau konsentrasi) bertambah, terdapat lebih

banyak arus terbawa. Konduktivitas σ merupakan proporsional berkebalikan dengan m*,

yang telah diperkirakan, saat m* yang lebih besar, semakin lebam partikel, dan semakin keras

untuknya bergerak. Sifat sebanding pada τ terjadi karena τ merupakan waktu antara dua

tumbukan berturutan, sebagai contoh, rata-rata waktu hidup bebas. Oleh karena itu, semakin

besar τ , semakin banyak waktu elektron harus dipercepat oleh medan diantara tumbukan, dan

karena semakin besar kecepatan aliran (4.7) dan juga semakin besar σ .

Kita dapat mengevaluasi konduktivitas σ jika kita mengetahui kuantitas yang tepat dari

(4.7). Kita akan mengambil m* menjadi sama dengan massa bebas mo = 9.1 x 10-31 kg.

kemudian kita hitung N sebagaimana didiskusikan dalam Bagian 4.2. Masih terdapat waktu

tumbukan τ ; ini adalah sebuah kuantitas yang sulit untuk dihitung dari asas pertama, sehingga

kita akan menunda mendiskusikan ini hingga Bagian 4.5. Untuk saat ini, kita dapat gunakan

(4.8) dan mengukur nilai dari σ untuk menghitung τ . Tabel 4.1 memberikan daftar dari σ , N,

τ , dan kuantitas lainnya yang berhubungan pada bermacam logam umumnya. Catat bahwa σ

sekitar 5 x 107 (ohm.m)-1. Catat dalam hal khusus bahwa τ memiliki nilai sekitar 10-14 s. Ini

merupakan interval waktu yang relatif sangat kecil pada skala waktu umum, dan kita akan

melihat nanti bahwa tumbukan penting dapat diambil dari hal ini.

Waktu τ juga disebut waktu relaksasi. Untuk melihat alasan untuk hal ini, asumsikan

bahwa sebuah medan listrik terpasang, sangat panjang untuk sebuah kecepatan aliran vdo

menjadi stabil. Sekarang medan secara tiba-tiba dihilangkan segera. Kecepatan aliran

seketika ini diatur oleh

m∗dvdt

=−m∗vt

,

yang berasal dari (4.6) dengan δ = 0. Solusi yang sesuai pada kondisi awal sekarang adalah

vd (t )=vd .0 e−t /τ , (4.10)

memperlihatkan bahwa vd ( t ) mendekati nol secara ekponensial dengan sebuah karakteristik

waktu τ . Sifat ini disebut proses relaksasi. Karena kita temukan diatas bahwa τ sangat

pendek, hal ini terjadi bahwa vd ( t )mengendur ke nol sangat cepat.

Tabel 4.1

Konduktivitas Listrik dan Parameter Pengangkutan Lainnya untuk Logam

Nilai dikutip adalah untuk logam pada suhu ruangan. Konsentrasi ditemukan dengan menggunakan valensi kimia umum. Kecepatan Fermi vF dan EF dievaluasi dengan menggunakan m* = mo dan persamaaan yang sesuai dari Bagian 4.6. Energi Fermi EF

(teramati) merupakan nilai yang ditentukan dengan eksperimen seperti yang didiskusikan dalam Bab 6. Massa efektif m* ditentukan dengan menggunakan nilai eksperimen EF (teramati) dan relasi EF = (h/2m*)(3π2N)2/3, Persamaan (4.34).

Kita akan menulis ulang (4.9) dalam bentuk yang memberikan beberapa aspek dari fisika

lebih jelas. Karena τ merupakan waktu antara dua tumbukan berturut-turut, hal ini dapat

ditunjukkan sebagai

τ = l

vr (4.11)

dimana l merupakan jarak antara dua tumbukan berurutan dan vr adalah kecepatan acak.

Dalam bentuk ini, σ menjadi

σ= Ne2lm¿ vr

(4.12)

bandingkan hasil dengan menerapkan rumusan ini untuk logam dan semikonduktor. Untuk

yang terlebih dahulu, σ ≅ 5 x 107 (ohm-m)-1, sebagaimana kita telah lihat, sedangkan untuk

yang terakhir, σ ≅ 1 (ohm.m)-1. Perbedaan ini dapat dihitung untuk (4.12). Pertama, dalam

semikonduktor, N ≅ 1020 m-3, sebagaimana dibandingkan dengan N ≅ 1029 m-3 dalam logam.

Hal ini mengurangi σ dengan faktor dari 10-9 sebagai semikonduktor. Kedua, vr dalam logam

sebagai urutan dari kecepatan Fermi (Bagian 4.7), yang sekitar 106 m.s-1, sedangkan ini hanya

sekitar 10-4 m.s-1 dalam semikonduktor. Jika kita memasukkan efek dari kedua N danvr, kita

temukan konduktivitas menjadi urutan yang benar dalam magnitudo semikonduktor.

Bandingkan magnitudo vr dan vd. Terlebih dahulu memiliki nilai sekitar 106 m.s-1; dengan

kata lain, vd dapat dievaluasi dari (4.7). Ketika kita substitusi e, τ , dan m* dalam (4.7)

nilainya: e ≅ 10-19 coulomb, τ = 10-14 s, m* ≅ 10-30 kg, dan δ ≅ 10 V/m, kita temukan bahwa vd

≅ 10-2 m.s-1. Oleh karena vd/vr ≅ 10-8, tentu saja rasio yang sangat kecil.

Kita dapat juga mencari pernyataan mikroskopis untuk panas joule. Tenaganya menghilang

sebagai panas joule harus sama dengan tenaga yang terabsobsi dengan sistem elektron dari

medan. Panggil kembali dari fisika dasar bahwa tenaga yang terabsorbsi oleh partikel dari

gaya F adalah Fv, dimana v adalah kecepatan dari partikel, kita lihat bahwa tenaga terabsorbsi

oleh sistem elektron per unit volum adalah

P=NF vd=N (−eδ )(−eτδm¿ )

¿ Ne2 τm¿ δ 2 (4.13)

Asal muasal dari waktu tumbukan

Kita telah memperkenalkan τ sebagai waktu tumbukan dikarenakan beberapa gaya friksi,

sumber belum didiskusikan. Ini sepertinya lazim untuk mengasumsikan bahwa gaya friksi

adalah dikarenakan oleh tumbukan elektron dengan ion. Berdasarkan pada model khusus ini,

sebuah elektron, sebagaimana ia bergerak dalam kisi-kisi, menumbuk ion-ion, yang memiliki

efek melambatkan momentum elektron. Model ini tidak dapat dipertahankan karena hal ini

mengarahkan pada banyak hal dari ketidaksesuaian dengan percobaan. Sebutkan hanya satu

hal: Jalur bebas rata-rata l dapat dihitung dari (4.9). Jika kita mensubstitusi nilai τ ≅ 10-14 s

dan vr ≅ 106 m.s-1, kita temukan bahwa l ≅ 10-8 m ≅ 102 Å. Hal ini berarti bahwa, antara dua

tumbukan, elektron berpindah dengan jarak lebih dari 20 kali jarak antar atomnya. Hal ini

lebih besar dari yang akan diperkirakan jika elektron benar-benar bertabarakn dengan ion-ion

meskipun elektron melewatinya. Kecuali dalam struktur paket tertutup, dalam hal atom

terpaket sangat tebal. Hal ini sangat sulit untuk melihat bagaimana elektron dapat berjalan

begitu jauh diantara tumbukan.

Paradoks ini dapat dijelaskan hanya dengan menggunakan konsep kuantum. Hal terpenting

dari pernyataan ini adalah sebagai berikut: Kita lihat bagian 2.12 bahwa, menurut mekanika

kuantum, sebuah elektron memiliki karakter gelombang. Panjang gelombang elektron dalam

kisi-kisi diberikan dengan hubungan deBroglie (Bagian A.1)

λ = h

m¿vr (4.14)

rumusan ini telah diketahui dengan baik dari teori penjalaran gelombang dalam struktur

diskrit§ bahwa, ketika sebuah gelombang melewati sebuah kisi-kisi periodik, hal ini menjalar

berkesinambungan secara tak terbatas tanpa penghamburan. Efek dari atom dalam kisi-kisi

adalah untuk mengabsorbsi energi dari gelombang dan meradiasikan kembali, sehingga hasil

net merupakan gelombang kontinyu tanpa modifikasi dalam arah lainnya atau intensitas.

Kecepatan penjalaran, bagaimanapun, termodifikasi. Hal ini yang terjadi dalam kasus sebuah

gelombang elektron dalam sebuah kisi-kisi tetap, kecuali bahwa dalam kasus ini kita

berhadapan dengan gelombang materi.

Kita bicarakan alasan matematis mengapa sebuah kisi-kisi tetap tidak menghamburkan

gelombang dalam beberapa rincian dalam Bab 2. Dalam hal tersebut kita lihat bahwa

gelombang menjadi sinar-x, neutron, atau elektron tidak menghambur atau difraksi kecuali

§ Lihat, misalnya, L. Brillouin, 1953, Wave Propagation in Periodic Structures, New York : Dover Press.

ketika kondisi Bragg terpenuhi. Simpan kondisi khusus ini, Elektron Konduksi seharusnya

tidak terhambur oleh sebuah kisi-kisi tetap dari ion sama sekali.

Terdapat contoh yang dikenal dalam optik: Sebuah gelombang cahaya berjalan dalam

sebuah kristal tanpa terhambur sama sekali. Efek yang hanya terjadi dalam kristal telah

diperkenalkan dalam indeks refraksi n sehingga kecepatan dalam medium adalah c/n. Oleh

karena itu kita dapat lihat bahwa, jika ion membentuk sebuah kisi-kisi sempurna, maka tidak

terjadi tumbukan sama sekali, sehingga l = ∞ dan karenanya τ = ∞, yang mengarahkan pada

konduktivitas tak berhingga. Hal ini telah diperlihatkan, bagaimanapun juga, bahwa l yang

teramati sekitar 102 Å. Pembatasan σ harus demikian dikarenakan deviasi kisi-kisi dari

periodisitas sempurna; hal ini terjadi bukan karena vibrasi termal ion ataupun karena

kehadiran ketidaksmpurnaan atau ketakmurnian, sebagaimana yang akan kita lihat dalam

Bagian berikutnya.

4.5 RESITIVITAS LISTRIK TERHADAP TEMPERATUR

Konduktivitas listrik dari logam bermacam-macam dengan temperatur logam secara

karakteristiknya. Variasi ini biasanya dibicarakan dalam keadaan perilaku resistivitas ρ

terhadap T. Gambar 4.5 memperlihatkan kurva teramati untuk Na. Pada T ≅ 0oK, ρ memiliki

nilai konstanta kecil; diatas hal tersebut, ρ bertambah dengan T, secara perlahan pada

awalnya, namun kemudian ρ bertambah secara linier dengan T. Sifat linier berkelanjutan pada

dasarnya hingga titik leleh tercapai. Bentuk ini diikuti oleh kebanyakan logam (kecuali yang

tercatat dibawah ini), dan biasanya temperatur ruangan turun drastis ke jangkauan linier. Sifat

linier merupakan percobaan yang teruji, sebagaimana anda dapat memanggilnya dari fisika

dasar.

Gambar 4.5 Resistivitas yang ternormalisasikan ρ(T)/ρ(290oK) terhadap T untuk Na dalam daerah bertemperatur rendah (a), dan pada temperatur tinggi (b). ρ(290) ≅ 2.10 x 10-8 Ω.m.

Kita ingin menjelaskan perilaku dari ρ dalam bentuk rumusan yang telah dikembangkan

dalam Bagian 4.4. Panggil kembali ρ = σ-1, dan gunakan (4.9), kita dapatkan

ρ = m¿

Ne2

1τ (4.15)

Kita catat dari interpretasi τ dalam bagian terakhir bahwa 1/τ adalah sama dengan probabilitas

elektron mengalami penghamburan per unit waktu. Dengan demikian, jika 10-14 s, kemudian

elektron melalui 1014 tumbukan dalam satu detik. Namun dalam bagian 4.4 kita temukan

bahwa elektron melalui tumbukan hanya karena kisi-kisi tidak tetap secara sempurna. Kita

kelompokkan deviasi dari sebuah kisi-kisi sempurna kedalam dua kelas.

a) Vibrasi kisi-kisi (fonon) dari ion-ion sekitar posisi kesetimbangannya dikarenakan eksitasi

termal ion-ion.

b) Keseluruhan ketidaksempurnaan statis, seperti ketidakmurnian hal asing atau kerusakan

kristal. Dari kelompok yang terakhir kita akan mengambil ketidakmurnian hal asing

sebagai contoh. Sekarang probabilitas elektron terhambur oleh fonon dan oleh

ketidakmurnian merupakan aditif, karena kedua mekanisme ini diasumsikan untuk bereaksi

sendiri. Oleh karena itu kita dapat menulis

1τ= 1

τρh

+ 1τ i

, (4.16)

Yang dimana bentuk pertama disebelah kanan dikarenakan fonon dan yang kedua

dikarenakan ketidakmurnian. Yang pertama diharapkan tergantung pada T dan yang terakhir

pada ketidakmurnian, namun bukan pada T. Ketika (4.16) disubstitusikan kedalam (4.15), kita

dapatkan

ρ=ρi+ρρh (T )= m¿

Ne2

1τ i

+ m¿

Ne2

1τρh

(4.17)

Kita catat bahwa ρ telah terbagi menjadi dua bentuk: sebuah bentuk ρi dikarenakan

penghamburan oleh ketidaksempurnaan (yang berdiri sendiri dari T), disebut resistivitas

residual. Tambahan untuk hal ini adalah bentuk lainnya yakni ρρh (T ) dikarenakan

penghamburan oleh fonon; karena hal ini tergantung terhadap temperatur maka ini disebut

resistivitas ideal, dalam hal ini resistivitas dari spesimen murni.

Pada T yang sangat kecil, penghamburan oleh fonon dapat ditiadakan karena amplitudo

osilasi sangatlah kecil; dalam luasan τ ρh → ∞, ρρh → 0, dan karena ρ=ρi, sebuah konstanta.

Hal ini sesuai dengan Gambar 4.5. Sebagaimana T bertambah, penghamburan oleh fonon

menjadi lebih efektif, dan ρρh (T ) meningkat; hal ini mengapa ρ bertambah. Ketika T menjadi

sangat besar, penghamburan oleh fono mendominasi dan ρ≅ ρρh (T ). Dalam daerah temperatur

tinggi, ρρh(T ) meningkat secara linier dengan T, seperti kita akan coba perlihatkan secara

singkat. Hal ini sekali lagi dalam kesesuaian dengan percobaan, seperti diperlihatkan dalam

Gambar 4.5. Pernyataan bahwa ρ dapat dibagi menjadi dua bagian, satu yang berdiri sendiri

oleh T, dikenal dengan hukum Matthiessen. Hukum ini terwujud dalam (4.17).

Kita perkirakan bahwa ρi akan bertambah dengan konsentrasi ketidakmurnian, dan tentu

saja akan diperlihatkan bahwa untuk konsentrasi kecil ρi proporsional pada konsentrasi

ketidakmurnian N i. Kita juga berujar bahwa, untuk konsentrai ketidakmurnian kecil, ρρh≫ ρi,

kecuali pada T yang sangat kecil. Turunkan pernyataan penaksiran untuk τ i dan τ ρh,

gunakanlah penyataan dari teori kinetik gas. Kita akan asumsikan, untuk hal yang sederhana,

bahwa tumbukan merupakan tipe bola-pejal (bola biliard).

Pertimbangkan terlebih dahulu tumbukan elektron dengan ketidakmurnian. Kita tulis

τ i = li

v ρ, (4.18)

setelah (4.11), dimana li adalah rata-rata jalur bebas untuk tumbukan dengan ketidakmurnian.

Berikan bahwa perpotongan penghamburan dari sebuah ketidakmurnian adalah σ i, dimana

area ketidakmurnian atom mewakilkan tabrakan elektron, kemudian, gunakan sebuah

penyataan yang dikenal dari teori kinetik gas, dapat ditulis

li σ i N i=1

atau

li=1

σ i N i (4.19)

Hal ini diharapkan bahwa σ i merupakan magnitudo yang sama sebagai luasan geometri

aktual dari atom ketidakmurnian. Sehingga, σ i ≅ 1 Å. (Perhitungan nilai yang tepat dari σ i

membutuhkan teori penghamburan kuantum.) Bentuk substitusi dari (4.18) dan (4.19)

kedalam (4.17), kemudian temukan ρi. Kemudian lihatlah bahwa ρi proporsional pada N i,

konsentrasi ketidakmurnian.

Perhitungan τ ρh lebih sukar, namun persamaannya sama dengan (4.18) dan (4.19) masih

terjaga. Dalam hal khusus, kita dapat tulis

l ρh=1

N ion σ ion, (4.20)

dimana N ion adalah konsentrasi ion logam dalam kisi-kisi dan σ ion adalah perpotongan

penghamburan per ion. Kita sebaiknya mencatat disini bahwa σ ion tidak memiliki hubungan

perpotongan geometri dari ion. Dibanding hal tersebut area diwakilkan dengan ion fluktuasi

secara termal ke elektron yang lewat. Misalkan bahwa jarak deviasi dari kesetimbangan

adalah x; kemudian perpotongan penghamburan rata-rata adalah sekitar

σ ion≅ π ⟨ x2 ⟩, (4.21)

dimana ⟨ x2 ⟩ adalah rata-rata dari x2, nilai ⟨ x2 ⟩ dapat diperkirakan sebagaimana: Karena ion

adalah sebuah oscilator harmonis (Bagian 3.4), rata-rata energi potensialnya adalah sama

dengan setengah dari energi total. Oleh sebab itu

12

k ⟨ x2 ⟩= ⟨ E ⟩= hω

ehω/ kT−1, (4.22)

dimana kita gunakan rumusan untuk energi sebuah oscilator kuantum (Bagian 3.4). Frekuensi

ω merupakan Einstein atau frekuensi Debye, karena dalam penyataan kasar ini kita dapat

menampik perbedaan antara kedua frekuensinya. Kita dapat memperkenalkan temperatur

Debye θ sehingga hω = kθ. Ketika kita membuat substitusi ini kedalam (4.17), kita temukan

bahwa ρρh(T ) dapat ditulis sebagai

ρρh (T )=( πhkθM ) 1

ehω/ kT−1 , (4.23)

dimana M adalah masssa ion. Dalam jangkauan T ≫ θ, ini dapat ditulis sebagai

ρ ρh≅π h2

kθMTθ

, (4.24)

dimana linier dalam T, seperti yang dijanjikan, dan sesuai dengan percobaan.

Dalam jangakauan temperatur rendah, Persamaan (4.23) memprakirakan bahwa ρρh (T )

akan menurun secara eksponensial sebagai e−θ /T . Bagaimanapun, yang diamati menurun

sebagaimana T5. Alasan untuk ketidaksesuaian ini aalah bahwa kita memakai model Einstein,

dimana pergerakan ion tetangga diperlakukan secara bebas. Ketika korelasi antara pergerakan

ionik dimasukkan kedalam perhitungan, sebagaimana teori Debye mengenai vibrasi kisi-kisi,

diperoleh sifat T5.

Deviasi dari hukum Matthiesen sering diamati, yang telah baik dikenal sebagai efek Kondo.

Ketika beberapa ketidakmurnian dari Fe, sebagai contoh, dihancurkan dalam Cu, ρ tidaklah

seperti dalam Gambar 4.5 pada T rendah. Meskipun ρ memiliki minimum pada T rendah.

Perilaku ganjil ini dikarenakan sebuah penghamburan elektron tambahan oleh momen

magnetik dalam pusat ketidakmurnian. Juga, deviasi dari hukum Matthiessen diakibatkan oleh

komplikasi dalam struktur pita dari elektron konduksi yang telah dilaporkan. Kita lihat dari

dua contoh ini bahwa perilaku ρ terhadap T pada T sangat rendah mungkin lebih kompleks

dibandingkan yang diterapkan oleh pernyataan sederhana hukum Matthiessen.

4.6 KAPASITAS PANAS DARI ELEKTRON KONDUKSI

Dalam model elektron bebas elektron konduksi diperlakukan sebagai partikel bebas yang

mematuhi hukum mekanika klasik, elektromagnetik, dan mekanika statistik. Kita telah

memberi tahu kesukaran dalam memperlakukan tumbukan dalam model ini, dan juga

bagaimana kita harus mempertimbangkan konsep kuantum dengan tujuan untuk

menyelamatkan model. Kesukaran lainnya muncul dalam hubungan dengan kapasitas panas

elektron konduksi.

Perhitungkan kapasitas panas per mol untuk elektron konduksi pada dasar dari model

Drude-Lorentz. Hal ini telah diketahui dari teori kinetik dari gas bahwa partikel bebas dalam

kesetimbangan pada temperatur T memiliki energi rata-rata dari 32

kT . Oleh karena itu energi

rata-rata per mol adalah

⟨ Ē ⟩=N A( 32

kT )=32

RT , (4.25)

dimana N A adalah bilangan Avogadro dan N A K . Kapasitas panas elektron C e=δ[ Ē ]δT

.Oleh

karena itu

C e=32

R≅ 3cal/moloK (4.26)

Kapasitas total panas dalam logam, termasuk fonon, seharusnya menjadi

C e=Cρh+C e, (4.27)

dimana, pada temperatur tinggi, memiliki nilai

C=3 R+ 32

R=4.5 R≅9 cal/mol oK (4.28)

Percobaan dalam kapasitas panas dalam logam diperlihatkan, bagaimanapun, bahwa C sanga

dekat sebanding dengan 3R pada T tinggi, sebagaimana kasus dalam insulator. Perhitungan

akurat dalam kontribusi elektron pada kapasitas total panas terisolasi memperlihatkan pada

C e lebih kecil dibandingkan nilai klasik 32

R oleh sebuah faktor sekitar 10-2. Untuk

menjelaskan keganjilan ini, kita harus sekali lagi kembali ke konsep kuantum.

Energi dari elektron dalam sebuah logam terkuantisasi menurut mekanika kuantum.

Gambar 4.6(a) memperlihatkan tingkat energi kuantum. Elektron dalam logam menduduki

tingkat ini. Dalam melakukan hal ini, mereka mengikuti sebuah asas kuantum yang sangat

penting, prinsip larangan Pauli, menurut pada tingkat energi dapat mengakomodasi pada

kebanyakan dua elektron, satu dengan spin up, dan lainnya dengan spin down. Demikian

dalam mengisi tingkat energi, dua elektron menduduki tingkat terendah, dua tingkat lanjut,

dan seterusnya, hingga kesemua elektron dalam logam terakomodasi, seperti diperlihatkan

dalam Gambar 4.6(a). Energi yang menduduki tingkat tertinggi disebut tingkat energi Fermi

(atau lebih sederhananya Fermi). Kita akan mengevaluasi tingkat Fermi dalam bagian 4.7.

Sebuah nilai tipikal untuk energi Fermi dalam logam adalah sekitar 5 eV.

Gambar 4.6 (a) Kedudukan tingkat energi menurut asas larangan Pauli. (b) Fungsi distribusi f(E) terhadap E,

pada T = 0oK dan T > 0oK.

Keadaan ini mendeskripsikan pengambilan dalam logam saat T = 0oK. Bahkan pada

temperatur terendah yang mungkin, sistem elektron memiliki sebuah jumlah energi yang

berarti, dengan kebaikan asas larangan. Jika itu bukanlah untuk asas ini, kesemua elektron

akan jatuh kedalam tingkat terendah, dan energi total sistem akan tak berarti. Kecocokan ini

pada tuntutan, biasanya dibuat dalam mekanika klasik, sebagaimana T → 0oK kesemua

pergerakan berhenti, dan energi hilang. Tuntutan ini sangatlah jelas tidak berlaku pada

elektron konduksi.

Distribusi elektron diantara tingkat biasanya terdeskripsi oleh fungsi distribusi, f (E), yang

terdefinisi sebagai probabilitas bahwa tingkat E terduduki oleh sebuah elektron. Oleh sebab

itu jika tingkatan tersebut kosong, kemudian f (E) = 0, sedangkan jika penuh, maka f (E) = 1.

Secara umum, f (E) memiliki nilai antara nol dan satu.

Hal ini menuruti dari diskusi terdahulu bahwa fungsi distribusi untuk elektron pada T =

0oK memiliki bentuk

f (E) = {1,0

E<EF

EF<E (4.29)

Bahwa, kesemua tingkat dibawah EF terisi sempurna, dan kesemua diatas EF kosong sama

sekali. Fungsi ini terplot dalam Gambar 4.6(b), yang memperlihatkan diskontinuitas pada

energi Fermi.

Kita memiliki pembatasan perlakuan pada temperatur yang absolut nol. Ketika sistem

terpanasi (T > 0oK), energi termal membangkitkan elektron. Namun energi ini tidak dibagi

secara sama oleh kesemua elektron, sebagaimana akan menjadi kasus dalam perlakuan klasik,

karena elektron terletak dengan baik dibawah tingkat Fermi tingkat EF tidak dapat menyerap

energi. Jika mereka melakukannya, mereka akan berpindah pada tingkat yang lebih tinggi,

yang telah terduduki, dan oleh sebab itu asa larangan akan terganggu.

Panggil kembali konteks ini bahwa energi pada sebuah elektron dapat menyerap secara termal

menurut orde kT ( = 0.025 eV pada temperatur ruangan), yang akan lebih kecil daripada EF,

hal ini menjadi orde dari 5 eV. Oleh karena hanya terdapat elektron dekat dengan tingkat

Fermi dapat tereksitasi, karena tingkatan diatas EF kosong dan karena ketika elektron tersebut

berpindah ke tingkat yang lebih tinggi, tidak akan ada gangguan atas asas larangan. Demikian,

hanya elektron ini yang merupakan friksi kecil dari bilangan total yang memungkinkan

tereksitasi secara termal, dan hal ini menjelaskan panas rendah elektronik spesifik (atau

kapasitas panas).

Fungsi distribusi f (E) pada temperatur T ≠ 0oK diberikan oleh

f (E) = 1

e(E−E F)/ kT+1 (4.30)

Hal ini dikenal sebagai distribusi Fermi-Dirac.** Fungsi ini juga diplot dalam gambar 4.6(b),

yang memperlihatkan bahwa hal ini secara substansial sama dengan distribusi pada T = 0oK,

kecuali sangatlah dekat dengan tingat Fermi, dimana beberapa elektron tereksitasi dari bawah

EF ke atasnya. Hal ini, tentu saja, diekpektasikan, dalam pandangan diskusi diatas.††

Gunakan fungsi distribusi (4.30) untuk mengevaluasi energi termal dan oleh sebab itu

kapasitas panas elektron, namun hal ini pengambilalihan wajar yang membosankan, sehingga

segera kita akan berusaha untuk memperoleh sebuah perkiraan yang baik dengan sebuah

minimum usaha matematis. Karena hanya elektron didalam jangkauan kT dari tingkat Fermi

tereksitasi, kita menyimpulkan bahwa hanya sebuah fraksi kT/EF dari elektron terbuat. Oleh

karena itu jumlah elektron tereksitasi per mol sekitar NA(kT/EF ¿, dan karena setiap elektron

menyerap sebuah energi kT, dalam rata-rata, sehingga energi termal per mol diberikan kira-

kira oleh

E=N A (kT )2

EF

,

dan panas spesifik C e=∂ E/∂ tadalah

C e=¿ 2RkTEF

(4.31)

Kita lihat bahwa panas spesifik elektron tereduksi dari nilai klasiknya, dimana orde R, dengan

faktor kT / EF. Untuk EF = 5 Ev dan T = 300oK, faktor ini sama dengan 1/200. Reduksi besar

ini merupakan sebuah kesesuaian dengan percobaan, sebagaimana diutarakan sebelumnya.

Sehingga disebut temperatur Fermi TF, yang biasanya dipakai dalam konteks ini,

terdefinisi sebagai EF =kTF, dan panas spesifik dapat dituliskan sebagai

C e=¿ 2RTT F

Nilai tipikal untuk TF berdasarkan EF= 5 eV, adalah 60,000oK. Oleh karena itu untuk panas

spesifik dari elektron dalam zat padat untuk mencapai nilai klasiknya, zat padat harus

dipanaskan pada temperatur yang dibandingkan dengan TF. Namun hal ini tidak mungkin,

** Untuk penurunan lihat, sebagai contoh, M. Alonso dan E.J. Finn, 1968, Fundamental University Physic. Volume III, Reading Mass: Addison-Wesley.†† Catat bahwa, dalam jangkauan energi jauh diatas energi Fermi, ( E−EF )/ kT ≫ 1, dan oleh sebab itu fungsi

distribusi Fermi-Dirac memiliki bentuk f(E) = eE F /kT e−E / kT= konstanta × e−E /kT , dimana klasik atau distribusi Maxwell-Boltzman. Oleh karena itu dalam jangakauan energi tinggi, dengan kata lain, dalam ekor distribusi Fermi-Dirac, elektron-elektron mungkin diperlakukan oleh mekanika statistik klasik.

tentu saja, sebagaimana zat padat akan bertahan karena telah meleleh dan terevaporasi!

Kesemua temperatur percobaan, oleh karena itu, panas spesifik elektron sangatlah jauh

dibawah nilai klasiknya.

Kesimpulan menarik lainnya dari (4.32) adalah bahwa kapasitas panas C edari elektron

merupakan sebuah fungsi linier temperatur. Hal ini tidak seperti panas kapasitas kisi-kisi CL,

dimana konstan pada temperatur tinggi, dan proporsional pada T3 pada temperatur rendah.

Evaluasi pasti dari kapasitas panas elektronik memberikan

C e=¿ π 2

2R

kTEF

(4.32)

yang sangat jelas berorde sama dengan magnitudo pernyataan perkiraan (4.31).

4.7 PERMUKAAN FERMI

Elektron dalam sebuah logam dalam keadaan berkesinambungan dengan pergerakan acak.

Karena elektron dipertimbangkan menjadi partikel bebas, energi sebuah elektron merupakan

kinetik secara keseluruhan, dan dapat ditulis

E=12

m¿v2 ,

dimana v merupakan kecepatan partikel. Perkenalkanlah konsep kecepatan ruang, dimana

axisnya vx, vy dan vz. Setiap titik dalam ruang mewakilkan sebuah kecepatan unik-keduanya

dalam magnitudo dan arah.

Pertimbangkan elektron konduksi dalam kecepatan ruang. Elektron ini memiliki banyak

perbedaan kecepatan, dan karena kecepatan ini acak, titik-titik mewakilkan mereka mengisi

ruang secara teratur, sebagaimana diperlihatkan dalam gambar 4.7. Catat, bagaimanapun,

bahwa terdapat ruang diluar dimana kesemua titik kosong. Jari-jari dari bola adalah kecepatan

Fermi vF, yang berhubungan pada energi Fermi oleh hubungan umum

EF = 12

m¿v F2, (4.33)

Alasan mengapa kesemua titik diluar bola kosong adalah bahwa mereka sesuai pada energi-

energi lebih besar dibandingkan EF, dimana tidak didiami pada T = 0oK, sebagaimana

didiskusikan dalam Bagian 4.6. Kesemua titik didalam bola secara sempurna penuh. Bola ini

dikenal sebagai bola Fermi, dan permukaannya disebut permukaan Fermi.

Gambar 4.7 Permukaan Fermi dan bola Fermi

Permukaan Fermi (FS), yang sangat signifikan dalam banyak fenomena keadaaan padat,

sebagai contoh, sifat transportasi tidak dibuat-buat dengan kemampuan ternilai oleh

temperatur. Ketika temperatur naik, secara relatif hanya beberapa elektron tereksitasi dari

dalam ke luar permukaan Fermi, dan ini memiliki efek kecil, sebagaimana kita lihat. Oleh

sebab itu FS berdiri sendiri, beridentitas tetap, dan sebaiknya diakui sebagai karakteristik fisik

logam.

Kecepatan Fermi vF sangat luas. Jika kita substitusi EF = 5 eV dalam (4.33) dan

menghitung vF, kita temukan bahwa vF = (2EF/m*)1/2 ≅( 2×5 × 1.6 × 10-19/9 × 10-31)1/2 ≅ 106

m.s-1, dimana sekitar satu juta kecepatan cahaya. Oleh karena itu elektron pada FS bergerak

sangat cepat. Lebih lanjut, kecepatan Fermi, seperti permukaan Fermi tidak bergantung pada

temperatur.

Nilai energi Fermi ditentukan secara utama oleh konsentrasi elektron. Semakin besar

konsentrasi, semakin besar tingkat energi terbanyak yang dibutuhkan untuk mengakomodasi

kesemua elektron (berkenaan pada gambar 4.6a), dan oleh karena itu semakin besar EF.

Bagian 5.2 akan memperlihatkan bahwa EF diberikan oleh

EF = h2

2m¿ (3 π 2 N )2/3, (4.34)

Jika mensubstitusikan nilai tipikal N = 1028 m-3, temukan bahwa EF ≅ 5 eV, dalam kesesuaian

dengan pernyataan pertama kita. Tabel 4.1 menuliskan energi-energi Fermi dari logam yang

berbeda.

Permukaan Fermi akan didiskusikan dalam perincian lebih luas dalam Bagian 5.12,

dimana interaksi elektron dengan kisi-kisi diambil kedalam perhitungan. Kita akan mencari

disana bahwa FS mungkin terdistorsi dari bentuk bola sederhana dipertimbangkan disini,

distorsi ini ditimbulkan oleh interaksi elektron-kisi-kisi. Untuk saat ini, bagaimanapun, model

elektron bebas dan FSnya memuaskan tujuan kita.

4.8 KONDUKTIVITAS LISTRIK; EFEK PERMUKAAN FERMI

Kita telah membahas konduktivitas listrik pada Bagian 4.3, yang mana kita perlakukan

elektron pada klasik dasar. Bagaimana hasil modifikasi ketika FS dimasukkan ke dalam

perhitungan?

Mari kita amati gambar 4.8. Dalam ketiadaan medan listrik, bola Fermi berpusat pada

pusatnya (gambar 4.8a). Berbagai macam elektron yang semuanya bergerak-beberapa

bergerak dengan kecepatan yang sangat tinggi-dan membawa arusnya masing-masing.

Namun arus total dari sistem tersebut adalah nol, karena, untuk setiap elektron dengan

kecepatan v terdapat elektron lainnya dengan kecepatan – v, dan penjumlahan dari dua jenis

arus tersebut adalah nol. Kesemua arus total tersebut hilang dikarenakan adanya peundaan

pembentukan pasangan dari arus elektron.

Gambar 4.8 (a) Bola Fermi pada kesetimbangan. (b) pemindahan dari bola Fermi dikarenakan

sebuah medan listrik.

Situasi berubah ketika medan diterapkan. Jika medan berada pada arah sumbu-x positif,

setiap elektron memperoleh kecepatan aliran (kecepatan drift) vd = -(eτ/m*)δ, seperti pada

persamaan (4.7). Keseluruhan bola Fermi dipindahkan ke kiri seperti ditunjukkan gambar

4.8(b). Walaupun perpindahannya sangat kecil dan walaupun kelebihan yang sangat besar

dari elektron masih menunda setiap pembentukan pasangan, beberapa elektron–dalam bagian

sabit yang diarsir pada gambar–tersisa tak terkompensasi. Itu adalah keseluruhan elektron

yang menghasilkan arus yang teramati.

Mari kita perkirakan kerapatan arusnya: Pembagian dari elektron yang tersisa tak

terkompensasi kira-kira vd/vF. Konsentrasi dari keseluruhan elektron ini adalah N(vd/vF), dan

sejak setiap elektron memeiliki kecepatan kira-kira -vF , kerapatan arusnya diberikan sebagai

berikut

J ≅ - e N (vd/vF)(- vF) = N e vd

dimana dengan substitusi dari vd = -(eτ/m*)δ, menghasilkan

J=Ne2 τ F

m¿ δ

dimana τF adalah waktu tumbukkan dari sebuah elektron pada FS. Hasil dari konduktivitas

listriknya adalah

σ=Ne2 τF

m¿ (4.35)

Ini secara tepat sama dengan hasil yang diperoleh secara klasik, kecuali nilai τ diganti dengan

τF. Persamaan (4.35), hanya merupakan sebuah perkiraan turunan, dapat dibenarkan dengan

sebuah analisis statistik yang lebih detail dan akurat.

Gambar nyata dari konduksi listrik semuanya cukup berbeda dari persamaan klasik yang

dipertimbangkan pada Bagian 4.4, yang kita asumsikan bahwa arus yang dibawa sama

dengan semua elektron, yang masing-masing bergerak dengan kecepatan yang sangat kecil vd.

Dimana arus, pada kenyataannya, hanya dibawa oleh elektron yang sangat sedikit, yang

semuanya bergerak dengan kecepatan yang sangat tinggi. Kedua pendekatan membimbing

kita ke hasil yang sama, tetapi kemudian lebih akurat. Kondisi ini dapat dilihat dari fakta

bahea hanya waktu tumbukan dari elektron pada FS, τF, muncul dalam persamaan (4.35)

untuk σ.

Jika kita substitusikan τF = lF/vF ke dalam persamaan (4.35), kita menemukan bahwa

σ=Ne2lF

m¿vF

Hanya jumlah pada ruas kanan yang bergantung pada suhu adalah berarti garis bebas lF.

Sejak lF ~ 1/T pada suhu tinggi, seperti kita lihat pada bagian 4.5, yang mengikuti kondisi

σ~1/T atau ρ~T, dalam kesepakatam dengan diskusi kita sebelumnya tentang resistivitas

listrik.

Yang terpenting dari FS dalam fenomena transport sudah jelas sekarang. Semenjak arus

ditransport oleh elektron yang terbentang dekat dengan permukaan Fermi, fenomena ini

sangat sensitif untuk properti, bentuk, dll., pada permukaan ini. Elektron dalam menyimpang

sangat jauh sebagai proses konduksi yang diperhatikan.

Kenyataan yang mendasari jawaban yang sama mungkin diperoleh secara klasik sebagai

mekanika kuantum (dengan penyetelan yang tepat untuk waktu tumbukan) memberanikan

kita untuk menggunakan prosedur klasik yang lebih sederhana. Dengan ini kita harus

melakukan dimanapun mungkin untuk dilakukan dalam bagian sebelumnya.

4.9 KONDUKTIVITAS TERMAL DALAM LOGAM

Ketika ujung-ujung dari kawat pada suhu yang berbeda , panas mengalir dari ujung panas

ke ujung dingin. (Ingat kembali pembahasan kita pada Bagian 3.9 pada konduktivitas termal

dalam insulator). Fakta ekperimental dasar adalah arus panas Q-yang merupakan jumlah

energi panas yang menyeberangi unit area per unit waktu-adalah sesuai dengan gradien suhu,

Q=−KdTdx

dimana K adalah konduktivitas termal. Dalam insulator (bahan penyekat), panas dibawa ke

seluruhnya oleh fonon-fonon, tetapi dalam logam panas mungkin dipindahkan oleh elektron

dan fonon. Konduktivitas K bagaimanapun sama dengan penjumlahan dari dua kontribusi

K=K e+K p h

dimana Ke dan Kph mengacu pada elektron dan fonon berturut-turut. Dalam kebanyakan

logam, kontribusi dari elektron sangat melampaui fonon, karena konsentrasi tinggi dari

elektron; secara khusus Kph ≈ 10-2 Ke. Dengan demikian, konduktivitas dari fonon untuk

selanjutnya akan diabaikan dalam bagian ini.

Gambar 4.9 Dasar fisika untuk konduktivitas termal. Elektron berenergi membawa energi bersih ke kanan

Proses fisika dari konduksi panas yang diwakili elektron diilustrasikan pada gambar 4.9.

Elektron pada ujung panas (ke kiri) bergerak di semua arah, tetapi pembagian khusus

bergerak ke kanan dan membawa energi ke ujung yang dingin. Secara sama, pembagian

khusus dari elektron pada ujung dingin (di kanan) akan bergerak ke ujung kiri dan membawa

energi ke ujung panas. Semua ini berlawanan dengan pergerakan elektron yang sama dengan

pergerakan arus, tetapi semua pada ujung yang panas lebih memiliki rata-rata energi

dibanding dengan bagian kanan, sebuah energi net dipindahkan ke kanan, yang merupakan

hasil dari aliran arus panas. Catat bahwa panas dipindahkan hampir secara keseluruhan oleh

semua elektron di sekitar level Fermi, karena semuanya yang tepat di bawah level ini maka

satu sama lain akan saling membatalkan kontribusi masing-masing. Sekali lagi ini terlihat

bahwa elektron pada FS memainkan aturan pokok dalam phenomena transport elektron .

Untuk mengevaluasi konduktivitas termal K secara kuantitatif, kita gunakan persamaan K

= Cvl/3, digunakan dalam Bagian 3.9 dalam memperlakukan elektron dalam transpor panas

dalam insulator. Kita sebut Cv sebagai panas spesifik per satuan volume, v adalah kecepatan

dan I berarti jalan bebas dari partikel yang terlibat. Dalam kasus sekarang, dimana elektron

terlibat, Cv adalah panas spesifik elektronik dan harus dapat disubstitusikan dari (4.32); juga

R harus digantikan dengan Nk, sejak kita menyepakati disini dengan sebuah satuan volume

kurang dari sebuah molekul. Sebagai tambahan, v dan l harus digantikan dengan vF dan lf ,

mulai saat hanya elektron yang terletak pada level Fermi yang efektif.

K=13 ( π 2 Nk2T

2 E f)v f l f

E f=12

m¿ v f2

jika lf/vf = τF, kita dapat menyederhanakan pernyataan untuk K menjadi

K=π2 Nk2 T τ F

3 m¿

(4.36)

yang menyatakan konduktivitas termal dalam bentuk dari kandungan elektron dari logam.

Dengan mensubstitusikan nilai umum dari parameter elektron, akan mendapatkan K ≈ 50

cal/m oK-s. Tabel 4.2 memberikan nilai pengukuran dari K untuk beberapa jenis logam, dan

menunjukkan bahwa pada dasarnya teori memiliki persamaan dengan hasil eksperimen.

Table 4.2

Konduktivitas Termal dan Bilangan Lorens (Suhu Ruangan)

Elemen Na Cu Ag Au AL Cd NI Fe

K, cal/m oK.s 33 94 100 71 50 24 14 16

L, cal.ohm/s . oK

5,2x10-9 5,4 5,6 5,9 4,7 6,3 3,75,5

Ada banyak parameter yang muncul pada persamaan untuk K yang juga termasuk ke dalam

persamaan untuk Konduktivitas listrik σ. Dimana σ = Ne2 τF /m* , kita dengan mudah dapat

membentuk perbandingan K/ σT yaitu

K=13 ( πk

e )2

(4.37)

Bilangan Lorentz L , karena hanya berdasarkan pada konstanta umum k dan e, seharusnya

sama untuk setiap logam. Yang memiliki nilai numerik 5,8 x 10-9 cal-ohm/s oK2 . Kesimpulan

ini menganjurkan bahwa konduktivitas listrik dan termal secara mendasar saling

berhubungan, seperti yang diperkirakan, karena arus listrik dan arus termal sama-sama

dibawa oleh elektron.

Tabel 4.2 menjabarkan bilangan Lorentz untuk logam yang berbeda jenis secara meluas,

dan kita dapat melihat bahwa nilainya sangat dekat dengan nilai yang diperkirakan.

Kenyataan bahwa kesepakatan tidak secara terperinci merangkai dari (a) kegunaan dari

model elektron bebas yang cukup sederhana, dan (b) tindakan penyederhanaan yang

digunakan dalam menghitung koefisien transport σ dan K. Tindakan perbaikan menunjukkan

bahwa L benar-benar bergantug pada logam yang kita bahas.

4.10 PERGERAKAN DALAM MEDAN MAGNET: RESONANSI

SIKLOTREN DAN EFEK HALL

Penerapan pada dari medan magnet untuk logam memberikan peningkatan untuk beberapa

efek menarik yang meningkat dari elektron konduksi. Resonansi siklotren dan efek sebagian

adalah dua hal yang kita harus gunakan untuk menyelidiki bagian dari elektron konduksi.

Resonansi siklotren

Gambar 4.10 menggambarkan fenomena dari resonansi siklotren. Sebuah medan magnet

yang diterapkan melintasi sebuah lempengan logam mengakibatkan elektron bergerak dalam

sebuah pola lingkaran berlawanan dengan arah jarum jam dalam sebuah bidang datar normal

pada medan. Frekuensi dari pergerakan siklotren, dikenal sebagai frekuensi siklotren, sebagai

berikut

ωc=eBm¿ 4.38

Jika kita substitusikan nilai dari massa elektron bebas , kita dapatkan

vc=ωc

2 π=2.8 B GHz

dimana B dalam kilogauss. Untuk nilai B =1 kG, frekuensi siklotren adalah vc = 2.8 GHz,

yang berada dalam rentang gelombang mikro.

Gambar 4.10 (a) pergerakan siklotren. (b) koefisien absorbsi α dengan ω.

Sekarang kita anggap sinyal elektromagnet menembus lempengan dalam arah pararel

menuju B. Seperti ditunjukkan dalam gambar, medan listrik dari sinyal bereaksi pada elektron

dan beberapa energi dalam sinyal tersebut diserap. Rentang penyerapan paling tinggi ketika

frekuensi sinyal tepat sama dengan frekuensi dari siklotren:

ω=ωc (4.39)

Hal ini terjadi dikarenakan, ketika kondisi ini benar-benar tertahan, masing-masing elektron

bergerak secara serempak dengan gelombang melalui lingkaran, dan oleh karena itu

penyerapan terus berlanjut melalui lingkaran. Jadi persamaan (4.39) adalah syarat untuk

resonansi siklotren. Dengan cara berbeda, ketika persamaan (4.39) tidak sesuai, berarti

elektron berada dalam fasa dengan gelombang yang hanya melalui sebagian dari lingkaran,

selama waktu yang digunakan untuk menyerap energi gelombang. Dalam lingkaran sisanya,

elektron berada di luar fasa dan mengembalikan energi ke gelombang. Bentuk dari kurva

absorbsi sebagai fungsi dari frekuensi yang ditunjukkan dalam gambar 4.10(b).

Resonansi siklotren biasanya digunakan untuk mengukur massa elektron dalam logam

ataupun semi konduktor. Frekuensi siklotren djelaskan dari kurva absorbs, dan nilai ini

kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (4.38) untuk mengevaluasi massa efektif.

Ketepatan dengan m* dijelaskan bergantung pada akurasi dari ωc dan B. Salah satu dapat

mengukur frekuensi siklotren ωc dengan sangat akurat, secara khusus jika salah satu

menggunakan sinar laser dan oleh karena akurasi dari pengukuran m* hanya terbatas oleh

akurasi dari pengukuran dari medan magnet dan homogenitas melewati contoh.

Efek Hall

Proses fisika utama dari efek Hall digambarkan pada gambar 4.11. Andaikan arus listrik Jx

mengalir dalam sebuah kawat pada sumbu-x, dan sebuah medan magnet Bz diterapan normal

pada kawah arah sumbu-z. kita harus menunjukkan bahwa ini ditujukan untuksebuah medan

listrik tambahan, normal untuk arah Jx dan Bz yang mana dalam arah sumbu- y.

Untuk melihat bagimana ini terjadi, pertama mari kita anggap keadaaan sebelum medan

magnet diperkenalkan. Terdapat arus listrik yang mengalir dalam arah sumbu-x positif, yang

berarti elektron konduksi bergerak dengan kecepatan v dalam arah sumbu-x negatif. Ketika

medan magnet diperkenalkan, Gaya Lorentz F = e(v x B) menyebabkan elektron membelok

ke bawah, seperti ditunjukkan pada gambar. Sebagai hasilnya, akumulasi elektron pada

permukaan yang lebih rendah, menghasilkan muatan negatif bersih disana. Secara serentak

muatan positif bersih muncul pada permukaan yang lebih tinggi, karena ada kekurangan

elektron disana.

Jika puncak dari kurva penyerapan terlihat dengan jelas, dan oleh karena itu frekuensi

siklotren dapat dijelaskan dengan akurat, kondisi ωcτ >> 1 harus dipenuhi. Ini berarti elektron

dapat melakukan banyak putaran siklotren selama waktu yang diperlukan untuk membuat

sebuah tumbukkan tunggal. Jika kondisi ini tidak terpenuhi, kurva waktu tumbukkan menjadi

sangat lebar yang freakuensi tidak unik dari ωc yang dapat dibedakan. Kombinasi dari muatan

permukaan positif dan negatif menghasilkan medan listrik ke bawah, yang disebut sebagai

medan Hall.

Untuk membuat jumlah ωcτ sebesar mungkin, sebuah peningkatan frekuensi ωc menggunakan

medan magnet yang sangat tinggi - sekitar 50 kG-dan meningkatkan waktu tumbuk dengan

mendinginkan sampel sampai ke temperature rendah, sekitar 100K.

Gambar 4.11 Bentuk asli dari medan Hall dan efek Hall

Mari kita evaluasi efek Hall ini. Gaya Lorentz L yang menghasilkan akumulasi muatan dalam

posisi pertama pada arah sumbu-y negatif dan memiliki nilai

f L=e v x B

dimana tandanya sudah benar-benar disesuaikan sehingga FL negatif, dalam kesesuaiannya

dengan gambar . Sekarang medan dibuat dengan muatan permukaan menghasilkan sebuah

gaya yang berlawanan dengan gaya Lorentz. Proses akumulasi berlajut sampai gaya Hall

tuntas menghadang gaya Lorentz. Sehingga pada kondisi steady FH = FL :

−e δH=−e v x B atauδH =v x B

Yang merupakan medan Hall. Itu sangat mudah untuk mengekspresikan ini dalam bentuk

dari kuantitas pengukuran, dan untuk tujuan ini kecepatan vx ditampilkan dalam bentuk rapat

arus Jx = N(- e)vx. Ini menyebabkan

δH=−1N e

J x B (4.40)

Medan Hall proporsional untuk medan listrik dan medan magnet. Konstanta proporsionalitas

– yaitu δH/JxB – dikenal sebagai konstanta Hall, yang biasanya dituliskan dengan RH. Dimana

RH=−1N e

(4.41)

Hasil (4.41) sangat berguna dalam praktek. Karena RH berbanding terbalik dengan

konsentrasi elektron N, yang berikutnya kita dapat menjelaskan N dengan mengukur medan

Hall. Dalam kenyataannya, ini adalah teknik standar untuk menjelaskan konsentrasi elektron.

Teknik ini secara khusus bernilai karena sebagian dari N, hanya kuantitas pada RH

berdasarkan arus pada elektron, -e, yang merupakan konstanta dasar fisikia yang nilainya

diketahui dengan sangat akurat. Tabel 4.3 memberikan konstanta Hall untuk beberapa logam

umum.

Tabel 4.3

Konstanta Hall (dalam Volt m3/amp weber pada Suhu Ruangan)

Li Na Cu Ag Au Zn Cd Al

-1.7 x 10-10 -

2.50

-0.55 -0.84 -0.72 +0.3 +0.6 -0.30

Kegunaan lain dari konstanta Hall adalah menendakan ketergantungan dari tanda dari muatan

dari arus yang dibawa. Jadi elektron, menjadi bermuatan negatif, menyebabkan konstanta

Hall menjadi negatif. Dengan perbedaan, kita seharusnya melihat dalam Bab 5 bahwa

Koefisien Hall disebabkan konduksi dari hole (yang bermuatan positif) adalah positif. Jadi

tanda RH mengindikasikan tanda dari pembawa yang terlibat, yang merupakan informasi yang

sangat penting, khususnya dalam kasus semikonduktor. Sebagai contoh, konstanta Hall untuk

logam Zn dan Cd bernilai positif menandakan arus dalam substansinya dibawa oleh hole.

Analisa di atas menunjukkan aspek menarik lainnya dari proses tranfer dalam kehadiran dari

medan magnet: arusnya sendiri mengalir dalam arah sumbu-x, yang tidak terpengaruh oleh

medan. Hasil ini, sekalipun salah satu bernilai negatif, tetapi menarik karena itu agak tak

diharapkan. Gaya Lorentz pada medan, yang cenderung mempengaruhi Jx, dibatalkan oleh

gaya Hall, jadi elektron mengalir secara horizontal melalui sampel, meninggalkan medan.

4.11 KONDUKTIVITAS AC DAN SIFAT OPTIK

Kita telah membahas Konduktivitas listrik statis pada subbab 4.4. Sekarang mari kita pikirkan

Konduktivitas listrik dalam kehadiran dari sebuah medan Arus bolak balik (AC). Ini sangat

berhubungan dengan sifat Optik, seperti yang seharurnya kita lihat segera; istilah “optik”

disini meliputi semua rentang frekuensi , dan tidak terbatas pada wilayah tampak saja.

Pikirkan gelombang EM transversal, menyebar dalam arah sumbu-x yang terpolarisasi pada

arah sumbu-y. Medan listrik ini dapat dijabarkan dengan

δ y=δ 0 ei ( qx−ωt ) (4.42)

Persamaan gerak dari Elektron Konduksi di dalam keberadaan medan AC adalah sama

dengan persamaan (4.6) yang menghasilkan solusi steady state (mantap stabil)

v y=−eτm¿

11−iωτ

δ (4.43)

Rapat arus JY = N(-e)vy, yang mana dalam persamaan (4.43) mengarah ke konduktivitas AC

σ=σ0

1−iωτ (4.44 )

dimanaσ 0=N e2 τ

m¿ adalah konduktivitas statis apada umumnya. Konduktivitas sekarang

merupakan quantitas komplek ¿σ '+iσ , yang mempunyai komponen real dan imajiner adalah

sebagai berikut:

σ '=σ 0

1+ω2 τ2 σ = {{σ} rsub {0} ωτ} over {1+ {ω} ^ {2} {τ} ^ {2}}

(4.45)

Bagian riil σ’ mewakili arus fase masuk yang menghasilkan pemanas jole reistif, ketika σ”

mewakili π/2 arus induktif diluar fase. Sebuah pengujian dari σ’ dan σ” sebagai fungsi dari

frekuensi menunjukkan bahwa di dalam daerah frekuensi rendah, ωτ << 1, σ”<< σ’. Elektron

menunjukkan sebuah karakter resistif dasar. Karena τ ≈ 10-14 s, ini merentangkan seluruh

rentang frekuensi yang sama naik melampaui infra merah. Dalam daerah frekuensi tinggi, ωτ

>> 1, bagaimanapun yang sesuai dengan cahaya UV dan cahaya tampak, σ” >> σ’, dan

elektron menunjukkan secara jelas sebuah karakter induktif dasar. Tanpa adanya energi yang

diserap dari medan di dalam rentang ini, dan tidak ada energi panas joule yang muncul.

Mari kita lihat pada respon dari elektron dari sudut pandang yang berbeda. Kita gunakan satu

dari persamaan Maxwell

∇ x H=ϵ L∂ δ∂ t

(4.46)

Dimana bentuk pertama pada sisi kana menyatakan pemindahan arus terkait dengan

polarisasi dari pusat ion, ketika bentuk kedua, J, merupakan arus konvektif pada elektron

konduksi. Kita mungkin mengelompokkan ke dua arus bersama: ditulis J = σδ = (σ/-iω)∂ δ /

∂ t untuk sebuah medan AC, kita tuliskan kembali persamaan (4.46) sebagai

∇ x H=ϵ∂ δ∂ t

(4.47)

Dimana ϵ adalah konstanta dielektrik total

ϵ =ϵL+i∂ω

(4.48)

Sekarang kita perhatikan elektron konduksi sebagai bagaian dari medium dielektrik, yang

masuk akal, karena hanya berosilasi di sekitar titik kesetimbangannya tanpa sebuah translasi

pergerakan. Substitusikan σ~ dari (4.45) ke dalam (4.48), untuk konstanta dielektrik relatif,

∊~r = ∊~/∊o ,

ϵ =( ϵ ' r )+iϵ } rsub {r} = left ({ϵ} rsub {L , r} - {{σ} rsub {0} τ} over {{ϵ} rsub {0} (1+ {ω} ^ {2} {τ} ^ {2} )} right ) - i {{σ} rsub {0}} over {{ϵ} rsub {0 } ω (1+ {ω} ^ {2} {τ} ^ {2} )} ¿

(4.49)

Indek bias medium n adalah

n =ϵ r

−12 =n=ik (4.50)

dimana n adalah indak bias umum dan κ adalah koefisien pemadaman (extinction). Dalam

percobaan Optik, n dan κ tidak bias diukur secara langsung, tapi kadang-kadang reflektivitas

R dan koeefisien absorbs α. Dapat ditunjukkan bahwa semuanya saling berhubungan untuk n

dan κ oleh persamaan

R=(n−1 )2+κ2

(n+1 )2+κ2 (4.51)

α=2 ωc

κ (4.52)

dimana c adalah kecepatan cahaya di ruang hampa. Persamaan (4.49) dengan bantuan

persamaan (4.52) menjelaskaan sifat dari elektron dari seluruh rentang frekuensi, tetapi kadar

fisisnya paling bagus dimengerti dengan memeriksa keterlibatannya dalam berbagai daerah

frekuensi.

a) Daerah frekuensi rendah ωτ << 1. Persamaan diatas menunjukkan bahwa ∊~r berkurang

untuk nilai imaginer є ~r ≈ єr” dalam daerah ini dan oleh karena itu

|N|≈|κ|=¿¿ (4.53)

Invers dari koefisien absorbsi δ=1/α dikenal sebagai tebal kulit. Kita dapat mengevaluasi

δ sebagai

δ=( ϵ 0c2

2 σ 0ω )2

(4.54)

Dalam praktikum, δ bernilai sangat kecil (untuk Cu pada ω = 107 s-1, δ = 100μ)

menandakan bahwa berkas Optik terjadi pada specimen logam hanya menembus sebuah

jarak pendek di bawah permukaan.

b) Daerah frekuensi tinggi 1 << ωτ, daerah ini menutupi rentang cahaya tampak dan

ultraviolet. Persamaan (4.49) menunjukkan bahwa ϵ r berkurang menuju nuilai real.

ϵ r=ϵL ,r (1−ωp2

ω2 ) (4.55)

dimana

ω p2= Ne2

ϵ L m¿ (4.56 )

dan dimana kita menggunakan hubungan dari σ0 = ne2τ/m*. Frekuensi ωp dikenal sebagai

frekuensi plasma. Kita dapat melihat dari persamaan (4.55) bahwa daerah frekuensi tinggi

dapat dibagi menjadi dua subwilayah: dalam subwilayah ω<ωp, єr<0 dan berakibat, dari

(4.50) n = 0. Dalam tampilan (4.51), membawa ke R = 1. Logam menunjukkan refleksifitas

sempurna. Di subwilayah yang lebih tinggi ω>ωp, єr>0, untuk alasan yang sama κ = 0.

Didalam rentang ini, α = 0, 0<R<1 dan medium logam beraksi seperti sebuah dielektrik

nonabsorbsi transparan contohnya kaca.

Gambar 4.12 Tepi refleksi plasma

Gambar diatas menjelaskan ketergantungan dari refleksifitas terhadap frekuensi, menunjukan

diskontinyu dramatik jatuh ke dalam R pada ω=ωp, yang diketahui sebagai tepi refleksi

plasma. Frekuensi ωp pada persamaan (4.56) sebanding dengan kerapatan elektron N. di

dalam logam kerapatan termasuk ωp masuk ke rentang cahaya tampak maupun ultraviolet

(tabel 4.4)

Tabel 4.4

Tepi Refleksi (Frekuensi Plasma) dan

Hubungan Panjang Gelombang untuk Beberapa Logam

Li Na K Rb

ωp 1.22x1016s-1 0.89 0.593 0.55

λp 1550 A210

03150

3400

Bagian penting lainnya dari ωp dapat disimpulkan dari persamaan Maxwell

∇ . D=ϵ ∇ . ε=0 (4.57 )

dimana D = є.ε merupakan medan perpindahan listrik (lihat juga pada Bagian 8.2). persamaan

ini mengakui keberadaan dari mode longitudinal untuk ∇ . ε≠ 0 , terbukti jika

ϵ=ϵ 0 ϵr=0 (4.58 )

Dapat dilihat pada persamaan (4.55) dimana ϵ r menghilang saat ω=ωp. Mode ini dikenal

sebagai mode plasma, yang diamati di dalam logam dan mendapat banyak perhatian di tahun

1950 dan 1960an.

Sebagai catatan dari dua komponen konstanta di elektrik bagian riil ϵ 'r mewakili polarisasi

dari muatan terstimulasi dari medan, sementara itu ϵ ' 'rmewakili penyerapan neergi oleh

system. Kita dapat melihat kondisi ini karena persamaan (4.48) dan (4.49) secara tidak

langsung menyatakan bahwa ϵ ' 'r σ ' , dan kuantitas berikutnya berhubungan dengan

penyerapan energi, seperti dijelaskan pada awal subbab ini.

4.12 EMISI TERMIONIK

Ketika logam dipanaskan, elektron dipancarkan dari permukaan, sebuah fenomena yang

dikenal sebagai emisi termionik. Ini dilakukan dalam tabung vakum, di dalam katoda logam

dipanaskan secara biasa dalam tujuan untuk memberikan elektron yang diperlukan untuk

operasi dalam tabung.

Gambar 4.13 Emisi termionic

Gambar 4.13 menunjukkan skema tingkat energi untuk elektron pada logam, berdasarkan

model elektron bebas. Pada T =00K, semua tingkat diisi hingga mencapai Level Fermi EF,

diatas bagian semua tingkatan adalah kosong. Catat juga bahwa sebuah elektron pada EF

tidak dapat keluar dari logam karena adanya energi pembatas pada permukaan, Ketinggian

energi pembatas dilambangkan φ, yang dikenal sebagai fungsi kerja. Fungsi kerja ini

bervariasi untuk satu logam ke logam lainnya , tapi secara umum berada pada rentang 1.5 -5

eV.

Pada T =00K, tidak ada elektron yang dapoat keluar dari logam. Tetapi seiring kenaikan suhu,

tingkat diatas EF mulai ditempati karena adanya transfer elektron dari tingkatan dibawah EF.

meskipun tingkatan pembatas ,untuk energi lebih tinggi dari (Ef + φ) ,menjadi ditempati

untuk beberapa tingkatan. Elektron pada level berikutnya memiliki energi yang cukup untuk

melewati energi batar dan bertanggung jawab untuk terjadinya emisi yang diamati dari

permukaan.

Mari kita evaluasi kerapatan arus untuk elektron yang dipancarkan, bawa permukaan

logam agar normal untuk arah sumbu–x. Anggap jumlah elektron yang memiliki komponen

kecepatan pada rentang (vx, vy, vz) untuk (vx + dvx, vy + dvy, vz + dvz). Konsentrasinya dituliskan

d3 N=N ( m¿

2 πkT )32 e

−m¿ (vx2+v y

2+ v z2 )

2 kT d vx d v y d vz (4.59)

Kita dapat menggunakan distribusi Maxwell-Boltzman karena elektron terpengaruh dalam

proses emisi yang semuanya sangat tinggi diatas level vermin yang dapat di jelaskan dengan

sangat akurat oleh distribusi ini (Bagian 4.6). kerapatan dari arus pancaran dikarenakan

elektron ini diberikan oleh

d J x=−e vx d3 N (4.60)

Seperti pada persamaan (4.8), untuk menemukan kerapatan arus dikarenakan semua elektron,

kita harus menjumlahkan semua kecepatan yang terlibat

J x=∫ d J x

¿−e ( m¿

2 πkT )32∭ vx e

−m¿(vx2+ vy

2+v z2)

2 kT d v x d v y d v z

Saat kita mengeluarkan integrasi ini melewati semua kecepatan, rentang untuk vy dan vz

adalah (-∞ , ∞), tapi rentang untuk vx adalah 12

m¿v x2=EF+∅ ,karena hanya elektron ini yang

memilki kecepatan yang memenuhi dalam arah yang sesuai untuk keluar dari permukaan.

Kita dapatkan

J x=−e ( m¿

2 πkT )12∫

vx0

∞

vx e−m¿ vx

2

2kT d v x

dimana vx0 = [2(EF + φ)/m*]1/2. Proses integrasinya mungkin dapat diselesaikan dengan mudah

yang menghasilkan

J x=A T2 e−∅ /kT (4.61¿

dimana A = m*ek2/2π2h3. Nilai numerik dari A adalah 120 amp/cm2.0K. Hasil (4.61), dikenal

sebagai persamaan Richardson-Dushman, yang cukup sesuai dengan percobaan. Itu

menunjukkan bahwa rapat arus meningkat sangat cepat terhadap suhu. Karena φ >> kT untuk

rentang temperatur biasa, rapat arus meningkat secara eksponensial terhadap suhu. Tabel 4.5

menunjukkan fungsi kerja dari beberapa logam seperti ditentukan dari pengukuran emisi

termionik.

Table 4.5

Fungsi Kerja, eV

W Ta Ni Ag Cs Pt

4.5 4.2 4.6 4.8 1.8 5.3

4.13. KEGAGALAN MODEL ELEKTRON BEBAS

Kita telah mendiskusikan model elektron bebas dengan sangat detail untuk menunjukkan

bagaimana tidak ternilainya itu dalam perhitungan untuk perangkat logam yang diamati.

Meskipun demikian, model ini hanyalah sebuah perkiraan saja, dan memiliki batasan.

Mempertimbangkan poin berikutnya

a) Model menyarankan hal lainnya setara, Konduktivitas listrik sebanding dengan

konsentrasi elektron, berdasarkan (4.9). Tidak ada kesimpulan yang ditentukan untuk

perbeadaan yang didapat dari data (tabel 4.1), karena kita tidak tahu kuantitas lainnya

dari formula (karena ini ditentukan dari σ), tetapi ini mengejutkan untuk logam valensi

dua (Be, Cd, Zn, dll) dan sekalipun logam valensi tiga (Al, In) , secara konsinsten kurang

konduktif dibandingkan dengan logam valensi satu (Cu, Ag dan Au), meskipun pada

kenyataannya logam valensi dua dan valensi tiga memiliki konsentrasi elektron yang

lebih tinggi.

b) Pernyataan lebih jauh lagi yang menentang model ini adalah kenyataan bahwa beberapa

logam menunjukkan konstanta Hall positif, contohnya Be, Zn, Cd, (tabel 4.3). Model

elektron bebas selalu memprediksi konstanta Hall negatif.

c) Pengukuran pada permukaan Fermi menandakan bahwa itu kadang-kadang bentuknya

tidak bulat (Bagian 5.12). Ini berlawanan dengan model, yang meprediksikan fungsi

bola.

Kesulitan ini dan hal lainnya yang tidak perlu disebutkan disii. Dapat dipecahkan dengan

teori yang lebih hebat lagi yang digunakan dalam perhitungan interaksi dari elektron

dengan kisi. Kita harus membahas persoalan ini di Bab berikutnya.

RANGKUMAN

Elektron Konduksi

Ketika atom disatukan dalam bentuk logam, elektron valensinya melepaskan diri dari

atomnya sendiri dan bergerak melalui kristal. Elektron yang terdelokalisasi ini merupakan

elektron konduksi. Konsentrasinya dtuliskan

N=Zv

ρm N A

M mol

,

dimana ZV adalah valensi atom dan simbol lainnya memilik arti yang sama dengan

sebelumnya.

Konduktivitas listrik

Konduktivitas listrik dari elektron listrik, diperlakukan sebagai partikel bebas dengan waktu

tumbukan τ adalah

σ=Ne2 τF

m¿

Membandingkan hasil ini dengan nilai ekperimen menunjukkan bahwa waktu tumbukan

sangat singkat sampai orde 10-14 pada suhu ruang.

Ketika salah satu mengevaluasi waktu tumbukan, salah satunya lagi menemukan bahwa

sebuah kisi yang sempurna tidak menghasilkan scattering atau hamburan. Hanya getaran kisi

atau kisi yang tidak sempurna yang menghasilkan hamburan dan karenanya menentukan

waktu tumbukan. Perlakuan getaran kisi dan ketidakmurnian statis dalam kristal sebebas

mekanisnme tumbukan, yang menemukan bahwa resistivitas listrik ρ adalah

ρ=ρp h (T )+ρi

Dimana ρph ≈ T adalah resistivitas yang disebabkan oleh tumbukan getaran kisi atau Phonon,

dan ρi adalah resistivitas sisa yang dikarenakan tumbukan dari elektron dengan impuritas atau

ketidakmurnian dalam kristal.

Konduktivitas Termal

Konduktivitas termal pada logam dituliskan dengan persamaan

K=LTσ

Dimana L adalah konstanta yang dikenal dengan bilangan Lorentz

L= π2

3 ( ke )

2

Kapasitas Panas

Eksperimen menunjukan bahwa kapasitas panas dari elektron konduksi lebih kecil dari yang

diperkirakan dengan mekanika klasik, ini dijelaskan pada dasar dari prinsip eksklusi atau

pengeluaran bahan. Semua tingkat energi naik ke level Fermi yang di tempati, dan ketika

sistem dipanaskan, hanya elektron yang dekat dengan level Fermi yang tereksitasi. Kapasitas

elektron per mol adalah

C e=π2

2R

kTEv

Energi Fermi

Energi Fermi ditentukan oleh konsentrasi elektron, dengan nilainya

E f=h2

2m¿ (3 π2 N )23

Resonansi siklotren dan efek Hall

Ketika medan magent diterapkan pada benda padat, elektron melakukan gerakan siklotren

memutar. Frekuensi siklotrennya adalah

ωc=eBm¿

Dan pengukuran itu memungkinkan untuk menentukan massa efektif elektron.

Ketika medan magnet diterapkan untuk sebuah kawat pembawa arus, itu menghasilkan

sebuah medan magnet normal untuk medan arus dan medan magnet. Medan listrik ini atas

medan Hall, memiliki bentuk εH = RBJ, dimana konstanta Hall adalah

RH=−1N e

Mengukur R menghasilkan konsentrasi elektron N.

Perangkat Optik

Konduktivitas komplek dari elektron konduksi adalah

σ =σ 0

1+iωt

Dimana σ0 adalah konduktivitas statis. Bentuk dari σ~ menandakan bahwa elektron

merupakan gabungan dari sifat resistif-induktif. Sifat resistif didominasi dalam daerah

frekuensi rendah ω <1/τ, sementara itu sifar induktif didominasi dalam daerah frekuensi

tinggi ω >1/τ. Karena τ ini sangat pendek, daersah sebelumnya termasuk semua frekuensi

hinga dan termasuk gelombang mikro.

Konstanta dielektrik untuk semua kristal. Termasuk kisi dan elektron adalah

ϵ (ω)=ϵL+iσω

Sekali kita tahu konstanta dielektrik, kita dapat menetukan perangkat reflektif dan absorbtif

dari kristal. Bentuk frekuensi berikutnya dapat digambarkan

a) Daerah frekuensi rendah, ω << 1/τ. Gelombang menembus logam pada jarak yang

pendek yang dikenal dengan tebal kutil, yang memiliki nilai

δ=( ϵ 0c2

2 σ 0ω )2

Reflektivitas dalam rentang frekuensi ini sangat dekat untuk bergabung.

b) Daerah frekuensi menengah 1/τ << ω < ωp . Gelombang lenyap di daerah ini dan logam

menunjukkan refleksi total.

c) Daerah frekuensi tinggi ωp < ω. Logam beraksi seperti dielektrik biasa, melalui

penyebaran gelombang tanpa pelemahan.

Mode plasma

Mode ini mengacu pada osilasi longitudinal dari sistem elektron. Frekuensinya sama dengan

frekuensi plasma ω p=(Ne2/ϵL m¿)1/2

Emisi termionik

Ketika logam dipanaskan, beberapa elektron pada ujung akhir dari distribusi Fermi

mendapatkan energi yang cukup untuk keluar dari permukaan logam. Rapat arus termionik

adalah

J x=A T2 e−∅ /kT

Dimana A adalah konstanta dan φ fungsi kerja logam.

REFERENSI

Sifat Transport

Terdapat banyak referensi yang memperlakukan sifat transport pada logam dalam penjelasan

yang rinci. Beberapa diantaranya adalah sebagai berikut

F. J. Blatt, 1968, Physics of Electron Conduction in Solids, New York : McGraw-Hill

B. Donovan, 1967, Elementary Theory of Metals, New York : Pergamon Press

F. Mott dan H. Jones, 1958, Theory of the Properties of Metals and Alloys, New York: Dover

Press

M. Rosenberg, 1963, Lov’- Temperature Solid State Physics, Oxford: Oxford University

Press

F. Seitz, 1940, Modern Theory of Solids, New York : McGraw-Hill

J. M. Ziman, 1960, Electron and Phonons, Oxford: Oxford University Press

Sifat Optik

B. Donovan, op. cit.

F. Stern, “ Elementary Theory of the Optical Properties of Metals,” Solid State Physics 15,

1963

SOAL – SOAL

1. Jelaskan perbedaan antara elektron terlokalisasi dan terdelokalisasi (atau inti) dalam

benda padat.

Jabarkan salah satu metode percobaan untuk menguji perbedaan antara kedua tipe

tersebut.

2. Teks menjelaskan bahwa elektron konduksi lebih baik dijelaskan sebagai sebuah plasma

dibandingkan sebuah gas biasa. Dalam keadaan apakah plasma berbeda dari gas?

3. Telusuri langkah-langkah yang menunjukkan bahwa arus listrik pada elektron

mempunyai arag yang sama seperti medannya, meskipun partikelnya merupakan muatan

negatif.

4. Asumsikan bahwa elektron konduksi dalam Cu merupakan gas klasik, hitunglah nilai

rms dari kecepatan elektron, dan bandingkan nilai yang didapatkan dengan kecepatan

Fermi (lihat Kasus 1)

5. Jelaskan mengapa elektron membawa energi net bukannya arus net dalam kasus

konduksi termal.

6. Perlihatkan bahwa jika keceapatan acak dari elektron yang dikarenakan pergerakan

termal gas elektron klasik, resistivitas listrik akan meningkat dengan tempeatur sebagai

T3/2.

7. Dalam percobaan resonansi siklotren, bagian dari sinyal terserap oleh elektron. Apa yang

terjadi pada energi ini ketika sistem dalam keadaaan steady-state?

8. Jelaskan secara kualitatif mengapa konstanta Hall RH memiliki nilai yang berkebalikan

dengan konsentrasi elektron N.

9. Tunjukkan secara kualitatif bahwa konstanta Hall untuk sebuah arus bermuatan positif

adalah positif.

10. Persamaan (4.54) memperlihatkan bahwa ketebalan kulit δ menjadi tak berhingga pada

frekuensi nol. Interpretasikan hasilnya.

11. Jelaskan variasi ketabalan kulit terhadap temperatur.

12. Berdasarkan diskusi dalam Bagian 4.11, elektron bebas berperan dalam kontribusi

negatif menjadi konstanta dielektrik, sedangkan elektron terikat berperan dalam

konribusi positif. Jelaskan perbedaan ini dalam perilaku elektron.

PERMASALAHAN

1. Tembaga memiliki kerapatan massa ρm = 8.95 g/cm3, dan resistivitas listrik ρ = 1.55 ×

10-8 ohm-m pada temperatur ruangan. Asumsikan bahwa massa efektif m* = m0,

hitunglah:

a) Konsentrasi elektron konduksi

b) Waktu bebas rata-rata τ

c) Energi Fermi EF

d) Kecepatan Fermi vF

e) Jalur bebas rata-rata pada tingkat Fermi lF

2. Turunkan persamaan (4.19) unutk jalur bebas rata-rata.

3. Resistivitas residu unutk 1 persen atom ketidakmurnian As dalam Cu 6.8 × 10-8 ohm-m.

hitunglah perpotongan pada penghamburan elektron dengan satu ketidakmurnian As

dalam Cu.

4. Sodium memiliki koefisiensi ekspansi volum 15 × 10-5 oK-1. Hitunglah perubahan

persentase dalam energi Fermi EF sebagai temperatur dinaikkan dari T = 0oK hingga 300 oK. Ulaslah magnitudo perubahan.

5. Ulangilah masalah 4 untuk perak, yang koefisien volum ekspansinya adalah 18.6 × 10-5

oK-1.