Zat padat parno

FISIKA ZAT PADAT

O l e h

DRS. P A R N O, M.Si

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS NEGERI MALANG

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

JURUSAN FISIKA Pebruari 2006

i

Ralat fisika zat padat 2006 hal ralat 10 Gambar 1.9 CsCl 13 c/a = (2/3) akar 6 18 Baris ke-8 dalam table: ………. berikutnya 25 Pers (1.30) fkr,hkl 27 KBR seharusnya adalah KBr 35 interaksi seharusnya Interaksi 41 Baris ke-2 dr bw: dobel + 42 03.b. primitip adalah; 06. ……… 48 2.1 dan 2.3 57 Letak Pers 2.34

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur dipanjatkan kepada Tuhan Yang Mahaesa atas segala rahmat-Nya

sehingga penulisan buku FISIKA ZAT PADAT ini dapat diselesaikan.

Buku ini disusun atas dasar deskripsi matakuliah FIU 437 FISIKA ZAT

PADAT di Jurusan Fisika FMIPA Universitas Negeri Malang dan dengan maksud

agar perkuliahan matakuliah tersebut dapat berlangsung lebih efektif dan efisien.

Disamping itu, buku ini diharapkan dapat melengkapi pilihan pustaka mahasiswa

dalam memahami konsep dan gejala mendasar dalam zat padat.

Isi buku ini dirancang untuk kuliah satu semester dengan tiga sampai empat

kredit pada semester kedua tahun ketiga. Dengan demikian mahasiswa diharapkan

sudah menempuh matakuliah prasyaratnya, yaitu FISIKA KUANTUM dan FISIKA

STATISTIK.

Dalam setiap bab buku ini disajikan urutan subbab sedemikian rupa sehingga

memahami subbab sebelumnya menjadi bekal yang cukup baik untuk memahami

subbab sesudahnya. Oleh karena itu dalam mempelajari setiap bab buku ini

mahasiswa diharapkan membaca dan memahaminya mulai dari awal sampai akhir

secara berturutan.

Diucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga

buku FISIKA ZAT PADAT ini dapat diselesaikan. Saran dan kritik membangun dari

para pembaca sangat diharapkan demi lebih sempurnanya buku ini.

Semoga buku ini berguna. Amin!

Malang, Pebruari 2006

Penyusun,

ii

DAFTAR ISI

halaman

B A B I STRUKTUR KRISTAL

1.1 SIMETRI DAN STRUKTUR KRISTAL 2 1.1.1 Pengertian Pokok 2

1.1.1.1.Zat padat Kristal 2 1.1.1.2 Kisi Kristal 3 1.1.1.3 Vektor Basis 4 1.1.1.4 Sel Satuan Primitip dan Non-Primitip 4 1.1.1.5 Tiga Dimensi 5

1.1.2 Macam Dasar Kisi kristal 6 1.1.3 Beberapa Kristal dengan Struktur Sederhana 9

1.1.3.1 Struktur NaCl 9 1.1.3.2 Struktur CsCl 10 1.1.3.3 Struktur Intan 11 1.1.3.4 Struktur ZnS 12 1.1.3.5 Struktur HCP 12

1.1.4 Geometri Kristal 13 1.1.4.1 Arah kristal 13 1.1.4.2 Bidang Kristal dan Indek Miller 14 1.1.4.3 Jarak antar Bidang Sejajar 16 1.1.4.4 Fraksi Kepadatan 18

1.2 DIFRAKSI KISI KRISTAL 18 1.2.1 Hamburan Sinar-X oleh Kisi Kristal 19

1.2.1.1 Hukum Bragg 19 1.2.1.2 Teori Hamburan 20 1.2.1.3 Kisi Resiprok 23 1.2.1.4 Difraksi Sinar-X 24

1.3 IKATAN ATOMIK DALAM KRISTAL 28 1.3.1 Gaya Antaratom 28 1.3.2 Jenis Ikatan Kristal 30

1.3.2.1 Ikatan Ionik 30 1.3.2.2 Ikatan Kovalen 32 1.3.2.3 Ikatan Logam 34 1.3.2.4 Ikatan Van Der Walls 35 1.3.2.5 Ikatan Hidrogen 37

RINGKASAN 38 LATIHAN SOAL BAB I 41

iii

B A B II DINAMIKA KISI KRISTAL 2.1. GETARAN DALAM ZAT PADAT 47

2.1.1 Getaran Elastik dan Rapat Moda Getar 47 2.1.2 Kuantisasi Energi Getaran dalam Zat Padat 52

2.1.2.1 Model Einstein tentang Cv Zat Padat 53 2.1.2.2 Model Debye tentang Cv Zat Padat 56

2.2 GETARAN DALAM KISI KRISTAL 58 2.2.1 Getaran dalam Kisi Linier 58

2.2.1.1 Kisi Monoatomik Satu Dimensi 58 2.2.1.2 Kisi Diatomik Satu Dimensi 63 2.2.1.3 Kisi Tiga Dimensi 66

RINGKASAN 66 LATIHAN SOAL BAB II 68

BAB III ELEKTRON DALAM LOGAM I (MODEL ELEKTRON BEBAS)

3.1 MODEL ELEKTRON BEBAS KLASIK 73 3.1.1 Teori Drude tentang Elektron dalam Logam 73 3.1.2 Model Elektron Bebas Klasik 76

3.2 MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI 78 3.2.1 Sumbangan Elektron Bebas pada Harga CV 80 3.2.2 Paramagnetik Pauli 82 3.2.3 Konduktivitas Listrik dalam Logam 83

3.3 PERILAKU ELEKTRON DALAM LOGAM 87 3.3.1 Hukum Matthiessen 87 3.3.2 Efek Hall 88 3.3.3 Resonansi Siklotron 90 3.3.4 Pancaran Termionik 91

3.4 KEBERATAN TERHADAP MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI 93

RINGKASAN 94 LATIHAN SOAL BAB III 96

BAB IV LOGAM II (TEORI PITA ENERGI) 4.1 TEORI PITA ENERGI UNTUK ZAT PADAT 99

4.1.1 Teorema Bloch 100 4.1.2 Model Kronig-Penney 101 4.1.3 Pita Energi dan Energi Elektron dalam Atom 105 4.1.4 Refleksi Bragg dan Celah Energi 108 4.1.5 Logam, Isolator dan Semikonduktor 110 4.1.6 Metode LCAO 115

iv

4.2 DINAMIKA ELEKTRON DALAM KRISTAL 119 4.2.1 Kecepatan Kelompok dan Massa Efektif Elektron

dalam Kristal 119 4.2.2 Pengaruh Medan Listrik pada Kecepatan Elektron

dalam Kristal 125 4.2.3 Konduktivitas listrik 127 4.2.4 Dinamika Elektron dalam Medan Magnet 129

4.2.4.1 Efek Hall 129 4.2.4.2 Resonansi Siklotron 130

RINGKASAN 133 LATIHAN SOAL BAB IV 136

BAB V SEMIKONDUKTOR 5.1 KLASIFIKASI SEMIKONDUKTOR 140 5.2 SEMIKONDUKTOR INTRINSIK 140 5.3 SEMIKONDUKTOR EKTRINSIK 144

5.3.1 Ketidakmurnian Donor dan Akseptor 145 5.3.1.1 Donor 145 5.3.1.2 Aseptor 147

5.4 PENGUKURAN CELAH ENERGI DENGAN METODE OPTIK 149

RINGKASAN 150 LATIHAN SOAL BAB V 152

BAB VI BAHAN DIELEKTRIK 6.1 RUMUSAN DASAR POLARISASI BAHAN 154 6.2 KONSTANTA DIELEKTRIK BAHAN

(PANDANGAN MAKROSKOPIS) 156 6.3 POLARISABILITAS BAHAN

(PANDANGAN MIKROSKOPIS) 157 6.3.1 Persamaan Clausius-Mosotti 157 6.3.2 Sumber Polarisabilitas 161

6.3.2.1 Polarisabilitas Polar 163 6.3.2.1.1 Polarisabilitas Polar Statik 163 6.3.2.1.2 Polarisabilitas Polar Bolak-balik 164

6.3.2.2 Polarisabilitas Ionik 167 6.3.2.3 Polarisabilitas Elektronik 170

6.3.2.3.1 Polarisabilitas Elektronik Statik 170 6.3.2.3.2 Polarisabilitas Elektronik Bolak-balik 171

6.4 GEJALA PIEZOELEKTRIK 172 6.5 GEJALA FERROELEKTRIK 173

RINGKASAN 173 LATIHAN SOAL BAB VI 178

v

BAB VII BAHAN MAGNETIK 7.1 SUSEPTIBILITAS MAGNETIK BAHAN 183 7.2 GEJALA DIAMAGNETIK LANGEVIN 184 7.3 GEJALA PARAMAGNET 186 7.4 GEJALA MAGNETIK DALAM LOGAM 190 7.5 GEJALA FERROMAGNETIK 193

7.5.1 Gejala Ferromagnetik pada Isolator 193 7.5.1.1 Teori Medan Molekuler 193 7.5.1.2 Magnetisasi Spontan dan Hukum Curie-Weiss 194

7.5.2 Gejala Ferromagnetik pada Logam 197 7.6 GEJALA ANTIFERROMAGNETIK

DAN FERRIMAGNETIK 198

RINGKASAN 199 LATIHAN SOAL BAB VII 201 DAFTAR RUJUKAN

B A B I

STRUKTUR KRISTAL

Zat padat, yang terlihat sebagai benda tegar padat, secara mikro terdiri dari

atom. Atom-atom zat padat tidaklah diam, melainkan bervibrasi dengan amplitudo

kecil di sekitar titik kesetimbangannya. Karena posisinya yang relatif tetap, maka

atom-atom tersebut cenderung membentuk struktur tertentu. Hal ini berbeda

dengan cairan atau gas, yang mana atom-atomnya bergerak pada jarak yang lebih

besar sehingga strukturnya tidak tertentu.

Distribusi setimbang atom-atom mendefinisikan struktur padatan, yang

terdiri dari tiga bagian besar, yaitu kristalin, amorf, dan polikristal. Dalam zat

padat kristal, atom tersebut terdistribusi teratur relatif terhadap yang lain.

Terdapat beberapa jenis struktur kristal yang bergantung pada geometri susunan

atom. Pemahaman tentang struktur kristal bahan adalah hal penting dalam fisika

zat padat, karena, umumnya, struktur kristal mempengaruhi sifat zat padat. Zat

padat polikristal dibentuk oleh sejumlah besar kristal-kristal kecil, yang disebut

kristalin. Atom-atom membentuk pola dalam suatu kristal, tetapi orientasinya

akan lenyap pada batas kristalin. Sedangkan dalam zat padat amorf, terjadi

distribusi atom secara acak. Bahan-bahan zat padat dapat berbentuk kristalin,

polikristal atau amorf, bergantung pada bagaimana bahan tersebut dipreparasi.

Selanjutnya, dalam diktat ini hanya dibahas zat padat kristal saja.

I STRUKTUR KRISTAL

Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM

2

Bagian awal bab ini menyajikan pengertian struktur kristal beserta

perluasannya melalui rumusan dasar matematika. Kemudian dibahas jenis struktur

yang mungkin, dan dikenalkan konsep indek Miller. Struktur kristal dapat

ditentukan dengan menggunakan difraksi sinar-X. Bab ini ditutup oleh bahasan

gaya antaratom yang menyebabkan terjadinya ikatan dalam kristal.

1.1 SIMETRI DAN STRUKTUR KRISTAL

1.1.1 Pengertian Pokok

1.1.1.1 Zat Padat Kristal Suatu benda padat berbentuk kristal, apabila atom, ion, atau molekulnya

(selanjutnya disebut atom saja) teratur dan periodik dalam rentang yang panjang

dalam ruang. Kristal sempurna mempunyai keperiodikan tak berhingga. Namun,

kenyataannya, tidak mungkin mempreparasi kristal sempurna karena berbagai

keterbatasan fisis, yaitu (a) adanya permukaan kristal, (b) cacat geometrik, (c)

ketakmurnian, dan (d) pada suhu T>0 K atom dalam kristal bergetar harmonik di

sekitar titik setimbangnya.

Gambar 1.1 berikut menyajikan geometri kristal dua dimensi.

Gambar 1.1 Zat padat kristal. Seluruh atom tersusun periodik.

Kedudukan dalam ruang dua dimensi di atas merupakan kedudukan atomnya.

Setiap titik di dalamnya terletak pada ujung vektor kisi

bnanR 21 += (1.1)

dengan (n1, n2) adalah pasangan bilangan bulat; dan bdana adalah vektor basis.

R

a

b

I STRUKTUR KRISTAL


3

Bahan kristal memiliki simetri translasi, artinya seluruh kristal itu digeser

sejauh vektor R di atas (yang menghubungkan dua buah atomnya), maka

keadaannya tetap sama. Dengan kata lain kristal bersifat invarian terhadap

translasi semacam itu.

1.1.1.2 Kisi Kristal Dalam kristalografi (bahasan geometri kristal), setiap atom dalam kristal

dianggap sebagai suatu titik, tepat pada kedudukan setimbang tiap atom itu di

dalam ruang. Pola geometrik yang diperoleh dinamakan kisi kristal.

Terdapat dua kelas kisi, yaitu Bravais dan non-Bravais. Dalam kisi

Bravais, seluruh titik kisi adalah ekivalen, artinya kisi bersifat invarian terhadap

operasi simetri translasi. Dengan demikian semua atom dalam kristal haruslah

sejenis. Sedangkan dalam kisi non-Bravais terdapat beberapa titik kisi yang tidak

ekivalen.

Gambar 1.2 berikut menyajikan kisi non-Bravais.

Gambar 1.2 Kisi non-Bravais dengan basis A dan A’

Tempat kisi A, B dan C adalah ekivalen, begitu juga A’, B’ dan C’. Tetapi, dua

tempat kisi A dan A’ tidak ekivalen karena kisi tidak invarian terhadap translasi

sepanjang AA’. Kisi non-Bravais seringkali disebut sebagai kisi dengan suatu

basis. Basis yang dimaksud adalah kumpulan atom yang ditempatkan di sekitar

titik kisi Bravais. Dalam Gambar 1.2 di atas basisnya adalah A dan A’.

Kisi non-Bravais dapat dipandang sebagai kombinasi dari dua atau lebih

kisi Bravais yang saling menembus dengan orientasi tertentu.

I STRUKTUR KRISTAL


4

1.1.1.3 Vektor Basis Lihat kembali Gambar 1.1. Posisi semua titik kisi dinyatakan oleh

persamaan (1.1), yakni bnanR 21 += . Perhatikanlah bahwa bdana , yang

dinamakan vektor basis, (a) bersifat tidak unik, dan (b) haruslah tidak kolinier.

1.1.1.4 Sel Satuan Primitip dan non-Primitip Luas daerah jajaran genjang (paralelogram) yang sisinya dibatasi oleh

vektor basis disebut sel satuan, seperti luasan daerah bayang-bayang dalam

Gambar 1.3 berikut.

Gambar 1.3 Vektor bdana membentuk sel satuan

Sel satuan merupakan dasar pola elementer karena berulang secara periodik dan

membentuk struktur kisi suatu kristal. Bila sel satuan tersebut dilakukan translasi

oleh vektor kisi R di atas, maka seluruh kisi kristal tercakup olehnya. Luas daerah

paralelogram dengan sisi a dan b adalah ba × =ab sin γ, dimana γ adalah sudut

antara a dan b .

Perhatikanlah bahwa sel satuan itu (a) tidak unik, (b) setiap sel satuan

mempunyai luasan yang sama, dan (c) dalam contoh di atas sel satuan

mengandung satu titik kisi.

Yang dibicarakan di atas adalah sel primitip, yakni sel satuan yang hanya

mengandung satu titik kisi perselnya. Sedangkan sel non-primitip memiliki lebih

dari satu titik kisi perselnya. Vektor basis yang membentuk sel satuan primitip

disebut vektor basis primitip; dan sel satuan non-primitip disebut vektor basis

non-primitip. Gambar 1.4 berikut memperjelas perbedaan keduanya.

R

a

b

I STRUKTUR KRISTAL


5

Gambar 1.4 Sel primitip (3, 4 dan 5) dan

non-primitip (1 dan 2 dengan dua titik kisi persatuan sel)

Perhatikanlah bahwa jika sel satuannya adalah sel primitip, maka titik-titik

kisi hanya ada pada tiap-tiap pojok jajaran genjang, yaitu sebanyak 4 titik kisi.

Setiap titik kisi menjadi milik bersama antara 4 buah sel, sehingga jumlah total

titik kisi dalam sel satuan primitip sebanyak 4x¼=1. Hal demikian tidak terjadi

pada sel satuan nonprimitip.

Beberapa hal penting yang berkaitan dengan sel satuan adalah (a) sel non-

primitip menunjukkan simetri lebih besar, (b) luas sel non-primitip merupakan

kelipatan bulat dari luas sel primitip, dan (c) sel primitip dan non-primitip berkait

dengan pemilihan vektor basis dalam kisi Bravais.

1.1.1.5 Tiga Dimensi Bahasan kristal dalam tiga dimensi sama dengan dalam dua dimensi,

hanya keadaannya ditambah dengan satu dimensi lagi. Disamping itu, hal yang

perlu diperhatikan adalah

(a) ungkapan vektor basis menjadi

cnbnanR 321 ++= (1.2)

dengan vektor basis ),,( cba yang tidak koplanar,

(b) vektor basis membentuk sel satuan volume berbentuk paralelepipidum,

5

4 3

2

1

I STRUKTUR KRISTAL


6

(c) antarvektor basis satu sama lain membentuk sudut α, β dan γ seperti terlihat

pada Gambar 1.5 berikut.

(d) volume paralelepipidum dengan sisi

a , b dan c adalah luas bagian

dasar berbentuk paralelogram ba ×

yang dikalikan dengan komponen c

sepanjang sumbu yang tegak lurus

terhadap bagian dasar tersebut, yaitu

bacV ×•= . Gambar 1.5 Kisi tiga dimensi dengan

vektor basis ),,( cba

dan sudut α, β, γ antaranya

Perhatikanlah bahwa sel satuan pada Gambar 1.5 adalah sel satuan

primitip, yaitu titik-titik kisi berjumlah 8 hanya ada pada tiap pojok

paralelepipidum. Setiap titik kisi menjadi milik bersama sebanyak 8 sel satuan,

sehingga jumlah total titik kisi dalam sel satuan primitip tersebut sebanyak

8x 81 =1. Hal demikian tidak terjadi pada sel satuan nonprimitip.

1.1.2 Macam Dasar Kisi Kristal Kondisi simetri translasi dalam kristal mempunyai konsekwensi terhadap

terbatasnya kemungkinan jenis kisi Bravais yang dapat terjadi, baik dalam kisi

kristal dua maupun tiga dimensi.

Dalam dua dimensi, kisi kristal yang mungkin sebanyak lima jenis, seperti

terlihat dalam Tabel 1.1 dan Gambar 1.6 berikut.

Tabel 1.1 Macam kisi dua dimensi

No Kisi Sel Satuan Sisi dan Sudut 1 Genjang Jajaran genjang a ≠ b ϕ ≠ 900 2 Persegi Bujur sangkar a = b ϕ = 900 3 Heksagonal Belah ketupat a = b ϕ = 1200

4 Empat persegi panjang P Empat persegi panjang a ≠ b ϕ = 900 5 Empat persegi panjang I Empat persegi panjang a ≠ b ϕ = 900

I STRUKTUR KRISTAL


7

Gambar 1.6 Lima jenis dasar kisi Bravais dua dimensi Tampak bahwa hanya kisi empat persegi panjang I yang memiliki sel satuan

nonprimitip

Untuk kasus tiga dimensi ternyata ada 14 buah kisi Bravais yang

terlingkupi dalam 7 buah sistem kristal. Hal ini sebagai konsekuensi dari simetri

rotasi sebuah kristal, yakni rotasi-1, 2, 3, 4, dan 6, seperti disajikan dalam Tabel

1.2 dan Gambar 1.7 berikut.

Tabel 1.2 Macam kisi tiga dimensi

No Sistem Kristal Kisi Bravais Geometri Kristal Simetri Khas

1 Triklinik P a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ Tidak ada 2 Monoklinik P , C a ≠ b ≠ c α = β = 900 γ ≠ 900 Sebuah sumbu rotasi-2

3 Ortorombik P , C, I, F a ≠ b ≠ c α = β = γ = 900 Tiga sumbu rotasi-2 ortogonal

4 Tetragonal P , I a = b ≠ c α = β = γ = 900 Sebuah sumbu rotasi-4

5 Trigonal R a = b = c α = β = γ < 1200 tetapi bukan 900 Sebuah sumbu rotasi-3

6 Heksagonal P a = b ≠ c α = β = 900 γ = 1200 Sebuah sumbu rotasi-3

7 Kubik P , I , F a = b = c α = β = γ = 900 Empat sumbu rotasi-3 sepanjang diagonal kubus

Kisi Bravais P, C, I, F, dan R, masing-masing mengandung jumlah titik kisi persel

satuannya adalah 1, 2, 2, 4, dan 1.

a

a a

a

b

a

b

a b

a

I STRUKTUR KRISTAL


8

Gambar 1.7 Empat belas kisi Bravais berdimensi tiga dan distribusinya dalam 7 sistem kristal

P = primitip C = “base centered” I = “body Centered” F = “face centered” R = rombohedral primitip

I STRUKTUR KRISTAL


9

1.1.3 Beberapa Kristal dengan Struktur Sederhana

1.1.3.1 Struktur Sodium Khlorida (NaCl) Na Cl mempunyai struktur FCC dengan basis satu atom Na dan satu atom

Cl yang terpisah sepanjang setengah diagonal ruang kubus. Sepanjang ketiga arah

sumbu utama kubiknya terdapat alternasi atom Na dan Cl, seperti ditunjukkan

oleh Gambar 1.8 berikut.

Gambar 1.8 Struktur NaCl tiga dimensi

Setiap sel satuan memiliki 4 perangkat NaCl yang atomya berkedudukan di

Cl : 0 0 0 ½ ½ 0 ½ 0 ½ 0 ½ ½ Na: ½ ½ ½ 0 0 ½ 0 ½ 0 ½ 0 0

Jika sisi kubik adalah a, maka kedua atom dalam basis terpisah sejauh ½√3a, dan

setiap atom memiliki 6 atom tetangga terdekat yang berbeda jenis dengan jarak

pisah masing-masing ½a. Nilai konstanta a untuk NaCl berharga 5,63 Å.

NaCl dapat pula dipandang sebagai struktur non-Bravais, yang terdiri dari

dua subkisi FCC, masing-masing untuk Na dan Cl, yang saling menembus. Kedua

subkisi tersebut terpisah sejauh ½a satu sama lain.

I STRUKTUR KRISTAL


10

Beberapa kristal yang memiliki struktur NaCl adalah LiH, MgO, MnO,

AgBr, PbS, KCl, dan KBr dengan konstanta kisi masing-masing 4,08; 4,20; 4,43;

5,77; 5,92; 6,29; dan 6,59 Å.

1.1.3.2 Struktur Sesium Khlorida (CsCl) CsCl memiliki struktur SC dengan basis satu atom Cs dan satu atom Cl.

Alternasi atom Cs dan Cl terdapat sepanjang diagonal ruang kubik, seperti terlihat

pada Gambar 1.9 berikut.

Gambar 1.9 Struktur CsCl

Setiap sel satuan mengandung satu molekul CsCl, dengan posisi atom

Cs : 0 0 0 Cl : ½ ½ ½

CsCl dapat pula dipandang sebagai struktur non-Bravais yang terdiri dari

dua subkisi SC (kubik sederhana), yang masing-masing dibentuk oleh atom-atom

Cs dan Cl, yang keduanya terpisah sejauh ½√3a (setengah diagonal ruang).

Jumlah titik terdekat setiap atom adalah 8 atom yang berbeda jenis. CsCl memiliki

konstanta kisi 4,11 Å.

Beberapa kristal yang memiliki struktur CsCl adalah BeCu, AlNi, CuZn,

CuPd, AgMg, LiHg, NH4Cl, TlBr, dan TlI dengan konstanta kisi masing-masing

2,70; 2,88; 2,94; 2,99; 3,28; 3,29; 3,87; 3,97; dan 4,20 Å.

I STRUKTUR KRISTAL


11

1.1.3.3 Struktur Intan Struktur intan dapat dilihat sebagai struktur yang sel satuannya adalah sel

FCC dengan suatu basis, yakni dua atom C yang posisinya

0 0 0 dan ¼ ¼ ¼

seperti terlihat pada Gambar 1.10 dan 1.11 berikut.

Gambar 1.10 Struktur kristal intan dengan ikatan tetrahedralnya

Gambar 1.11 Proyeksi posisi atom dalam struktur intan sel kubik

pada salah satu sisi kubik. Bilangan pecahan menunjukkan ketinggian di atas bidang dasar

I STRUKTUR KRISTAL


12

Dalam setiap sel satuan terdapat 8 atom C dan bilangan koordinasinya adalah 4.

Keempat atom terdekat membentuk suatu tetrahedral, dengan pusat atom yang

bersangkutan. Konfigurasi semacam itu sering dijumpai pada semikonduktor, dan

dinamakan ikatan tetrahedral. Struktur intan merupakan contoh ikatan kovalen

dalam unsur-unsur kolom IV tabel periodik.

Struktur intan dapat pula dipandang sebagai gabungan dari dua subkisi

FCC yang saling menembus dengan titik asal, masing-masing 000 dan ¼ ¼ ¼.

Beberapa kristal yang memiliki struktur intan adalah Ge, Si, C, timah putih

dengan konstanta kisi masing-masing 5,65; 5,43; 3,56; dan 6,46 Å.

1.1.3.4 Struktur Seng Sulfida (ZnS) Struktur ZnS sama dengan struktur intan, tetapi dengan basis yang terdiri

dari dua atom berbeda, yakni Zn dan S. Setiap sel satuan memiliki 4 molekul ZnS

dengan posisi atom

Zn : 0 0 0 0 ½ ½ ½ 0 ½ ½ ½ 0 S: ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾ ¾ ¾ ¼

Setiap atom memiliki jarak yang sama terhadap keempat atom yang berbeda

terdekatnya yang menempati pojok-pojok tetrahedron regular. ZnS memiliki

konstanta kisi 5,41 Å.

Beberapa kristal yang memiliki struktur ZnS adalah CuF, SiC, CuCl, AlP,

GaP, ZnSe, GaAs, AlAs, CdS, InSb, dan AgI dengan konstanta kisi masing-

masing 4,26; 4,35; 5,41; 5,45; 5,45; 5,65; 5,65; 5,66; 5,82; 6,46; dan 6,47 Å.

1.1.3.5 Struktur HCP (hexagonal close-packed structure) Banyak cara untuk menyusun bola identik dengan jumlah tak berhingga

secara tertentu sehingga menghasilkan susunan teratur yang memiliki fraksi

kepadatan maksimum atau ruang kosong antarbola minimum. Gambar 1.12

berikut melukiskan susunan satu lapis bola identik dengan pusat titik A, yang

mana tiap bola bersinggungan dengan enam bola tetangga terdekatnya. Lapisan

kedua yang identik ditempatkan paralel di atasnya (lapisan pertama) dengan pusat

titik B. Penempatan lapisan ketiga memiliki dua kemungkinan, yakni

I STRUKTUR KRISTAL


13

Gambar 1.12 Lapisan bola terkemas rapat dengan pusat titik A

(a) dengan pusat titik A, sehingga terdapat urutan lapisan ABABAB…, dan

menghasilkan struktur HCP, dan

(b) dengan pusat titik C, sehingga terdapat urutan ABCABC…, dan menghasilkan

struktur FCC.

Lapisan pertama A merupakan bidang dasar untuk struktur HCP atau

bidang (111) untuk struktur FCC. Struktur HCP memiliki sel primitip kisi

heksagonal, tetapi dengan basis dua atom. Sedangkan sel primitip FCC berbasis

satu atom.

Baik HCP maupun FCC mempunyai perbandingan c/a= 632 =1,633 dan

jumlah tetangga terdekat 12 buah atom, serta energi ikatan yang hanya bergantung

pada jumlah ikatan tetangga terdekat peratom.

Beberapa kristal yang memiliki struktur HCP adalah He, Be, Mg, Ti, Zn,

Cd, Co, Y, Zr, Gd, dan Lu dengan nilai c/a masing-masing adalah 1,633; 1,581;

1,623; 1,586; 1,861; 1,886; 1,622; 1,570; 1,594; 1,592; dan 1,586.

1.1.4 Geometri Kristal

1.1.4.1 Arah Kristal Telah dikemukakan bahwa arah tertentu dalam kisi dinyatakan oleh vektor

kisi (1.2), yaitu cnbnanR 321 ++= . Arah vektor R dinyatakan dengan [n1 n2

n3], yang lazimnya dalam perbandingan bilangan bulat terkecil. Semua arah yang

I STRUKTUR KRISTAL


14

sejajar memiliki indek yang sama. Perhatikanlah beberapa arah dalam kristal

ortorombik seperti Gambar 1.13 berikut.

Gambar 1.13 Indek arah satuan sel ortorombik

OA: [110] OB: [111] OC: [112] OD: [001]

Apabila sel satuan yang ditinjau mempunyai simetri rotasi, maka

seringkali ada arah nonparalel yang karena kesimetriannya merupakan arah yang

ekivalen. Arah [n1 n2 n3] yang ekivalen menggunakan notasi <n1 n2 n3>. Misalnya,

pada suatu kubik sumbu X, Y dan Z masing-masing memiliki arah [100], [010]

dan [001] yang ekivalen, dinotasikan dengan <100>. Secara sepenuhnya <100>

mencakup arah [100], [010], [001], [ 1 00], [0 1 0] dan [00 1 ] dimana makna dari

1 adalah –1; dan <111> menunjukkan semua diagonal ruang suatu kubik.

Satu arah dengan indeks Miller besar, misalnya [157], memiliki jumlah

atom persatuan panjang yang lebih sedikit daripada indeks yang kecil, misalnya

[111].

1.1.4.2 Bidang Kristal dan Indek Miller Representasi suatu bidang datar dalam suatu kisi kristal diungkapkan oleh

indek Miller (hkl). Perhatikanlah Gambar 1.14 berikut.

a

D C

c

b

B

A

O

I STRUKTUR KRISTAL


15

Gambar 1.14 Bidang (233)

Bidang memotong sepanjang sumbu vektor basis cdanba, masing-masing pada

x, y dan z. Didapatkan perangkat tiga bilangan ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

cz

by

ax . Lalu, diambil

kebalikannya, yaitu ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛zc

yb

xa . Indek Miller didapatkan dengan menyatakan

perangkat tiga bilangan terakhir sebagai perbandingan bilangan bulat terkecil, dan

dinyatakan dengan notasi

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

zcm

ybm

xamlkh (1.3)

dengan m adalah bilangan bulat untuk mereduksi indek menjadi bilangan bulat

terkecil. Dengan demikian, kumpulan bidang paralel mempunyai representasi

indek Miller yang sama. Pada Gambar 1.14 di atas x=3a, y=2b dan z=2c, sehingga

jika dianggap a=b=c=1, maka bidang yang dimaksud memiliki indek Miller

(hkl)=(233). Pada kasus lain, misalnya x=2a, y=(3/2)b, dan z=c memiliki indeks

Miller (hkl)=(346).

Dalam satuan sel yang memiliki simetri rotasi, beberapa bidang nonparalel

(hkl) adalah ekivalen karena kesimetriannya, dan dinotasikan dengan hkl.

Misalnya dalam sistem kubik indek 100 menunjukkan enam bidang, yaitu

(100), (010), (001), ( 1 00), (0 1 0) dan (00 1 ).

I STRUKTUR KRISTAL


16

Berikut adalah beberapa contoh bidang (hkl) dalam sistem kubik.

Gambar 1.15 Bidang (100), (110), (111), (200) dan ( 1 00) dalam sistem kubik

Dalam koordinat Kartesis bidang (hkl) = (mnox mnoy mnoz) memberikan

vektor arah yang tegak lurus terhadap bidang tersebut, yakni

knjninn ozoyoxoˆˆˆ ++= .

1.1.4.3 Jarak Antarbidang Sejajar Miller

Bahasan ini dibatasi pada sistem dengan sumbu ortogonal, dengan a≠b≠c.

Perhatikanlah Gambar 1.16 berikut.

I STRUKTUR KRISTAL


17

Gambar 1.16 Cara mendapatkan jarak antarbidang Miller

Jarak dari titik O ke titik potong P dinayatakan dengan dhkl. Jika x, y dan z

merupakan titik potong bidang (hkl) dengan sumbu a, b dan c maka dhkl=x cos

α=y cos β=z cos γ. Secara geometri, pada gambar di atas didapatkan hubungan

cos2α+ cos2 β+ cos2 γ=1 sehingga didapatkan

2/1

222

111

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

zyx

dhkl (1.4)

Harga x, y dan z berkaitan dengan bilangan h, k dan l melalui ungkapan

zcml

ybmk

xamh === ;; (1.5)

sehingga jarak antarbidang (1.4) menjadi

2/1

2

2

2

2

2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

cl

bk

ah

mdhkl (1.6)

Misalnya, pada sistem kubik dengan sisi a didapatkan d111=(1/3)√3a; d110=½√2a

dan d020=½a. Pada umumnya bidang yang indek Millernya rendah memiliki jarak

antarbidang lebih besar, tetapi memiliki kerapatan atom persatuan luas yang lebih

besar.

Y

Garis normal z

Z

y

x X

γ

β

α

I STRUKTUR KRISTAL


18

1.1.4.4 Fraksi Kepadatan Fraksi kepadatan, didefinisikan sebagai proporsi maksimum dari volume

yang ada yang dapat diisi oleh bola atom dalam sebuah sel satuan, diungkapkan

dalam bentuk rumusan

( )V

rNF33/4 π

= (1.7)

dengan N= jumlah atom dalam sel satuan

r = jari-jari bola atom

V = volume sel satuan

Jarak kesetimbangan antara pusat dua atom berdekatan dapat dipandang sebagai

jumlah jari-jari kedua atom tersebut.

Tabel 1.3 berikut menunjukkan hubungan antara struktur kristal dengan

ukuran geometrik sel satuan.

Tabel 1.3 Ukuran geometrik dan struktur kristal

No Parameter SC BCC FCC Intan HCP 1 Jari-jari atom a/2 a√3/4 a√2/4 a√3/8 a/2 2 Atom persel satuan 1 2 4 8 6 3 Volume sel satuan a3 a3 a3 a3 3a3√2

4 Fraksi kepadatan π/6 (=0,524)

π√3/8 (=0,68)

π√2/6 (=0,74)

π√3/16 (=0,34)

π√2/6 (=0,74)

5 Jumlah tetangga terdekat 6 8 12 4 12

6 Jarak terhadap tetangga terdekat a (½)a√3 (½)a√2 (¼)a√3 a

7 Jumlah tetangga terdekat berikutnya 12 6 6 12 6

8 Jarak terhadap tetangga terdekat berikutnya

a√2 a a (½)a√13 a√3

Tampak bahwa intan memiliki struktur yang relatif kosong (hanya terisi 0,34) dan

FCC atau HCP relatif padat (terisi 0,74).

1.2 DIFRAKSI KISI KRISTAL

Struktur kristal dapat dipelajari melalui difraksi foton, netron dan elektron.

Panjang gelombang optik, misalnya 5000 Å, menghasilkan gelombang terhambur

I STRUKTUR KRISTAL


19

elastis dengan atom-atom kristal sehingga terjadi refraksi optik biasa. Tetapi, jika

panjang gelombang radiasi sebanding atau lebih kecil daripada konstanta kisi

(orde angstrom), maka didapatkan berkas difraksi yang arahnya sangat berbeda

dengan arah berkas datang.

1.2.1 Hamburan Sinar-X oleh Kisi Kristal

1.2.1.1 Hukum Bragg W.L. Bragg menjelaskan gejala berkas difraksi kristal dengan model

sederhana. Jika sinar-X mengenai permukaan suatu kristal, maka terjadi refleksi.

Model disajikan pada Gambar 1.17, yakni kristal direpresentasikan oleh kumpulan

bidang paralel yang bersesuaian dengan bidang atom. Bidang tersebut berperan

sebagai cermin. Setiap bidang hanya merefleksikan 10-3 sampai 10-5 radiasi yang

datang sehingga diperlukan 103 sampai 105 bidang untuk menghasilkan berkas

refleksi Bragg yang sempurna. Hamburan ini dianggap elastik, yakni energi sinar-

X tidak mengalami perubahan sebelum dan sesudah refleksi.

(a) (b) Gambar 1.17 (a) Refleksi sinar-X dari suatu kristal. Sinar hampir paralel karena

posisi detektor jauh dari kristal. (b) Intensitas refleksi kristal KBr. Pada gambar ditunjukkan

bidang-bidang refleksi yang menghasilkan difraksi

Beda lintasan untuk kedua sinar refleksi adalah Δ=AB + BC – AC’ = 2 AB – AC’

karena AB=BC. Mengingat jarak antarbidang d, maka

AB = d/sinθ dan AC’ = AC cos θ = (2d/tg θ) cos θ

I STRUKTUR KRISTAL


20

dimana θ adalah sudut pantul antara berkas datang dan bidang refleksi, sehingga

Δ = 2 d sin θ. Interferensi maksimum (konstruktif) terjadi hanya jika

Δ = n λ (1.8)

dimana n = 1, 2, 3, …. (ordo refleksi) dan λ = panjang gelombang sinar-X,

sehingga diperoleh hukum Bragg untuk refleksi oleh bidang kristal (hkl)

n λ = 2 dhkl sin θ (1.9)

Harga λ ditentukan secara bebas dan sin θ diukur secara langsung dari refleksi

eksperimen, sehingga jarak antarbidang dhkl dapat dihitung. Hal lain adalah

difraksi hanya mungkin terjadi jika λ<2d. Oleh karena itu dalam hal ini tidak

dapat digunakan cahaya tampak.

Model yang dikemukakan di atas terlalu sederhana. Fakta menunjukkan

bahwa hamburan berkas sinar-X disebabkan oleh atom diskrit kristal yang

bersangkutan. Oleh karena itu bahasan berikut menelaah hukum Bragg melalui

proses hamburan.

1.2.1.2 Teori Hamburan Hamburan radiasi elektromagnet oleh suatu elektron disajikan oleh

Gambar 1.18 berikut. Dalam proses ini diandaikan hamburan bersifat elastik

(hamburan Thomson).

Gambar 1.18 Hamburan oleh elektron tunggal

Gelombang datar

( ) ( )trki oAetr ωψ −•=, (1.10)

mengenai elektron. Gelombang sferik terhambur pada jarak radial D dinyatakan

oleh

I STRUKTUR KRISTAL


21

( ) ( )tkDie e

DAftD ωψ −=,' (1.11)

dengan fe adalah panjang hamburan elektron. Terlihat bahwa penurunan

amplitudo gelombang terhambur sebanding dengan 1/D.

Hamburan oleh sistem dua elektron, yang masing-masing berkedudukan di

P1 dan P2 disajikan pada Gambar 1.19 berikut.

Gambar 1.19 Hamburan oleh dua elektron. r adalah vektor posisi elektron-1 terhadap

elektron-2

Gambar 1.20 Vektor hamburan s . Sudut 2θ adalah sudut hamburan

Didefinisikan vektor hamburan s , seperti pada Gambar 1.20, yaitu

okks −= (1.12)

Karena hamburan bersifat elastik kkko == , maka terlihat dari Gambar 1.20

bahwa

θsin2kss == (1.13)

Beda panjang lintasan sinar terhambur Δ=P1M- P1N. Jika SdanSo , masing-

masing merupakan vektor satuan dalam arah kdanko , maka ( )srk

•=Δ1 . Beda

fasa antara gelombang terhambur dalam radial

srk •=Δ=Δ

= πλ

δ 2 (1.14)

Superposisi dari dua gelombang terhambur dalam fungsi ruang

( )( ) ( )rsiikDe

DikikDeT ee

DAfee

DAf •+ +=+= 1δψ (1.15)

k s

ko

2θ

I STRUKTUR KRISTAL


22

Secara umum, bila vektor posisi 1r untuk elektron-1 dan 2r untuk elektron-2

relatif terhadap pusat tertentu, maka

( )21 rsirsiikDeT eee

DAf •• +=ψ (1.16)

Bila yang ditinjau atom dengan l buah elektron, masing-masing dengan

vektor posisi lr , dengan l = 1, 2, 3, …, n, maka bentuk umum gelombang untuk

(1.16) dalam arah terhambur s tertentu

ikDT e

DAf=ψ (1.17)

dengan

lrsin

le eff •

=∑=

1 (1.18)

disebut panjang hamburan total.

Intensitas parsial gelombang terhambur I sebanding dengan kuadrat

besarnya medan. Oleh karena itu

2

1

22lrsi

n

le effI •

=∑=∞ (1.19)

Jika atom dalam kristal, misalnya, terletak pada posisi lR , maka faktor

hamburan kristal fkr

∑=

•=N

l

Rsialkr

leff1

(1.20)

Ungkapan faktor hamburan kristal (1.20) di atas mengambil bentuk analogi dari

atom. Posisi atom dapat ditinjau dalam sel satuannya, yaitu jcll RR δ+= ' , dimana

clR ' adalah posisi sel satuan ke-l, dan δj adalah posisi atom dalam sel satuan,

sehingga faktor hamburan kristal (1.20) di atas dapat dinyatakan dalam bentuk

faktorisasi

fkr = F S (1.21)

dengan ∑ ∑ •• ==j l

Rsisiaj

clj eSdanefF

'

'δ (1.22)

I STRUKTUR KRISTAL


23

F dan S, masing-masing mengungkapkan faktor struktur geometri dan kisi. Faktor

struktur kisi hanya bergantung pada sistem kristal. Sedangkan faktor struktur

geometri bergantung pada bentuk geometri dan isi sel satuan.

1.2.1.3 Kisi Resiprok Setiap struktur kristal memiliki 2 kisi, yaitu kisi kristal dan resiprok. Saat

kristal dikenai sinar-X, akan dihasilkan pola difraksi yang merupakan peta kisi

resiprok kristal tersebut. Kedua kisi ini memiliki relasi sebagai berikut.

Andaikanlah vektor basis dalam kisi nyata adalah cdanba, , maka dapat

didefinisikan vektor basis dalam kisi resiprok, yakni

bxac

bxacaxcb

axcbcxba

cxba•

=•

=•

= ∗∗∗ πππ 222 (1.23)

Hal ini berarti vektor basis resiprok

a. memiliki satuan m-1, yang sama dengan angka gelombang,

b. bahwa ∗a tegak lurus terhadap bidang ( )cb , , dan demikian pula permutasi

siklisnya, dan

c. bahwa bxacaxcbcxba •=•=• merepresentasikan volume sel satuan dengan

rusuk vektor cdanba, .

Vektor basis resiprok mendefinisikan vektor kisi resiprok

∗∗∗ ++= cnbnanGn 321 (1.24)

dengan n1, n2 dan n3 adalah bilangan bulat.

Kisi resiprok memiliki hubungan dengan kisi nyata sebagai berikut.

a. π2=•=•=• ∗∗∗ ccbbaa

b. ( ) ∗∗∗∗∗ •=•== cxbaVdancxbaVdenganV

V ooo

o ,2 3π

c. Setiap vektor dari kisi resiprok ∗∗∗ ++= clbkahGhkl tegak lurus terhadap

bidang kisi (hkl) dalam ruang nyata.

d. Kisi nyata merupakan resiprok dari kisi resiprok.

e. Jarak antarbidang dhkl dan hklG direlasikan oleh

I STRUKTUR KRISTAL


24

π2=hklhkl Gd (1.25)

Perhatikanlah perbandingan kisi nyata dan resiproknya pada Gambar 1. 21

berikut.

Gambar 1.21 Perbandingan kisi nyata dan resiproknya

Dari Gambar 1.21 di atas jelaslah bahwa

a. ∗a tegak lurus terhadap b ; dan ∗b tegak lurus terhadap a

010100

222d

bda

a πππ=== ∗∗

b. setiap titik (hkl) dalam ruang resiprok terkait dengan perangkat bidang (hkl)

dalam ruang nyata, dan

c. simetri kelompok titik dalam ruang resiprok sama dengan simetri ruang nyata.

Dapat pula dibuktikan bahwa terdapat hubungan sebagai berikut.

a. Kisi resiprok kisi SC adalah kisi SC juga.

b. Kisi resiprok kisi BCC adalah kisi FCC; dan sebaliknya.

1.2.1.4 Difraksi Sinar-X Kisi resiprok berguna dalam menentukan besarnya faktor struktur.

Ternyata

n

cl

GA

N

l

RAi Ne ,1

' δ=∑=

• (1.26)

120

010

100 O

*b

*a

110G

O

b

a

d010

d100

I STRUKTUR KRISTAL


25

Dalam hal ini A adalah vektor sebarang dan penjumlahan dilakukan sepanjang

vektor kisi nyata yang mengandung N buah total sel dan vektor kedudukan clR ' .

Dengan demikian faktor struktur kisi S (1.22) berharga nol untuk setiap nilai

vektor hamburan s , kecuali

hklGs = (1.27)

Hal ini berarti s harus tegak lurus terhadap bidang (hkl). Dengan menginat

bahwa k=2π/λ, maka substitusi persamaan (1.13) dan (1.25) ke dalam persamaan

(1.27), dalam teori hamburan ini, menghasilkan bentuk hukum Bragg

2 dhkl sin θ = λ (1.28)

Dapatlah dikatakan bahwa gambaran Bragg tentang difraksi yang terjadi karena

pemantulan oleh bidang kristal, secara konseptual lebih sederhana daripada

melihatnya sebagai interferensi konstruktif berkas terhambur oleh atom kristal

dari teori hamburan. Gambar 1.22 berikut menjelaskan syarat terpenuhinya hukum

Bragg menurut teori hamburan.

Gambar 1.22 Vektor hamburan sama dengan vektor kisi resiprok

Saat kondisi Bragg (127) terpenuhi, maka faktor struktur kisi S≠0, tetapi

bernilai S=N, seperti tampak pada (1.26), sehingga

Shkl = N (1.29)

Substitusi (1.29) ke dalam (1.21) menghasilkan faktor hamburan kristal fkr

menjadi

fkr,hkl = N Fhkl (1.30)

dan intensitas I menjadi

I STRUKTUR KRISTAL


26

22, hklhklkrhkl FfI ∞∞ (1.31)

Setiap berkas terdifraksi bersesuaian dengan suatu perangkat bidang (hkl).

Tetapi untuk suatu perangkat bidang (hkl) tertentu kadang intensitas berkas

terdifraksi menjadi nol. Hal ini terjadi karena faktor struktur geometri Fhkl=0,

meskipun bidang (hkl) yang bersesuaian memenuhi kondisi Bragg.

Misalnya, semua atom identik, kedudukan atom ke-j dalam sel satuan

cwbvau jjjj ++=δ

dan kondisi Bragg terpenuhi

∗∗∗ ++== clbkahGs hkl

maka

( )∑ ++=j

lwkvhuiahkl

jjjefF π2 (1.32)

Contoh menghitung faktor struktur geometri Fhkl.

a. Sel satuan primitip (P). Atomnya terletak di 000 sehingga (1.32) menjadi

Fhkl = fa

b. Sel satuan “base centered” C. Atomnya terletak di 000 dan ½½0 sehingga

(1.32) menjadi

Fhkl = fa (1 + eπi(h + k))

Dengan demikian Fhkl≠0 hanya jika h+k=2n dengan n=0, ±1, ±2, …

c. Sel satuan “body centered” I. Atomnya terletak di 000 dan ½½½ sehingga

(1.32) menjadi

Fhkl = fa (1 + eπi(h + k+ l))

Dengan demikian Fhkl≠0 hanya jika h+k+l=2n dengan n=0, ±1, ±2, …

d. Sel satuan “face centered” F. Atomnya terletak di 000, ½½0, ½0½ dan 0½½

sehingga (1.32) menjadi

Fhkl = fa (1 + eπi(h + k) + eπi(h + l) + eπi(k + l))

Dengan demikian Fhkl≠0 hanya jika h+k=2n dan k+l=2n dengan n=0, ±1, ±2,

… Dengan kata lain Fhkl≠0 hanya jika semua indek genap atau semua indek

ganjil.

I STRUKTUR KRISTAL


27

Berikut ini diberikan contoh kurva intensitas refleksi sinar-X dan sudut

hamburan (I vs 2θ) hasil eksperimen difraksi sinar-X dari bubukan KCl dan KBr.

Gambar 1.23 Perbandingan refleksi sinar-X antara bubukan KCl dan KBr

KCl dan KBr, keduanya, memiliki struktur FCC. Dalam KCl, jumlah elektron

pada K+ dan Cl- sama banyak sehingga faktor hamburan atom fa keduanya hampir

sama sehingga ia “terlihat” oleh sinar-X sebagai kristal SC monoatomik dengan

konstanta kisi a/2. Adanya refleksi indek-indek yang genap bulat menunjukkan

bahwa kristal tersebut adalah SC dengan konstanta kisi a. Sedangkan dalam KBr,

I STRUKTUR KRISTAL


28

faktor hamburan atomnya berbeda sehingga ia tetap terlihat sebagai struktur FCC

oleh difraksi sinar-X.

Kondisi Bragg (1.27) masih dapat ditulis dalam bentuk lain. Substitusi

(1.12) ke dalam (1.27) menghasilkan

Gkk o =− (1.33)

Mengalikan kedua ruas (1.33) dengan ħ menghasilkan

Gkko −=

Persamaan ini dapat dipandang sebagai kekekalan momentum, dan difraksinya

sebagai proses tumbukan antara foton sinar-X dan kristal. Momentum sebelum

tumbukan hanya momentum linier foton yang datang oo kp = , dan setelah

tumbukan adalah momentum linier foton terhambur kp = dan momentum linier

kristal G− . Dengan demikian perubahan momentum linier foton

Gppp o =−=Δ

Energi kinetik seluruh kristal Ek=(ħGhkl)2/2M, dengan M adalah massa seluruh

kristal. Karena M sangat besar relatif terhadap massa atom, maka Ek sangat kecil

dan diabaikan. Dengan demikian dalam proses hamburan foton sinar-X tidak ada

energi yang hilang

kkkckcEE ooo =→=→=

Jelaslah bahwa proses hamburan tersebut di atas bersifat elastik.

1.3 IKATAN ATOMIK DALAM KRISTAL

1.3.1 Gaya Antaratom Dalam suatu kristal letak atom relatif jauh satu sama lain sehingga gaya

inti tidak berperan. Dengan demikian formasi kristal terjadi karena gaya

antaratom. Dalam kristal, gaya antaratom bersifat listrik.

Energi kristal lebih rendah daripada energi atom bebasnya. Hal ini

menyebabkan kristal lebih stabil daripada atom-atom bebas penyusunnya.

Misalnya, kristal NaCl lebih stabil daripada kumpulan atom-atom Na dan Cl

bebas. Perbedaan energi ini, disebut energi ikat (energi kohesi), besarnya sama

I STRUKTUR KRISTAL


29

dengan energi yang diperlukan untuk memecah kristal tersebut menjadi atom

bebas bagiannya. Energi kohesi berkisar antara 0,02 eV peratom untuk ikatan

terlemah (ikatan Van der Walls) dan 10 eV peratom untuk ikatan terkuat (ikatan

kovalen). Ikatan logam terletak di antara dua harga ekstrim tersebut.

Molekul adalah sekelompok atom bermuatan listrik netral, terikat kuat

bersama dan berperilaku sebagai partikel tunggal. Suatu jenis molekul tertentu

memiliki komposisi dan struktur tertentu pula. Energi potensial yang

merepresentasikan interaksi antara dua atom dalam suatu molekul sebagai fungsi

jarak diperlihatkan pada Gambar 1.24 berikut.

Gambar 1.24 Energi potensial sebagai fungsi jarak dari ikatan dua atom

Posisi setimbang ditandai oleh energi terendah –Vo, yang terjadi pada jarak Ro

yang berordo beberapa angstrom. Pada R>Ro, potensial naik secara bertahap

sehingga mencapai nol pada R→∞ (dua atom bebas). Sedangkan pada R<Ro,

potensial naik secara tajam menuju ∞.

Gaya antaratom dapat dirumuskan

( ) ( )RVRF −∇= (1.34)

Terlihat bahwa F(R)<0 untuk R>Ro, sehingga terjadi tarik-menarik; dan F(R)>0

untuk R<Ro, sehingga terjadi tolak-menolak antara dua atom tesebut. Kedua gaya

ini saling meniadakan satu sama lain pada titik setimbang Ro. Tetapi, umumnya,

energi tarikan mendominansi energi tolakan pada titik setimbang Ro.

I STRUKTUR KRISTAL


30

1.3.2 Jenis Ikatan Kristal

1.3.2.1 Ikatan Ionik Ikatan ini terjadi antara ion positip dan negatip sehingga sering disebut

ikatan heteropolar. Setelah terjadi perpindahan elektron, konfigurasi elektron ion

menyerupai gas mulia. Oleh karena itu sebaran muatan elektronnya mempunyai

simetri bola. Contohnya adalah ikatan yang terjadi pada alkalihalida.

Biasanya, ikatan ionik tidak menghasilkan pembentukan molekul yang

berpasangan, tetapi merupakan kumpulan ion positip dan negatip yang tersusun

dalam struktur tertentu. Misalnya, struktur FCC NaCl, dalam setiap bentuk dan

ukuran apapun selalu berisikan jumlah ion Na+ dan ion Cl- yang sama banyak.

Apabila Uij adalah energi interaksi antara ion ke-i dan ke-j, maka energi

total ion ke-i adalah

∑=j

iji UU (1.35)

dimana penjumlahan dilakukan untuk semua ion kecuali j=i. Energi Uij berasal

dari potensial tolak-menolak medan sentral empirik λ eksp (-rij/ρ), dimana λ

(tetapan) dan ρ (panjang karakteristik) merupakan parameter empirik; dan tarik-

menarik Coulomb ±q2/4πεorij. Dengan demikian

ijo

rij r

qeU ij

πελ ρ

4

2/ ±= − (1.36)

Potensial tolak-menolak terjadi karena penerapan prinsip eksklusi Pauli saat jarak

antarion berkurang (lebih kecil dari jarak kesetimbangan). Berkurangnya jarak

antarion menyebabkab orbit elektron tumpang-tindih. Hal ini melanggar prinsip

eksklusi Pauli karena sel terluar ion sudah komplit. Akibatnya elektron harus

menempati tingkat energi yang lebih tinggi sehingga energi potensial naik secara

tajam. Sedangkan potensial Coulomb terjadi antara ion sejenis (tanda +) atau tidak

sejenis (tanda -).

Energi kisi kristal total yang terdiri dari N buah molekul atau 2N buah ion

Utot = N Ui

I STRUKTUR KRISTAL


31

Ungkapan ini menunjukkan bahwa setiap pasangan atau setiap ikatan hanya

dihitung sekali. Andaikanlah r kita tulis sebagai rij=pijR, dengan R adalah jarak

terdekat antara dua atom terdekat dan interaksi tolak-menolak hanya terjadi

antartetangga terdekat saja, maka

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

±

−=

−

)tan(4

1

)tan(4

2

2/

terdekatggatebukanR

qp

terdekatggateR

qeU

oij

o

R

ij

πε

πελ ρ

(1.37)

sehingga energi total

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−== −

RqezNNUU

o

Ritot πε

αλ ρ

4

2/ (1.38)

dengan z = jumlah tetangga terdekat suatu ion

∑ ±=

j ijp1α adalah konstanta Madelung (termasuk j=i)

Dalam menghitung konstanta Madelung, jika ion referensi bermuatan negatip,

maka tanda (+) digunakan untuk ion positip dan tanda (-) untuk ion negatip. Jika

diambil syarat bahwa 0== oRR

tot

dRdU

, maka diperoleh

z

qeRo

Ro

o

λπεραρ

4

2/2 =− (1.39)

Dengan menggunakan (1.38) dan (1.39), maka energi kisi kristal total dengan 2N

buah ion pada jarak setimbang Ro

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

=ooo

RRtot RRqNU

o

ρπεα 1

4

2

(1.40)

Bentuk oo R

qNπεα

4

2

− disebut energi Madelung. Harga ρ berorde 0,1Ro sehingga

interaksi tolak-menolak mempunyai rentang yang amat pendek dan sedikit sekali

pengaruhnya terhadap energi kisi.

Sebagai contoh disajikan data tentang energi permolekul dalam kristal

KCl, yaitu energi Madelung (energi Coulomb) sebesar (25,2)/R eV dan energi

I STRUKTUR KRISTAL


32

tolak menolak (2,4.104)exp(-R/0,30) eV dimana R berorde 10-8 cm. Harga

konstanta Madelung α bergantung pada struktur kristal ionik, misalnya untuk

NaCl, CsCl dan ZnS, masing-masing berharga 1,747565 , 1,762675 dan 1,6381.

Ikatan ionik tergolong lebih kuat daripada ikatan lain, dengan energi rata-

rata 5 eV setiap pasangan atom. Oleh karena itu kristal ionik mempunyai titik

leleh yang tinggi. Misalnya titik leleh NaCl adalah 8010C, sedangkan untuk logam

Na dan K, masing-masing adalah 97,80C dan 630C.

1.3.2.2 Ikatan Kovalen Andaikanlah ada dua atom hidrogen yang terpisah pada jarak yang cukup

jauh satu sala lainnya sehingga tidak ada interaksi di antara elektronnya, maka

masing-masing atom memiliki orbit 1s. Jika kedua atom saling mendekat dan

membentuk molekul H2, maka orbital molekulnya merupakan kombinasi linier

dari kedua orbital atom 1s. Orbital molekul tersebut mempunyai dua

kemungkinan, yaitu

2121 ψψψψψψ −=+= ganjilgenap dan (1.41)

dimana ψ1 dan ψ2 merepresentasikan keadaan 1s pada dua proton. Orbital

molekular ψgenap dan ψganjil secara grafik diperlihatkan pada Gambar 1.25 berikut.

Gambar 1.25 Fungsi gelombang (a) ψgenap dan (b) ψganjil

Sedangkan distribusi muatan untuk kedua orbital tersebut adalah |ψgenap|2 dan

|ψganjil|2 seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.26 berikut.

(a) (b)

Gambar 1.26 Propil distribusi muatan dan representasi kontur

a b

I STRUKTUR KRISTAL


33

(a) ψgenap dan (b) ψganjil

Tampak bahwa ψgenap mengandung elektron terutama pada daerah antara dua

proton, sedangkan ψganjil mengandung elektron di sekitar masing-masing proton

yang bersangkutan dan jauh dari daerah antara dua proton.

Kedua orbital molekul di atas mempunyai energi yang berbeda seperti

ditunjukkan oleh Gambar 1.27 berikut.

Gambar 1.27 Energi keadaan dasar dan eksitasi molekul hidrogen

sebagai fungsi jarak antarinti

Orbital genap berenergi lebih rendah daripada orbital ganjil. Bahkan orbital genap

mempunyai energi negatip. Dengan demikian orbital genap merupakan orbital

stabil (orbital bonding) dan orbital ganjil merupakan orbital tidak stabil (orbital

antibonding). Pada gambar di atas tampak bahwa molekul hidrogen memiliki

keadaan setimbang pada 0,74 Å dan energi ikat 4,48 eV (relatif terhadap keadaan

dasar dua atom hidrogen yang terpisah pada jarak tak terhingga). Sesuai dengan

prinsip eksklusi Pauli, kedua elektron dalam orbital bonding memiliki spin

antiparalel.

Keberadaan sepasang elektron di antara atom hidrogen di atas

menyebabkan terjadinya ikatan yang kuat dalam molekul hidrogen. Ikatan yang

terjadi karena pemakaian bersama sepasang elektron oleh atom untuk mencapai

konfigurasi gas mulia dalam suatu molekul disebut ikatan kovalen. Hal ini

I STRUKTUR KRISTAL


34

merupakan bukti bahwa semua atom adalah identik sehingga transfer elektron dari

satu atom ke yang lain tidak menimbulkan akibat apapun.

Keadaan fisis ikatan kovalen dalam kristal sama dengan dalam molekul.

Gaya tarikan terjadi antara elektron dan proton di sepanjang garis yang

menghubungkan inti berturutan. Sedangkan gaya tolaknya terjadi karena interaksi

prinsip eksklusi Pauli saat inti saling merapat. Gaya tarikan elektron-proton lebih

dari cukup untuk mengimbangi penolakan langsung elektron-elektron ataupun

proton-proton.

Ikatan kovalen juga kuat, seperti ditunjukkan oleh intan yang tingkat

kekerasannya tinggi dan titik leleh di atas 30000C. Ikatan dua atom karbon dalam

struktur intan memiliki energi kohesi 7,3 eV peratom.

1.3.2.3 Ikatan Logam Model ikatan logam menggambarkan adanya suatu susunan ion teratur dan

suatu lautan elektron valensi ion tersebut yang dapat bergerak bebas di antara

susunan ion. Dengan demikian elektron valensi atom berubah menjadi elektron

konduksi logam. Ikatan logam terjadi bila tarikan antara ion positip dan gas

elektron melebihi penolakan antarelektron dalam gas tersebut. Gaya tolak

Coulomb antarion positip menjadi tidak efektif karena gas elektron melingkupi

ion secara kuat sehingga menjadi ion noninteraksi yang netral.

Atom logam bersatu sehingga terbentuk kristal logam yang stabil karena

energi sistem kristal lebih rendah daripada energi atom bebasnya. Dalam atom

bebas terisolasi, elektron dimodelkan sebagai sebuah partikel dalam kotak

potensial. Dengan demikian gerakan elektron dibatasi dalam volume yang kecil

sehingga, menurut prinsip ketidaktentuan Heisenberg, energi kinetiknya besar.

Dengan menggunakan persamaan Scrodinger, dimana potensial interaksi nol, dan

syarat batas periodik diperoleh energi kinetik elektron

E ∼ V-2/3 (1.42)

Dimana V adalah volume kotak tempat elektron bergerak. Sedangkan dalam

kristal, elektron secara bebas bergerak dalam keseluruhan volume kristal yang

sangat besar. Akibatnya, energi kinetik elektron turun secara tajam dan

I STRUKTUR KRISTAL


35

mengkontribusi pengurangan energi total sistem. Penurunan energi inilah yang

menjadi sumber ikatan logam.

Ikatan logam lebih lemah daripada ikatan kovalen dan ionik. Contohnya,

logam Na memiliki titik leleh pada 97,80C. Energi kinetik yang kecil

menyebabkan ikatannya lemah. Susunan kristal logam cenderung untuk memiliki

susunan dimana setiap atom atau ion memiliki banyak tetangga (struktur tersusun

padat), misalnya HCP (seng), FCC (tembaga), BCC (lithium dan natrium) dan

lain-lain.

1.3.2.4 Ikatan Van der Walls Ikatan ionik, kovalen dan logam terjadi karena pengaturan elektron

valensi. Hal demikian tidak bisa terjadi pada gas mulia yang sangat stabil karena

sel terluarnya penuh. Distribusi elektronnya mempunyai simetri bola sehingga

potensial listrik berharga nol di luar jari-jari atom. Demikian juga momen

multipol listriknya. Jika hal ini benar, maka atom gas mulia tidak memiliki energi

kohesi dan tidak dapat terkondensasi menjadi cairan. Tetapi, terjadinya

kondensasi dan pembekuan pada suhu yang sangat rendah membuktikan bahwa

terdapat energi ikat yang lemah pada gas ini. Gaya yang lemah antaratom dalam

padatan gas mulia ditandai oleh titik lelehnya yang rendah, yaitu -272,20C, -

248,70C dan -189,20C, masing-masing untuk He, Ne dan Ar.

Meskipun secara rata-rata semua momen multipol listriknya sama dengan

nol, tetapi di setiap suatu waktu momen dipol listrik tidak sama dengan nol

sebagai akibat adanya kelebihan elektron di bagian tertentu. Ketidaksimetrisan ini

tidak permanen, tetapi selalu berfluktuasi. Momen dipol listrik sesaat ini dapat

menginduksi atom atau molekul tetangganya sehingga terjadi interaksi antara

keduanya. Interaksi antara momen dipol listrik sesaat inilah yang memberikan

ikatan antara atom gas mulia.

Interaksi tarik-menarik dipol induksi antara dua dipol berjarak R telah

dirumuskan oleh Van der Walls – London melalui energi

6RAU −=Δ (1.43)

I STRUKTUR KRISTAL


36

Interaksi tolak-menolaknya bersumber dari interaksi prinsip eksklusi Pauli. Secara

empirik didapatkan potensial tolak-menolak

12RBU =Δ (1.44)

A dan B adalah parameter empirik. Sehingga, biasanya, energi potensial total dua

atom berjarak R adalah

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

612

4RR

RU σσε (1.45)

dimana ε dan σ adalah parameter baru, dengan 4εσ6=A dan 4εσ12=B. Potensial

(1.45) di atas dikenal dengan nama potensial Lennard-Jones.

Gaya antara dua atom ditentukan melalui –dU/dR. gaya ini sangat cepat

berubah dengan jarak R sehingga atom dalam kristal cenderung untuk serapat

mungkin. Biasanya, struktur yang dimiliki oleh gas mulia adalah FCC (“cubic

close-packed”).

Energi kinetik atom gas mulia dapat diabaikan. Oleh karena itu energi

kohesi kristal gas mulia didapatkan dengan menjumlahkan potensial Lennard-

Jones (1.45) di atas terhadap semua pasangan atom dalam kristal. Jika terdapat N

buah atom dalam kristal, maka energi tersebut

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑ ∑

j ijijtot RpRp

NU612

21 4 σσε (1.46)

dimana pijR adalah jarak antara atom ke-i dan j. Faktor ½ muncul karena hitungan

dilakukan dua kali pada setiap pasangan atom.

Untuk struktur FCC, dimana terdapat 12 tetangga terdekat, perhitungan

menghasilkan

∑ ∑ == −−

j jijij pp 45392,14;13188,12 612 (1.47)

Pada posisi setimbang Ro, energi total sistem berharga minimum sehingga

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−==

=7

6

13

12

)45,14)(6()13,12(1220RR

NdR

dU

oRR

tot σσε (1.48)

dan menghasilkan harga

I STRUKTUR KRISTAL


37

Ro/σ = 1,09 (1.49)

Nilai Ro/σ hasil pengamatan menunjukkan untuk Ne, Ar, Kr dan Xe adalah 1,14;

1,11; 1,1 dan 1,09 yang tidak berbeda jauh dengan (1.49). Dengan demikian

energi kohesi kristal gas mulia pada suhu nol mutlak dan tekanan nol diperoleh

dengan mensubstitusikan (1.47) dan (1.49) ke dalam (1.46). Hasilnya diperoleh

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

612

)45,14()13,12(2RR

NRU totσσε (1.50)

dan pada posisi setimbang Ro

Utot(Ro) = - (2,15) (4Nε) (1.51)

Perhitungan energi kohesi ini berlaku jika atom-atom dalam keadaan diam. Jika

dilakukan koreksi mekanika kuantum, maka energi tersebut harus direduksi

sebesar 28; 10; 6 dan 4 %, masing-masing untuk Ne, Ar, Kr dan Xe.

1.3.2.5 Ikatan Hidrogen Molekul air (H2O) terisolasi berikatan kovalen sehingga atom

penyusunnya terikat secara kuat. Tetapi, dalam kristal es, yang tersusun atas

molekul air, ikatannya jauh lebih lemah. Hal ini ditandai oleh adanya titik leleh air

pada 00C.

Sifat listrik sebuah molekul air terisolasi adalah netral. Tetapi, dalam

kristal es distribusi muatan internal sedemikian rupa sehingga menghasilkan

interaksi antarmolekul. Elektron lebih ditarik ke arah atom oksigen sehingga

bermuatan negatip; dan dalam waktu bersamaan atom hidrogen menjadi

bermuatan positip. Keadaan ini menghasilkan dipol listrik dalam molekul air.

Gaya tarik-menarik antardipol listrik inilah yang menghasilkan ikatan hidrogen

sehingga terbentuk kristal. Hal ini dijelaskan dalam Gambar 1.28 berikut.

I STRUKTUR KRISTAL


38

Gambar 1.28 (a) Molekul air; dan (b) Susunan molekul air sebagai akibat adanya ikatan hidrogen

Tetapi, gaya antarmolekul ini jauh lebih lemah daripada gaya internal yang

mengikat molekul itu sehingga molekul tetap dapat mempertahankan identitasnya

salam kristal. Ikatan hidrogen mempunyai orde 0,1 eV.

RINGKASAN 01. Suatu benda padat berbentuk kristal, apabila atom, ion, atau molekulnya

teratur dan periodik dalam rentang yang panjang dalam ruang. Bahan kristal

memiliki simetri translasi, artinya bila seluruh kristal itu digeser sejauh vektor

translasi kisi bnanR 21 += , maka keadaannya tetap sama.

02. Pola geometrik dari kedudukan setimbang tiap atom sebagai suatu titik

dinamakan kisi kristal. Terdapat dua kelas kisi, yaitu Bravais dan non-

Bravais. Kisi non-Bravais seringkali disebut sebagai kisi dengan suatu basis

dan dapat dipandang sebagai kombinasi dari dua atau lebih kisi Bravais yang

saling menembus dengan orientasi tertentu.

03. Luas daerah jajaran genjang yang sisinya dibatasi oleh vektor basis disebut sel

satuan. Terdapat dua jenis sel satuan, yaitu sel primitip (satu titik kisi

perselnya) dan sel non-primitip (lebih dari satu titik kisi perselnya). Hubungan

antara keduanya adalah (a) sel non-primitip menunjukkan simetri lebih besar,

dan (b) luas sel non-primitip merupakan kelipatan bulat dari luas sel primitip.

04. Dalam dua dimensi, kisi kristal Bravais yang mungkin sebanyak lima jenis,

yaitu Genjang, Persegi, Heksagonal, Empat persegi panjang P, dan Empat

persegi panjang I. Sedangkan untuk tiga dimensi ternyata ada 14 buah kisi

Bravais yang terlingkupi dalam 7 buah sistem kristal, yaitu Triklinik (P),

Monoklinik (P, C), Ortorombik (P, C, I, F), Tetragonal (P, I), Trigonal (R),

Heksagonal (P), dan Kubik (P, I, F).

05. Beberapa kristal dengan struktur sederhana, di antaranya NaCl, CsCl, intan, ZnS dan HCP

06. Arah kristal, yakni vektor cnbnanR 321 ++= , dinyatakan dengan [n1 n2

n3], yang lazimnya dalam perbandingan bilangan bulat terkecil. Sedangkan

I STRUKTUR KRISTAL


39

bidang kristal dinyatakan sebagai indek Miller (hkl). Jarak antarbidang Miller,

khusus untuk sumbu ortogonal dengan a≠b≠c dinyatakan oleh persamaan

2/1

222

111

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

zyx

dhkl

07. Fraksi kepadatan, didefinisikan sebagai proporsi maksimum dari volume yang

ada yang dapat diisi oleh bola atom dalam sebuah sel satuan, diungkapkan

dalam bentuk rumusan

( )V

rNF33/4 π

=

08. Menurut Bragg kristal direpresentasikan oleh kumpulan bidang paralel yang

bersesuaian dengan bidang atom, yang berperan sebagai cermin. Interferensi

maksimum (konstruktif) yang terjadi memenuhi hukum Bragg

n λ = 2 dhkl sin θ

Dengan menggunakan hukum Bragg, secara eksperimen, jarak antarbidang

dhkl dapat dihitung.

09. Fakta menunjukkan bahwa hamburan berkas sinar-X disebabkan oleh atom

diskrit kristal yang bersangkutan. Oleh karena itu bahasan berikut menelaah

hukum Bragg melalui proses hamburan elastik (hamburan Thomson) sinar-X

oleh elektron dalam setiap atom dalam kristal. Dalam teori ini ditemukan

bahwa intensitas parsial gelombang terhambur sebanding dengan kuadrat

faktor hamburan kristal, yaitu Fkr = F S, dimana S dan F, masing-masing

adalah faktor struktur geometri dan kisi.

10. Faktor struktur kisi S berharga tidak nol, yakni S=N, hanya untuk hklGs = ,

yakni vektor hamburan sama dengan vektor kisi resiprok (syarat Bragg). Dari

hubungan ini dapatlah diturunkan hukum Bragg 2dhklsin θ = λ.

11. Jika syarat Bragg terpenuhi dan semua atom identik, maka untuk kedudukan

atom ke-j dalam sel satuan cwbvau jjjj ++=δ , didapatkan faktor struktur

kisi ( )∑ ++=j

lwkvhuiahkl

jjjefF π2 .

I STRUKTUR KRISTAL


40

12. Dalam suatu kristal letak atom relatif jauh satu sama lain sehingga gaya inti

tidak berperan. Dengan demikian formasi kristal terjadi karena gaya

antaratom (bersifat listrik). Pada titik setimbang, energi potensial terendah dan

didominansi oleh energi tarik-menarik, serta resultan gaya nol. Pada jarak lebih

kecil dari titik setimbang, potensial naik secara tajam menuju tak berhingga

dan terjadi gaya tolak-menolak; sedangkan pada jarak yang lebih besar,

potensial naik secara bertahap sehingga mencapai nol pada jarak tak berhingga

dan terjadi gaya tarik-menarik.

13. Ikatan ion terjadi antara ion positip dan negatip karena terjadi perpindahan

elektron sehingga menyerupai kofigurasi gas mulia. Energi ikatan berasal dari

potensial tolak-menolak medan sentral empirik dan tarik-menarik Coulomb. Di

titik setimbang energi tersebut adalah ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

=ooo

RRtot RRqNU

o

ρπεα 1

4

2

14. Ikatan yang terjadi karena pemakaian bersama sepasang elektron oleh atom

untuk mencapai konfigurasi gas mulia dalam suatu molekul disebut ikatan

kovalen. Sepasang elektron tersebut lebih banyak terdistribusi di antara inti-

inti. Gaya tarikan terjadi antara elektron dan proton di sepanjang garis yang

menghubungkan inti berturutan. Sedangkan gaya tolaknya terjadi karena

interaksi prinsip eksklusi Pauli saat inti saling merapat. Gaya tarikan elektron-

proton lebih dari cukup untuk mengimbangi penolakan langsung elektron-

elektron ataupun proton-proton.

15. Model ikatan logam menggambarkan adanya suatu susunan ion teratur dan

suatu lautan elektron valensi (elektron konduksi) ion tersebut yang dapat

bergerak bebas di antara susunan ion. Ikatan logam terjadi bila tarikan antara

ion positip dan gas elektron melebihi penolakan antarelektron dalam gas

tersebut. Gaya tolak Coulomb antarion positip menjadi tidak efektif karena gas

elektron melingkupi ion secara kuat sehingga menjadi ion noninteraksi yang

netral.

16. Terdapat energi ikat yang lemah pada gas mulia. Meskipun secara rata-rata

semua momen multipol listriknya sama dengan nol, tetapi di setiap suatu waktu

momen dipol listrik terjadi secara fluktuatif sebagai akibat adanya kelebihan

I STRUKTUR KRISTAL


41

elektron di bagian tertentu. Momen dipol listrik sesaat ini dapat menginduksi

atom atau molekul tetangganya sehingga terjadi interaksi antara keduanya.

Interaksi antara momen dipol listrik sesaat inilah yang memberikan ikatan

antara atom gas mulia. Energi ikatan Van der Walls ini adalah

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑ ∑

j ijijtot RpRp

NU612

21 4 σσε

17. Contoh ikatan hidrogen adalah kristal air. Sifat listrik sebuah molekul air

terisolasi adalah netral. Tetapi, dalam kristal es distribusi muatan internal

sedemikian rupa sehingga menghasilkan interaksi antarmolekul. Elektron lebih

ditarik ke arah atom oksigen sehingga bermuatan negatip; dan dalam waktu

bersamaan atom hidrogen menjadi bermuatan positip. Keadaan ini

menghasilkan dipol listrik dalam molekul air. Gaya tarik-menarik antardipol

listrik inilah yang menghasilkan ikatan hidrogen sehingga terbentuk kristal.

LATIHAN SOAL BAB I

01. Diketahui vektor basis primitip suatu kisi adalah kccjbbiaa ˆ,ˆ,ˆ === ,

dengan kdanji ˆˆ,ˆ adalah tiga vektor satuan dalam koordinat Kartesian.

a. Gambarlah kisi tersebut!

b. Membentuk kisi Bravais jenis apakan vektor basis tersebut?

c. Berapakah volume sel satuan primitip tersebut?

02.a. Sama dengan soal 01), tetapi untuk vektor basis primitip

)ˆˆ)(2/()ˆˆ)(2/(),ˆˆ)(2/( ikacdankjabjiaa +=+=+= !

b. Buktikan bahwa ungkapan vektor satuan kdanji ˆˆ,ˆ sebagai kombinasi linier

dari vektor basis primitip ialah

cbajacbaia −+=+−= ˆ,ˆ dan cbaka ++−=ˆ

c. Posisi kedelapan pojok sel adalah 0, a i , a j , a k , a( ji ˆˆ + ), a( ki ˆˆ + ), a( kj ˆˆ + )

dan a( kji ˆˆˆ ++ ). Nyatakan posisi-posisi tersebut dalam a , b dan c !

I STRUKTUR KRISTAL


42

d. Sama dengan (c), tetapi untuk 6 titik pada pusat muka, yaitu (½)a( ki ˆˆ + ),

(½)a( kj ˆˆ + ), (½)a( ji ˆˆ + ), (½)a( kji ˆˆ2ˆ ++ ), (½)a( kji ˆˆˆ2 ++ ), dan

(½)a( kji ˆ2ˆˆ ++ ) ! (Nyatalah bahwa, berdasarkan (c) dan (d) semua posisi

atom dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor kisi primitip

dengan koefisien bilangan bulat)

03.a. Sama dengan soal 02), tetapi untuk vektor basis primitip

)ˆˆˆ)(2/()ˆˆˆ)(2/(),ˆˆˆ)(2/( jikacdanikjabkjiaa −+=−+=−+= !

b. Buktikan bahwa ungkapan vektor satuan kdanji ˆˆ,ˆ sebagai kombinasi linier

dari vektor basis primitip adalah bajacaia +=+= ˆ,ˆ dan cbka +=ˆ !

04. Sama dengan soal (1), tetapi untuk vektor basis primitip kcjia ˆ)ˆˆ( 21

21 −+ ,

kcjia ˆ)ˆˆ( 21

21 ++− , dan kcjia ˆ)ˆˆ( 2

121 +− dimana a adalah sisi bujursangkar dan

c adalah sisi yang tegak lurus terhadap bujursangkar tersebut !

05. Kisi kristal dapat dipetakan ke dalam dirinya sendiri oleh simetri translasi kisi,

pencerminan dan rotasi di sekitar suatu sumbu. Kisi kristal memiliki simetri

rotasi derajat-1, 2, 3, 4 dan 6 atau 2π; 2π/2; 2π/3; 2π/4; dan 2π/6. Tetapi,

misalnya, kisi kristal tidak memiliki simetri rotasi 2π/5 karena tidak

memungkinkan untuk mengisi seluruh ruang secara periodik dengan bentuk

bangun pentagon. Tunjukkan bahwa kisi dua dimensi tidak mempunyai

simetri putar 2π/5 !

06. Buktikan bahwa struktur HCP memiliki rasio sumbu c/a= 632 =1,633 !

07. Pada suhu 1190 K besi memiliki struktur FCC dengan parameter kisi a=3,647

Å; dan pada suhu 1670 K berstruktur BCC dengan a=2,932 Å. Jika berat atom

besi adalah 55,85 sma, maka tentukan kerapatan massa pada masing-masing

suhu tersebut!

08. Diketahui padatan Al berstruktur FCC dengan a=4,04 Å dan berat atom 26,98

sma. Hitunglah massa jenisnya!

09. Gambarlah bidang dan arah berikut dalam sel satuan kubik: (122), [122],

(1 1 2) dan [1 1 2]!

I STRUKTUR KRISTAL


43

10. Kristal Cu mempunyai struktur FCC dengan jari-jari atom 1,278 Å. Berapakah

kerapatan atom yang terdapat pada bidang (100)?

11. Sama dengan soal 08), tetapi untuk kristal Fe yang berstruktur BCC dengan

konstanta kisi 2,86 Å!

12. Buktikan bahwa dalam koordinat Kartesis bidang (hkl)=(mnox+mnoy+mnoz)

memberikan vektor arah yang tegak lurus bidang tersebut, yakni

knjninn ozoyoxoˆˆˆ ++= !

13. Buktikan harga jari-jari atom dan fraksi kepadatan dari berbagai struktur

kristal dalam Tabel 5.1!

14. Suatu kristal kubik mempunyai konstanta kisi 2,62 Å. Berapakah sudut Bragg

yang sesuai untuk terjadi refleksi oleh bidang (100), (110), (111), (200), (210)

dan (211), jika berkas sinar-X monokhromatik yang digunakan mempunyai

panjang gelombang 1,54 Å?

15. Sudut Bragg untuk refleksi kristal besi BCC pada bidang (110) adalah 220,

dengan sinar-X yang panjang gelombangnya 1,54 Å.

a. Berapakah konstanta kisinya?

b. Jika berat atom Fe adalah 55,8 sma, maka berapakah kerapatan massanya?

16. Buktikan bahwa persamaan (1.21) dapat diturunkan dari persamaan (1.20),

dengan mengingat definisi (1.22)!

17. Gambarkan kisi resiprok untuk kisi dua dimensi yang mana a=1,25 Å, b=2,50

Å dan γ=120o!

18.a. Buktikan bahwa vektor kisi resiprok 321 alakahG ++= tegak lurus

terhadap bidang (hkl) dalam kisi kristal!

b. Buktikan bahwa jarak antara dua bidang paralel berturutan dalam kisi adalah

dhkl=2π/ G !

19. Suatu sel satuan berukuran a=4 Å, b=6 Å, c=8 Å dan α=β=900, γ=1200.

Tentukan

a. vektor basis a*, b* dan c* untuk kisi resiprok!

b. jarak antar bidang (210)!

I STRUKTUR KRISTAL


44

c. sudut Bragg untuk bidang (210), jika diketahui panjang gelombang sinar-X

yang dipakai 1,54 Å!

20. Buktikan bahwa

a. kisi resiprok suatu kisi SC adalah kisi SC juga!

b. kisi resiprok suatu kisi FCC adalah kisi BCC, dan sebaliknya!

21. Diketahui bahwa vektor basis primitip kisi ruang heksagonal adalah

zcayaxaayaxaa ˆ,ˆ)(ˆ)3(,ˆ)(ˆ)3( 321

21

221

21

1 =+−=+=

a. Tunjukkan bahwa volume sel primitipnya adalah (31/2/2)a2c!

b. Tunjukkan bahwa vektor basis primitip kisi resiproknya adalah

zc

bya

xa

bya

xa

b ˆ2,ˆ2ˆ3

2,ˆ2ˆ3

2321

πππππ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= , sehingga kisi

merupakan resiprok dirinya sendiri, tetapi dengan merotasikan 30o sumbu-

sumbunya terhadap sumbu a3!

22. Buktikan persamaan (1.26)!

23.a. Pada bidang yang mana dalam kisi BCC berikut yang tidak menimbulkan

refleksi Bragg: (100), (110), (111), (200), (210) dan (211)!

b. Sama dengan soal a), tetapi dalam kisi FCC!

24. Hitunglah faktor struktur geometri F100 untuk kristal CsCl yang berstruktur

BCC, jika diasumsikan bahwa fCs=3fCl!

25. Teori ikatan kristal ionik model Born-Meyer menyebutkan bahwa energi

potensial total suatu sistem kristal ionik adalah R

qNRANE n

0

2

4 επα

−= , dengan

N adalah jumlah pasangan ion positip-negatip. Suku pertama

merepresentasikan potensial tolak-menolak, dengan A dan n adalah konstanta

yang ditentukan melalui eksperimen. Suku kedua merepresentasikan potensial

tarik-menarik Coulomb, dengan α adalah konstanta Madelung yang hanya

bergantung pada struktur kristal.

a. Tunjukkan bahwa jarak kesetimbangan antarion adalah nq

AR n

201

04αεπ

=− !

b. Tunjukkan bahwa energi ikatan pada titik kesetimbangan adalah

I STRUKTUR KRISTAL


45

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

nRNqE 11

4 00

2

0 επα !

c. Jika kristal NaCl mempunyai konstanta kisi 5,63 Å, energi ikat terukur 7,95

eV/molekul dan konstanta Madelung 1,75, maka tentukan konstanta n!

26. Berikut disajikan data eksperimen tentang pembentukan molekul NaCl

Na (gas) + 5,14 eV (energi ionisasi) → Na+ (gas) + e- (elektron) e- (elektron) + Cl (gas) → Cl- (gas) + 3,61 eV (afinitas elektron) Na+ (gas) + Cl- (gas) → NaCl (kristal) + 7,9 eV (energi kohesif)

Hitunglah energi permolekul kristal NaCl tersebut! (Energi permolekul ini

lebih kecil daripada energi kohesif/ikat permolekul (7,9 eV). Energi ikat

molekul adalah energi yang diperlukan untuk memecahkan molekul tersebut

menjadi ion-ion penyusunnya)

27. Dalam kristal NaCl didapatkan data eksperimen tentang harga jarak suatu ion

positip terhadap ion negatip terdekatnya adalah 2.81.10-8 cm. Tentukan energi

tarik menarik Coulomb sebagai bagian dari energi potensial antara dua ion

tersebut! (Harga ini masih seorde dengan data eksperimen tentang energi ikat

7,9 eV/molekul)

29. Buktikan bahwa konstanta Madelung

a. berharga 2 ln 2 untuk kristal ionik alternasi satu dimensi!

b. berharga 1,747565 , 1, 762675 dan 1,6381 , masing-masing untuk kristal

NaCl, CsCl dan ZnS!

30. Untuk gas He, yang berstruktur FCC, hasil pengukuran menunjukkan bahwa

parameter Lennard-Jones ε=50.10-16 erg dan σ=2,96 Å. Hitunglah energi

kohesifnya dalam kJ/mol! (Nilai pengamatan energi kohesif 0,751 kJ/mol, jauh

lebih kecil daripada hasil perhitungan sehingga koreksi kuantum sangat

penting)

31. Dengan menggunakan potensial Lennard-Jones, hitunglah perbandingan

energi kohesi Ne dalam struktur BCC dan FCC! Diketahui bahwa untuk kisi

BCC harga ∑∑ == −−

jij

jij pp 2533,12;11418,9 612 .

I STRUKTUR KRISTAL


46

32. Sama dengan soal 26), tetapi untuk struktur HCP dan FCC! Diketahui bahwa

untuk kisi HCP harga ∑∑ == −−

jij

jij pp 45489,14;13229,12 612 .

33. Energi total untuk 2 atom argon adalah 126

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Ra

BRa

CE oo relatif

terhadap keadaan keduanya pada jarak tak terhingga. Harga B= 2,35.103 eV,

C= 1,69.108 eV dan ao adalah radius Bohr. Suku pertama merepresentasikan

energi tarik menarik antara elektron-elektron terluar; dan kedua adalah energi

tolak menolak antara ion-ion teras. Hitunglah

a. posisi setimbang !

b. Buktikan bahwa di posisi setimbang energinya didominansi oleh energi

tarik menarik! (harga mutlak energi tarik menarik lebih besar daripada

energi tolak menolak, dan energi totalnya berharga negatip)

B A B II

DINAMIKA KISI KRISTAL

Bahasan struktur kristal pada bab lalu menganggap bahwa atom bersifat

statik pada masing-masing titik kisinya. Sebenarnya, atom tidaklah statik,

melainkan berosilasi di sekitar titik setimbangnya sebagai akibat energi termal.

Bab ini membahas vibrasi kisi secara agak rinci.

Bab ini mula-mula membahas vibrasi kristal dalam batasan panjang

gelombang elastik, yang mana kristal dapat dianggap medium kontinu. Kapasitas

panas bahan dikemukakan dalam beberapa model, dan yang sesuai dengan

eksperimen adalah hanya yang menggunakan konsep fisika kuantum. Akhirnya,

bab ini ditutup oleh bahasan vibrasi kisi kristal, yang dikaitkan dengan sifat diskrit

kisi.

2.1 GETARAN DALAM ZAT PADAT

2.1.1 Getaran Elastik dan Rapat Moda Getar Padatan terdiri dari atom diskrit. Atom tidaklah diam, tetapi berosilasi di

sekitar titik setimbangnya sebagai akibat adanya energi termal. Namun, saat

gelombang yang merambat mempunyai panjang gelombang yang jauh lebih besar

daripada jarak antaratom, sifat atomik dapat diabaikan dan padatan dapat

dianggap sebagai medium kontinu. Dengan demikian persoalan fisisnya

menyangkut lingkup makro. Gelombang yang demikian disebut gelombang

elastik.

Misalnya, gelombang suara elastik longitudinal merambat dalam suatu

batang isotropik, yang mempunyai penampang A, massa jenis ρ dan modulus

Young Y, antara x dan (x+dx) menurut hukum Newton mempunyai persamaan

gerak

II DINAMIKA KISI KRISTAL


48

[ ]AxSdxxStudxA )()(2

2

−+=∂∂ρ (2.1)

dimana u adalah simpangan terhadap titik setimbang dan S adalah tekanan.

Regangan e=du/dx dan tekanan S dihubungkan oleh hukum Hooke

S = Y u (2.2)

Untuk bagian yang kecil sesungguhnya

ΔS = S(x+dx) – S(x) = (∂S/∂x) dx

sehingga persamaan gerak gelombang (2.1) di atas menjadi

02

2

2

2

=∂∂

−∂∂

tu

Yxu ρ (2.3)

yang dikenal sebagai persamaan gelombang satu dimensi.

Diambil solusi berbentuk propagasi gelombang bidang, yaitu

u = Ao ei(kx - ωt) (2.4)

Dimana Ao, k dan ω adalah amplitudo, bilangan gelombang dan frekuensi radial

gelombang. Substitusi solusi (2.4) ke dalam persamaan gelombang (2.3)

menghasilkan

ω = vs k (2.5)

dengan

vs = (Y/ρ)1/2 (2.6)

adalah kecepatan fasa gelombang. Hubungan (2.5) antara frekuensi dan bilangan

gelombang disebut relasi dispersi. Dalam hal ini hubungan tersebut adalah linier,

dengan kemiringan kecepatan fasa, seperti disajikan pada Gambar 2.1 berikut.

Gambar 2.1 Kurva dispersi gelombang elastik

k

ω=vsk

0

ω



49

Relasi dispersi linier (dengan kecepatan suara vs sebagai kemiringannya) dimiliki

oleh beberapa gelombang, antara lain gelombang optik dalam vakum, dan

gelombang suara dalam cairan dan gas.

Penyimpangan terhadap sifat linier di atas disebut dispersi. Ketidaklinieran

terjadi karena, khususnya, panjang gelombang yang relatif kecil jika dibandingkan

dengan jarak antar atom. Hal ini akan dipelajari pada getaran dalam kisi kristal.

Persamaan (2.6) dapat digunakan untuk menentukan modulus Young.

Misalnya, pengukuran menunjukkan untuk suatu padatan tertentu vs= 5.105 cm/s

dan ρ = 5 gr/cm3 sehingga didapatkan nilai Y = 1,25.1012 gr/cm s2.

Apabila gelombang elastik satu dimensi di atas hanya diperhatikan solusi

domain ruangnya saja, yakni

u = Ao eikx (2.7)

dan ujung batang sebelah kanan berosilasi sama dengan sebelah kiri sehingga

memiliki syarat batas periodik

u (x=0) = u (x=L) (2.8)

dengan L adalah panjang batang, maka substitusi (2.7) ke dalam (2.8)

menghasilkan kondisi

eikL = 1 (2.9)

sehingga

kn = (2π/L) n, dimana n=0, ±1, ±2, … (2.10)

Setiap nilai n di atas memberikan satu harga k sebagai representasi sebuah moda

getar.

Jika L besar sekali, maka kn hampir kontinu (pandangan makro). Dalam

domain k, jarak antartitik adalah (2π/L), sehingga jumlah moda getar antara k dan

(k+dk) sebesar

dN = (L/2π) dk (2.11)

Dalam domain frekuensi, dN di atas terletak antara ω dan (ω+dω). Rapat keadaan

g(ω) didefinisikan sedemikian sehingga bentuk g(ω)dω memberikan jumlah moda

getar yang mempunyai frekuensi antara ω dan (ω+dω) seperti di atas. Oleh karena

itu didapatkan



50

dkd

Lg/1

2)(

ωπω =

Ungkapan ini hanya berlaku untuk gerakan dalam satu arah positip saja. Dengan

demikian g(ω) yang mencakup gelombang ke kiri dan ke kanan adalah

dkd

Lg/1)(

ωπω = (2.12)

Terlihat bahwa rapat keadaan g(ω) bergantung pada relasi dispersi. Untuk

hubungan linier (2.5), dimana dω/dk=vs, maka didapatkan

sv

Lg 1)(π

ω = (2.13)

yang konstan tidak bergantung pada ω.

Bahasan tiga dimensi kubik dengan rusuk L memberikan syarat bahwa

( ) 1) =++ LkLkLki zyxe

sehingga

(kx , ky , kz) = [ n (2π/L) , m (2π/L) , l (2π/L) ] (2.14)

dimana n, m, l = 0, ±1, ±2, …. Representasi dalam ruang k menunjukkan bahwa

sebuah titik mempunyai volume (2π/L)3 dan merepresentasikan satu moda getar,

seperti Gambar 2.2 berikut.

Gambar 2.2 Nilai diskrit k untuk gelombang yang merambat tiga dimensi

ky

kx

kontur (ω+dω) kontur ω

k

dω



51

Semua moda getar dengan k tertentu direpresentasikan oleh satu titik yang terletak

pada permukaan bola dalam ruang k, dengan jari-jari k dan berpusat di (kx , ky ,

kz) = (0,0,0).

Semua moda getar dengan vektor gelombang antara k dan (k+dk) terletak

dalam elemen volume 4πk2dk yang dibataskan oleh bola berjari-jari k dan (k+dk).

Dengan demikian, jumlah moda getar dalam selang vektor gelombang di atas

( )

dkkVLdkkdN 2

2

3

2

2/24

πππ

== (2.15)

dimana V=L3 adalah volume sampel. Rapat keadaan g(ω) diperoleh dengan

menggunakan hubungan dispersi ω(k).

Apabila digunakan hubungan dispersi linier (2.5), maka didapatkan

3

2

22)(

svVg ωπ

ω = (2.16)

yang dilukiskan dalam Gambar 2.3 berikut.

Gambar 2.3 Rapat keadaan dalam medium elastik

Ternyata bahwa bertambahnya g(ω) berbanding lurus dengan ω2, tidak seperti

dalam kasus satu dimensi dimana g(ω) berharga konstan. Hal ini terjadi karena

kenaikan elemen volume permukaan bola yang berbanding lurus dengan k2; dan

karena itu berbanding lurus juga dengan ω2 karena ω sebanding dengan k.

Ungkapan g(ω) di atas bersesuaian dengan moda tunggal untuk setiap nilai

k . Sebenarnya, dalam tiga dimensi untuk setiap nilai k mengandung tiga moda



52

berbeda, yaitu satu moda longitudinal dan dua moda transversal. Hubungan

dispersinya juga berbeda. Dengan demikian rapat keadaan (2.16) menjadi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 332

2 112

)(TL vv

Vgπωω (2.17)

dimana vL dan vT, masing-masing merupakan kecepatan gelombang longitudinal

dan transversal. Jika vL=vT, maka ungkapan (2.17) menjadi

3

2

223)(

svVg ωπ

ω = (2.18)

2.1.2 Kuantisasi Energi Getaran dalam Zat Padat Teori klasik kinetik gas menganggap bahwa energi dalam untuk suatu gas

tersimpan sebagai energi kinetik atom tersebut. Hukum ekipartisi menyatakan

bahwa besaran fisis energi yang besarnya berbanding lurus dengan kuadrat jarak

atau momentum, maka untuk setiap derajat kebebasan pada suhu T memiliki

energi sama, yaitu (½)k0T, dengan k0 adalah konstanta Boltzmann. Hal ini berarti

energi kinetik setiap atom gas memiliki energi (½)k0T. Gas monoatomik memiliki

tiga derajat kebebasan, sehingga pada suhu T energi dalam untuk gas sebanyak 1

kilomol

U = NA (3/2) k0T = (3/2) RT (2.19)

Dengan demikian, kapasitas panas pada volume konstan

RTUC

VV 2

3=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= (2.20)

Sesungguhnya, kapasitas panas permol didefinisikan sebagai panas ΔQ yang

diperlukan tiap satu mol untuk menaikkan suhu ΔT, yakni C=ΔQ/ΔT. Jika proses

berlangsung pada volume tetap, maka ΔQ=ΔU, dimana ΔU adalah kenaikan

energi dalam sistem. Dalam hal persamaan di atas, NA adalah bilangan Avogadro

dan R adalah tetapan gas. Menurut (2.20) teori ini menghasilkan nilai CV=12,47

J/0K kmol. Harga ini sesuai untuk gas He dan Ar pada suhu kamar.

Setiap atom dalam kristal, disamping memiliki 3 derajat kebebasan untuk

geraknya di sekitar kedudukan setimbangnya (energi kinetik), juga memiliki

energi potensial atom dalam gerak harmoniknya. Pada gerak selaras sederhana,



53

energi kinetik rata-rata sama dengan energi potensial rata-rata, sehingga energi

total sistem atom dalam kristal menurut hukum ekipartisi

RTTkTkNU ooA 323

23

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += (2.21)

Ungkapan ini menunjukkan bahwa kapasitas panas kristal pada volume konstan

adalah

CV = (∂U/∂T)V = 3R (2.22)

Harga (2.22) sesuai dengan penemuan empirik Dulong-Petit (1819), yang berlaku

untuk hampir semua zat padat pada suhu ruang atau yang lebih tinggi.

Selanjutnya, eksperimen menunjukkan bahwa nilai CV menurun apabila T

menurun, dan mendekati nol apabila T menuju 0 K. Disamping itu, terdapat

indikasi yang sangat kuat bahwa pada suhu yang sangat rendah mendekati nol

mutlak

CV ∼ T3

Penyempurnaan bahasan kapasitas panas ini, selanjutnya menggunakan teori

mekanika kuantum.

2.1.2.1 Model Einstein tentang CV Zat Padat Diilhami oleh keberhasilan Planck dalam menerangkan radiasi benda

hitam, maka konsep kuantisasi energi itu juga diterapkan Einstein dalam teorinya

tentang CV zat padat. Model Einstein tentang getaran kisi mengambil andaian

sebagai berikut.

a. Atom kristal merupakan osilator independen, yang masing-masing memiliki

frekuensi sama dan energi diskrit

εn = n ћ ω , n = 0, 1, 2, … (2.23)

dengan ω adalah frekuensi osilator. Jarak antartingkat energi ini sebesar ћ ω.

b. Sebaran energi osilator pada harga energi yang diperbolehkan mengikuti

distribusi Boltzmann

Tkn

onef /)( εε −= (2.24)

Sebuah osilator dengan satu derajat kebebasan mempunyai energi rata-

rata



54

∑

∑∞

=

∞

==

0

0

)(

)(

nn

nnn

f

f

ε

εεε

Substitusi (2.23) dan (2.24) ke persamaan di atas menghasilkan

1/ −

= Tkoe ω

ωε (2.25)

Gambar 2.4 berikut menyajikan perbandingan energi kuantum rata-rata osilator

dan energi klasik kristal untuk satu derajat kebebasan.

Gambar 2.4 Energi kuantum rata-rata dan energi klasik rata-rata kristal

Tampak bahwa pada suhu tinggi, sehingga koT>>ћω, osilator berada dalam

keadaan kuantum tereksitasi tinggi. Pada keadaan demikian sifat kuantum

spektrum dapat diabaikan, sehingga dihasilkan energi klasik rata-rata Tko=ε .

Pada suhu rendah, koT<<ћω, dan energi koT tidak cukup untuk mengeksitasikan

osilator ke tingkat eksitasi pertama. Dalam hal ini energi osilator jauh lebih kecil

daripada koT. Oleh karena itu, pada suhu rendah ini, sifat kuantum gerakan lebih

dominan.

Bila zat padat sebanyak 1 kmol dan setiap atom mempunyai 3 derajat

kebebasan, maka energi totalnya

1

33 / −== Tk

EAA oEe

NNE ω

ωε (2.26)

dimana ωE adalah frekuensi Einstein (frekuensi bersama osilator). Kapasitas

panas pada volume konstan

( )2/

/2

13

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=T

TE

VV

E

E

ee

TR

TEC

θ

θθ (2.27)

T

ε

O

klasik

kuantum



55

dimana θE=(ћωE/ko) adalah suhu karakteristik Einstein. Secara grafik CV di atas

ditunjukkan dalam Gambar 2.5 berikut.

Gambar 2.5 Kapasitas panas tembaga.

Titik-titik merupakan hasil eksperimen. Kurva mengungkapkan teori Einstein untuk suhu θE=240 K

Secara teori dapat dibuat kurva CV terhadap T/θE yang bentuknya sama untuk

berbagai macam kristal. Data eksperimen (CV,T) suatu kristal tertentu, dapat

dicari kesesuaiannya yang terbaik, sehingga θE dapat ditentukan. Selanjutnya,

frekuensi Einstein ωE pun dapat diperoleh. Untuk θE= 240 K didapatkan ωE =

2,5.1013/s dalam daerah inframerah.

Ungkapan CV di atas menunjukkan hal-hal sebagai berikut.

a. Pada suhu yang sangat tinggi, dimana T>>θE, bentuk TEe /θ dapat diekspansikan

dalam deret pangkat θE/T, sehingga menghasilkan

CV ≅ 3 R

seperti hasil teori klasik.

b. Pada suhu yang sangat rendah, dimana T<<θE, bentuk TEe /θ jauh lebih besar

daripada satu, sehingga

TTEV

EE eTBeT

RC //2

)(3 θθθ −− ≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≅ (2.28)

dimana B(T) adalah fungsi yang relatif tidak peka terhadap suhu. Karena

bentuk eksponensial TEe /θ , maka kapasitas panas ini terus berkurang sehingga

mendekati nol dengan cepat sekali. Jadi CV →0 saat T→0. Hal ini sesuai

dengan eksperimen.



56

Saat mendekati nol mutlak, penurunan CV model Einstein yang secara

eksponensial di atas, ternyata, jauh lebih cepat daripada yang terjadi secara

eksperimen, yakni

CV ∼ T3

Hal ini merupakan kelemahan yang mendasar bagi model Einstein.

Kesimpulan yang dapat ditarik dari model Einstein adalah sebagai berikut.

a. Pada suhu tinggi, osilator tereksitasi sempurna, yang memerlukan energi rata-

rata sebesar koT, sehingga CV ≅ 3 R.

b. Pada suhu rendah, osilator membeku (tidak berosilasi) dalam tingkat energi

dasar sehingga CV=0.

2.1.2.2 Model Debye tentang CV Zat Padat Untuk menerangkan kebergantungan CV terhadap T, Debye memodelkan

getaran kisi dengan mengambil anggapan sebagai berikut.

a. Atom kristal merupakan osilator yang berkait erat satu sama lain, dengan

daerah frekuensi ω=0 sampai suatu frekuensi maksimum ωD yang ditentukan

oleh jumlah moda getar yang diperkenankan. Dengan demikian pada kristal

terjadi gerakan kisi secara keseluruhan sehingga terdapat moda kisi bersama.

Kristal merupakan medium elastik kontinu.

b. Gelombang suara dalam padatan merupakan contoh moda bersama. Oleh

karena itu moda kisi mempunyai hubungan dispersi linier kontinu (2.5) dan

rapat keadaan (2.18) yang sama dengan bahasan gelombang elastik yang lalu.

Setiap modus getaran merupakan osilator harmonik tunggal ekivalen yang

mempunyai energi rata-rata (2.25) seperti osilator model Einstein. Oleh karena itu

energi total getaran seluruh kisi

∫ ∫ −== ωωω

πωωωε ω d

evVdgE Tk

s 123)()(

0/2

32 (2.29)

dimana integrasi dilakukan terhadap semua frekuensi yang diperkenankan.

Frekuensi batas bawah, tentunya, adalah ω=0. Sedangkan frekuensi batas

atas ditetapkan oleh debye dengan batasan bahwa jumlah moda yang dicakup



57

dalam rentang frekuensi tersebut haruslah sama dengan jumlah derajat kebebasan

untuk keseluruhan padatan. Jadi

∫ =D

ANdgω

ωω0

3)( (2.30)

dimana frekuensi atas ωD disebut frekuensi Debye. Hasil integrasi di atas, setelah

mensubstitusikan (2.18) memberikan nilai

ωD = vs (6π2n)1/3 (2.31)

dimana n=NA/V adalah konsentrasi atom dalam padatan.

Energi total (2.29) dapat ditulis kembali

∫ −=

D

dev

VE Tks

ω

ω ωωπ 0

/

3

32 123

0 (2.32)

dan kapasitas panas pada volume konstan

( )∫−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=D

o

o

de

eTkv

VTEC

Tk

Tk

osVV

ω

ω

ω

ωωπ 0

2/

/4

2

2

3212

3 (2.33)

Apabila x=(ћω/koT) dan suhu Debye didefinisikan sebagai θD=(ћω/ko), maka

persamaan (2.33) dapat ditulis dalam bentuk

( )∫−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

T

x

x

DV

D

dxe

exTRC/

02

43

19

θ

θ (2.34)

Suhu Debye θD dapat diperoleh dengan mencocokkan kurva eksperimen dari data

(CV,T) suatu kristal dengan kurva universal teoritis CV terhadap T/θD. Untuk suatu

zat tertentu, sudu Debye θD adalah suhu yang dipilih sedemikian rupa sehingga

kurva eksperimen akan berimpit dengan kurva universal teoritis. Bahan berikut ini

Li, Na, K, Cu, Ag, Au, Al, Ga, Pb, Ge, Si, C, NaCl, KCl, CaF2, LiF dan SiO22

pada suhu kamar 300 K, masing-masing memiliki suhu Debye 335; 156; 91,1;

343; 226; 162; 428; 325; 102; 378; 647; 1860; 280; 230; 470; 680; dan 255 K.

Ungkapan CV di atas menunjukkan hal-hal sebagai berikut.

a. Pada suhu tinggi, T>>θD, didapatkan

CV ≅ 3 R



58

yang sesuai dengan hukum Dulong-Petit. Dalam keadaan demikian, setiap

moda getar tereksitasi penuh, dan memiliki energi klasik rata-rata Tko=ε .

Jika kita substitusikan energi klasik rata-rata tersebut ke dalam (2.29) akan

didapatkan E = 3RT dan CV=3R.

b. Pada suhu rendah, T<<θD, dengan menggunakan hubungan analitik

( )∫∞

=−0

22

4

154

1πdx

eex

x

x

didapatkan

34

512

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

DV

TRCθ

π (2.35)

Kebergantungan CV terhadap T3 ini sesuai dengan hasil pengamatan. Dalam

keadaan demikian, hanya sedikit moda tereksitasi, yakni moda yang memiliki

energi kuantum ћω, yang lebih kecil daripada kT.

2.2 GETARAN DALAM KISI KRISTAL

Telah dibahas rambatan gelombang dalam padatan sebagai medium

kontinu, yaitu kediskritan kisi dapat diabaikan. Saat panjang gelombang jauh lebih

besar daripada jarak antar atom, yaitu k→0, maka dihasilkan relasi linier ω=vsk.

Tetapi, saat panjang gelombang menurun dan k membesar, maka kediskritan kisi

menjadi berperan karena atom-atom mulai menghamburkan gelombang.

Akibatnya kecepatan menurun, dan dalam hal ini menyebabkan kurva relasi

dispersi tidak lagi linier melainkan mengalami penurunan kemiringan.

2.2.1 Getaran dalam Kisi Linier

2.2.1.1 Kisi Monoatomik Satu Dimensi Perhatikanlah kisi monoatomik satu dimensi dengan konstanta kisi a

dalam Gambar 2.6 berikut.



59

Gambar 2.6 Kisi monoatomik satu dimensi

Posisi setimbang atom dinyatakan pada koordinat kisi …, x -1, x , x +1, …

Sedangkan simpangan dari titik setimbang, masing-masing dinyatakan dengan

…, ψ -1, ψ , ψ +1, … Getaran kisi adalah longitudinal.

Andaikan interaksi atom hanya terjadi antartetangga terdekat, gaya yang

bekerja mengikuti hukum Hooke (pendekatan harmonik) dengan konstanta gaya α,

dan massa setiap atom m, maka, sesuai dengan hukum Newton, persamaan gerak

atom ke- adalah

( ) ( ) ( )11112

2

2 −+−+ −−−=−−−−=∂∂

lllllllltm ψψψαψψαψψαψ (2.36)

Kisi di atas mempunyai simetri translasi, yakni massa atom sama dengan interval

tertentu. Oleh sebab itu diambil bentuk solusi gelombang berjalan

( )tklaiol eA ωψ −= (2.37)

Solusi (2.37) menunjukkan bahwa semua atom bergetar dengan frekuensi dan

amplitudo sama. Getaran yang demikian disebut getaran modus normal.

Substitusi (2.37) ke dalam (2.36) dan penghilangan besaran-besaran yang sama,

yaitu A, tie ω dan iklae , serta pemakaian rumus Euler eiy+e-iy=2 cos y

menghasilkan bentuk

2

sin kaoωω = (2.38)

dimana ωo=(4α/m)1/2 dan hanya diambil harga ω positip (yang memiliki arti fisis).

Ungkapan ini tidak lain adalah hubungan dispersi ω(k), yang berbentuk sinusoida

ψψ -1ψ -2 ψ +1

x +1=( +1)a x = ax -1=( -1)ax -2=( -2)a

a



60

dengan perioda 2π/a dan frekuensi maksimum ωo dalam ruang k, seperti disajikan


Gambar 2.7 Kurva dispersi ω(k) kisi satu dimensi dengan interaksi tetangga terdekat

Interpretasi fisis yang dapat dikemukakan dari model ini adalah sebagai berikut.

a. Nilai k kecil menyebabkan (2.38) menjadi hubungan dispersi linier, yaitu

kao ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≅

2ω

ω (2.39)

Dalam batas ini, kisi berkelakuan sebagai medium kontinu elastik (pegas

kontinu). Harga k kecil, berarti k<<(π/a) atau λ>>2a. Dengan kata lain,

panjang gelombang jauh lebih besar daripada jarak antaratom (sistem makro).

Atom bergerak dalam fasa yang sama satu sama lain. Hal ini menyebabkan

gaya pulih setiap atom menjadi kecil, sehingga ω kecil juga. Kecepatan fasa

vϕ=ω/k sama dengan kecepatan kelompok vg=∂ω/∂k, yaitu sebesar

vϕ= vg=(ωoa)/2=maα (2.40)

Kecepatan fasa vϕ adalah kecepatan perambatan gelombang yang berfrekuensi

ω dan angka gelombang k. Sedangkan kecepatan kelompok vg adalah

kecepatan pulsa gelombang yang berfrekuensi dan angka gelombang rata-rata

ω dan k. Seringkali vg lebih berperan karena yang ditransmisikan gelombang

adalah energi dan momentum.

Kecepatan fasa vϕ tidak lain adalah kecepatan suara (2.6) dalam bahasan

gelombang elastik dahulu. Karena m/a adalah kerapatan massa satu dimensi

kontinu

-π/a 2π/a π/a 0 -2π/a

ω(k)

ωo



61

dan αa dapat diinterpretasikan sebagai tegangan dalam rantai kisi, maka hal ini

sama dengan bahasan kecepatan rambat gelombang transversal dalam kawat

Melde. Dari (2.40) dan (2.6) dapat dicari hubungan tetapan gaya α dan

modulus Young Y, yaitu

α = a Y (2.41)

yang dapat digunakan untuk memprediksi harga α. Untuk nilai a= 5.10-8cm dan

Y= 1011 gr/cm s2 didapatkan nilai α= 5.103 dyne/cm. Kasus dengan k<<π/a,

atau λ>>a dinamakan batas gelombang panjang.

b. Saat k membesar terjadi deviasi secara signifikan terhadap bentuk linier. Pada

k=±π/a terdapat nilai frekuensi maksimum. Nilai k=±π/a, berarti λ=2a,

menyebabkan atom yang bertetangga bergetar dengan fasa berlawanan,

sehingga gaya pulih dan frekuensi menjadi maksimum. Karena adanya fasa

berlawanan pada dua atom berdekatan, maka terjadi gelombang pantulan.

Akibatnya terjadi superposisi antara gelombang datang dan pantul oleh semua

atom dalam kristal, dan menghasilkan gelombang berdiri. Dalam kasus ini

kecepatan kelompok vg=0. Kasus dengan k=±π/a dinamakan kondisi refleksi

Bragg.

Frekuensi maksimum ωo=(4α/m)1/2 yang bergantung pada konstanta pegas dan

massa atom adalah memang sifat untuk osilator harmonik. Dengan

mensubstitusikan nilai α= 5.103 dyne/cm dan m= 22.10-24 gr (untuk hidrogen)

didapatkan nilai ωo= 2.1013/s dalam daerah inframerah.

c. Nilai k=0, berarti λ=∞, menyebabkan keseluruhan bagian kristal bertranslasi,

sehingga gaya pulih menjadi nol. Hal ini berarti ω=0 untuk k=0.

Lihat kembali kurva dispersi (Gambar 2.7) di atas. Tampak bahwa kurva

tersebut periodik dalam ruang k, dan simetri terhadap pencerminan di sekitar titik

asal k=0. Oleh karena itu daerah yang penting adalah 0<k<π/a. Hanya frekuensi

dalam rentang 0<ω<ωo yang ditransmisikan dalam kisi. Frekuensi di atas ωo

mengalami atenuasi tajam. Dalam hal ini, kisi berperan sebagai filter mekanik

lolos rendah.

Periodisitas ω(k) dalam ruang k mempunyai perioda 2π/a. Oleh karena itu



62

ω(k + 2π/a) = ω(k) (2.42)

Perhatikanlah contoh sederhana dalam Gambar 2.8 berikut.

Gambar 2.8 Gelombang transversal dengan λ=4a dan λ=(4/5)a

Angka gelombang keduanya, masing-masing k=π/2a dan k’=(k+2π/a). Terlihat

bahwa keduanya merepresentasikan gerakan fisis yang sama. Oleh karena itu dua

moda tersebut haruslah mempunyai frekuensi yang sama. Secara umum, hal ini

berlaku untuk dua titik sebarang k dan k’, dimana k’=(k + n 2π/a) untuk n

bilangan bulat. Hal inilah yang menyebabkan frekuensi ω merupakan fungsi

periodik dari k dengan perioda 2π/a.

Dalam kisi diskrit, panjang gelombang suatu gelombang bukanlah besaran

unik. Begitu juga nilai k, masing-masing nilai k yang ekivalen ditranslasikan

sejauh n(2π/a) satu terhadap yang lain dalam ruang k. Pilihan interval tertentu

dalam ruang k, yakni sama dengan periodanya sebesar 2π/a, diperlukan untuk

membuat representasi k maupun λ menjadi unik.

Panjang gelombang terpendek dari gelombang dalam kristal linier yang

masih memiliki makna fisis adalah

λ = 2 a

yang bersesuaian dengan k=π/a. Oleh karena itu semua getaran, λ=0 sampai λ=∞,

yang memiliki makna fisis berada dalam interval

0 < |k| < π/a

Daerah antara (-π/a < k < π/a) dinamakan Zona Brillouin Pertama, yang

merepresentasikan semua gelombang yang masih memiliki makna fisis dalam

kristal. Jumlah moda getar dalam zona ini sama dengan jumlah total atom dalam

kisi.



63

Simetri refleksi terhadap titik nol dalam ruang k, berarti

ω(-k) = ω(k) (2.43)

Moda k merepresentasikan gelombang yang merambat ke arah kanan dan –k ke

arah kiri dalam kisi. Karena kisi ekivalen dalam kedua arah tersebut, maka

frekuensinyapun harus sama seperti di atas.

2.2.1.2 Kisi Diatomik Satu Dimensi Model ini terdiri dari dua jenis atom, masing-masing bermassa M1 pada

koordinat ganjil, dan M2 pada koordinat genap. Jarak setimbang atom bertetangga

sebesar a.

Gambar 2.9 Kisi diatomik satu dimensi

Asumsi yang digunakan sama dengan bahasan kisi monoatomik. Persamaan gerak

untuk masing-masing massa

( )

( )321222222

2

2

22212122

2

1

2

2

++++

+++

−−−=∂∂

−−−=∂∂

llll

llll

tM

tM

ψψψαψ

ψψψαψ (2.44)

Diambil solusi berbentuk

( )[ ]

( )[ ]tlkail

tlkail

eA

eAω

ω

ψ

ψ−+

+

−++

=

=22

222

12112 (2.45)

Substitusi bentuk solusi (2.45) ke dalam persamaan (2.44) menghasilkan dua

persamaan yang ekivalen persamaan matrik

( )

( )0

2cos2cos22

2

12

2

21 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−−

AA

MkakaMωαα

αωα (2.46)

Solusi nontrivial persamaan homogen (2.46) ada hanya jika harga determinan

matrik sama dengan nol. Oleh karena itu persamaan sekularnya

( )

( )0

2cos2cos22

22

21 =

−−−−

ωαααωα

MkakaM

(2.47)

x2 x2 -1 x2 -2 x2 -3

M2 M1 a



64

yang merupakan persamaan kuadrat dalam ω2, dan memberikan solusi untuk ω2,

yakni

( )2/1

21

22

2121

22,1

sin41111

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+±⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

MMka

MMMMααω (2.48)

Tanda ± menyebabkan terdapat dua hubungan dispersi, yang masing-masing

kurvanya, dengan asumsi M1< M2, disajikan dalam Gambar 2.10 berikut.

Gambar 2.10 Dua cabang dispersi kisi diatomik M1< M2

Kurva bawah, bersesuaian dengan tanda minus, dinamakan cabang akustik. Kurva

ini memiliki ciri sama dengan kisi monoatomik. Sedangkan kurva atas dinamakan

cabang optik karena dihasilkan frekuensi optik dalam spektrum elektromagnet.

Variasi cabang ini tidak begitu besar, sehingga sering dianggap tetap.

Pada gambar di atas terdapat daerah tanpa getaran, yaitu daerah frekuensi

antara (2α/M2)1/2 sampai (2α/M1)1/2. Untuk harga α= 5.103dyne/cm dan M=10-23

gr didapatkan frekuensi ω=(2α/M)1/2= 3.1013/s dalam daerah inframerah. Daerah

terlarang ini, dimana kisi tidak dapat mentransmisikan gelombang, disebut celah

frekuensi. Oleh karena itu, kisi diatomik berperan sebagai filter mekanik lolos

pita.

Perbedaan dinamika getaran antara kedua cabang di atas dapat dipelajari

dari perbandingan amplitudo A1/ A2 pada nilai k=0 (atau λ=∞).



65

Cabang akustik. Substitusi ω1=0 ke dalam persamaan matrik (2.46) menghasilkan

ungkapan

A1 = A2 (2.49)

Hal ini berarti dua atom dalam sel, atau molekul, mempunyai amplitudo dan fasa

yang sama. Keseluruhan kisi bergetar seperti benda tegar, dengan pusat massa

bergerak bolak-balik, seperti Gambar 2.11 berikut.

Gambar 2.11 Getaran cabang akustik pada k=0

Cabang optik. Substitusi 2/1

212

112⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

MMαω ke dalam persamaan matrik

(2.46) di atas menghasilkan ungkapan

M1 A1 + M2 A2 = 0 (2.50)

Hal ini berarti cabang optik berosilasi dengan pusat massa atom tidak berubah.

Dua atom dalam sel bergetar dalam fasa berlawanan, seperti pada Gambar 2.12

berikut.

Gambar 2.12 Getaran cabang optik pada k=0

Lihat kembali kurva dispersi kisi diatomik (Gambar 2.10) di atas. Tampak

bahwa kurva tersebut periodik dalam ruang k dengan perioda π/a dan mempunyai

simetri refleksi di sekitar titik k=0. Zona Brillouin Pertama terletak pada daerah

(π/2a<k<π/2a). Hal ini berkaitan dengan perioda kisi riilnya sebesar 2a. Dalam



66

zona ini, jumlah nilai k yang diperkenankan sebanyak jumlah atom total N.

Karena terdapat dua cabang, maka jumlah moda getar totalnya adalah 2N.

2.2.1.3 Kisi Tiga Dimensi Misalnya, terdapat kisi Bravais tiga dimensi dengan satu atom persel

satuan. Diandaikan bentuk solusi gelombang yang merambat dalam kristal

( )trkin eA ωψ −•= (2.51)

Vektor amplitudo A menunjukkan arah getaran atom yang sesuai dengan

polarisasi gelombang (longitudinal [ A paralel k ], transversal [ A tegak lurus k ]

atau keduanya).

Substitusi solusi (2.51) ke dalam persamaan gerak, menghasilkan

perangkat tiga persamaan yang melibatkan Ax, Ay dan Az, sehingga diperoleh

persamaan sekular dengan determinan matrik 3x3. Akhirnya diperoleh

3 buah harga ω2

yang semuanya melalui titik asal k=0 (cabang akustik). Fungsi dispersi termaksud

tidak perlu isotropik dalam ruang k untuk arah yang berbeda dalam kristal.

Kisi non-Bravais tiga dimensi, dalam tiap sel satuannnya mengandung dua

atau lebih atom. Misalnya, terdapat r atom persel, maka akan terdapat 3r kurva

dispersi, yang terdiri dari 3 cabang akustik, dan (3-r) cabang optik.

RINGKASAN 01. Padatan terdiri dari atom diskrit yang berosilasi di sekitar titik setimbangnya

sebagai akibat adanya energi termal. Jika gelombang yang merambat

mempunyai panjang gelombang yang jauh lebih besar daripada jarak

antaratom, maka sifat atomik dapat diabaikan dan padatan dapat dianggap

sebagai medium kontinu (lingkup makro). Gelombang yang demikian disebut

gelombang elastik. Bahasan ini menghasilkan hubungan dispersi linier ω = vs



67

k, dimana vs = (Y/ρ)1/2 adalah kecepatan fasa gelombang. Bila dikenai syarat

batas periodik, maka diperoleh rapat keadaan 3

2

223)(

svVg ωπ

ω =

02. Menurut teori klasik setiap atom dalam kristal, disamping memiliki 3 derajat

kebebasan untuk geraknya di sekitar kedudukan setimbangnya (energi kinetik),

juga memiliki energi potensial atom dalam gerak harmoniknya; sehingga

energi total sistem atom dalam kristal menurut hukum ekipartisi RTU 3= .

Dengan demikian kapasitas panas kristal pada volume konstan adalah CV=3R,

yang sesuai dengan penemuan empirik Dulong-Petit (1819), yang berlaku

untuk hampir semua zat padat pada suhu ruang atau yang lebih tinggi. Tetapi,

hal ini tidak sesuai dengan hasil eksperimen.

02. Hasil eksperimen menunjukkan bahwa nilai CV berharga 3R pada suhu tinggi,

menurun apabila T menurun, dan mendekati nol apabila T menuju 0 K.

Disamping itu, terdapat indikasi yang sangat kuat bahwa pada suhu yang

sangat rendah mendekati nol mutlak CV ∼ T3.

03. Model Einstein tentang CV zat padat mengandaikan bahwa atom kristal

merupakan osilator independen, yang masing-masing memiliki frekuensi sama

dan energi diskrit εn=n ћ ω , n = 0, 1, 2, …, dan sebaran energi osilator pada

harga energi yang diperbolehkan mengikuti distribusi Boltzmann Tk

nonef /)( εε −= . Berdasarkan andaian ini diperoleh kapasitas panas

( )2/

/2

13

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

T

TE

VE

E

e

eT

RCθ

θθ, yang hanya cocok untuk suhu tinggi dan

mendekati 0 K

04. Model Debye tentang CV zat padat mengandaikan bahwa atom kristal

merupakan osilator yang berkait erat satu sama lain, dengan daerah frekuensi

ω=0 sampai suatu frekuensi maksimum ωD yang ditentukan oleh jumlah moda

getar yang diperkenankan. Dari andaian ini diperoleh kapasitas panas

( )∫−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

T

x

x

DV

D

dxe

exTRC/

02

43

19

θ

θ, yang sesuai dengan hasil eksperimen.



68

05. Getaran kisi monoatomik satu dimensi menghasilkan hubungan dispersi

2sin ka

oωω = . Kisi hanya bisa merambatkan frekuensi di bawah ωo. Oleh

karena itu kisi ini dapat berperan sebagai filter mekanik lolos rendah. Pada

nilai k kecil terjadi hubungan dispersi linier, yang mengakibatkan panjang

gelombang jauh lebih besar daripada jarak antaratom (sistem makro) atau atom

bergerak dalam fasa yang sama satu sama lain. Pada nilai k=±π/a, berarti λ=2a,

menyebabkan atom yang bertetangga bergetar dengan fasa berlawanan (terjadi

gelombang berdiri), sehingga gaya pulih dan frekuensi menjadi maksimum.

Sedangkan pada nilai k=0, berarti λ=∞, menyebabkan keseluruhan bagian

kristal bertranslasi, sehingga gaya pulih menjadi nol. Hal ini berarti ω=0 untuk

k=0.

06. Getaran kisi diatomik satu dimensi menghasilkan dua hubungan dispersi,

yakni cabang optik dan akustik

( )2/1

21

22

2121

22,1

sin41111

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+±⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

MMka

MMMMααω . Pada getaran ini

terdapat daerah tanpa getaran, yang disebut celah frekuensi. Oleh karena itu,

kisi diatomik berperan sebagai filter mekanik lolos pita. Pada nilai k=0, untuk

cabang akustik didapatkan bahwa A1=A2, yang artinya dua atom dalam sel,

atau molekul, mempunyai amplitudo dan fasa yang sama. Keseluruhan kisi

bergetar seperti benda tegar, dengan pusat massa bergerak bolak-balik.

Sedangkan untuk cabang optik menghasilkan M1 A1 + M2 A2 = 0, yang artinya

bahwa cabang optik berosilasi dengan pusat massa atom tidak berubah. Dua

atom dalam sel bergetar dalam fasa berlawanan.

LATIHAN SOAL BAB II 01. Hasil pengukuran dalam suatu jenis padatan menunjukkan bahwa kecepatan

gelombang vs=5.105 cm/s dan rapat massa ρ=5 gr/cm3. Berapakah modulus

Young padatan tersebut?



69

02. Dengan menggunakan distribusi Maxwell-Boltzmann dan hukum ekipartisi

energi, tunjukkan bahwa osilator harmonis satu dimensi pada kesetimbangan

termal mempunyai energi rata-rata Tko=ε !

03. Jika harga konstanta gas umum R≅2 kal/mol K, maka hitunglah kapasitas

panas pada volume tetap padatan pada suhu tinggi!

04. Tunjukkan penurunan persamaan (2.25)!

05. Tembaga mempunyai suhu Einstein θE=240 K. Berapa dan terletak di daerah

optik mana frekuensi Einstein tersebut?

06. Jika diketahui bahwa suatu padatan mempunyai konsentrasi atom n=1022

atom/cm3 dan kecepatan gelombang vs=5.105 cm/s, maka hitunglah frekuensi

Debye ωD!

07. Kemukakan sampai sejauh mana kesesuaian (terhadap rentang suhu) kapasitas

panas padatan ramalan (a) Dulong-Petit, (b) Einstein, dan (c) Debye dengan

hasil pengamatan!

08. Tunjukkan penurunan persamaan (2.41)!

09.a. Jika konstanta kisi a=5 Å dan modulus Young Y=1011 gr/cm s2, maka

tentukan konstanta gaya α!

b. Dengan menggunakan harga α dari soal a), dan massa m=2.10-24 gr (untuk

hidrogen), maka tentukan frekuensi maksimum ωo!

10. Anggaplah bahwa kisi kristal satu dimensi merupakan medium kontinu dan

mempunyai syarat batas periodik. Buktikan bahwa jumlah moda getar dalam

Zona Brillouin Pertama (ZBP) adalah sama dengan jumlah total atom, atau

jumlah sel satuan dalam kisi!

11. Semua getaran yang memiliki makna fisis berada dalam interval ZBP

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+<≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

ak

aππ . Sesuai dengan soal nomor (10), maka jika terdapat N

atom, maka nilai k yang diperbolehkan akan sebanyak N pula, yang terentang

dari NNa 2

12π− hingga N

Na 212π

+ . Misalnya terdapat vibrasi gelombang yang

merambat dalam kristal monoatomik satu dimensi dengan jarak setimbang



70

antaratom a=5 Å. Jika kristal mengandung 6,00.108 atom, maka tentukan

rentang angka gelombang k yang diperbolehkan!

12. Tunjukkan bahwa untuk harga ka kecil, maka dari persamaan (2.48) dapat

diperoleh

a. dua harga frekuensi 2

21

2

21

2 )(2112 kaMM

danMM +

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

αωαω

b. kecepatan fasa bunyi 21

22MM

av+

=α (Tampak bahwa dengan (M1+M2)/a

adalah kerapatan massa satu dimensi, maka hal ini sama dengan bahan

pegas/kawat kontinu dengan tegangan 2αa)

13. Tunjukkan bahwa untuk harga k=π/2a, maka dari persamaan (2.48) diperoleh

dua harga frekuensi 22

12 /2/2 MdanM αωαω ==

14. Kemukakan yang terjadi pada Gambar 2.10, jika diasumsikan bahwa M1>M2!

15. Tunjukkan bahwa celah frekuensi dalam vibrasi kisi diatomik satu dimensi

a. semakin tajam bila kedua massa semakin tidak sama!

b. lenyap bila kedua massa sama besar!

16. Buktikan bahwa pada k=π/2a dalam kisi diatomik satu dimensi

a. cabang akustik menunjukkan bahwa hanya atom berat yang bervibrasi!

b. cabang optik menunjukkan bahwa hanya atom ringan yang bervibrasi!

17. Sama dengan soal (10), tetapi untuk kisi kristal diatomik satu dimensi.

Buktikan bahwa jumlah moda getarnya dua kali lebih besar karena masing-

masing angka gelombang k bersesuaian dengan dua moda, yaitu moda akustik

dan optik!

18. Harga kecepatan fasa bunyi dalam padatan berorde 3.103 m/s daan jarak

antaratomnya berorde 3 Å. Jika padatan diasumsikan sebagai sebuah kisi linier,

maka berapakah harga frekuensi maksimumnya?

19. Kecepatan kelompok bunyi suatu rantai linier monoatomik adalah 1,08.104

m/s. Jika massa tiap atom 6,81.10-26 kg dan jarak setimbang antaratom 4,85 Å,

maka

a. berapakah konstanta gaya?



71

b. berapakah frekuensi angular maksimum?

20. Tunjukkan penurunan persamaan (2.49) dan (2.50)!

21. Tunjukkan bahwa untuk panjang gelombang yang jauh lebih besar daripada

jarak antaratom, maka persamaan gerak (2.36) dapat direduksi menjadi

persamaan gelombang elastik kontinum ll xv

tψψ 2

22

2

2

∂∂

=∂∂ , dengan v adalah

kecepatan fasa bunyi!

22. Getaran kisi bujursangkar

Diasumsikan terdapat getaran transversal pada kisi bidang bujursangkar

monoatomik. Ambillah u ,m pergeseran yang normal terhadap bidang kisi dari

atom dalam kolom ke- dan baris ke-m. Setiap atom bermassa m dan konstanta

gaya α untuk interaksi tetangga terdekat.

a. Buktikan bahwa persamaan geraknya adalah

m (d2 u ,m/dt2) = α [(u +1,m + u -1,m - 2 u ,m) + (u ,m+1 + u ,m-1 - 2 u ,m) !

b. Ambillah solusi berbentuk u ,m = u(0) exp[I( kxa + mkya - ωt)], dimana a

adalah jarak antara tetangga terdekat atom. Buktikan bahwa relasi dispersi

yang sesuai adalah ω2 m = 2 α (2 - cos kxa - cos kya) !

c. Buktikan untuk ka << 1 dipenuhi ω=(αa2/m)1/2 (kx2+ ky

2)1/2= (αa2/m)1/2 k,

sehingga memiliki kecepatan yang konstan!

B A B III

ELEKTRON DALAM LOGAM I

(MODEL ELEKTRON BEBAS) Logam memegang peranan penting dalam kehidupan manusia, misalnya besi

dalam produksi otomobil, tembaga untuk penghantar listrik dan lain-lain. Umumnya,

logam memiliki sifat kekuatan fisik tinggi, kerapatan tinggi, konduktivitas listrik dan

termal baik, dan daya refleksi tinggi. Sifat ini berkaitan dengan struktur mikroskopis

bahan, yang dapat diasumsikan bahwa suatu logam mengandung elektron bebas,

dengan konsentrasi besar, yang dapat bergerak dalam keseluruhan volume kristal.

Saat atom bebas membentuk logam, semua elektron valensi menjadi elektron

konduksi dalam logam. Elektron konduksi bergerak bebas di antara ion, sehingga

keadaannnya berubah tajam. Berbeda dengan elektron “cores” yang tetap terlokalisasi

sehingga karakternya relatif tidak berubah. Dengan demikian, gambaran sederhana

tentang kristal logam adalah suatu kisi ion teratur dalam ruang, dan elektron bebas

bergerak di antara ion tersebut. Gambaran lebih lengkapnya, bahwa ion bergetar

secara termal di sekitar titik setimbang, dan demikian pula elektron bebas bergerak

termal di antara ion kristal dan merubah arah geraknya setiap kali menumbuk ion

(kemungkinan besar) atau elektron lain (kemungkinan kecil).

Dalam logam Na, proporsi volume yang terisi oleh ion “cores” hanya sekitar

15%. Hal ini terjadi karena radius ion Na+ adalah 0,98 Å; sedangkan setengah jarak

antartetangga terdekat atom adalah 1,83 Å. Konsentrasi elektron konduksi dapat

dihitung dari valensi dan kerapatan logam. Jika ρm dan ZV, masing-masing adalah

kerapatan bahan dan valensi atom, maka konsentrasi elektronnya adalah

MN

Zn AmVρ

= (3.1)

3 MODEL ELEKTRON BEBAS


73

dengan NA adalah bilangan Avogadro dan M adalah berat atom. Logam memiliki

konsentrasi elektron yang besar, yakni n = 1029/m3. Misalnya, logam Na, K, Cu, Ag

dan Au adalah monovalen; dan logam Be, Mg, Zn dan Cd adalah divalen.

Bagian awal bab ini membahas perkembangan model elektron bebas. Bahasan

kapasitas panas dan suseptibilitas magnetik dari sumbangan elektron menunjukkan

bahwa yang sesuai dengan eksperimen adalah hanya jika elektron mengikuti prinsip

eksklusi Pauli. Kemudian, dikenalkan konsep tingkatan Fermi dan permukaan Fermi,

yang dapat digunakan untuk memperjelas deskripsi konduktivitas listrik dalam

logam.

Dalam bab ini juga dibahas pengaruh medan magnet terhadap gerakan

elektron bebas, yakni efek Hall dan resonansi siklotron. Bahasan kedua hal ini

menghasilkan informasi yang mendasar tentang logam.

Dalam model elektron bebas ini elektron mengalami tumbukan dengan fonon

dan ketidakmurnian. Hal ini menghasilkan ungkapan hukum Matthiessen. Selain itu,

elektron dapat melepaskan diri dari permukaan logam sehingga terjadi emisi

thermionik. Akhirnya, bab ini ditutup dengan dikemukakannya beberapa kegagalan

model elektron bebas dalam membahas sifat logam.

3.1 MODEL ELEKTRON BEBAS KLASIK

3.1.1 Teori Drude tentang Elektron dalam Logam Drude (1900) mengandaikan bahwa dalam logam terdapat elektron bebas,

yang membentuk sistem gas elektron klasik, yang bergerak acak dalam kristal dengan

kecepatan random vo karena energi termal dan berubah arah geraknya setelah

bertumbukan dengan ion logam. Karena massanya yang jauh lebih besar, maka ion

logam tidak terpengaruh dalam tumbukan ini.

Kehadiran medan listrik ε dalam logam hanya mempengaruhi gerak

keseluruhan electron karena ion-ion tertata berjajar dan bervibrasi di sekitar titik kisi

sehingga tidak memiliki neto gerak translasi. Misalnya, terdapat medan listrik ε

dalam arah sumbu-X. Percepatan elektron yang timbul



74

*m

eaxε

−= (3.2)

dengan e dan m*, masing-masing adalah muatan dan massa efektif elektron. Jika

waktu rata-rata antara dua tumbukan elektron dan ion adalah τ, maka kecepatan

hanyut dalam selang waktu tersebut

τε*m

evv ohanyut −= (3.3)

Oleh karena itu rapat arus yang terjadi

∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= τε

*meveJ ox (3.4)

dimana penjumlahan dilakukan terhadap semua elektron bebas setiap satuan volume.

Elektron bergerak secara acak, sehingga ∑vo=0. Oleh sebab itu ungkapan (3.4)

menjadi

ετ*

2

mneJ x = (3.5)

Karena hubungan Jx=σε, maka menurut (3.5) konduktivitas listrik memiliki ungkapan

*

2

mne τσ = (3.6)

Pengukuran menunjukkan bahwa nilai rata-rata σ logam sekitar 5.107(Ωm)-1. Dengan

menganggap masa efektif m* sama dengan massa bebas mo=9,1.10-31kg, maka

didapatkan nilai τ berorde 10-14 s.

Contoh analisa lain adalah konduktivitas termal. Misalnya, sepanjang sumbu-

X terdapat gradien suhu ∂T/∂x, maka akan terjadi aliran energi persatuan luas

perdetik (arus kalor) Qe. Berdasarkan eksperimen arus kalor Qe tersebut sebanding

dengan gradien suhu ∂T/∂x

Qe = -K ∂T/∂x (3.7)

dengan K adalah konduktivitas termal. Dalam isolator, panas dialirkan sepenuhnya

oleh fonon. Sedangkan dalam logam dialirkan oleh fonon dan elektron. Tetapi karena

konsentrasi elektron dalam logam sangat besar, maka konduktivitas termal fonon jauh



75

lebih kecil daripada elektron, yakni Kfonon≅10-2Kelektron, sehingga konduktivitas fonon

diabaikan.

Dari pendekatan teori kinetik gas diperoleh ungkapan konduktivitas termal

K = (1/3) CV v (3.8)

dimana CV, v dan masing-masing adalah kapasitas panas elektron persatuan

volume, kecepatan partikel rata-rata dan lintas bebas rata-rata partikel. Karena

CV=(3/2)nk, (1/2)mv2=(3/2)kT dan =vτ, maka konduktivitas (3.8) menjadi

omTnkK τ2

23

= (3.9)

Perbandingan konduktivitas termal (3.9) dan listrik (3.6) adalah

TekK 2

23

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

σ (3.10)

Hal ini sesuai dengan penemuan empirik oleh Wiedemann-Frans (1853). Kadang-

kadang perbandingan (3.10) di atas dinyatakan sebagai bilangan Lorentz

T

KLσ

= (3.11)

Ternyata, hukum Wiedemann-Frans sesuai dengan pengamatan untuk suhu tinggi

(termasuk suhu kamar) dan suhu sangat rendah (beberapa K). Tetapi, untuk suhu

“intermediate”, K/σT bergantung pada suhu.

Dalam teori drude, lintas bebas rata-rata elektron bebas, =τvo, tidak

bergantung suhu. Namun, karena vo∼T1/2, maka keadaan mengharuskan

τ ∼ T-1/2

Hal ini didukung fakta eksperimen bahwa σ∼T-1, sehingga dari ungkapan

konduktivitas listrik didapatkan

n τ ∼ T-1 atau n ∼ T-1/2

Ungkapan terakhir ini menunjukkan bahwa bila T naik, maka n menurun. Hal ini

tidak sesuai dengan fakta, dan menyebabkan teori Drude tidak memadai.



76

3.1.2 Model Elektron Bebas Klasik Model elektron bebasa klasik tentang logam mengambil andaian berikut.

a. Kristal digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positip (yang

membentuk kisi kristal) dan elektron yang bebas bergerak dalam volume kristal.

b. Elektron bebas tersebut diperlakukan sebagai gas, yang masing-masing bergerak

secara acak dengan kecepatan termal (seperti molekul dalam gas ideal – tidak ada

tumbukan, kecuali terhadap permukaan batas)

c. Pengaruh medan potensial ion diabaikan, karena energi kinetik elektron bebas

sangat besar.

d. Elektron hanya bergerak dalam kristal karena adanya penghalang potensial di

permukaan batas.

Misalnya, setiap atom memberikan ZV elektron bebas, maka jumlah total

elektron tersebut perkilomol

n = ZV NA

Bila elektron berperilaku seperti dalam gas ideal, maka energi kinetik totalnya

U = n (3/2) k T = (3/2) ZV R T (3.12)

sehingga kapasitas panas sumbangan elektron bebas

(CV)el = (3/2) ZV R (3.13)

Kapasitas panas total dalam logam, termasuk sumbangan oleh fonon, adalah

CV = (CV)f + (CV)el = [3 + (3/2) ZV) R (3.14)

Jadi, setidaknya kapasitas panas logam harus 50% lebih tinggi daripada isolator.

Tetapi, eksperimen menunjukkan bahwa untuk semua bahan padatan (logam dan

isolator) nilai CV mendekati 3R pada suhu tinggi. Pengukuran yang akurat

menunjukkan bahwa sumbangan elektron bebas terhadap kapasitas panas total adalah

reduksi harga klasik (3/2)R oleh factor 10-2. Oleh karena itu model elektron bebas

klasik tidak memberikan hasil ramalan CV yang memadai.

Suseptibilitas magnetik χ mengkaitkan momen magnetik M dan kuat medan

magnetik H melalui ungkapan



77

HM χ= (3.15)

Dalam hal ini hanya dibahas untuk bahan isotropik, sehingga χ skalar. Pengaruh

medan magnet luar H terhadap elektron bebas menyebabkan setiap momen dipol μ ,

yang acak arahnya, memperoleh energi magnetik

HE •−= μ (3.16)

Jika distribusi momen dipol elektron bebas memenuhi statistik Maxwell-Boltzmann,

yakni f(E)=e-E/kT, maka momen dipol rata-rata dalam arah medan memenuhi

∫

∫−

−

= π

π

θθπ

θθπθμμ

0

/

0

/

sin2

sin2cos

de

de

kTE

kTE

(3.17)

dimana θ adalah sudut antara μ dan H. Hasil dari persamaan (3.17) adalah

)(xLμμ = (3.18)

dengan L(x)=coth x – (1/x) = fungsi Langevin

x = (μH/kT)

Dengan menggunakan deret

π<<++−+= xuntukxxxx

x 0,...9452

4531coth

53

maka untuk medan H tidak kuat, yakni μH<<kT momen dipol rata-rata tersebut

berharga

kT

Hμμμ31

= (3.19)

Jika jumlah momen dipol magnet adalah N, maka magnetisasinya

HkT

NNM3

2μμ == (3.20)

Dengan membandingkan (3.20) dan (3.15) diperoleh suseptibilitas magnetik

kT

N3

2μχ = (3.21)



78

Tetapi, eksperimen tidak menunjukkan adanya kebergantungan χ terhadap T. Hal ini

berarti model elektron bebas klasik tidak dapat menerangkan tentang mengapa χ

untuk paramagnet elektron tidak bergantung pada T.

3.2 MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI Untuk memperbaiki kegagalan model elektron bebas klasik dalam menelaah

sifat listrik dan magnet bahan, ditawarkan model elektron bebas yang terkuantisasi.

Model ini menggunakan prinsip kuantisasi energi elektron dan prinsip eksklusi Pauli

untuk elektron yang melibatkan distribusi Fermi-Dirac.

Model elektron bebas, dimana pengaruh dari semua elektron bebas yang lain

dan semua ion positip direpresentasikan oleh potensial V sama dengan nol sehingga

gaya yang bekerja pada elektron juga sama dengan nol, secara kuantum mengambil

persamaan Schrodinger

( ) ( )rErmo

ψψ =∇− 22

2 (3.22)

dengan solusi fungsi elektron

( ) rkioeAr •=ψ (3.23)

dan energi elektron

o

k mkE

2

22

= (3.24)

Harga k tidak dibatasi sehingga energi elektron tidak terkuantisasi. Tetapi bila

elektron bebas tersebut bergerak dalam suatu kubus dengan rusuk L, maka haruslah

dipenuhi

( )

...,2,1,0

2 2222

2222

±±===

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=++=

zyx

zyxzyx

nnn

nnnL

kkkk π (3.25)

Dalam ruang k, setiap keadaan elektron direpresentasikan oleh volume

sebesar (2π/L)3, yaitu masing-masing untuk Δnx=Δny=Δnz=1. Semua keadaan



79

elektron yang berenergi ( )2222

2 zyxo

k kkkm

E ++= terletak pada permukaan bola

berkari-jari k yang memenuhi

( ) ko

zyx Em

kkkk 22222 2=++=

Sedangkan semua keadaan elektron yang berenergi antara E dan E+dE terletak dalam

kulit bola dengan jari-jari antara k dan k+dk dan volume 4πk2dk. Dengan demikian,

jumlah keadaan elektron

( ) dkkL

L

dkk2

23

3

2

224

πππ

=

Apabila diperhitungkan dua spin elektron, maka jumlah tersebut menjadi

dkkL2

23

π

Mengingat ungkapan E=ћ2k2/2mo, maka jumlah keadaan elektron persatuan volume

yang berenergi antara E dan E+dE adalah

dEEm

dkkdEEg o 2/12/3

222

2 22

1)( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

ππ (3.26)

Prinsip Pauli menyatakan bahwa dalam satu sistem fisis tidak boleh terdapat

dua elektron atau lebih yang mempunyai perangkat bilangan kuantum yang tepat

sama. Prinsip larangan ini dipenuhi oleh elektron yang mengikuti fungsi distribusi

Fermi-Dirac

( ) kTEE FeEf /1

1)( −+= (3.27)

Pada suhu T=0 K, energi Fermi diungkapkan dalam bentuk EF(0); dan fungsi

distribusi Fermi-Dirac

untuk E < EF(0) → 11

1)( =+

= ∞−eEf

untuk E > EF(0) → 01

1)( =+

= ∞eEf



80

Dengan kata lain, pada suhu T=0 K semua tingkat energi E<EF(0) terisi penuh

elektron dan E>EF(0) kosong. Sedangkan pada suhu T>0 K berlaku

untuk E < EF → f(E) < 1

untuk E = EF → f(E) = 1/2

untuk E > EF → f(E) > 0

Hal ini berarti pada T>0 K tingkat energi di atas EF sudah terisi sebagian dan di

bawah EF menjadi kosong sebagian.

Model elektron bebas terkuantisasi mengambil andaian sebagai berikut.

a. Kristal logam digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positip (yang

membentuk kisi kristal) dan elektron bebas yang bergerak dalam volume kristal.

b. Elektron bebas tersebut memenuhi kaidah fisika kuantum, yaitu mempunyai energi

terkuantisasi dan mematuhi larangan Pauli, yang secara menyatu dirangkum dalam

ungkapan rapat elektron

dn = n(E) dE = f(E) g(E) dE (3.28)

Dengan mensubstitusikan (3.27) dan (3.26) diperoleh ungkapan rapat elektron

sebagai fungsi dari energi elektron dan suhu sistem

( ) dEeEm

dn kTEEo

F /

2/12/3

22 12

21

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

π (3.29)

c. Pengaruh medan ion positip dapat diabaikan karena energi kinetik elektron bebas

sangat besar.

d. Pada permukaan batas antara logam dan vakum yang mengelilinginya terdapat

suatu potensial penghalang φ yang harus diloncati oleh elektron bebas paling

energetik pada suhu T=0 K (energi EF) untuk dapat meninggalkan permukaan

batas logam.

3.2.1 Sumbangan Elektron Bebas pada Harga CV Rapat elektron pada suhu T=0 K

2/3

2

)0(2

23

1

0 0

2/12/3

2

2

22

1)()(0

)( ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=∫

∞∫ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=∫

∞== FEomFoE

dEEomdEEgEfdEEnn

ππ(3.30)



81

dan rapat energi pada suhu T=0 K

)0(2/3

2

2

25

1

0 0

2/12/3

2

2

22

1)()(0

2/5Fo EomFoE

dEEomEdEEgEEfEdnU ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=∫

∞∫ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=∫

∞==

ππ(3.31)

Bila dinyatakan dalam rapat elektron (3.30) di atas, maka

)0(53

Fo nEU = (3.32)

Sedangkan rapat energi elektron pada suhu T>0 K

( )

( )∫

∫ ∫∞

−

∞ ∞

−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+==

okTEE

o

okTEE

dEeEm

dEEm

eEdEEgEEfU

F

F

/

2/32/3

22

0 0

2/12/3

22/

12

21

22

11

1)()(

π

π (3.32)

Untuk menyelesaikan integral dalam (3.32) digunakan bentuk integral

∫∞

−+=

oyy

j

oj dyeyyF

o )(1)(

yang mempunyai bentuk asymtotik untuk yo besar dan berharga positip

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

+≅

+

...6

)1(11

)( 2

21

o

jo

oj yjj

jy

yF π (3.33)

Diketahui bahwa ungkapan energi Fermi sebagai fungsi suhu adalah

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

)0(121)0( 2

2

FFF E

kTEE π (3.34)

Karena bentuk )]0(/)[( 22FEkTπ sangat kecil dibandingkan dengan satu, maka EF

selalu dapat diganti dengan EF(0). Dengan memakai bentuk (3.33), (3.34) dan deret

binomial (1+x)p, serta memperhatikan ungkapan (3.31) dan (3.30), maka rapat energi

(3.32) di atas dapat dihitung dan hasilnya adalah

F

o ETknUU

4

222π+≅ (3.35)

sehingga kapasitas panas elektron bebas



82

( )F

elV ETknTUC

2/

22π=∂∂= (3.36)

Apabila kapasitas panas elektron bebas model klasik ( )'elVC (persamaan (3.13)),

maka ungkapan (3.36) untuk satu mol zat menjadi

'2

)(3

)( elVF

elV CEkTC π

= (3.37)

Tampak bahwa sumbangan elektron bebas pada harga CV untuk kristal diperkecil

dengan faktor [π2kT/3EF] dari harga klasiknya. Untuk harga EF=5 eV dan T=300 K,

maka hal ini sesuai dengan hasil pengukuran bahwa faktor pengecil tersebut kira-kira

berorde 10-2.

Dapatlah disimpulkan bahwa sumbangan elektron bebas pada harga CV suatu

logam sangatlah kecil, terutama pada suhu yang sangat tinggi. Tetapi sumbangan

tersebut akan dominan pada suhu yang cukup rendah.

Pada suhu jauh di bawah suhu Debye θD dan suhu Fermi TF, kapasitas panas

suatu logam dapat ditulis sebagai jumlah sumbangan elektron bebas dan fonon, yakni

CV = γ T + A T3 (3.38)

dimana γ dan A merupakan konstanta karakteristik bahan. Secara eksperimen dapat

dibuat grafik CV/T terhadap T2 sehingga γ dan A bisa ditentukan.

3.2.2 Paramagnetik Pauli Apabila terdapat suatu medan magnet luar H, maka spin elektron bebas akan

menyesuaikan diri terhadap H. Energi total elektron bebas karena pengaruh medan

Etot = Ekin ± μB μo H (3.39)

Tanda positip untuk spin antiparalel dan negatip untuk spin paralel terhadap medan.

Pengaruh medan terhadap rapat keadaan g(E) digambarkan di bawah ini. Rapat

keadaan g(E) dibagi menjadi dua bagian, yaitu spin ke atas dan ke bawah. Tanpa

medan magnet luar H, keduanya simetris terhadap sumbu E.

Bila terdapat medan magnet luar H, maka secara total lebih banyak elektron

yang antiparalel terhadap H. Magnetisasi yang terjadi adalah



83

Gambar 3.1 Variasi tingkat energi karena aplikasi medan magnet luar H

dEHEgHEgEfdnM oBoBBB ∫∫∞∞

−−+==0

21

21

0

)()()( μμμμμμ (3.40)

Bila diambil kasus untuk T=0 K, maka diperoleh

HE

nM

Fo

Bo

232μμ

= (3.41)

Perhitungan di atas menggunakan relasi g(E±μoμBH)=g(E)±μoμBH(dg/dE)

berdasarkan ekspansi Taylor; dan g(EF)=3n/2 EF yang diperoleh dengan

menggabungkan persamaan (3.26) dan (3.30). Dengan demikian suseptibilitas

magnetiknya

Fo

Bo

En

232μμ

χ = (3.42)

Terlihat bahwa suseptibilitas di atas tidak bergantung secara kuat terhadap suhu.

Dengan harga EFo=2 eV didapatkan χ=5.10-6 yang sesuai dengan hasil eksperimen.

Meskipun perhitungan di atas diambil pada suhu nol mutlak, tetapi hasilnya valid

dalam rentang suhu yang cukup besar.

3.2.3 Konduktivitas Listrik dalam Logam Elektron yang mempunyai mobilitas besar untuk pindah ke keadaan elektron

yang lain adalah elektron yang berenergi E sedemikian sehingga f(E)<1. Hal ini

terjadi di daerah E∼EF. Elektron yang demikian akan mengalir bila dikenai medan

listrik. Hubungan rapat arus J dan medan listrik ε dinyatakan oleh hukum Ohm

μBμoH Hg(E)

Ekin

g(E)

Ekin+mag



84

εσ=J (3.43)

dimana σ adalah konduktivitas listrik. Bila rapat elektron n dan kecepatan hanyut

elektron vd, maka rapat arus dapat juga diungkapkan dalam bentuk

J = n e vd

Dalam kesetimbangan termal, distribusi elektron berada dalam keadaan

mapan (steady state) )(vno , yang tidak bergantung waktu. Dalam ruang kecepatan,

distribusi )(vno mempunyai simetri bola, dan dinamakan bola Fermi (dengan radius

laju Fermi vF), serta permukaannya disebut permukaan Fermi. Kecepatan elektron

bersifat acak, dan berkaitan dengan energi melalui ungkapan

E = ½ m v2

direpresentasikan oleh semua titik dalam bola. Arus total nol karena setiap elektron

yang berkecepatan v selalu berpasangan dengan yang berkecepatan –v. Kecepatan

elektron sangat besar di permukaan Fermi. Permukaan Fermi tidak begitu dipengaruhi

oleh suhu. Bila suhu naik, hanya sedikit elektron yang melintasinya.

Perlu diketahui bahwa pengukuran eksperimen menunjukkan bahwa

permukaan Fermi berbentuk bola terdistorsi, sebagai akibat dilibatkannya interaksi

elektron dan kisi. Hal ini akan dijelaskan dalam bab selanjutnya.

Bila terdapat medan listrik, misalnya, εX searah sumbu-X, maka distribusi

elektron berubah menjadi )(vn . Perubahan ini mempunyai komponen posisi dan

waktu. Dalam hal ini bola Fermi bergeser ke arah (-X), seperti ditunjukkan oleh

Gambar 3.2 berikut.



85

Gambar 3.2 a. Bola Fermi saat setimbang b. Pergeseran bola Fermi saat dikenakan medan

Diambil asumsi bahwa kecepatan pergeseran titik pusat oleh kehadiran medan luar ini

sangat kecil bila dibandingkan dengan vrms.

Bila ε homogen (besar dan arahnya), maka perubahan distribusi elektron

hanya dipengaruhi oleh komponen waktu. Proses yang terjadi adalah adanya

perubahan distribusi elektron karena pengaruh medan luar ε dan adanya proses

hamburan yang ingin memulihkannya ke keadaan semula. Penggabungan kedua

proses ini menghasilkan persamaan kontinuitas

0)()(

)()(=

−+∇•+

∂∂

τε vnvn

vnme

tvn o

Vo

(3.44)

dengan τ adalah waktu relaksasi. Ungkapan ini sering disebut persamaan transport

Boltzmann. Dalam keadaan mapan ( 0/)( =∂∂ tvn ) persamaan (3.44) menjadi

)()()( vnm

evnvn Vo

o ∇•−= ετ (3.45)

Dalam kasus di atas diambil iXˆεε = sehingga persamaan (3.45) menjadi

Xo

Xo v

vnmevnvn

∂∂

−=)()()( ετ (3.46)

Rapat arus listrik yang terjadi

zyXXo

XoX

zyXXX

dvdvdvv

vnmevnev

dvdvdvvnevJ

∫ ∫ ∫

∫∞

∞−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−=

=

)()(

)(

ετ (3.47)

Integral suku pertama persamaan (3.47) menghasilkan nol karena kecepatan rata-rata

0=Xv dalam )(vno . Dengan demikian rapat arus (3.47) menjadi

zyXX

Xo

XX dvdvdv

vvnv

meJ ∫ ∫ ∫

∞

∞− ∂∂

−=)(2ε (3.48)

Mengingat bahwa

a. τ= /v, dimana adalah lintas bebas rata-rata antara dua tumbukan,



86

b. 2222ZYX vvvv ++= , dan

c. gerak elektron secara acak sehingga 2312 vvX =

maka ungkapan rapat arus 3.48) berubah menjadi

dvvvn

vme

J o

o

XX ∫

∞

∂∂

−=0

2 )(3

4 επ (3.49)

Dari rapat elektron (3.29), setelah mengganti variabel E menjadi v , diperoleh

distribusi elektron )(vno tidak lain adalah

)(2)(3

Efh

mvn o

o ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (3.50)

Substitusi persamaan (3.50) dan setelah diadakan perubahan variabel v menjadi E,

maka rapat arus (3.49) menjadi

dEEEfE

hme

J Xo

X ∫∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=0

2 )(3

16ε

π (3.51)

Dengan demikian, mengingat hubungan (3.43) diperoleh konduktivitas listrik

dEEEfE

hme o ∫

∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=0

2 )(3

16πσ (3.52)

Untuk suhu T=0 K, harga (-∂f(E)/∂E) berupa fungsi delta Dirac δ sehingga integral

dalam (3.52)

FE EdEEEfE

F=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∫∞

0

)(

dan dengan menggunakan ungkapan rapat elektron (3.30), maka ungkapan

konduktivitas listrik (3.52) di atas menjadi

o

F

Eo

E

mne

vmne

F

F τσ

22

== (3.53)

dimana τF adalah waktu relaksasi sebuah elektron pada bola Fermi. Ungkapan

konduktivitas listrik di atas, ternyata, bentuknya sama dengan hasil teori Drude yang

lalu.



87

Baik teori Drude maupun model elektron bebas terkuantisasi mengemukakan

bahwa konduktivitas listrik hanya berbanding lurus dengan konsentrasi elektron.

Namun beberapa logam dengan konsentrasi elektron lebih tinggi, justru menunjukkan

nilai konduktivitas lebih rendah. Disamping itu, sebenarnya fakta menunjukkan

nahwa konduktivitas listrik bergantung pada suhu, dan juga arah.

3.3 PERILAKU ELEKTRON DALAM LOGAM

3.3.1 Hukum Matthiessen Konduktivitas listrik logam bergantung pada suhu biasanya dibahas dalam

bentuk perilaku resistivitas ρ terhadap suhu T. diketahui bahwa ρ=σ--1 sehingga

berdasarkan konduktivitas (3.53), maka resistivitas dapat ditulis

τ

ρ 12

*

nem

= (3.54)

Elektron mengalami suatu tumbukan hanya karena ketidaksempurnaan

keteraturan kisi. Ketidaksempurnaan tersebut dapat berupa (a) vibrasi kisi (fonon)

dari ion di sekitar titik setimbang karena eksitasi termalnya, dan (b) semua

ketidaksempurnaan statik, seperti ketidakmurnian atau cacat kristal. Jika mekanisme

keduanya dianggap saling bebas satu sama lain, maka dapatlah diungkapkan

1/τ = 1/τf + 1/τi (3.55)

dimana suku pertama ruas kanan disebabkan oleh fonon dan suku kedua oleh

ketakmurnian. Dengan demikian, substitusi (3.55) ke dalam (3.34) menghasilkan

ungkapan resistivitas

if

if nem

nemTT

ττρρρ 11)()( 2

*

2

*

+=+= (3.56)

Ungkapan ini disebut hukum Matthiessen. Tampak bahwa ρ terdiri dari dua bentuk,

yaitu

a. resistivitas ideal ρf(T) karena hamburan elektron oleh fonon, sehingga bergantung

pada suhu, dan



88

b. resistivitas residual ρi karena hamburan elektron oleh ketakmurnian (yang tidak

bergantung pada suhu).

Pada suhu sangat rendah, hamburan oleh fonon dapat diabaikan karena

amplitudo sangat kecil; dalam hal ini τf→∞ dan ρf=0 sehingga ρ(T)=ρi berharga

konstan dan nilainya sebanding dengan konsentrasi ketidakmurnian. Pada suhu yang

cukup besar, hamburan oleh fonon menjadi dominan sehingga ρ(T)≅ρf(T). Pada suhu

tinggi (termasuk suhu ruang), ρf(T) naik secara linier terhadap T sampai logam

mencapai titik leleh. Tetapi, pada suhu rendah resistivitasnya sebanding dengan T5.

Keadaan di atas sesuai dengan data eksperimen untuk logam Na berikut.

Pada T=0 K, ρ berharga kecil konstan;

sedangkan untuk suhu di atasnya ρ naik

secara perlahan pada awalnya dan

berikutnya secara linier terhadap T.

Pada gambar disamping ρ(290 K) =

2,1.10-8 Ωm.

Gambar 3.3 Resistivitas ρ(T)/ρ(290) terhadap T logam Na untuk suhu rendah

Gejala penyimpangan terhadap hukum Matthiessen disebut efek Kondo.

Misalnya, ρ memiliki harga minimum pada suhu rendah pada sejumlah

ketidakmurnian Fe yang dilarutkan dalam Cu. Sifat anomali ini terjadi karena

hamburan tambahan elektron oleh momen magnet dari pusat ketidakmurnian.

3.3.2 Efek Hall Efek Hall dapat dibahas dengan pendekatan model elektron bebas klasik.

Perhatikanlah Gambar 3.4 berikut. Pada suatu balok logam bekerja dua medan yang

saling tegak lurus, yaitu medan listrik εX dan medan magnet BZ.



89

Arus IX mengalir searah εX. akibat pengaruh medan BZ, lintasan elektron

membelok ke bawah, sehingga terkumpul banyak elektron di bagian bawah logam.

Dalam waktu bersamaan, terjadi muatan positip di bagian atas karena kekurangan

elektron. Dengan demikian terjadilah medan listrik Hall εY. apabila keadaan sudah

stasioner, maka εY konstan dan elektron bergerak dalam arah vX.

Gambar 3.4 Efek Hall

Dalam keadaan setimbang resultan gaya yang bekerja pada elektron (gaya

Coulomb dan Lorentz) sama dengan nol

ZXYZXY BvBeve =→=− εε 0

rapat arus dalam arah εX

JX = - n e vX

sehingga diperoleh harga konstanta Hall

neBJ

RZX

YH

1−==

ε (3.57)

Dengan mengukur εY, JX dan BZ, maka rapat elektron konduksi n dapat ditentukan.

Efek Hall dapat dipergunakan untuk menentukan

a. macam rapat pembawa muatan (positip atau negatip), dan

b. rapat elektron konduksi yang berperan dalam proses penghantaran muatan.

Ungkapan koefisien Hall di atas menunjukkan nahwa RH berharga negatip dan

hanya bergantung pada rapat elektron. Hasil percobaan menunjukkan bahwa pada

suhu kamar logam-logam Li, Na, Cu, Ag, dan Au berturut-turut memiliki konstanta

Hall –1,7.10-10, –2,5.10-10, –0,55.10-10, –0,84.10-10, dan –0,72.10-10 volt.m3/A.

εx

Bz

- - - - - - -

+ + + + + + +

Y

Z

X

εy

vx=kec elektron



90

Tetapi fakta lain menunjukkan bahwa terdapat beberapa logam mempunyai

RH positip, dan bahwa RH, umumnya, bergantung pada suhu, waktu relaksasi dan

besar medan magnet. Misalnya, logam Zn, dan Cd, masing-masing memiliki

konstanta Hall sebesar +0,3.10-10, dan +0,6.10-10 volt.m3/A. Hal ini menunjukkan

bahwa pembawa muatan dalam keduanya adalah lubang (hole).

Mobilitas elektron μ didefinisikan sebagai besarnya kecepatan rambat

elektron persatuan medan listrik μ=v/ε. Dari rapat arus J=nev=neμε sehingga dapat

dibentuk hubungan

μμσ ==−ne

neRH1 (3.58)

Jadi secara eksperimen dengan mengukur konduktivitas listrik σ dan koefisien Hall

RH, maka mobilitas elektron μ dapat ditentukan.

3.3.3 Resonansi Siklotron Perhatikanlah Gambar 3.5 berikut.

Gambar 3.5 Gerakan siklotron

Medan magnet menyebabkan elektron bergerak melingkar berlawanan arah jarum

jam dalam bidang normal medan. Frekuensi gerak siklotron yang terjadi

*meB

C =ω (3.59)

sinyal elektromagnet

B



91

Jika sinyal elektromagnet diarahkan tegak lurus B, maka elektron menyerap

energinya. Kecepatan absorbsi terbesar terjadi saat frekuensi sinyal benar-benar sama

dengan frekuensi siklotron

ω = ωC (3.60)

Masing-masing elektron bergerak sempurna sepanjang lingkaran sehingga absorbsi

terjadi secara kontinu sepanjang lintasan. Kondisi ini disebut resonansi siklotron. Jika

ω ≠ ωC, maka absorbsi sinyal hanya terjadi pada sebagian gerak elektron. Agar

gerakan elektron tetap melingkar, maka elektron harus mengembalikan energi yang

telah diserapnya. Bentuk kurva absorbsi ditunjukkan dalam Gambar 3.6 berikut.

Gambar 3.6 Sketsa koefisien absorbsi terhadap frekunsi

Dari kurva absorbsi dapat diperoleh frekuensi siklotron ωC. Dengan demikian massa

elektron m* dapat diukur.

3.3.4 Pancaran Thermionik Model elektron bebas terkuantisasi memiliki skema tingkat energi berikut.

Gambar 3.7 Pancaran thermionik

ωcω

α

eφ

EF

elektron



92

Pada T=0 K semua tingkatan terisi sampai tingkat energi Fermi EF. Di atas tingkat EF

terdapat tingkat energi penghalang eφ sampai permukaan, yang dikenal sebagai

fungsi kerja logam. Dengan demikian untuk dapat meninggalkan logam, misalkan

dalam arah-X, elektron harus memiliki energi

φeEmp

Fo

X +≥2

2

(3.61)

Dalam statistik Fermi-Dirac, rapat elektron yang berkecepatan antara

(vX,vY,vZ) sampai (vX+dvX, vY+dvY, vZ+dvZ) adalah sama dengan ungkapan distribusi

(3.50), yaitu

( )ZYX

ZYXooZYXZYX dvdvdv

kTvvvm

eksph

mdvdvdvvvvn

12223

212),,(

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= (3.62)

Pancaran thermionik hanya mungkin terjadi pada energi yang sangat tinggi, sehingga

angka satu dalam penyebut persamaan (3.62) di atas dapat diabaikan. Oleh karena itu

distribusi rapat elektron (3.62) menjadi

( )ZYX

vvvkTm

kTEoZYXZYX dvdvdvee

hm

dvdvdvvvvn ZYXo

F

222/

3

2),,(++−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (3.63)

Rapat elektron dalam arah-X yang berkecepatan antara vX dan (vX+dvX)

X

vkT

mkTEo

XZYZYXXX

dveeh

kTm

dvdvdvvvvndvvn

Xo

F

2

2/3

24

),,()(

−

∞

∞−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫ ∫

π (3.64)

Untuk dapat meninggalkan batas permukaan, berdasarkan ungkapan (3.61) elektron

harus memiliki kecepatan awal minimal

o

FX m

eEv

φ22 += (3.65)

Disamping itu, pada permukaan batas kemingkinan terjadi proses pemantulan

kembali sebanyak r. Oleh karena itu rapat arus total dalam arah-X



93

kTe

X

vkT

m

vX

kTEoX

eTrA

dveeverh

kTmJ X

o

X

F

/2

2/3

2

)1(

)1(4 2

φ

π

−

−∞

−=

−= ∫ (3.66)

dengan A=(4πmok2e)/(h3)=1,2.106 Amp/m2 K2. Ungkapan ini dikenal sebagai

persamaan Richardson-Dushman untuk pancaran thermionik. Jika persamaan di atas

ditulis dalam bentuk logaritma-natural

ln (JX/T2) = ln A + ln (1-r) - eφ/kT

maka dengan membuat grafik ln(JX/T2) terhadap 1/T akan diperoleh harga φ dan (1-r).

Harga fungsi kerja beberapa logam yang diperoleh dari pengukuran emisi termionik

adalah 4,5; 4,2; 4,6; 4,8; 1,8; dan 5,3 eV, masing-masing untuk W, Ta, Ni, Ag, Cs

dan Pt.

Secara eksperimental pancaran thermionik ini dilakukan dalam tabung hampa,

dimana terdapat anoda yang mengumpulkan elektron yang dipancarkan oleh katoda.

3.4 KEBERATAN TERHADAP MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI

Gejala fisis yang diprediksi oleh model elektron bebas, ternyata, ada yang

menyimpang dari data pengamatan. Kelemahan ini telah dikemukakan secara singkat

dalam masing-masing bahasannya, yaitu antara lain sebagai berikut.

a. Konduktivitas listrik yang hanya bergantung pada konsentrasi elektron. Padahal

fakta menunjukkan bahwa logam divalent (Be, Cd, Zn, dan lain-lain), dan bahkan

logam trivalent (Al, dan In) memiliki konduktivitas lebih rendah daripada logam

monovalen (Cu, Ag, dan Au) meskipun konsentrasi elektron lebih banyak.

b. Koefisien Hall selalu berharga negatip. Padahal beberapa logam menunjukkan

konstanta Hall positip, seperti Be, Zn, dan Cd.

c. Permukaan Fermi mempunyai simetri bola. Padahal pengukuran kadang-kadang

menunjukkan permukaan Fermi berbentuk non-simetri bola.

Model elektron bebas mengandaikan elektron berada dalam kotak potensial

sederhana V(x) yang sama untuk seluruh logam (biasanya V(x)=0), dan hanya pada



94

permukaan batas ada potensial penghalang φ yang menghindarkan semua elektron

bebas untuk meninggalkan permukaan logam. Dengan pengandaian ini, maka

interaksi antara elektron dan ion dianggap sebagai benturan mekanis elastik. Tidak

ada interaksi listrik antara ion dan elektron, karena interaksi ini telah termaksud

dalam potensial V(x)=tetap di atas.

Model pengandaian benturan elastik di atas, memberikan suatu nilai (lintas

bebas rata-rata) yang panjang dibandingkan dengan jarak rata-rata antarion dalam

kristal logam. Hal inilah yang, barangkali, menyebabkan bahasan “aliran” elektron

dalam logam kurang bisa memprediksi kenyataan.

RINGKASAN 01. Logam mengandung elektron bebas (konduksi), dengan konsentrasi besar, yang

dapat bergerak dalam keseluruhan volume kristal. Jika ρm dan ZV, masing-masing

adalah kerapatan bahan dan valensi atom, maka konsentrasi elektron bebas

tersebut adalah MN

Zn AmVρ

=

02. Teori Drude (1900) tentang elektron dalam logam adalah bahwa dalam logam

terdapat elektron bebas, yang membentuk sistem gas elektron klasik, yang

bergerak acak dalam kristal dengan kecepatan random vo karena energi termal dan

berubah arah geraknya setelah bertumbukan dengan ion logam. Karena massanya

yang jauh lebih besar, maka ion logam tidak terpengaruh dalam tumbukan ini.

Teori Drude menghasilkan ungkapan konduktivitas listrik omne τσ

2

= dan termal

omTnkK τ2

23

= . Hal lain yang didapat adalah bahwa konsentrasi elektron



95

berbanding terbalik dengan akar suhu mutlak n ∼ T-1/2. Ungkapan terakhir ini tidak

sesuai dengan fakta, dan menyebabkan teori Drude tidak memadai.

03. Model elektron bebasa klasik tentang logam mengambil andaian bahwa elektron

bebas diperlakukan sebagai gas, yang masing-masing bergerak secara acak dengan

kecepatan termal, pengaruh medan potensial ion diabaikan, karena energi kinetik

elektron bebas sangat besar, dan lektron hanya bergerak dalam kristal karena

adanya penghalang potensial di permukaan batas. Teori ini gagal menerangkan

kapasitas panas sumbangan elektron bebas pada suhu tinggi dan Suseptibilitas

magnetik.

04. Model elektron bebas yang terkuantisasi menggunakan prinsip kuantisasi energi

elektron dan prinsip eksklusi Pauli, pengaruh medan ion positip dapat diabaikan

karena energi kinetik elektron bebas sangat besar dan pada permukaan batas antara

logam dan vakum yang mengelilinginya terdapat suatu potensial penghalang φ

yang harus diloncati oleh elektron bebas paling energetik pada suhu T=0 K (energi

EF) untuk dapat meninggalkan permukaan batas logam.

05. Menurut model elektron bebas yang terkuantisasi, ungkapan kapasitas panas

elektron bebas adalah ( )F

elV ETknC

2

22π= yang sesuai dengan hasil eksperimen.

Sedangkan untuk suseptibilitas magnetik diperoleh Fo

Bo

En

232μμ

χ = yang cocok juga

dengan hasil eksperimen. Model ini juga menghasilkan ungkapan konduktivitas

listrik yang sama dengan yang diperoleh teori Drude.

06. Hukum Matthiessen membahas resistivitas elektron dalam logam dikarenakan

dua hal, yaitu hamburan elektron oleh fonon (bergantung pada suhu) dan oleh

ketakmurnian (tidak bergantung pada suhu). Pada suhu sangat rendah, hamburan

oleh fonon dapat diabaikan. Sedangkan pada suhu yang cukup besar, hamburan

oleh fonon menjadi dominan.

07. Efek Hall dapat dipergunakan untuk menentukan macam rapat pembawa muatan

(positip atau negatip), dan rapat elektron konduksi yang berperan dalam proses



96

penghantaran muatan. Eksperimen efek Hall menggunakan sampel yang dialirkan

arus dan medan magnet secara tegak lurus. Karena adanya gaya Coulomb dan

Lorentz, maka pada keadaan kesetimbangan terjadi beda potensial Hall.

08. Resonansi siklotron digunakan untuk mencari massa efektif elektron. Pada sampel

dikenakan sinyal elektromagnet dan medan magnet B, yang saling tegak lurus.

Elektron menyerap energi gelombang elektromagnet. Kecepatan absorbsi terbesar

terjadi saat frekuensi sinyal benar-benar sama dengan frekuensi siklotron.

09. Pancaran thermionik adalah gejala keluarnya arus elektron dari bahan karena

suhu. Kegunaan pancaran thermionik adalah untuk menentukan fungsi kerja logam

dan koefisien pantul elektron pada permukaan bahan.

10.Gejala fisis yang diprediksi oleh model elektron bebas, yang menyimpang dari

data pengamatan, antara lain konduktivitas listrik yang hanya bergantung pada

konsentrasi elektron, koefisien Hall selalu berharga negatip, dan permukaan Fermi

mempunyai simetri bola. Penyimpangan ini akan diperbaiki oleh bahasan teori Pita

Energi, bab selanjutnya, yaitu manakala potensial inti berpengaruh terhadap

perilaku elektron konduksi.

LATIHAN SOAL BAB III 01. Jelaskan perbedaan antara elektron terlokalisasi dan terdelokalisasi dalam

padatan!

02. Tembaga memiliki kerapatan massa ρm=8,95 gr/cm3 dan resistivitas listrik

ρ=1,55.10-8 Ωm pada suhu kamar. Jika diasumsikan massa efektif m*=mo, maka

hitunglah

a. konsentrasi elektron konduksi n!

b. waktu bebas rata-rata τ!

c. energi Fermi EF!

d. suhu Fermi TF!

e. kecepatan Fermi vF!



97

f. jalan bebas rata-rata pada tingkat Fermi F!

g. persentase elektron yang mengalami eksitasi di atas tingkat Fermi pada suhu

kamar!

03. Natrium memiliki koefisien ekspansi volume 15.10-5/K. Hitunglah persentase

perubahan energi Fermi EF jika suhu dinaikkan dari 0 K sampai 300 K!

04. Tembaga mempunyai suhu Einstein θE=240 K. Dengan menggunakan harga

energi Fermi soal 02), hitunglah perbandingan kapasitas panas elektron terhadap

kisi pada suhu T=0,3 K, T=4 K, T=20 K, T=77 K dan T=300 K!

05. Anggaplah bahwa energi Fermi EF=5 eV dan tidak bergantung suhu. Berapakah

harga energi untuk fungsi Fermi-Dirac f(E)=0,5 , f(E)=0,7 , f(E)=0,9 dan

f(E)=0,95 pada suhu kamar!

06.a. Buktikan bahwa kapasitas panas kisi dan elektronik berharga sama pada suhu

F

DC T

T 2

3

245πθ

= !

b. Hitunglah suhu soal a) untuk logam Ag yang mempunyai suhu Debye θD=225 K

dan suhu Fermi TF=6,4.104 K!

c. Tunjukkan bahwa pada suhu T<TC kapasitas panas elektronik lebih besar

daripada kapasitas panas kisi; dan sebaliknya pada T>TC!

07. Jika padatan natrium mempunyai energi Fermi EF=3,12 eV, maka berapakah

suseptibilitas paramagnet Paulinya?

08. Tembaga mempunyai konstanta Hall RH=-0,55.10-10 Vm3/A. Hitunglah

konsentrasi elektronnya!

09. Dalam suatu sampel tembaga didapati kecepatan hanyut elektron 2,16 m/s dalam

medan listrik 500 V/m. Hitunglah

a. mobilitas elektron!

b. waktu relaksasi (anggaplah m*=mo)!



98

10. Resistivitas listrik suatu sampel tembaga adalah 1,77.10-8 Ωm. Tembaga

berstruktur FCC dengan sisi kubus 3,61 Å dan masing-masing atom

menyumbangkan satu elektron bebas. Tentukanlah

a. waktu relaksasi!

b. kecepatan rata-rata elektron dalam medan 100 V/m!

11. Logam emas mempunyai kerapatan massa 19,3.103 kg/m3. Jika masing-masing

atomnya menyumbangkan satu elektron untuk menghasilkan arus, maka hitunglah

koefisien Hall dalam logam tersebut!

12. Pengamatan resonansi siklotron dalam tembaga terjadi pada frekuensi 24 GHz.

Jika untuk tembaga m*=mo, maka hitunglah medan magnet yang digunakan!

13. Sesium mempunyai fungsi kerja 1,8 eV. Hitunglah rapat arus emisi thermionik

pada suhu 500 K, 1000 K, 1500 K dan 2000 K! (anggaplah tidak ada elektron yang

terpantul di permukaan)

14.a. Buktikan bahwa emisi thermionik mencapai maksimum bila suhu T=eφ/2k!

b. Berapakah suhu soal a) untuk logam Cs dengan fungsi kerja 1,8 eV?

B A B IV

ELEKTRON DALAM LOGAM II

(TEORI PITA ENERGI)

Bahasan gerakan elektron dalam logam dengan menggunakan model elektron

bebas, seperti bab sebelumnya, adalah terlalu sederhana karena potensial kristal tidak

diperhitungkan. Model elektron bebas tidak bisa menjelaskan beberapa gejala fisis,

seperti membedakan antara logam, semilogam, semikonduktor dan isolator; koefisien

Hall berharaga positip; hubungan elektron konduksi dalam logam dengan elektron

valensi atom bebas; dan berbagai gejala transport. Oleh karena itu, bab ini menelaah

pengaruh potensial kristal terhadap elektron dalam padatan.

Bagian awal bab ini menyajikan teori pita energi secara agak rinci. Perilaku

elektron dalam pengaruh potensial periodik kristal memenuhi teorema Bloch.

Bahasan teori ini menunjukkan bahwa spektrum energi merupakan pita kontinu. Hal

ini berbeda dengan spektrum energi atom yang bersifat diskrit. Di antara pita energi

terdapat celah energi yang merupakan daerah terlarang bagi perilaku gelombang

elektron. Disamping itu, teori ini mampu menunjukkan perbedaan antara logam dan

isolator.

Elektron dalam kristal selalu dalam keadaan bergerak. Berdasarkan ungkapan

energi, maka dapat dibahas kecepatan dan massa efektif elektron. Juga, dibahas

pengaruh medan listrik pada gerakan elektron sehingga menghasilkan rumusan

konduktivitas listrik elektron yang lebih umum. Apabila pengaruh medan potensial

kristal terhadap elektron diabaikan, maka rumusan konduktivitas umum ini dapat

direduksi menjadi konduktivitas seperti bab yang lalu.

Akhirnya, bab ini menyajikan perilaku elektron dalam medan magnet.

Bahasan ini mencakup efek Hall dan resonansi siklotron.

4 TEORI PITA ENERGI


99

4.1 TEORI PITA ENERGI UNTUK ZAT PADAT Apabila deretan ion tersusun teratur dan membentuk kisi kristal, maka energi

potensial kristalnya berubah secara periodik sesuai dengan periodisitas kisi tersebut.

“Dilihat” oleh elektron, potensial kristal tersebut seperti disajikan pada Gambar 4.1

berikut.

Gambar 4.1 Potensial sebagai fungsi jarak sepanjang garis inti atom

Elektron yang dapat bergerak bebas di antara ion adalah elektron yang berada di atas

potensial penghalang.

Teori pita energi zat padat mengajukan model tentang elektron dalam kristal

dengan asumsi sebagai berikut.

a. Terdapat energi potensial )(rV yang tidak sama dengan nol di dalam kristal

dengan keberkalaan kisi kristal.

b. Fungsi gelombang )(rψ dibuat berdasarkan kisi sempurna dan dimana dianggap

bahwa kisi tidak bervibrasi secara termal.

c. Teori pita energi dikembangkan dari bahasan perilaku elektron tunggal di bawah

pengaruh suatu potensial periodik )(rV yang merepresentasikan semua interaksi,

baik dengan ion kristal maupun dengan sesama elektron lain.

d. Bahasan elektron tunggal dapat menggunakan persamaan Schrodinger untuk satu

elektron

( ) ( ) ( ) ( )rErrVrmo

ψψψ =+∇− 22

2 (4.1)

dengan ketentuan bahwa pengisian keadaan elektron yang diperoleh menganut

distribusi Fermi-Dirac.

4 TEORI PITA ENERGI


100

4.1.1 Teorema Bloch Menurut Bloch, persamaan Schrodinger untuk suatu potensial dengan

periodisitas translasi kisi

( ) ( )rVRrV =+ (4.2)

dimana R adalah vektor kisi, mempunyai solusi berbentuk

rkikk erur •= )()(ψ (4.3)

dengan )(ruk merupakan suatu fungsi yang juga mempunyai simetri translasi kisi

( ) ( )ruRru kk =+ (4.4)

Fungsi Bloch merupakan gelombang bidang berjalan yang dimodulasi oleh medan

potensial periodic, dan ungkapan teorema Bloch, yaitu

“Fungsi eigen dari persamaan gelombang untuk suatu potensial periodik

adalah hasilkali antara suatu gelombang bidang berjalan eksp )( rki • dan

suatu fungsi modulasi )(ruk dengan periodisitas kisi kristal”

Fungsi Bloch )(rψ merupakan orbital kristal, yakni bersifat delokalisasi di seluruh

volume kristal. Kemampuan elektron bergerak dalam keseluruhan kristal ditandai

oleh adanya bentuk gelombang bidang berjalan eksp )( rki • dalam fungsi Bloch

sehingga seperti partikel bebas. Sedangkan gerakan elektron di sekitar inti

dideskripsikan oleh fungsi periodic. Distribusi probabilitas elektron 2)(rψ bersifat

periodik dalam kristal.

Misalnya, kisi kristal satu dimensi dalam arah-X dengan perioda a, maka

dapatlah dikemukakan beberapa hal sebagai berikut.

a. Mengingat V(x+a)=V(x), maka disamping ψ(x), juga ψ(x+a) merupakan solusi

persamaan Schrodinger dengan energi E. Apabila tidak ada degenerasi, maka

terdapat hubungan

ψ(x+a) = eika ψ(x) dimana identikkisititikN

nnNa

k

=

== ,...3,2,1,0,2π (4.5)

4 TEORI PITA ENERGI


101

b. Mengingat V(x) riil, maka V*(x)=V(x). Karenanya setiap E senantiasa ada dua

fungsi gelombang yang memenuhi persamaan Schrodinger, yaitu ψ*(x) dan ψ(x);

dan E(k)=E(-k).

c. Mengingat hubungan antara vektor kisi resiprok G dan periodisitas kisi a adalah

G a = m 2π ; m = 0, ±1, ±2, …

maka suatu keadaan elektron dengan vektor gelombang G memenuhi

ψG(x+a) = ψG(x) (4.6)

Sedangkan suatu keadaan elektron dengan vektor gelombang kGk +='

memenuhi

)()( '' xeax kika

k ψψ =+ (4.7)

Hal ini berarti )(' xkψ memenuhi teorema Bloch seolah-olah dengan vektor

gelombang k. Dengan demikian suatu keadaan elektron tertentu mempunyai

vektor gelombang tidak unik. Mengingat hubungan

kma

kGk +=+=π2'

maka kita bataskan saja daerah ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≤≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

ak

aππ . Ternyata semua harga k yang

lain dapat dikembalikan ke dalam daerah tersebut, sehingga daerah ini disebur

Zona Brillouin Pertama.

4.1.2 Model Kronig-Penney Model Kronig-Penney menelaah gerak elektron dalam suatu potensial persegi

periodik, seperti Gambar 4.2 berikut.

Gambar 4.2 Potensial persegi periodik yang dikenalkan Kronig-Penney

x -b 0 a a+b 2a+b 2a+2b

Vo

ion V(x)

4 TEORI PITA ENERGI


102

Terlihat bahwa perioda potensial sebesar (a+b) dan

⎩⎨⎧

<<−<<

=0,

0,0

0 xbuntukVaxuntuk

V

Oleh karena itu persamaan Schrodinger yang sesuai

axuntukxExdxd

m<<=− 0,)()(

2 2

2

0

2

ψψ (4.8)

0,)()()(2 2

2

0

2

<<−=+− xbuntukxExVxdxd

m o ψψψ (4.9)

Jika kita bataskan E<Vo dan dua besaran riil

22 2 Emo=α (4.10)

22 )(2 EVm oo −=β (4.11)

maka solusi persamaan di atas adalah

untuk 0<x<a, xixi BeAe ααψ −+= (4.12)

untuk –b<x<0, xx DeCe ββψ −+= (4.13)

Solusi sempurna, yakni yang memenuhi fungsi Bloch (4.3), didapatkan dengan

merelasikan solusi untuk a<x<(a+b) dan –b<x<0 dengan teorema Bloch

ψ(a<x<(a+b)) = ψ(-b<x<0) eik(a+b) (4.14)

Tetapan A, B, C dan D dipilih sedemikian sehingga ψ dan dψ/dt kontinu di

x=0 dan x=a. Syarat batas di x=0 menghasilkan

A + B = C + D (4.15)

i α (A – B) = β (C – D) (4.16)

dan syarat batas di x=a menghasilkan

A eiαa + B e-iαa = (C e-βb + D eβb) eik(a+b) (4.17)

iα (A eiαa - B e-iαa = β (C e-βb - D eβb) eik(a+b) (4.18)

Perangkat empat persamaan (4.15) sampai (4.18) di atas memberikan solusi hanya

jika determinan dari koefisien A, B, C dan D sama dengan nol. Hal ini menghasilkan

4 TEORI PITA ENERGI


103

( ) ( ) ( ) ( ) ( )bakabab +=+− coscoscoshsinsinh

2

22

αβαβαβαβ (4.19a)

Hasil di atas menjadi lebih sederhana apabila potensial periodik merupakan fungsi

delta Dirac, yakni Vo→∞ dan b→0, tetapi Vob→berhingga. Dalam kasus ini β>>α

dan βb<<1 sehingga persamaan (4.19a) di atas menjadi

( ) ( ) kaaabVm oo coscossin2 =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ αα

α (4.19b)

Apabila dibataskan ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 2

bVmP oo , maka persamaan (4.19b) menjadi

( ) ( ) kaaaa

P coscossin =+ ααα

(4.19c)

Secara grafik, untuk P=3π/2 persamaan ini dapat digambarkan dalam sketsa berikut.

Gambar 4.3 Sketsa fungsi ( ) ( ) kaaaa


untuk P=3π/2

= daerah αa yang meberikan solusi persamaan Schrodinger

Tampak bahwa nilai energi E yang diperkenankan, dalam ungkapan

aEm

a o2/1

2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=α , untuk fungsi (4.19c) di atas, terletak antara ±1. Sedangkan

daerah lain, yang tidak mengandung solusi, merupakan harga energi yang terlarang.

4 TEORI PITA ENERGI


104

Secara singkat dari gambar di atas dapatlah dikemukakan hal-hal berikut.

a. Spektrum energi elektron terdiri dari beberapa pita energi (daerah energi) yang

diperkenankan dan beberapa yang terlarang.

b. Lebar pita energi yang diperkenankan bertambah lebar dengan meningkatnya

harga αa, atau dengan energi elektron yang meningkat.

c. Lebar pita energi tertentu yang diperkenankan mengecil apabila P bertambah,

artinya mengecil bila “energi ikatan” makin naik.

Apabila P→∞, maka persamaan (4.19c) mempunyai solusi hanya bila

Sin αa = 0

αa = ± n π, dengan n = ±1, ±2, ±3, …

Oleh karena itu berdasarkan persamaan (4.10) diperoleh harga energi

22

2222

22n

ammE

oo

πα== (4.20)

Ungkapan (4.20) ini sama dengan energi elektron dalam kotak potensial. Energi

elektron bersifat diskrit.

Apabila P→0, maka persamaan (4.19c) haruslah memenuhi

Cos αa = cos (ka)

α = k

sehingga berdasarkan persamaan (4.10) diperoleh harga energi

om

kE2

22

= (4.21)

Ungkapan (4.21) ini sama dengan energi elektron bebas. Energi elektron bersifat

kontinu.

d. Ketidaksinambungan dalam lengkung E=E(k) terjadi pada harga

cos (ka) = ±1 atau k= nπ/a, dengan n = ±1, ±2, ±3, …

4 TEORI PITA ENERGI


105

Berikut disajikan gambar sketsa energi E untuk berbagai harga P.

a. P = 0 (elektron bebas)

b. 0<P<∞ (elektron dalam potensial berkala)

c. P=∞ (elektron terikat)

Gambar 4.4 Sketsa energi E terhadap berbagai harga P

Dapatlah disimpulkan bahwa pola harga energi elektron untuk sistem potensial

berkala adalah keadaan antara model elektron bebas dan kotak potensial.

4.1.3 Pita Energi dan Energi Elektron dalam Atom Dalam suatu susunan atom terisolasi, kumpulan atom di dalamnya

mempunyai jarak antaratom yang tidak berhingga besarnya. Energi elektron dalam

0 k

E(k)

0 x

V(x)

Vo

V(x)

x -3π/a -2π/a -π/a 0 π/a 2π/a 3π/a

k

E(k)

E3 E2

E1

∞

x

V(x)

∞ ∞ ∞ ∞

4 TEORI PITA ENERGI


106

setiap atom bersifat diskrit, dan sesungguhnya atom dalam keseluruhannya bukanlah

merupakan suatu sistem fisis. Tingkat energi atom yang diskrit tersebut dinamakan

tingkat 1s, 2s, 2p dan seterusnya. Setiap atom merupakan sistem tersendiri, tanpa

interaksi dengan atom lain. Atom yang terisolasi ini, masing-masing memiliki

banyak keadaan elektron yang sama energinya.

Apabila kemudian jarak antaratom berkurang, maka mulai terjadi interaksi

antaratom dan fungsi gelombang elektron mulai saling bertindihan. Interaksi tersebut

menyebabkan harga energinya berubah. Secara keseluruhan atom tersusun menjadi

satu sistem fisis dan harus mengikuti kaidah yang menyangkut sistem fisis. Misalnya,

prinsip Pauli yang melarang dua elektron atau lebih mempunyai harga energi yang

tepat sama. Oleh karena itu terjadi pelebaran dari harga diskrit energi elektron (atom

terisolasi) menjadi harga pita energi elektron.

Berdasarkan prinsip larangan, tiap tingkat energi tersedia bagi dua elektron

dengan spin berlawanan. Oleh karena itu pita energi suatu zat padat yang terdiri dari

N atom akan tersedia N tingkat energi atau paling banyak boleh berisikan 2N

elektron. Karena N besar sekali, yakni 1023, maka tingkat-tingkat energi tersebut

saling merapat satu sama lain membentuk pita energi. Pita energi terdiri dari

kumpulan tingkat energi yang memiliki jarak antartingkat berdekatan sangat kecil

sehingga distribusinya kontinu. Misalnya, lebar pita energi 5 eV memiliki jarak

antartingkat berdekatan 5.10-23 eV. Jadi pada suatu kristal terdapat banyak pita energi

yang masing-masing sesuai dengan tingkat energi atom penyusun kisi tersebut.

Misalnya, tingkat energi 1s, 2s, dan 2p masing-masing menimbulkan pita 1s, 2s, dan

2p.

Perhatikanlah contoh kristal Lithium dalam gambar berikut. Setiap atom Li

mengandung tiga elektron, yaitu 2 elektron mengisi sel 2s dan 1 elektron dalam sel

2s (tidak penuh). Pita 2s dan 2p masing-masing mempunyai kapasitas 2N dan 6N

elektron. Terlihat bahwa lebar pita bertambah saat konstanta kisi mengecil. Juga,

untuk a<6ao (dimana ao adalah radius Bohr seharga 0,53 Å) pelebaran pita 2s dan 2p

mulai overlap, dan celah antara keduanya melenyap sehingga terbentuk pita tunggal

dengan kapasitas 8N. Tetapi pita tunggal ini hanya berisikan N elektron yang berasal

4 TEORI PITA ENERGI


107

dari pita 2s saja, atau hanya seperdelapan dari kapasitasnya. Karena pita valensinya

hanya terisi sebagian, maka kristal Li termasuk kelompok logam.

Gambar 4.5 Pelebaran tingkat energi 2s dan 2p menjadi pita energi dalam kristal

Pita-pita energi memang berkecenderungan overlap satu sama lain. Selain

pita 2s dan 2p seperti di atas, pita yang berkecenderungan overlap adalah 3s dan 3p

yang berkapasitas 8N; 4s, 3d dan 4p yang berkapasitas 18N; 5s, 4d dan 5p yang

berkapasitas 18N; 6s, 4f, 5d dan 6p yang berkapasitas 32N; serta 7s, 5f, 6d dan7p

yang berkapasitas 32N. Sebagai contoh berikut disajikan unsur wolfram (W).

Dalam sistem periodik unsur W termasuk golongan VIA dan memiliki nomor

atom 74 dengan konfigurasi elektron [Xe]4f145d46s2. Hal ini berarti semua elektron

sudah memiliki spin yang sudah berpasang-pasangan sehingga tidak ada yang

menjadi elektron bebas. Tetapi, faktanya tidak demikian. Wolfram termasuk

konduktor yang baik. Ternyata, antara satu pita energi dengan yang lain

dimungkinkan terjadi tumpang-tindih. Untuk konduktor W tersebut, tumpang tindih

terluar terjadi pada pita energi 6s, 4f, 5d dan 6p yang secara total memerlukan 32

elektron. Sedangkan, di luar sel [Xe], wolfram hanya memiliki 20 elektron. Hal ini

berarti masih terdapat 12 tempat kosong elektron, yang bisa berperan sebagai hole.

Meskipun pada dasarnya bentuk solusi fungsi gelombang menuruti teorema

Bloch, namun dalam memecahkan persamaan Schrodinger, dengan pendekatan

4 TEORI PITA ENERGI


108

tentang model potensial berkala, memberikan berbagai metode, antara lain sebagai

berikut.

a. Metode LCAO (linear combination of atomic orbitals), dimana spektrum energi

elektron dalam zat padat diperoleh dengan mengandaikan adanya sedikit

tumpang-tindih dari potensial atom yang terpisah. Potensial atom yang begitu kuat

menyebabkan elektron hanya bergerak di sekitar atom yang bersangkutan. Model

ini merupakan pendekatan kasar terhadap pita sebelah dalam, yaitu pita 3d logam

transisi.

b. Model elektron hampir bebas, dimana diandaikan bahwa potensial berkala agak

rendah; atau dimana tumpang-tindih dari potensial atom sangat besar. Karena

potensial begitu lemah, maka elektron berperilaku seperti elektron bebas dan

model ini dibahas dengan metode perturbasi. Model ini merupakan pendekatan

kasar terhadap pita valensi logam sederhana, seperti Na, K, Al dan lain-lain.

c. Metode sel (cellular method) yang dikembangkan oleh Wigner-Seitz.

Dalam buku ini hanya akan disajikan metode LCAO saja.

4.1.4 Refleksi Bragg dan Celah Energi Bahasan moda getar kisi kristal linier diatomik yang lalu menunjukkan bahwa

pada batas zona (k=±π/2a) besar kecepatan kelompok vg=0, baik pada cabang akustik

maupun optik, sehingga pada titik ini terjadi gelombang tegak. Kondisi ini

menimbulkan refleksi Bragg.

Gerakan elektron dalam potensial berkala model Kronig-Penney

menunjukkan bahwa celah energi terjadi pada harga k=nπ/a, dimana n=±1, ±2, …

Pada harga batas inipun, fungsi Bloch merupakan gelombang tegak. Gerakan

elektron dalam kisi dapat dianalogikan dengan propagasi gelombang elektromagnet

dalam kristal. Jika k dan 'k , masing-masing adalah merupakan vektor gelombang

asal dan terhambur, dan G adalah vektor kisi resiprok, maka syarat difraksi Bragg

harus memenuhi (1.37), yaitu

kGk hkl +='

4 TEORI PITA ENERGI


109

Karena kk =' , maka syarat Bragg menjadi

02 =•+• GkGG

Untuk kristal monoatomik linier dengan jarak antaratom a, hal ini menjadi

a

Gk π±=±=

2 (4.22)

Pada saat kondisi (4.22) terpenuhi, gelombang yang merambat ke kanan mengalami

refleksi Bragg ke kiri, dan sebaliknya. Oleh karena itu terjadilah gelombang yang

tidak merambat ke kanan maupun ke kiri. Gelombang ini disebut gelombang tegak.

Dalam hal ini ungkapan gelombang tegak dapat berbentuk

axxueexux genap

xa

ixa

i

genapgenapπψ

ππ

cos)(2)()( =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+=−

(4.23)

Rapat muatan listriknya

axxuexe genapgenap

πψ 22cos)(2)( −=−

yang berharga maksimum pada setiap saat x=am, dimana m adalah bilangan bulat;

jadi pada setiap lokasi atom dalam kristal. Disamping itu, gelombang tegak

termaksud di atas dapat pula disusun dari dua fungsi ganjil

axxiueexux ganjil

xa

ixa

i

ganjilganjilπψ

ππ

sin)(2)()( =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=−

(4.24)

Rapat muatan listriknya

axxiuexe ganjilganjil

πψ 22sin)(2)( −=−

yang berharga nol pada setiap lokasi atom dalam kristal linier. Oleh karena itu

elektron dengan harga k=±π/a dapat direpresentasikan sebagai

a. fungsi gelombang yang selama sebagian besar dari waktunya berada di dekat inti

atom (x=ma), atau

b. fungsi gelombang yang selama sebagian besar dari waktunya berada dalam ruang

di antara inti atom (jauh dari inti atom).

4 TEORI PITA ENERGI


110

Dari Gambar 4.1 dan 4.2 terlihat bahwa energi potensial elektron di dekat inti atom

lebih rendah daripada di dalam ruang antara inti atom. Oleh karena itu energi yang

diperlukan untuk elektron yang direpresentasikan oleh ψgenap(x) lebih rendah

daripada untuk elektron yang direpresentasikan oleh ψganjil(x). Beda energi elektron

antara keduanya pada batas k==±π/a ini merupakan celah energi.

4.1.5 Logam, Isolator dan Semikonduktor Daerah energi yang diperkenankan sesungguhnya merupakan keadaan

elektron yang tersedia bagi elektron dalam kristal. Terisi atau tidak terisi keadaan

elektron tersebut oleh elektron masih bergantung pada jumlah dan statistika elektron

dalam kristal.

Ada dua hal, dimana medan listrik luar tidak menghasilkan arus elektron

dalam kristal, yaitu

a. pita energi yang diperkenankan sama sekali tidak dihuni elektron, dan

b. pita energi yang diperkenankan terisi penuh oleh elektron, atau semua keadaan

elektron terisi penuh oleh elektron.

Hal pertama mudah dipahami, yakni karena tidak ada elektron dalam pita energi,

maka arus elektronpun sama dengan nol. Hal kedua, misalnya kuat medan listrik ε

berpengaruh pada distribusi kecepatan elektron v . Andaikanlah kecepatan masing-

masing elektron adalah iv , maka kecepatan rata-rata untuk elektron dengan

kerapatan no pada volume kristal V adalah

∑=i

io

vVn

v 1 (4.25)

Penjumlahan dilakukan terhadap semua elektron dalam pita yang ditinjau. Rapat arus

elektron yang terjadi

∑−=−=i

io vVevenJ (4.26)

Misalnya, pita yang ditinjau seperti Gambar 4.6 berikut.

4 TEORI PITA ENERGI


111

Gambar 4.6 Pita energi yang diperkenankan

Dalam hubungannya dengan frekuensi radial ω, energi elektron dapat dinyatakan

E = ω (4.27)

sehingga kecepatan kelompok vg dapat dinyatakan

dkdE

dkdvg

1==

ω (4.28)

Pada gambar di atas, vg sama dengan kemiringan fungsi E=E(k). Sedangkan fungsi

E=E(k) simetri terhadap sumbu k=0. Pada harga k=-k, kecepatan elektron sama

besar, tetapi berlawanan tanda, sehingga ∑vi=0. Dengan demikian, jelaslah bahwa

rapat arus sama dengan nol untuk suatu pita energi yang kosong (elektron) atau pita

energi yang penuh.

Hanya pita energi yang terisi sebagian (atau yang kosong sebagian) dapat

memberikan sumbangan pada arus listrik. Misalnya, sebuah elektron A berada

dalam suatu pita energi yang kosong, seperti Gambar 4.7 berikut.

Gambar 4.7 Sebuah elektron dalam suatu pita energi kosong

A

A” A’

k -π/a 0 π/a

E(k)

k -π/a 0 π/a

E(k)

4 TEORI PITA ENERGI


112

Posisi setimbang elektron berada pada kedudukan paling rendah. Medan listrik ε

menyebabkan gaya sebesar -eε bekerja pada elektron, dan menggerakkannya secara

terus-menerus ke arah keadaan elektron dengan momentum linier (negatip) yang

makin besar sampai akhirnya mencapai titik A’ pada posisi k=-π/a. Pada titik ini

terjadi refleksi Bragg, dan elektron muncul di titik A” pada posisi k=+π/a; dan

kemudian menempuh lagi siklus yang sama. Proses pengulangan ini disebut osilasi

Zener. Adanya ketidaksempurnaan kisi menyebabkan hamburan terjadi sebelum

osilasi Zener sempat muncul.

Misalnya, dalam pita yang ditinjau terdapat keadaan elektron total sebanyak

, yang terisi elektron sebanyak i, dan yang kosong sebanyak s. Jika masing-masing

dianggap mempunyai distribusi kecepatan, maka

∑∑∑ +=s

si

i vvv (4.29)

karena 0∑ =v , yakni semua keadaan elektron dianggap terisi penuh eleh elektron,

maka rapat arus elektron dapat dinyatakan seperti halnya persamaan (4.26), yakni

∑−=i

ivVeJ (4.30)

dan dapat juga ditulis dalam bentuk

∑+=s

svVeJ (4.31)

ungkapan rapat arus (4.30) menunjukkan bahwa pembawa muatannya adalah

elektron yang bermuatan –e. Umumnya, ungkapan ini digunakan bila keadaan

elektron di pita energi yang diperkenankan hanya terisi elektron sedikit saja, seperti

Gambar 4.8 berikut.

4 TEORI PITA ENERGI


113

Gambar 4.8 Pita energi yang diperkenankan dengan sedikit elektron di dalamnya

Ungkapan rapat arus (4.31) menunjukkan bahwa pembawa muatannya mempunyai

muatan +e (sering disebut hole) dan “menempati” keadaan elektron yang kosong.

Umumnya, ungkapan ini digunakan bila pita energinya hampir penuh elektron. Hole

menempati pita energi bagian atas, seperti Gambar 4.9 berikut.

Gambar 4.9 Pita energi yang diperkenankan dengan hole pada bagian atasnya

Berdasarkan uraian tentang pengisian keadaan elektron dalam pita energi

yang diperkenankan seperti di atas, dapatlah dibedakan antara konduktor, isolator,

semikonduktor dan semilogam.

Isolator. Semua energi terisi penuh oleh elektron atau sama sekali kosong, sehingga

tidak dapat terjadi konduksi listrik. Pita energi tertinggi yang terisi penuh elektron

disebut pita valensi. Celah energi ΔE cukup besar, sehingga elektron dari pita energi

k -π/a 0 π/a

E(k)

k -π/a 0 π/a

E(k)

4 TEORI PITA ENERGI


114

Gambar 4.10 Pengisian elektron dalam pita energi bahan isolator

: pita energi terisi elektron : pita energi kosong

yang penuh tidak dapat melompat (karena energi termal) ke pita energi yang kosong.

Tingkat energi Fermi EF melalui daerah energi yang kosong. Contoh isolator adalah

intan (karbon) yang memiliki celah energi 6 eV. Hal ini dijelaskan oleh Gambar 4.10

di atas.

Konduktor. Tingkat energi Fermi EF melewati pita energi yang diperkenankan,

sehingga pita tersebut setengahnya (atau sebagiannya) terisi oleh elektron. Pita energi

tertinggi yang terisi elektron sebagian disebut pita konduksi. Ada sebagian elektron

di atas EF (apabila T>0 K), tetapi masih berada dalam daerah pita energi yang sama,

dengan meninggalkan keadaan elektron kosong (hole) di bawah EF. Konduksi listrik

terutama terjadi aliran elektron. Contoh konduktor adalah logam alkali (Li, K dan

lain-lain) dan logam mulia (Cu, Ag, Au dan lain-lain). Hal ini dijelaskan dalam

Gambar 4.11 berikut.

ΔE EF

4 TEORI PITA ENERGI


115

Gambar 4.11 Pengisian elektron dalam pita energi bahan konduktor

: hole : elektron yang melompati EF

Semikonduktor. Tingkat energi Fermi EF melewati daerah harga energi terlarang,

sehingga pada T=0 K hanya ada pita yang sama sekali penuh, dan di atasnya pita

energi yang kosong sama sekali. Celah energi ΔE tidak tinggi, sehingga pada T>0 K

sebagian elektron dapat melompatinya, dan berpindah ke pita konduksi yang masih

kosong. Sementara tempat yang ditinggalkan elektron menjadi hole dalam pita

valensi. Dengan demikian, pembawa muatannya adalah elektron dan hole. Makin

tinggi suhu, makin banyak elektron yang melampaui ΔE sehingga konduktivitas zat

makin meningkat. Contoh semikonduktor adalah Si dan Ge, dengan celah energi

masing-masing 1,1 eV dan 0,7 eV. Umumnya, pada suhu kamar celah energi

semikonduktor kurang dari 2 eV. Sketsa pengisian elektron dalam pita energi


Gambar 4.12 Pengisian elektron dalam pita energi bahan semikonduktor

ΔE

EF

ΔE EF

4 TEORI PITA ENERGI


116

Semilogam. Celah energi lenyap seluruhnya, atau bahkan kedua pita energi terjadi

overlap tipis. Contoh semilogam adalag Bi, As, Sb dan Sn putih.

4.1.6 Metode LCAO Dalam menghitung tingkat energi elektron dalam kristal, metode LCAO

menganggap bahwa elektron terikat kuat pada atom. Metode LCAO termasuk

pendekatan ikatan kuat (“tight binding approximation”). Energi potensial elektron

merupakan bagian yang dominan dari energi totalnya, sedangkan harga energi

elektron yang diperkenankan merupakan pita sempit bila dibandingkan dengan

daerah harga yang tidak diperkenankan. Fungsi gelombang elektron didasarkan pada

fungsi gelombang elektron dalam atom yang terisolasi, dan disusun dari fungsi

gelombang elektron termaksud. Pendekatan ini berbeda dengan pendekatan elektron

bebas.

Misalnya, orbital masing-masing atom adalah ψo. Bila sejumlah atom

tersusun menjadi susunan kristal dengan potensial periodik, tetapi sedemikian rupa

sehingga ψo tidak terlalu banyak dipengaruhinya, maka fungsi gelombang elektron di

dalam kristal secara keseluruhan dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari seluruh

fungsi gelombang atom dalam kristal

)()( non

rkik rrer n −= ∑ • ψψ (4.32)

Penjumlahan dilakukan atas semua posisi atom nr dalam kristal. Bila potensial

periodik kristal )(rV dan potensial atom terisolasi di r=rn adalah )( no rrV − , maka

persamaan Schrodinger dapat ditulis

)()( rErH kk ψψ = (4.33)

dengan Hamiltonian

'

)()()(2

)(2

22

22

HH

rrVrVrrVm

rVm

H

o

nonoo

o

+=

−−+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+∇−=

+∇−=

(4.34)

4 TEORI PITA ENERGI


117

dengan demikian Ho adalah Hamiltonian untuk sebuah atom terisolasi di r=rn, dan H’

untuk semua atom lainnya. Harga ekspektasi energi diperoleh dari

∫∫

∫

+=

=

τψψτψψ

τψψ

drHrN

drHrN

drErN

E

kkkok

kk

)(')(1)()(1

)()(1

**

*

(4.35)

Integral pertama dalam (4.35) adalah energi sebuah atom terisolasi Eo. Untuk

menghitung integral kedua, permasalahannya disederhanakan, yakni hanya

meperhitungkan interaksi antartetangga terdekat atom saja. Oleh karena itu integral

kedua dapat dipecah menjadi dua bagian, yakni yang hanya meliputi n=m saja dan

yang hanya meliputi interaksi antartetangga terdekat saja dengan indek j.

∑

∫∑∫

∫∑ ∑∫

∫∑∑

∫

−•

−•

−•

−•

−−≅

−−+−−≅

−−+−−=

−−=

j

rrki

nojoj

rrkinono

nojon j

rrkinono

nomon m

rrki

kk

jn

jn

jn

mn

e

drrHrredrrHrr

drrHrredrrHrrN

drrHrreN

drHrN

)(

*)(*

*)(*

*)(

*

)(')()(')(

)(')()(')(1

)(')(1

)(')(1

βα

τψψτψψ

τψψτψψ

τψψ

τψψ

dengan batasan bahwa integral Coulomb

ατψψ −=−−∫ drrHrr nono )(')(* (4.36)

dan integral overlap

βτψψ −=−−∫ drrHrr nojo )(')(* (4.37)

Dengan demikian energi elektron (4.35) dalam kristal di atas dapat ditulis

∑ −•−−=j

rrkio

jneEE )(βα (4.38)

dengan jr = kedudukan atom di sekitar atom rn

α dan β = besaran positip, karena H’ negatip

4 TEORI PITA ENERGI


118

Ungkapan energi (4.38) mengasumsikan bahwa orbital atom ψo mempunyai simetri

bola sehingga faktor overlap β berharga sama untuk semua pasangan tetangga

terdekat.

Dalam kisi kubik sederhana dengan rusuk a, setiap titik kisi mempunyai 6

tetangga terdekat, sehingga

zayaxarr jn ˆ,ˆ,ˆ)( ±±±=−

Oleh karena itu pita energinya

E(k) = Eo - α - 2β (cos kxa + cos kya + cos kza) (4.39a)

Persamaan (4.39a) dapat juga ditulis dalam bentuk

E(k) = Ev + 4β [sin2 (kxa/2) + sin2 (kya/2) + sin2 (kza/2)] (4.39b)

dimana Ev=Eo-α-2β merupakan energi dasar pita.

Dari ungkapan pita energi (4.39) ini dapatlah dikemukakan hal-hal berikut.

a. E(k) periodik terhadap k

b. E(k) = E(-k)

c. E(k)max = Eo - α + 6β dan E(k)min = Eo - α - 6β

E(k)max dan E(k)min, masing-masing adalah harga energi elektron pada puncak dan

dasar pita energi. Beda antara keduanya merupakan pita energi, yang besarnya

sebanding dengan integral overlap. Rentang energi dalam pita energi ini berperan

sebagai energi kinetik elektron, sehingga elektron mampu bergerak ke bagian

seluruh kristal.

d. Untuk harga k sangat kecil, yakni di dekat dasar pita energi elektron menjadi

E(k) ≅ Eo - α - 6β + β a2 k2 (4.40)

Terlihat bahwa harga energi ini sama dengan hubungan dispersi untuk elektron

bebas.

Gambar 4.13 berikut menyajikan kurva dispersi sepanjang arah [100] dan [111].

4 TEORI PITA ENERGI


119

Gambar 4.13. Kurva dispersi sepanjang arah [100] dan [111] untuk kisi kubik sederhana dalam model ikatan kuat

Model ikatan kuat di atas memperlihatkan bahwa setiap tingkatan energi

atomik meluas menjadi sebuah pita energi sebagai akibat adanya interaksi antaratom

dalam padatan. Setiap pita energi menggambarkan karakter tingkatan energi atom

mula-mula.

Energi tetap elektron dalam kisi kubik sederhana di atas dapat dibuat

konturnya. Untuk ka<<1, energi tersebut, yakni persamaan (4.40) dapat dinyatakan

sebagai

tetapa

EakEkkk o

zyx =−−

−=++ 22222 6)(

ββα

β

yang merupakan persamaan bola dalam ruang k. Sedangkan energi maksimum terjadi

apabila

cos kxa = cos kya = cos kza = -1

kx = ky = kz = ±π/a

Titik ini merupakan titik ujung Zona Brillouin Pertama. Bila dilihat dari titik ujung

(dekat E(k)max) dengan melakukan transformasi dari k ke k’=(π/a)-k, maka dengan

menggunakan persamaan (4.39b) didapatkan E(k’) – Emaks = - a2 β (k’)2, yakni

bentuk permukaan energi tetap juga merupakan bola dengan ujung Zona Brillouin

tersebut sebagai pusatnya. Dalam bidang kz=0, kontur energi elektron dalam kisi

kubik sederhana ditunjukkan oleh Gambar 4.14 berikut.

4 TEORI PITA ENERGI


120

Gambar 4.14 Kontur energi kisi kubik sederhana dalam model ikatan kuat

4.2 DINAMIKA ELEKRON DALAM KRISTAL

4.2.1 Kecepatan Kelompok dan Massa Efektif Elektron dalam Kristal

Gerak elektron dalam kristal dapat divisualisasikan sebagai suatu paket

gelombang yang merupakan superposisi gelombang dari berbagai frekuensi ω. Paket

gelombang ini mempunyai kecepatan kelompok sama seperti persamaan (4.28) yang

secara vektor dinyatakan oleh

)(kv kg ω∇= (4.41a)

Karena energi elektron E= ω, maka

)(1 kEv kg ∇= (4.41b)

Simak kembali elektron yang hanya bergerak dalam arah sumbu-X dalam kisi

kubik sederhana, sehingga energi (3.39) dapat dinyatakan

E(kx) = Eo’ – 2 β cos kxa (4.42)

dengan Eo’ adalah konstanta. Kecepatan kelompok dalam arah-X

akakkE

v xx

xxg sin2)(1)( β

=∂

∂= (4.43)

4 TEORI PITA ENERGI


121

Sketsa E(kx) dan (vg)x dalam (4.42) dan (4.43) di atas disajikan pada Gambar 4.15

berikut.

Gambar 4.15 a. Struktur pita energi kisi kubik sederhana arah-X

b. Kecepatan elektron dalam pita energi yang bersangkutan. Garis putus-putus menunjukkan kecepatan elektron bebas

Terlihat bahwa di dekat pusat zona kecepatan elektron sebanding dengan vektor

gelombang. Di daerah ini elektron berperilaku seperti elektron bebas. Di dekat batas

zona, kecepatan elektron menurun drastis, dan akhirnya nol tepat pada batas zona. Di

titik ini terjadi gelombang tegak. Disamping itu, telah dijelaskan bahwa untuk pita

energi yang terisi penuh elektron tidak dapat menunjukkan arus listrik. Hal ini

terlihat pada gambar di atas bahwa

)()( kvkv −=−

sehingga kecepatan total elektron sama dengan nol.

Ungkapan (4.41b) menunjukkan bahwa kecepatan kelompok sebanding

dengan gradien energi. Hal ini berarti gerak elektron sangat ditentukan oleh

permukaan energi tetap. Apabila permukaan energi tetap tersebut berupa permukaan

bola (daerah dekat pusat zona), maka arah gv adalah radial. Di dekat batas zona,

kontur energi mengalami distorsi (dari permukaan bola) sehingga gv tidak radial.

Hal ini ditunjukkan oleh Gambar 4.16 berikut.

4 TEORI PITA ENERGI


122

Gambar 4.16 Kecepatan elektron dan perubahan bentuk permukaan Fermi saat

konsentrasi elektron valensi atau konduksi meningkat

Bentuk permukaan Fermi ditentukan oleh geometri kontur energi dalam pita

energi karena sesungguhnya permukaan Fermi itu sendiri adalah sebuah kontur

energi dengan E(k)=EF pada T=0 K. Gambar 4.16 di atas juga menunjukkan

perubahan bentuk permukaan Fermi saat konsentrasi elektron valensi n meningkat.

Populasi n kecil hanya mengisi daerah dekat dasar pita pada pusat zona sehingga

volumenya berbentuk bola yang dibatasi oleh permukaan bola Fermi. Saat n naik,

“volume Fermi” mengembang, dan kontur energi mulai terdistorsi. Distorsi menjadi

besar saat permukaan Fermi memotong garis batas zona.

Perubahan kecepatan kelompok terhadap waktu t adalah

)(1 kEdtd

dtvd

kg ∇= (4.44a)

Untuk suatu vektor A tertentu berlaku

dtkdA

dtAd

k •∇= )(

Oleh karena itu

dtkdE

dtvd

kkg •∇∇= )(1 (4.44b)

Gaya luar F pada elektron menyebabkan perubahan momentum

dtkdF = (4.45)

Substitusi dtkd / dari (4.45) ke dalam (4.44b) menghasilkan ungkapan percepatan

4 TEORI PITA ENERGI


123

FEdtvd

a kkg •∇∇== )(1

2 (4.46a)

Dalam koordinat Kartesis, ungkapan percepatan (4.46a) ini berbentuk

zyxjidenganFkkEa j

jii ,,,1 2

2 =∂∂

∂= ∑ (4.46b)

Hubungan ini analogi dengan hukum II Newton, sehingga massa efektif m*

didefinisikan sebagai

)(1*

12 E

m kk ∇∇= (4.47a)

atau dalam koordinat Kartesis

jiij kk

Em ∂∂

∂=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 2

2

1*

1 (4.47b)

Dari hubungan (4.47) di atas terlihat bahwa massa efektif adalah tensor rank-dua dan

simetrik

jiij mm

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

*1

*1 (4.48)

Massa efektif elektron m* tidak perlu sama dengan massa sesungguhnya mo. Hal ini

disebabkan oleh adanya dua gaya yang bekerja sekaligus pada elektron, yakni gaya

medan kristal (dalam penetapan E(k)) dan gaya luar F.

Elektron bebas dalam ruang mempunyai energi kinetik sama seperti

persamaan (3.24) , yang dapat dituliskan

)(2

)( 2222

zyxo

kkkm

kE ++= (4.49)

Menurut teori di atas diperoleh

01*

111*

1 2

2

2

2 =∂∂

∂=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

yxxyoxxxx kkE

mdan

mkkE

m

Simetri ruang dimana elektron berada menyebabkan indek xx=yy=zz dan

xy=yz=zx=yx=xz=zy, sehingga

4 TEORI PITA ENERGI


124

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

o

o

o

xx mm

m

m/1000/1000/1

*1 (4.50)

Persamaan Newton yang dapat disusun

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

z

y

x

oz

y

x

FFF

maaa

100010001

1 (4.51)

merupakan hubungan vektor Fm

ao

1= . Artinya arah percepatan a sesuai dengan

arah gaya F . Jelas bahwa untuk elektron bebas berlaku m*=mo, karena tidak ada

gaya kisi yang bekerja pada elektron.

Untuk gerak elektron dalam suatu kristal kubik sederhana, khususnya bila k

sangat kecil terhadap 1/a, maka persamaan (4.40) dapat dituliskan

)(6)( 2222zyxo kkkaEkE +++−−= ββα (4.52)

Dengan cara yang sama hasilnya terlihat bahwa tensor (1/m*) tidak nol hanya untuk

elemen diagonalnya, yakni masing-masing besarnya

2

22 aβ

Oleh karena itu massa efektifnya isotropik, dan dapat direpresentasikan dengan

skalar

β1

2* 2

2

am = (4.53)

Terlihat bahwa dalam daerah ini elektron berperilaku seperti elektron bebas dengan

massa efektif yang berbanding terbalik dengan integral overlap β. Makin besar

overlap, makin mudah elektron menerobos dari satu atom ke atom yang lain sehingga

(massa) inersia elektron lebih kecil, dan sebaliknya. Dalam model ikatan kuat ini

overlap kecil sehingga massa efektif besar.

Di dekat puncak pita elektron memperlihatkan perilaku yang lain. Misalnya,

elektron dalam kisi kubik sederhana satu dimensi dalam arah-X. Jika didefinisikan

4 TEORI PITA ENERGI


125

kx’=(π/a)-kx dan energi kinetik E(kx) persamaan (4.42) dideretkan dekat titik

maksimum, maka didapatkan

E(kx’) = Ex,max – a2 β(k’)2 (4.54)

Jadi elektron berperilaku seperti partikel bebas yang mempunyai massa efektif

negatip

β1

2* 2

2

am −= (4.55)

Gambar 4.17 berikut menyajikan struktur pita dan massa efektif dalam kisi kubik

sederhana satu dimensi arah-X

Gambar 4.17 a. Struktur pita, dan b. Masa efektif elektron sebagai fungsi kx dalam kisi kubik sederhana

Massa efektip negatip di daerah yang lebih besar dari titik perubahan kc, menandakan

adanya percepatan negatip elektron karena menurunnya kecepatan. Di daerah ini kisi

mengenakan gaya pemerlambat yang sangat besar pada elektron.

4.2.2 Pengaruh Medan Listrik pada Kecepatan Elektron dalam Kristal

Pengaruh gaya luar F terhadap momentum elektron dalam kristal

diungkapkan oleh persamaan (4.45), yakni

4 TEORI PITA ENERGI


126

Fdtkd= (4.56)

Hal ini berarti vektor gelombang k terus meningkat terhadap naiknya waktu t,

seperti ditunjukkan dalam Gambar 4.18 berikut.

Gambar 4.18 Vektor gelombang elektron Bloch sebagai fungsi waktu saat dikenai gaya

luar F (satu dimensi)

Terlihat bahwa karena pengaruh Fx, momen kristal kx senantiasa meningkat sampai

mencapai batas Zona Brillouin Pertama. Pada saat itu terjadi UMKLAPP dan gerak

elektron mulai lagi dari batas baru zona.

Misalnya, medan luar εx menyebabkan gaya Fx=-eεx bekerja pada elektron,

sehingga vektor gelombang kx berubah terhadap waktu. Gerakan elektron dalam

“repeated-zone scheme”, disajikan dalam Gambar 4.19 berikut. Elektron bergerak

sepanjang lintasan OABC dan seterusnya. Sedangkan dalam “reduced-zone scheme”,

saat elektron sampai di batas zona A, kemudian segera muncul di titik ekivalensinya,

yaitu A’, sehingga terjadi gerakan elektron sepanjang OA(→A’)OA dan seterusnya.

Karena sifat simetri translasi, maka terlihat bahwa titik A, A’ dan C, C’ adalah

ekivalen; begitu pula O dan B.

π/a

0

-π/a

kx

t

4 TEORI PITA ENERGI


127

Gambar 4.19 a.Gerakan sebuah elektron karena kehadiran medan listrik b. Kecepatan elektron

Pada Gambar 4.19b di atas terlihat bahwa kecepatan elektron (mulai k=0)

meningkat mencapai maksimum, tetapi kemudian turun dan akhirnya nol pada batas

zona. Kemudian elektron berbalik sehingga mempunyai kecepatan negatip, begitu

seterusnya. Bahasan ini terjadi dalam ruang nyata, seperti ditunjukkan oleh Gambar

4.20 berikut.

Gambar 4.20 Gerak elektron dalam ruang nyata-X sebagai fungsi waktu

C A

xo

D B

0

t

4 TEORI PITA ENERGI


128

Terlihat bahwa gerak elektron hanya bolak-balik antara x=0 sampi x=xo. Setiap kali

elektron berada di x=xo, energinya berada di puncak pita konduksi dimana kemudian

terjadi refleksi Bragg. Gerakan osilasi periodik elektron Bloch ini sangat berbeda

dengan perilaku elektron bebas.

Apabila εx cukup besar, maka dapat terjadi loncatan elektron ke pita di

atasnya, seperti ditunjukkan oleh Gambar 4.21 berikut. Apabila elektron di A dan

memperoleh energi sebesar celah energi ΔE, maka elektron tidak dipantulkan

kembali, tetapi mampu melompat ke pita energi di atasnya(titik A”). Misalnya, jarak

kedua titik AA” adalah d, maka haruslah

xe

EdεΔ

≤ (4.57)

Gambar 4.21 Gerakan elektron karena medan listrik yang melintasi celah energi

Hal ini dinamakan “tunneling”, dengan syarat bahwa d jauh lebih kecil dari panjang

gelombang de Broglie dan juga kecil terhadap konstanta kisi.

4.2.3 Konduktivitas Listrik Dalam sistem setimbang, permukaan Fermi berpusat di titik asal. Akibatnya

arus netto nol, karena setiap elektron dalam keadaan k yang berkecepatan )(kv

selalu berpasangan dan saling menghapus dengan elektron di keadaan k− yang

berkecepatan )()( kvkv −=− .

k 0 π/a 2π/a

E(k)

ΔE

A”

A

4 TEORI PITA ENERGI


129

Bila dikenakan medan listrik εx, terjadi perpindahan δkx selama interval

waktu δt, yang memenuhi persamaan

te

k xx δ

εδ −= (4.58a)

Karena elektron bertahan dalam interval waktu tumbukan τ, maka

τε

δ xx

ek −= (4.58b)

Akibatnya permukaan Fermi berpindah sejauh δkx, seperti ditunjukkan oleh Gambar

4.22 berikut.

Gambar 4.22 Permukaan Fermi: a. dalam keadaan setimbang, dan b. dalam kehadiran medan listrik εx

Perpindahan menyebabkan terdapat beberapa elektron (dalam daerah bayang-

bayang) tidak mempunyai pasangan untuk menghapusnya, sehingga terjadi arus

netto. Pada T=0 K arus netto tersebut

xx

FxFFxFx kkEEgveEEgveJ δ

δδδ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−= )()( ,, (4.59)

dengan xFv , = kecepatan Fermi rata-rata dalam arah-X

g(EF)δE = konsentrasi elektron yang tidak berpasangan

g(EF) = rapat keadaan pada permukaan Fermi

δE = energi medan yang diserap elektron

Mengingat ∂E/∂kx= vF,x dan harga δkx dalam (4.58b) di atas, maka didapatkan

xFFxFx EgveJ ετ )(2,

2= (4.60)

4 TEORI PITA ENERGI


130

sehingga konduktivitas listrik

)(2,

2FFxF Egve τσ = (4.61)

Ungkapan (4.61) adalah bentuk umum konduktivitas listrik untuk suatu permukaan

Fermi tertentu. Tampak bahwa σ bergantung pada kecepatan Fermi vF dan waktu

tumbukan τF, serta pada rapat keadaan pada permukaan Fermi g(EF). Tingkat EF

suatu logam berada di tengah pita energi, dimana g(EF) besar, sehingga konduktivitas

besar. Sedangkan tingkat EF pada isolator berada pada puncak pita, dimana g(EF)=0,

sehingga konduktivitas nol, meskipun kecepatan Fermi sangat besar.

Permukaan Fermi sferik menyebabkan 2312

, FxF vv = sehingga ungkapan (4.61)

menjadi )(2231

FFF Egve τσ = (4.62a)

Dengan menggunakan hubungan rapat keadaan (3.26) dan (3.30) untuk elektron

bebas, yakni

2/2/3

22

*22

1)( FEmEg ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

π 2

21 * FF vmE = 2/32

2

)3(*2

nm

EF π⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

maka didapatkan ungkapan konduktivitas listrik (4.62a) menjadi

*

2

mne Fτσ = (4.62b)

yang hanya berlaku untuk model elektron bebas.

4.2.4 Dinamika Elektron dalam Medan Magnet

4.2.4.1 Efek Hall Dalam logam terdapat hole dan elektron. Bila dua pita mengalami overlap

satu terhadap yang lain, maka elektron berada pada pita bagian atas dan hole di

bagian yang lebih rendah. Konstanta Hall saat elektron dan hole ada dalam waktu

bersamaan diungkapkan oleh

( )2

22

he

hhee RRR

σσσσ

+

+= (4.63)

dimana Re = konstanta Hall untuk elektron

Rh = konstanta Hall untuk hole

4 TEORI PITA ENERGI


131

σe = konduktivitas listrik elektron

σh = konduktivitas listrik hole

Jika konsentrasi elektron sama dengan hole, ne=nh, maka besarnya Re sama dengan

Rh, dan tanda R ditentukan oleh harga relatif konduktivitas σe terhadap σh. Harga

σe>σh berarti bahwa elektron memiliki massa lebih kecil dan waktu hidup panjang,

sehingga sumbangan elektron yang dominan dan R berharga negatip, dan sebaliknya.

Jika pembawa muatan hanya elektron, maka Rh dan σh berharga nol, sehingga

R=Re. Hal ini didapat pada model elektron bebas.

4.2.4.2 Resonansi Siklotron Dinamika elektron dalam medan magnet diungkapkan oleh

( )Bkvedtkd

×−= )( (4.64)

Momentum kristal berubah terhadap waktu karena kehadiran gaya Lorentz.

Perpindahan kδ dalam waktu δt dituliskan dalam bentuk

( ) tBkvek δδ ×−= )( (4.65)

Perpindahan kδ tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh )(kv dan B .

Mengingat v adalah normal kontur energi dalam ruang k (Gambar 4.16), maka

berarti δk terjadi pada sepanjang kontur energi, seperti ditunjukkan oleh Gambar 4.23

berikut.

4 TEORI PITA ENERGI


132

Gambar 4.23 Lintasan elektron sepanjang kontur energi

dalam ruang k karena adanya medan magnet

Karena elektron bergerak sepanjang kontur energi tetap, maka tidak terjadi

proses penyerapan energi terhadap medan magnet. Gerakan elektron yang demikian

bersifat siklis. Bila v normal terhadap B , maka gerak elektron mempunyai perioda

∫ ∫==)(kv

keB

tT δδ (4.66)

dimana integrasi dilakukan sepanjang orbit tertutup elektron dalam ruang k . Dengan

demikian, ungkapan umum frekuensi siklotron untuk elektron Bloch ini adalah

∫=

)(

2

kvk

eB

c δ

πω (4.67)

Eksperimen resonansi siklotron dilakukan dengan mendatangkan berkas

radiasi elektromagnetik pada daerah gelombang radio pada permukaan logam, yang

sebelumnya telah dikenakan medan magnet B dalam arah tegak lurus berkas

elektromagnetik, seperti disajikan oleh Gambar 4.24 berikut.

Gambar 4.24 Eksperimen resonansi siklotron

Radiasi elektromagnetik ini hanya mampu menembus sedalam “skin depth” δ pada

permukaan logam. Elektron menyerap energi sinyal elektromagnetik. Resonansi

terjadi antara gerak putar elektron karena B dan energi gelombang radio yang

δ

Medan magnet

Gelombang radio

4 TEORI PITA ENERGI


133

diserapnya, serta elektron berada dalam daerah “skin depth”. Apabila frekuensi

gelombang radio ωo, maka

ωo = n ωc (4.68)

dengan n adalah bilangan bulat.

Apabila energi elektron mempunyai bentuk E=( 2k2/2m*), maka orbit

elektron berupa lingkaran, */)( mkkv = dan k keduanya besarnya konstan

sepanjang kontur energi. Oleh karena itu dari (4.67) diperoleh ungkapan frekuensi

*m

eBc =ω

yang sama dengan yang diperoleh oleh model elektron bebas.

Resonansi siklotron, umumnya, digunakan untuk mengukur massa efektif

elektron. Umumnya, frekuensi ωo besarnya tertentu dan medan magnet divariasi

sehingga terjadi kondisi resonansi. Percobaan yang dilakukan oleh Azbel-Kaner

(untuk bahan Cu) menyajikan data impedansi riil permukaan bahan terhadap medan

magnet (dZ/dB) sebagai fungsi medan magnet (B), seperti Gambar 4.25 berikut.

Gambar 4.25 Spektrum resonansi siklotron Azbel-Kaner untuk bahan tembaga pada suhu T=4,2 K

Absorbsi maksimum pada elektron dengan orbit terbesar terjadi pada permukaan

Fermi yang penampang lintangnya tegak lurus B. Oleh karena itu dengan mengubah

orientansi B, dapatlah diukur orbit elektron dalam berbagai arah, sehingga

rekonstruksi permukaan Fermi dapat dibuat. Percobaan ini, umumnya, dilakukan

pada suhu yang sangat rendah (sekitar 4 K) pada sampel yang murni dan berbentuk

kristal tunggal, dan pada medan magnet yang sangat besar (sekitar 100 kG). Kondisi

4 TEORI PITA ENERGI


134

ini menyebabkan waktu tumbukan τ cukup panjang, dan frekuensi siklotron ωc cukup

tinggi (daerah gelombang mikro), sehingga ωcτ>>1 terpenuhi dan “skin depth” cukup

dalam.

RINGKASAN 01. Apabila deretan ion tersusun teratur dan membentuk kisi kristal, maka energi

potensial kristalnya berubah secara periodik sesuai dengan periodisitas kisi

tersebut. Teori pita energi zat padat mengajukan model tentang elektron dalam

kristal dengan asumsi sebagai berikut. (a). Terdapat energi potensial )(rV yang

tidak sama dengan nol di dalam kristal dengan keberkalaan kisi kristal, (b). Fungsi

gelombang )(rψ dibuat berdasarkan kisi sempurna dan dimana dianggap bahwa

kisi tidak bervibrasi secara termal, (c). Teori pita energi dikembangkan dari

bahasan perilaku elektron tunggal di bawah pengaruh suatu potensial periodik

)(rV yang merepresentasikan semua interaksi, baik dengan ion kristal maupun

dengan sesama elektron lain, (d). Bahasan elektron tunggal dapat menggunakan

persamaan Schrodinger untuk satu elektron, dan dengan ketentuan bahwa

pengisian keadaan elektron yang diperoleh menganut distribusi Fermi-Dirac.

02. Elektron dalam potensial periodik logam memenuhi teorema Bloch, yaitu

“Fungsi eigen (fungsi Bloch) dari persamaan gelombang untuk suatu potensial

periodik adalah hasilkali antara suatu gelombang bidang berjalan eksp )( rki • dan

suatu fungsi modulasi )(ruk dengan periodisitas kisi kristal”.

03. Untuk menyelesaikan perilaku elektron Bloch digunakanlah Model Kronig-

Penney, yang menelaah gerak elektron dalam suatu potensial persegi periodik,

sebagai penyederhanaan bentuk potensial sebenarnya. Hasil model ini adalah

( ) ( ) kaaaa


. Ungkapan energi elektron, yang tersirat dalam α,

memiliki karakter (a). Spektrum energi elektron terdiri dari beberapa pita energi

(daerah energi) yang diperkenankan dan beberapa yang terlarang, (b). Lebar pita

energi yang diperkenankan bertambah lebar dengan meningkatnya energi

4 TEORI PITA ENERGI


135

elektron, (c). Lebar pita energi tertentu yang diperkenankan mengecil apabila

“energi ikatan” makin naik, (d). Celah energi terjadi pada harga k= nπ/a, dengan n

= ±1, ±2, ±3, …

04. Pada titik k= nπ/a terjadi gelombang tegak dan memenuhi kondisi refleksi Bragg.

Pada titik ini, elektron dapat direpresentasikan sebagai fungsi gelombang yang

selama sebagian besar dari waktunya berada (a) di dekat inti atom (x=ma), atau

(b) dalam ruang di antara inti atom (jauh dari inti atom). Energi di kidua tempat

ini berbeda dan beda energi elektron antara keduanya pada batas k==±π/a ini

merupakan celah energi.

05. Ada dua hal, dimana medan listrik luar tidak menghasilkan arus elektron dalam

kristal, yaitu (a). pita energi yang diperkenankan sama sekali tidak dihuni

elektron, dan (b). pita energi yang diperkenankan terisi penuh oleh elektron, atau

semua keadaan elektron terisi penuh oleh elektron. Berarti, hanya pita energi yang

terisi sebagian (atau yang kosong sebagian) dapat memberikan sumbangan pada

arus listrik. Hal ini menghasilkan dua jenis pembawa muatan, yaitu elektron

(negatip) dan hole (positip).

06. Ciri isolator adalah semua energi terisi penuh oleh elektron atau sama sekali

kosong, sehingga tidak dapat terjadi konduksi listrik. Celah energi ΔE cukup

besar, sehingga elektron dari pita energi yang penuh tidak dapat melompat (karena

energi termal) ke pita energi yang kosong. Tingkat energi Fermi EF melalui daerah

energi yang kosong. Ciri konduktor adalah tingkat energi Fermi EF melewati pita

energi yang diperkenankan, sehingga pita tersebut setengahnya (atau sebagiannya)

terisi oleh elektron. Ciri semikonduktor adalah tingkat energi Fermi EF melewati

daerah harga energi terlarang, sehingga pada T=0 K hanya ada pita yang sama

sekali penuh, dan di atasnya pita energi yang kosong sama sekali. Celah energi ΔE

tidak tinggi, sehingga pada T>0 K sebagian elektron dapat melompatinya, dan

berpindah ke pita konduksi yang masih kosong. Sementara tempat yang

ditinggalkan elektron menjadi hole dalam pita valensi. Dengan demikian,

pembawa muatannya adalah elektron dan hole. Sedangkan ciri semilogam adalah

4 TEORI PITA ENERGI


136

celah energi lenyap seluruhnya, atau bahkan kedua pita energi terjadi overlap

tipis.

07. Metode LCAO menganggap bahwa elektron terikat kuat pada atom. Fungsi

gelombang elektron didasarkan pada fungsi gelombang elektron dalam atom

yang terisolasi, dan disusun dari fungsi gelombang elektron termaksud. Hasil

metode ini adalah ungkapan energi elektron ∑ −•−−=j

rrkio

jneEE )(βα . Untuk

kisi kubik sederhana dengan rusuk a, ungkapan energinya E(k)=Eo-α-2β(cos kxa+

cos kya+cos kza). Hal ini berarti (a). E(k) periodik terhadap k, (b). E(k) = E(-k),

(c). E(k)max=Eo-α+6β pada puncak pita, dan E(k)min=Eo-α-6β pada dasar pita,

sehingga beda antara keduanya merupakan pita energi, yang besarnya sebanding

dengan integral overlap. Rentang energi dalam pita energi ini berperan sebagai

energi kinetik elektron, sehingga elektron mampu bergerak ke bagian seluruh

kristal, (d). Untuk harga k sangat kecil, yakni di dekat dasar pita energi elektron

menjadi E(k) ≅ Eo - α - 6β + β a2 k2. Terlihat bahwa harga energi ini sama dengan

hubungan dispersi untuk elektron bebas.

08. Kecepatan dan massa efektif elektron, masing-masing dinyatakan sebagai

)(1 kEv kg ∇= dan )(1*

12 E

m kk ∇∇= . Misalnya untuk kisi kubik sederhana

dan elektron bebas dapat dicari ungkapan keduanya.

09. Pengaruh gaya luar F terhadap elektron adalah adanya perubahan momentum.

Karena bentuk E(k) dan kecepatan elektron yang sebanding dengan gradien

energi, maka gerak elektron hanya bolak-balik antara x=0 sampi x=xo. Setiap kali

elektron berada di x=xo, energinya berada di puncak pita konduksi dimana

kemudian terjadi refleksi Bragg.

10. Teori pita energi menghasilkan ungkapan umum konduktivitas listrik

)(2,

2FFxF Egve τσ = . Bila didekati dengan permukaan Fermi sferik, maka

didapatkan ungkapan konduktivitas yang hanya berlaku untuk model elektron

bebas.

4 TEORI PITA ENERGI


137

11. Teori pita energi menghasilkan ungkapan umum konstanta Hall

( )2

22

he

hhee RRR

σσσσ

+

+= . Jika pembawa muatan hanya elektron, maka Rh dan σh

berharga nol, sehingga R=Re. Hal ini didapat pada model elektron bebas.

12. Teori pita energi menghasilkan ungkapan umum frekuensi siklotron untuk

elektron Bloch ini adalah

∫=

)(

2

kvk

eB

c δ

πω . Bila didekati dengan bentuk

E=( 2k2/2m*), maka ungkapan frekuensi yang sama dengan yang diperoleh oleh

model elektron bebas.

LATIHAN SOAL BAB IV

01.a. Fungsi Bloch satu dimensi mempunyai bentuk ψk(x)=eikxuk(x). Jika fungsi

tersebut dikenai syarat batas periodik, maka buktikanlah bahwa jumlah

(keadaan) orbital dalam suatu pita energi dalam Zona Brillouin Pertama sama

dengan jumlah sel satuan primitip dalam kristal!

b. Sama dengan soal a), tetapi untuk soal SC dalam tiga dimensi!

02.a. Diketahui bahwa kristal BCC memiliki 8 tetangga terdekat dengan posisi

( )kyxa ˆˆˆ21 −+ ( )kyxa ˆˆˆ2

1 −+− ( )kyxa ˆˆˆ21 −− ( )kyxa ˆˆˆ2

1 −−−

( )kyxa ˆˆˆ21 +− ( )kyxa ˆˆˆ2

1 +−− ( )kyxa ˆˆˆ21 ++ ( )kyxa ˆˆˆ2

1 ++−

(1) Dengan menggunakan ungkapan energi elektron (4.38) dan pendekatan

interaksi tetangga terdekat, buktikan bahwa ungkapan energi untuk kristal

BCC adalah

E(k) = Eo - α - 8β cos ½ kxa cos ½ kya cos ½ kza

(2) Tentukan lebar pita energinya!

(3) Gambarkan kontur energi tersebut dalam bidang kx-ky!

4 TEORI PITA ENERGI


138

b. Sama dengan soal a), tetapi untuk kristal FCC! Diketahui bahwa kristal FCC

memiliki 12 tetangga terdekat dengan posisi

( )kya ˆˆ21 − ( )kya ˆˆ2

1 −− ( )kya ˆˆ21 +− ( )kya ˆˆ2

1 +

( )yxa ˆˆ21 + ( )yxa ˆˆ2

1 − ( )yxa ˆˆ21 −− ( )yxa ˆˆ2

1 +−

( )kxa ˆˆ21 − ( )kxa ˆˆ2

1 + ( )kxa ˆˆ21 +− ( )kxa ˆˆ

21 −−

Buktikan bahwa ungkapan energi untuk kristal FCC adalah

E(k) = Eo - α - 4β [cos ½ kya cos ½ kza + cos ½ kza cos ½ kxa

+ cos ½ kxa cos ½ kya]

03.a. Dengan menggunakan model ikatan kuat, hitunglah massa efektif elektron

dalam kisi dimensi satu! Gambarkan massa m* terhadap k, dan tunjukkan

bahwa massa tersebut tidak bergantung pada k hanya di dekat pusat dan di

dekat ujung zona!

b. Hitunglah massa efektif pada pusat zona dalam suatu kisi SC!

c. Sama dengan soal b), tetapi pada ujung zona sepanjang arah [111]!

04. Dengan menggunakan model ikatan kuat, hitunglah massa efektif elektron pada

kristal SC! Isotropkah massa tersebut?

05.a. Hitunglah kecepatan elektron untuk kristal satu dimensi dalam model ikatan

kuat dan buktikan bahwa kecepatan tersebut nol pada batas zona!

b. Sama dengan soal a), tetapi untuk kisi bujursangkar! Tunjukkan bahwa

kecepatan pada batas zona adalah paralel terhadap batas tersebut! Jelaskan hasil

ini dengan menggunakan refleksi Bragg!

c. Sama dengan soal a), tetapi untuk kisi SC tiga dimensi, dan tunjukkan bahwa

kecepatan elektron pada permukaan zona adalah paralel terhadap permukaan

tersebut! Jelaskan hal ini dengan menggunakan refleksi Bragg! Kemukakan

pernyataan umum tentang arah kecepatan pada permukaan zona tersebut!

06. Semikonduktor Si dan Ge mempunyai relasi dispersi berkontur ellips 2

32

22

1)( zyx kkkkE ααα ++=

a. Buktikanlah bahwa bahan tersebut mempunyai massa elektron anisotrop!

4 TEORI PITA ENERGI


139

b. Apa yang akan terjadi jika αi dalam ungkapan relasi dispersi di atas berharga

negatip?

07. Elektron Bloch berosilasi periodik dalam pengaruh medan listrik.

a. Tuliskan ungkapan perioda gerakan dalam “reduced-zone scheme”!

b. Jika perioda tersebut berorde 10-5 s dan waktu tumbukan elektron berorde 10-14s,

maka hitunglah jumlah tumbukan yang dialami elektron selama satu putaran

geraknya! Apakah konsekuensi dari jumlah tumbukan tersebut?

08. Medan listrik statik dikenakan pada sebuah elektron pada waktu t=0 saat elektron

berada di dasar pita energi.

a. Tunjukkan bahwa dalam satu dimensi posisi elektron dalam ruang sebenarnya

pada saat t adalah ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =+= tFkE

FXX o

1 , dengan Xo adalah posisi awal dan

F=-eε adalah gaya listrik!

b. Apakah gerakan dalam soal a) periodik? Jelaskan!

09.a. Tentukan harga k yang mana kecepatan elektron mencapai maksimum pada kisi

kristal satu dimensi!

b. Bagaimana ungkapan m* pada harga k soal a)?

10. Turunkan ungkapan konstanta Hall (4.63) untuk sistem elektron-hole!

11. Suatu kristal mempunyai kontur energi 2*2

22

*1

2

22)( yx k

mk

mkE += . Jika medan

magnet tegak lurus terhadap bidang kontur, maka buktikan bahwa frkuensi

siklotron adalah Bmm

eC *

2*1

2

=ω !

B A B V

SEMIKONDUKTOR

Semikonduktor, umumnya, diklasifikasikan berdasarkan harga resistivitas

listriknya pada suhu kamar, yakni dalam rentang (10-2 sampai 109) Ωm. Resistivitas

yang lebih tinggi dimiliki oleh bahan isolator, dan yang lebih rendah oleh bahan

konduktor. Resistivitas listrik dipengaruhi oleh suhu, cahaya yang menyinari, medan

listrik dan medan magnet.

Semikonduktor sangat luas pemakaiannya, terutama, sejak ditemukannya

transistor pada akhir tahun 1940-an. Oleh karena itu semikonduktor dipelajari secara

intensif dalam fisika zat padat. Namun, dalam bab ini, hanya dibahas sifat fisis dasar

semikonduktor saja.

Permulaan bab ini menyajikan pengelompokan semikonduktor berdasarkan

unsur pembentuknya, beserta jenis struktur kristal dan ikatannya. Berdasarkan murni

atau tidak murninya bahan, semikonduktor dibedakan menjadi dua jenis, yaitu

semikonduktor intrinsik dan ekstrinsik.

Semikonduktor intrinsik adalah semikonduktor murni, yang sifat

kelistrikannya ditentukan oleh sifat alam yang melekat pada unsur yang

bersangkutan. Sedangkan semikonduktor ekstrinsik adalah semikonduktor tidak

murni, yang sifat kelistrikannya dikendalikan oleh sifat dan jumlah pengotor yang

diberikan pada bahan itu.

Dalam menyajikan sifat fisis dasar semikonduktor, bab ini membahas rapat

elektron dan hole, yakni partikel pembawa muatan dalam semikonduktor. Umumnya,

jarang ditemukan semikonduktor murni, melainkan dalam keadaan dengan

5 SEMIKONDUKTOR


140

ketidakmurnian. Bab ini juga membahas pengaruh ketakmurnian pada rapat elektron

dan hole. Disamping itu, juga dibahas konduktivitas listrik dalam semikonduktor.

Akhirnya, bab ini ditutup oleh bahasan metode optik yang dapat digunakan untuk

mengukur celah energi.

5.1 KLASIFIKASI SEMIKONDUKTOR

Dilihat dari unsur pembentuknya, semikonduktor diklasifikasikan menjadi

beberapa kelompok berikut.

a. Semikonduktor elemental kelompok IV, misalnya Ge dan Si. Kelompok ini

memiliki struktur kristal intan dan ikatan kovalen homopolar.

b. Senyawa kelompok III-V, misalnya GaAs, GaP, InSb, InAs dan GaSb. Senyawa ini

memiliki struktur seng sulfida. Ikatannya berbentuk kovalen heteropolar, karena

distribusi elektron sepanjang ikatan lebih banyak menuju ke arah atom yang

elektronegativitasnya lebih tinggi, sehingga tidak simetri. Karena sifat polar inilah

kisi senyawa III-V dapat dipolarisasikan oleh pemakaian medan listrik.

c. Senyawa kelompok II-VI, misalnya CdS dan ZnS yang berstruktur seng sulfida dan

berikatan kovalen heteropolar.

d. Senyawa kelompok IV-VI, misalnya PbTe.

5.2 SEMIKONDUKTOR INTRINSIK

Pada T=0 K, pita valensi semikonduktor terisi penuh elektron, sedangkan pita

konduksi kosong. Kedua pita tersebut dipisahkan oleh celah energi kecil, yakni dalam

rentang (0,18 – 3,7) eV. Pada suhu kamar, Si dan Ge masing-masing memiliki celah

energi 1,11 eV dan 0,66 eV. Pita konduksi dan pita valensi semikonduktor, masing-

masing sebagai pita antibonding dan bonding dari keadaan elektron valensi atom

yang bersangkutan.

Bila mendapat cukup energi, elektron dapat melepaskan diri dari ikatan

kovalen dan tereksitasi menyeberangi celah energi. Elektron ini bebas bergerak di

antara atom. Sedangkan tempat kekosongan elektron disebut hole, segera terisi

elektron ikatan kovalen lainnya. Holepun berpindah, begitu seterusnya. Dengan

5 SEMIKONDUKTOR


141

demikian dasar pita konduksi dihuni oleh elektron, dan puncak pita valensi dihuni

hole. Sekarang, kedua pita terisi sebagian, dan dapat menimbulkan arus netto bila

dikenakan medan listrik.

Elektron dan hole, masing-masing sebagai pembawa muatan bebas negatip

dan positip dalam semikonduktor, mengikuti distribusi Fermi-Dirac. Dalam

semikonduktor murni, elektron dan hole mempunyai konsentrasi sama.

Semikonduktor yang demikian disebut semikonduktor intrinsik.

Distribusi elektron dalam pita konduksi mengikuti distribusi Fermi-Dirac

sama seperti persamaan (3.27), yaitu

kT

EEe F

eEf −

+=

1

1)( (5.1a)

Dengan mengandaikan bahwa (E-EF)>>kT, maka distribusi (5.1a) di atas menjadi

kTEE

e

F

eEf−

≅)( (5.1b)

Tampak bahwa probabilitas orbital elektron konduksi untuk terisi elektron sangat

kecil fe(E)<<1. Energi elektron dalam pita konduksi adalah

e

c mkEkE

2)(

22

+= (5.2)

dengan Ec = tingkat energi dasar pita konduksi

me = massa efektif elektron

Oleh karena itu rapat keadaan elektron, dengan mengacu pada persamaan (3.26),

adalah

( ) 2/12/3

22

22

1)( ce

e EEm

Eg −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

π (5.3)

dengan tingkat energi referensi diambil pada dasar pita konduksi Ec. Dengan

mengggunakan (5.1b) dan (5.3) diperoleh rapat elektron di pita konduksi

( )∫∫∞ −∞

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

c

F

c E

kTEE

ce

Eeee dEeEE

mdEEgEfn 2/1

2/3

22

22

1)()(π

(5.4)

Dengan mengubah variabel, dan menggunakan bentuk

5 SEMIKONDUKTOR


142

20

2/1 π=∫

∞− dxex x

maka konsentrasi elektron (5.4) dapat direduksi menjadi

kTEE

ee

Fc

eh

kTmn

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2/3

2

22

π (5.5)

Faktor 2/3

2

22 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

hkTmeπ

menyatakan rapat keadaan efektif dalam pita konduksi.

Dalam hubungan (5.5) di atas, energi Fermi EF belum diketahui.

Distribusi hole dalam pita valensi dapat dituliskan

kTEE

kTEEeh

F

Fe

eEfEf

−

− ≅+

=−=1

1)(1)( (5.6)

apabila dianggap bahwa (EF-E)>>kT. Energi hole dalam pita valensi

h

v mkEkE

2)(

22

+= (5.7)

dengan Ev = tingkat energi puncak pita valensi

mh = massa efektif hole

Oleh karena itu rapat keadaan hole

( ) 2/12/3

22

22

1)( EEm

Eg vh

h −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

π (5.8)

dengan mengambil tingkat referensi puncak pita valensi Ev. Dengan menggunakan

(5.6) dan (5.8) diperoleh rapat hole di pita valensi

( )

kTEE

h

EkT

EE

vh

E

hhh

vF

v F

v

eh

kTm

dEeEEm

dEEgEfn

−−

∞−

−

∞−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

∫

∫

2/3

2

2/12/3

22

22

22

1

)()(

π

π (5.9)

5 SEMIKONDUKTOR


143

Faktor 2/3

2

22 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

h

kTm hπ menyatakan rapat keadaan efektif dalam pita valensi. Energi

Fermi EF dalam hubungan inipun belum diketahui.

Sebenarnya, dalam menurunkan ungkapan rapat elektron dan hole di atas

tidak dinyatakan bahwa bahan tersebut semikonduktor intrinsik atau ekstrinsik.

Dengan demikian ungkapan di atas berlaku agak umum.

Bila rapat elektron (5.5) dikalikan dengan rapat hole (5.9) diperoleh

( ) kTE

hehe

g

emmh

kTnn−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 2/3

3

2

24 π (5.10)

karena celah energi Eg=Ec-Ev. Hubungan ini disebut hukum Aksi-Massa.

Ungkapannya tidak bergantung pada EF, dan jenis bahan murni atau didoping. Pada

suhu tertentu T, perkalian nenh berharga konstan dan rapat pembawa muatan yang

satu dapat dihitung bila rapat pembawa muatan lainnya diketahui.

Semikonduktor intrinsik harus memenuhi hubungan

ne = nh (5.11)

Substitusi ne dari (5.5) dan nh dari (5.9) ke dalam (5.11) menghasilkan ungkapan

energi Fermi EF relatif terhadap energi puncak pita valensi Ev

h

egFc m

mkT

EEE ln

43

2+=− (5.12)

Karena kT<<Eg, maka suku kedua dapat diabaikan, sehingga EF tepat di tengah-

tengah antara Ev dan Ec. Karena persamaan (5.11), maka dari persamaan (5.10) dapat

diperoleh rapat elektron atau hole dalam semikonduktor intrinsik

( ) kTE

hehe

g

emmh

kTnn 24/32/3

2

22−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==π (5.13)

Tampak bahwa n naik secara tajam (secara eksponensial) terhadap suhu T. Pada

Gambar 5.1 berikut disajikan sketsa pita konduksi dan valensi, fungsi distribusi dan

rapat keadaan elektron dan hole.

5 SEMIKONDUKTOR


144

Gambar 5.1 a. Pita valensi dan konduksi

b. Fungsi distribusi c. Rapat keadaan elektron dan hole

Ungkapan konsentrasi (5.13) di atas dapat dipergunakan untuk menetapkan Eg

bagi bahan semikonduktor intrinsik. Jika μe dan μh, masing-masing menyatakan

mobilitas elektron dan hole, maka dengan menggunakan (5.13) diperoleh

konduktivitas total

( ) ( )

kTE

hekT

E

he

hhee

g

g

eTf

emmh

kTe

nene

2

24/32/3

2

)(

22

−

−

=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

μμπ

μμσ

(5.14)

dengan f(T) adalah fungsi yang bergantung lemah terhadap suhu. Dengan membuat

grafik ln σ sebagai fungsi 1/T, dari data eksperimen, maka didapatkan kemiringan

kurva –Eg/2k. Dengan demikian celah energi Eg dapat ditentukan. Pada awal

perkembangan semikonduktor, cara ini merupakan prosedur standard dalam

menentukan celah energi Eg.

5.3 SEMIKONDUKTOR EKSTRINSIK

Ketidakmurnian dalam semikonduktor dapat menyumbangkan elektron

maupun hole dalam pita energi. Dengan demikian, konsentrasi elektron dapat menjadi

5 SEMIKONDUKTOR


145

tidak sama dengan konsentrasi hole, namun masing-masing bergantung pada

konsentrasi dan jenis bahan ketidakmurnian. Semikonduktor yang didoping dengan

ketidakmurnian disebut semikonduktor ekstrinsik.

5.3.1 Ketidakmurnian Donor dan Aseptor Dalam aplikasi, kadang hanya diperlukan bahan dengan pembawa muatan

elektron saja, atau hole saja. Hal ini dilakukan dengan doping ketidakmurnian ke

dalam semikonduktor.

5.3.1.1 Donor Misalnya, Si didoping dengan As. Atom As menempati titik kisi yang

sebelumnya ditempati tuan rumah Si secara acak. As adalah pentavalen, sedangkan

Si tetravalen. Kelebihan sebuah elektron dari setiap atom As, yang tidak turut dalam

ikatan tetrahedral Si, bebas bergerak dalam kristal sebagai elektron konduksi dalam

pita konduksi. Oleh karena itu, ketidakmurnian menjadi ion positip As+. Hal ini

berarti ketidakmurnian As menyumbangkan elektron ke dalam pita konduksi, dan

disebut donor.

Orbit elektron bebas di sekitar donor tersebut ternyata menyerupai atom

hidrogen model Bohr. Dengan demikian, interaksi yang terjadi adalah interaksi

Coulomb. Dengan memakai model Bohr, maka jari-jari elektron donor

oe

ord a

mm

r ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ε (5.15)

dengan εr = konstanta dielektrik kristal

ao = radius Bohr (=0,53 Å)

mo= massa bebas elektron

me= massa efektif elektron

Si memiliki konstanta dielektrik εr=11,7 dan (me/mo)=0,2. Oleh karena itu, harga rd

untuk Si kira-kira 60 kali lebih besar daripada ao. Karena itu orbit elektron donor

melingkupi banyak atom “tuan rumah” Si, seperti ditunjukkan oleh Gambar 5.2

berikut.

5 SEMIKONDUKTOR


146

Gambar 5.2 Orbit elektron mengelilingi donor

Sedangkan energi ikat yang bersesuaian dengan keadaan dasar energi

oo

e

rd E

mm

E ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 2

1ε

(5.16)

dengan Eo adalah energi dasar atom hidrogen (-13,6 eV). Hal ini berarti, untuk Si,

harga Ed kira-kira 700 kali lebih kecil daripada Eo. Dengan demikian, tingkatan

energi donor dalam semikonduktor berada dalam celah energi sedikit di bawah dasar

pita konduksi, seperti ditunjukkan oleh Gambar 5.3 berikut.

Gambar 5.3 Tingkat energi donor Ed dalam semikonduktor

Pada suhu kamar (kT=0,025 eV), sebagian besar donor terionisasi dan elektronnya

tereksitasi ke dalam pita konduksi. Jika semua donor terionisasi, maka konsentrasi

elektron dalam pita konduksi hampir sama dengan jumlah donor.

5 SEMIKONDUKTOR


147

5.3.1.2 Aseptor

Misalnya, kristal Si didoping dengan atom Ga. Karena atom Ga trivalen, maka

pada salah satu ikatan elektronnya terjadi hole. Hole segera terisi oleh elektron dari

ikatan yang lain sehingga terjadi hole pada ikatan yang lain tadi. Pada akhirnya, hole

tersebut secara bebas bergerak ke seluruh bagian kristal. Karena cenderung menerima

elektron untuk melengkapi ikatan tetrahedralnya, ketidakmurnian Ga menjadi ion

negatip dan disebut aseptor.

Orbit hole di sekitar aseptor juga menyerupai atom hidrogen model Bohr.

Energi ikat hole pada aseptor juga sangat kecil harga numeriknya, dan terletak dalam

celah energi, sedikit di atas pita valensi, seperti ditunjukkan dalam Gambar 5.4

berikut.

Gambar 5.4 Tingkat energi aseptor Ea dalam semikonduktor

Saat aseptor terionisasi (karena hole terisi elektron yang tereksitasi dari puncak pita

valensi), hole jatuh ke puncak pita valensi, dan menjadi pembawa muatan bebas.

Tingkat energi donor dan aseptor dalam celah energi (pita energi terlarang)

merupakan konsekuensi dari ketidaksempurnaan kristal. Kedua tingkatan ini

terlokalisasi dan tidak bisa menghantarkan listrik.

5 SEMIKONDUKTOR


148

Umumnya, tidak ada semikonduktor yang benar-benar murni, melainkan

mengandung donor maupun aseptor. Elektron dalam pita konduksi dapat tercipta

melalui eksitasi antarpita atau ionisasi termal donor. Hole dalam pita valensi dapat

terbentuk melalui eksitasi antarpita atau eksitasi termal elektron dari pita valensi ke

dalam tingkatan aseptor. Dapat juga, elektron jatuh dari tingkat donor ke tingkat

aseptor.

Semikonduktor intrinsik diperoleh bila doping ketidakmurnian kecil. Dengan

demikian, konsentrasi pembawa muatan sangat ditentukan oleh transisi antarpita

secara induksi termal, sehingga diperoleh pendekatan ne=nh (persamaan (5.11)) dan

konsentrasi elektron atau hole sama seperti persamaan (5.13), yaitu

( ) kTE

heihe

g

emmh

kTnnn 24/32/3

2

22−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===π (5.17)

Pada suhu yang cukup tinggi, semua semikonduktor berada dalam keadaan intrinsik,

yaitu ni naik secata tajam (secara eksponensial) terhadap suhu T (kecuali konsentrasi

ketidakmurnian tinggi sekali).

Semikonduktor ekstrinsik diperoleh bila doping ketidakmurnian cukup besar,

sehingga konsentrasi intrinsik sudah jauh lebih kecil pada suhu kamar. Daerah

ekstrinsik terbagi menjadi dua kelompok berikut.

a. Konsentrasi donor Nd jauh lebih besar daripada aseptor Na

Dianggap semua donor terionisasi, sehingga diperoleh pendekatan

ne = Nd (5.18)

Bila hukum Aksi-Massa dikaitkan dengan konsentrasi intrinsik, maka diperoleh

ne nh = ni2 (5.19)

Substitusi konsentrasi donor (5.18) ke dalam (5.19) menghasilkan konsentrasi hole

d

ih N

nn

2

= (5.20)

5 SEMIKONDUKTOR


149

Di daerah ekstrinsik berlaku ni<<Nd, sehingga nh<<Nd. Dengan demikian, konsentrasi

elektron (dari donor) jauh lebih besar daripada hole. Semikonduktor yang demikian

disebut semikonduktor jenis-n.

b. Konsentrasi aseptor Na jauh lebih besar daripada donor Nd

Analisa yang sama dengan di atas memberikan pendekatan

nh = Na (5.21)

Konsentrasi elektron kecil, yang diungkapkan oleh

a

ie N

nn

2

= (5.22)

Semikonduktor yang demikian disebut semikonduktor jenis-p.

5.4 PENGUKURAN CELAH ENERGI DENGAN METODE OPTIK

Nilai terendah kurva dispersi pita konduksi semikonduktor, ternyata, tidak

hanya satu nilai pada k=0, melainkan bisa juga terjadi beberapa nilai pada k≠0. hal ini

ditunjukkan oleh sketsa dalam Gambar 5.5 berikut.

Gambar 5.5 a. Semikonduktor celah-langsung

b. Semikonduktor celah-tidak langsung

Pada semikonduktor celah-langsung, misalnya GaAs dan InSb, elektron

mengabsorbsi foton dan langsung melompat ke dalam pita konduksi. Energi foton

harus sama atau lebih besar dari celah energi. Koefisien absorbsi α=α(λ) mencapai

pita valensi

pita konsuksi

pita valensi

a b

Eg Eg

5 SEMIKONDUKTOR


150

harga maksimum pada panjang gelombang ambang foton λ0. Dengan demikian celah

energi dapat ditentukan melalui hubungan

0λ

hcEg = (5.23)

Pada semikonduktor celah-tidak langsung, misalnya Si dan Ge, elektron

mengabsorbsi foton dan fonon sekaligus. Proses ini memenuhi hukum kekekalan

energi

Efoton + Efonon = Eg (5.24)

Karena Efonon(=0,05 eV) sangat kecil bila dibandingkan dengan Efoton(=1 eV), maka

0λ

hcEE fotong == (5.25)

sehingga dalam hal ini sama dengan kasus transisi langsung pada semikonduktor

celah-langsung.

RINGKASAN 01. Dilihat dari unsur pembentuknya, semikonduktor diklasifikasikan menjadi

beberapa kelompok berikut: (a). elemental kelompok IV, yang berstruktur kristal

intan dan ikatan kovalen homopolar, (b). kelompok III-V, yang berstruktur seng

sulfida dan ikatannya berbentuk kovalen heteropolar, (c). kelompok II-VI, yang

berstruktur seng sulfida dan berikatan kovalen heteropolar, dan (d). kelompok IV-

VI.

02. Pada T=0 K, pita valensi semikonduktor terisi penuh elektron, sedangkan pita

konduksi kosong. Kedua pita tersebut dipisahkan oleh celah energi kecil, yakni

dalam rentang (0,18 – 3,7) eV. Dasar pita konduksi dihuni oleh elektron, dan

puncak pita valensi dihuni hole. Sekarang, kedua pita terisi sebagian, dan dapat

menimbulkan arus netto bila dikenakan medan listrik. Keduanya mengikuti

distribusi Fermi-Dirac. Dalam semikonduktor murni, elektron dan hole

5 SEMIKONDUKTOR


151

mempunyai konsentrasi sama. Semikonduktor yang demikian disebut

semikonduktor intrinsik.

03. Konsentrasi elektron dalam pita valensi adalah kTEE

ee

Fc

eh

kTmn

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2/3

2

22

π.

Sedangkan hole di pita valensi adalah kTEE

hh

vF

eh

kTmn

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2/3

2

22

π. Hukum Aksi-

Massa adalah perkalian antara rapat elektron dengan rapat hole

04. Letak tingkat energi Fermi EF relatif terhadap energi puncak pita valensi Ev untuk

semikonduktor intrinsik adalah tepat di tengah-tengah antara Ev dan Ec.

05. Konduktivitas sebagai fungsi suhu dinyatakan oleh kTEg

eTf 2)(−

=σ . Dengan

membuat grafik ln σ sebagai fungsi 1/T, dari data eksperimen, maka didapatkan

kemiringan kurva –Eg/2k. Dengan demikian celah energi Eg dapat ditentukan.

06. Semikonduktor yang didoping dengan ketidakmurnian disebut semikonduktor

ekstrinsik. Semikonduktor yang tetravalen, didoping dengan atom pentavalen.

Akibatnya, kelebihan sebuah elektron dari setiap atom donor, bebas bergerak

dalam kristal sebagai elektron konduksi dalam pita konduksi. Tetapi, jika

didoping dengan atom trivalen, maka pada salah satu ikatan elektronnya terjadi

hole sehingga atom pendoping tersebut menjadi aseptor.

07. Orbit elektron bebas di sekitar donor dan hole di sekitar aseptor tersebut, ternyata,

menyerupai atom hidrogen model Bohr. Dengan demikian, interaksi yang terjadi

adalah interaksi Coulomb. Jari-jarinya kira-kira 60 kali lebih besar daripada radius

Bohr sehingga melingkupi banyak atom “tuan rumah”. Tingkat energi donor

dalam semikonduktor berada dalam celah energi sedikit di bawah dasar pita

konduksi. Sedangkan energi ikat hole pada terletak dalam celah energi, sedikit di

atas pita valensi.

08. Dalam semikonduktor ekstrinsik, jika konsentrasi donor Nd jauh lebih besar

daripada aseptor Na, konsentrasi elektron (dari donor) jauh lebih besar daripada

hole. Semikonduktor yang demikian disebut semikonduktor jenis-n. Tetapi

sebaliknya, jika konsentrasi aseptor Na jauh lebih besar daripada donor Nd, maka

5 SEMIKONDUKTOR


152

konsentrasi elektron kecil. Semikonduktor yang demikian disebut semikonduktor

jenis-p.

09. Pengukuran celah energi dengan menggunakan metode optik memenuhi rumus

hubungan 0λ

hcEg =

LATIHAN SOAL BAB V 01. Model sederhana menunjukkan bahwa Ge memiliki pita valensi dan pita konduksi

tunggal dengan celah energi 0,670 eV. Sedangkan massa efektifnya mh=0,370mo

dan me=0,550mo. Hitunglah

a. energi Fermi relatif terhadap puncak pita valensi!

b. probabilitas terisinya keadaan dasar pita konduksi pada suhu 300 K!

c. probabilitas kosongnya keadaan puncak pita valensi pada suhu 300 K!

d. konsentrasi elektron dalam pita konduksi pada suhu 300 K!

02. Suatu bahan semikonduktor mempunyai struktur intan dengan sisi kubus 5,4 Å,

massa efektif me=0,88mo dan mh=0,42mo serta celah energi antara pita valensi

dan konduksi sebesar 0,82 eV. Diandaikan bahan tersebut murni, maka hitunglah

a. energi Fermi!

b. rapat elektron dalam pita konduksi pada suhu 300 K!

c. rapat elektron dalam pita valensi pada suhu 300 K!

d. Buktikan bahwa rapat elektron dalam pita konduksi sama dengan rapat hole

dalam pita valensi pada suhu 300 K!

03.a. Hitunglah konsentrasi elektron dan hole dalam sampel murni Si pada suhu

kamar! Ambillah harga me=0,7mo; mh=mo dan Eg=1,1 eV!

b. Tentukan posisi tingkat energi Fermi dalam keadaan ini!

04. Diketahui bahwa rapat keadaan efektif elektron dalam pita konduksi 1,1.1019 cm-3

dan rapat keadaan efektif hole dalam pita valensi 0,51.1019 cm-3 dalam Ge pada

suhu kamar. Jika diambil harga Eg=0,7 eV, maka hitunglah

5 SEMIKONDUKTOR


153

a. massa efektif me dan mh untuk elektron dan hole!

b. konsentrasi pembawa muatan pada suhu kamar!

c. konsentrasi pembawa muatan pada suhu 77 K, jika dianggap energi celah tidak

bergantung pada suhu!

05. Galium Arsenit mempunyai konstanta dielektrik 10,4, massa efektif elektron

me=0,07mo dan hole mh=0,09mo.

a. Tentukan energi ionisasi donor dan aseptor!

b. Hitunglah radius Bohr untuk ikatan elektron donor dan hole aseptor!

06. Suatu sampel silikon didoping dengan donor arsen 1,0.1023 m-3. Sampel disimpan

dalam keadaan suhu kamar. Data untuk Si adalah Eg=1,1 eV, me=0,7mo dan

mh=mo.

a. Hitunglah konsentrasi elektron intrinsik, dan tunjukkan bahwa harga tersebut

dapat diabaikan bila dibandingkan dengan konsentrasi elektron sumbangan

donor!

b. Jika dianggap semua ketidakmurnian mengalami ionisasi, maka tentukan

posisi tingkat energi Fermi!

c. Bagaimana pengaruhnya terhadap tingkat energi Fermi jika terhadap sampel di

atas didopingkan aseptor sebanyak 6,0.1021 m-3?

07. Data untuk Si adalah μe=1350 cm2/Vs, μh=475 cm2/Vs, Eg=1,1 eV, me=0,7mo dan

mh=mo. Hitunglah konduktivitas intrinsik σ pada suhu kamar!

08. Turunkan persamaan (5.15) dan (5.16)!

09. Untuk Ge didapatkan εr=15,8 dan me/mo=0,1. Hitunglah jari-jari orbit keadaan

dasar dan energi ionisasi donor yang didopingkan ke dalam Ge!

B A B VI

BAHAN DIELEKTRIK

Bab ini membahas sifat dielektrik bahan, yang disertai dengan sifat optik dan

perubahan fasa bahan. Sifat tersebut meliputi rentang frekuensi yang sangat lebar,

yakni mulai dari daerah statik sampai ultraviolet, dan memberikan informasi penting

yang berkaitan dengan struktur bahan.

Bab ini diawali oleh bahasan rumusan dasar sifat dielektrik bahan.

Selanjutnya, dibahas konstanta dielektrik bahan sebagai besaran makroskopis, dan

merelasikannya dengan polarisabilitas molekul sebagai besaran mikroskopis. Sumber

polarisasi molekul adalah polarisabilitas polar, ionik dan elektronik. Akhirnya, bab

ini ditutup oleh bahasan gejala piezoelektrik dan ferroelektrik, dimana keduanya

berkaitan dengan polarisabilitas ionik

6.1 RUMUSAN DASAR POLARISASI BAHAN

Dua muatan listrik berlawanan, tetapi besarnya sama, yakni –q dan +q,

membentuk dipol listrik yang momennya

dqp = (6.1)

dengan d adalah vektor posisi dari muatan negatip ke positip, seperti ditunjukkan

oleh Gambar 6.1 berikut.

Gambar 6.1 Sebuah dipol listrik

6 BAHAN DIELEKTRIK


155

Suatu dipol listrik menimbulkan medan listrik di sekitarnya, yaitu

( )5

234

1r

prrrp

or

−•∈

=π

ε (6.2)

dengan r adalah vektor jarak yang menghubungkan dipol dengan titik medan yang

ditinjau. Ungkapan medan (6.2) di atas mengasumsikan bahwa r>>d.

Menempatkan suatu dipol dalam medan listrik eksternal oε , menyebabkan

timbulnya torsi pada dipol, yaitu

op ετ ×= (6.3)

seperti ditunjukkan oleh Gambar 6.2 berikut.

Gambar 6.2 Torsi pada suatu dipol yang ditimbulkan oleh medan listrik luar

Torsi berusaha membawa dipol menjadi searah medan. Disamping itu, interaksi

antara dipol dan medan menimbulkan energi potensial

θεε cosoo ppV −=•−= (6.4)

Tampak bahwa dipol memiliki energi potensial minimum bila orientasinya paralel

medan. Hal ini sesuai dengan kecenderungan torsi pada dipol seperti di atas.

Dalam bahan dielektrik, kumpulan momen dipol membentuk polarisasi P ,

yakni jumlah momen dipol persatuan volume. Untuk suatu kristal, polarisasi

merupakan jumlah momen dipol dalam suatu sel satuan dibagi dengan volume sel.

Jika bahan mengandung jumlah molekul persatuan volume sebanyak N, dan masing-

masing memiliki momen p , serta momen tersebut searah, maka polarisasinya

pNP = (6.5)

6 BAHAN DIELEKTRIK


156

6.2 KONSTANTA DIELEKTRIK BAHAN (PANDANGAN MAKROSKOPIS)

Bahan dielektrik yang ditempatkan dalam suatu medan listrik eksternal oε

mengalami perpindahan listrik

ooD ε=∈ (6.6)

dengan o∈ adalah permitivitas vakum. Disamping itu, bahan menjadi terpolarisasi,

sehingga sifat elektromekaniknya berubah melalui ungkapan

PD o +=∈ ε (6.7)

dengan ε adalah medan listrik dalam bahan. Gabungan kedua persamaan (6.6) dan

(6.7) di atas menghasilkan

Po

o ∈−=

1εε (6.8)

Tampak bahwa polarisasi bahan menyebabkan terjadinya induksi medan. Hal ini

dijelaskan dalam Gambar 6.3 berikut.

Gambar 6.3 Medan 'ε melawan medan luar oε . Resultan medan internal adalah ε

Polarisasi menyebabkan terjadinya muatan polarisasi pada permukaan bahan, yakni

muatan positip di sebelah kanan dan negatip di kiri. Muatan ini menimbulkan medan

listrik 'ε yang arahnya ke kiri melawan medan luar oε . Akibatnya medan internal

resultan, yakni ε lebih kecil daripada oε .

oε

'ε ε

- + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - +

+ + + + + +

- - - - - -

6 BAHAN DIELEKTRIK


157

Suseptibilitas listrik χ bahan didefinisikan oleh hubungan

εχoP =∈ (6.9)

Hubungan (6.9) berlaku untuk bahan dielektrik linier isotropik, misalnya bahan kubik

dan amorf. Substitusi polarisasi (6.9) ke dalam perpindahan listrik (6.7) di atas

menghasilkan

( ) εεεχεχε =∈∈=∈+=∈∈+=∈ rooooD 1 (6.10)

dengan ∈ = permitivitas listrik (mutlak)

r∈ = permitivitas listrik relatif (terhadap o∈ ) = konstanta dielektrik

Konstanta dielektrik r∈ dan suseptibilitas listrik χ merupakan besaran karakteristik

makroskopis bahan.

6.3 POLARISABILITAS BAHAN (PANDANGAN MIKROSKOPIS) 6.3.1 Persamaan Clausius-Mosotti Polarisasi bahan, yakni pensejajaran momen dipol molekul, terjadi karena

medan listrik. Oleh karena itu diambil asumsi bahwa momen dipol molekul p

sebanding dengan medan listrik lokal lε pada molekul yang bersangkutan

lp εα= (6.11)

dengan α adalah polarisabilitas molekul.

Untuk memperoleh lε dipergunakan perumusan Lorentz, yaitu suatu dipol

tertentu dibayangkan dikelilingi oleh rongga bola yang berjari-jari R cukup besar

sehingga titik-titik di permukaan bola luar dapat dianggap sebagai medium kontinu.

Medan lokal yang bekerja pada dipol di pusat bola

321 εεεεε +++= ol (6.12)

dimana

oε = medan eksternal

1ε = medan yang terjadi karena muatan polarisasi pada permukaan eksternal bahan

2ε = medan yang terjadi karena muatan polarisasi pada permukaan bola Lorentz

3ε = medan yang terjadi karena semua dipol dalam bola Lorentz

6 BAHAN DIELEKTRIK


158

Bagian antara bola dan permukaan eksternal menghasilkan muatan total nol karena

muatan polarisasinya saling menetralkan satu sama lain. Pada ungkapan (6.12) di

atas, oε dan 1ε merupakan medan makroskopis. Hal di atas ditunjukkan oleh

Gambar 6.4 berikut.

Gambar 6.4 Prosedur menghitung lε pada dipol yang terletak pada pusat bola Lorentz

Medan 1ε . Medan ini dikenal sebagai medan depolarisasi karena arahnya melawan

medan eksternal oε . Untuk bahan berbentuk keping tak berhingga, dengan

menggunakan hukum Gauss, nilai medan ini

Po∈

−=1

1ε (6.13)

Medan 2ε . Karena bola cukup besar, maka muatan polarisasi pada permukaan

rongga Lorentz dapat dianggap memiliki distribusi kontinu dengan kerapatan

θcosˆ PPn =•

dengan n adalah normal (arah keluar) permukaan bola. Elemen luas permukaan bola

dS = R2 sin θ dθ dφ. Medan yang ditimbulkan oleh muatan ini adalah

φθθθθπ

επ

φ

π

θ

ddRR

P

o

sincoscos4

1 2

0

22

02 ∫∫

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∈= (6.14)

Faktor cos θ muncul karena integrasi hanya mengambil medan sepanjang arah P

(komponen lain lenyap karena simetri). Hasil integrasi di atas

Po∈

=3

12ε (6.15)

++

+ +

++

++ +

+ + + + +

- - - - - -

- - - - - - -

+ + + + + + +

θ

lε

6 BAHAN DIELEKTRIK


159

Medan 3ε . Dipol dalam bola berdistribusi secara diskrit dan masing-masing

menimbulkan medan listrik (persamaan (6.2)) di sekitarnya. Oleh karena itu medan

total diperoleh dengan menjumlahkan seluruhnya. Medan total ini bergantung pada

struktur kristal bahan. Untuk bahan berstruktur kubik, nilai medan total ini adalah

nol. Jadi

03 =ε (6.16)

Dengan demikian substitusi medan (6.13), (6.15) dan (6.16) ke dalam (6.12)

menghasilkan medan lokal

Po

ol ∈−=

32εε (6.17)

Bila ditulis dalam bentuk medan makroskopis bahan dielektrik ε , dengan

menggunakan persamaan (6.8), maka ungkapan medan lokal (6.17) di atas menjadi

Po

l ∈+=

31εε (6.18)

Tampak bahwa medan lokal 1ε lebih besar dari medan rata-rata ε . Ungkapan (6.18)

sering dinamakan hubungan Lorentz.

Medan Maxwell, ε , merupakan besaran makroskopis dan medan konstan

rata-rata dari seluruh jumlah molekul. Sedangkan medan Lorentz, 1ε , merupakan

besaran mikroskopis yang nilainya berfluktuasi, yaitu sangat besar pada tempat di

sekitar molekul. Oleh sebab itu, molekul akan lebih efektif terpolarisasi dalam 1ε

daripada dalam ε . Hal ini dilukiskan dalam Gambar 6.5 berikut.

Gambar 6.5 Perbedaan antara medan Maxwell ε dan medan Lorentz 1ε .

Bulatan padat adalah molekul

6 BAHAN DIELEKTRIK


160

Substitusi medan lokal (6.18) ke dalam persamaan (6.5) melalui persamaan

(6.11) menghasilkan polarisasi bahan dielektrik

o

NNP

∈−

=

31 α

α (6.19)

Sedangkan substitusi polarisasi (6.19) ke dalam perpindahan listrik (6.7)

menghasilkan ungkapan konstanta dielektrik

o

or N

N

∈−

∈+

=∈

31

321

α

α (6.20)

Hasil ini menunjukkan bahwa besaran makroskopis r∈ dapat diungkapkan dalam

bentuk besaran mikroskopis α. Ungkapan konstanta dielektrik (6.20) di atas

seringkali ditulis dalam bentuk

or

r N∈

=+∈−∈

321 α (6.21)

dan disebut sebagai hubungan Clausius-Mosotti. Bentuk (6.21) di atas dapat juga

ditulis menjadi

o

A

r

r NW∈

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∈−∈

321 α

ρ (6.22)

Hal ini menunjukkan bahwa polarisabilitas α dapat ditentukan asalkan besaran berat

molekul W, rapat massa ρ, dan konstanta dielektrik r∈ diketahui. Ungkapan ruas

kanan (dan ruas kiri) dalam (6.22) di atas dinamakan polarisabilitas molar.

Persamaan Clausius-Mosotti cukup valid untuk bahan muatan dan cairan.

Untuk gas, dimana N kecil, penyebut (6.20) menunjukkan 13

<<∈o

AN α sehingga dapat

dideretkan. Bila dari deret tersebut diambil orde pertama, maka diperoleh ungkapan

konstanta dielektrik

o

rN∈

+=∈α1 (6.23)

6 BAHAN DIELEKTRIK


161

Hal ini berarti, untuk gas, medan lokal 1ε lebih kurang berharga sama dengan medan

rata-rata ε bahan.

6.3.2 Sumber Polarisabilitas Sehubungan dengan proses polarisasi bahan, struktur molekul/atom yang

membangun suatu bahan dapat dikelompokkan menjadi berikut.

a. Molekul polar, yakni molekul yang mempunyai resultan momen dipol permanen

tidak sama dengan nol. Contohnya H2O.

b. Molekul nonpolar, yakni molekul yang mempunyai resultan momen dipol

permanen sama dengan nol. Contohnya CO2.

c. Molekul ionik, yakni molekul yang berikatan ionik. Contohnya NaCl.

d. Atom kristal kovalen bersifat nonpolar dan nonionik. Contohnya Si dan Ge.

Berdasarkan jenis molekul/atom di atas dan perilakunya saat dikenakan medan, maka

polarisabilitas bahan dapat terdiri dari beberapa jenis sebagai berikut.

a. Polarisabilitas polar/orientasional (αp)

Momen dipol permanen bahan terdistribusi secara acak sehingga polarisasi sama

dengan nol. Saat dikenakan medan momen dipol cenderung mensejajarkan diri

terhadap arah medan sehingga polarisasi tidak sama dengan nol.

b. Polarisabilitas ionik (αi)

Medan menyebabkan ion positip bergerak searah medan dan ion negatip bergerak

berlawanan arah medan, sehingga panjang ikatan antarion menjadi longgar.

Perpindahan relatif ion bermuatan ini menghasilkan momen dipol dalam satuan

sel, yang sebelumnya tidak ada.

c. Polarisabilitas elektronik (αe)

Masing-masing ion atau atom dalam molekul terdiri dari inti (nukleus) dan

elektron. Bila dikenakan medan, maka ion atau atom individual tersebut menjadi

terpolarisasi karena elektron mengalami perpindahan relatif terhadap inti ke arah

yang berlawanan dengan arah medan. Hal yang sama terjadi juga pada atom netral.

Dari uraian di atas, umumnya, polarisabilitas total suatu bahan dapat ditulis

6 BAHAN DIELEKTRIK


162

α = αe + αi + αp (6.24)

Bentuk αe terjadi pada semua jenis bahan. Sedangkan bentuk αi hanya terjadi pada

bahan ionik. Pada bahan polar dapat terjadi proses ketiga polarisasi di atas.

Terdapat ciri khusus yang membedakan satu sama lain dari ketiga polarisasi di

atas, yakni sebagai berikut.

a. Polarisasi polar menunjukkan kebergantungan yang kuat terhadap suhu, sedangkan

dua yang lain tidak. Konstanta dielektrik bahan polar mengalami penurunan

dengan naiknya suhu.

b. Perilaku polarisabilitas bolak-balik, yakni saat pada bahan dikenakan medan listrik

bolak-balik, seperti ditunjukkan pada Gambar 6.6 berikut.

Gambar 6.6 Sketsa polarisabilitas total α terhadap frekuensi ω dalam bahan polar

Terlihat bahwa pada ω>ωp (p=polar), sumbangan αp menghilang karena dipol

tidak mampu mengikuti gerakan medan yang berosilasi sedemikian cepatnya

sehingga dipol dalam keadaan stasioner. Pada daerah ω>ωi (i=ionik), ion dengan

massa yang berat tidak sanggup untuk mengikuti osilasi medan yang sangat cepat

sehingga polarisabilitas αi sama dengan nol; dan pada daerah ini hanya terdapat

polarisabilitas elektronik αe saja. Tetapi pada ω>ωe (e=elektronik), αe sama

dengan nol karena elektron terlalu berat untuk mengikuti medan yang berosilasi

6 BAHAN DIELEKTRIK


163

sangat cepat. Dengan demikian konstanta dielektrik bahan polar menurun dengan

kenaikan frekuensi dari daerah statik sampai ke optik.

6.3.2.1 Polarisabilitas Polar

6.3.2.1.1 Polarisabilitas Polar Statik Semula, momen dipol mempunyai orientasi acak sehingga resultan polarisasi

rata-rata bahan sama dengan nol. Bila pada bahan dikenakan medan listrik, misalnya

ε, maka energi potensial dipol sama seperti persamaan (6.4), yakni

θεε cosppV −=•−= (6.25)

dengan θ adalah sudut antara arah dipol dan medan. Medan menyebabkan adanya

torsi dan distribusi dipol tidak lagi acak, melainkan cenderung mensejajarkan diri

dalam arah medan. Probabilitas untuk mendapatkan dipol dalam arah θ memenuhi

fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann

TkpTkV oo eef /cos/)( θεθ == − (6.26)

Terlihat bahwa dipol lebih menyukai arah θ=0o, yakni searah medan.

Harga rata-rata dipol dalam arah-X

∫∫

Ω

Ω=

df

dfpp

xx

)(

)(

θ

θ (6.27)

dimana integrasi dilakukan atas semua arah dipol dalam sudut ruang Ω. Dalam hal ini

px = p cos θ θ = (0 s/d π) dΩ = sin θ dθ dφ dan φ = (0 s/d 2π)

Hasil integrasi di atas adalah

)(uLppx = (6.28)

dengan L(u) = coth u – 1/u dan u = pε/koT. Fungsi Langevin L(u) mempunyai bentuk

sketsa seperti ditunjukkan dalam Gambar 6.7 berikut.

6 BAHAN DIELEKTRIK


164

Gambar 6.7 Fungsi Langevin L(u) terhadap u

Pada suhu kamar dan medan yang sedang, u<<1 dan fungsi naik secara linier dan

dengan mengekspansikan coth (u) dapat diperoleh L(u)≅(1/3)u. Sedangkan untuk

suhu tinggi dan medan yang sangat besar, u>>1 fungsi mempunyai harga saturasi,

yakni L(u)=1, sehingga semua dipol berdistribusi searah medan.

Untuk kebanyakan eksperimen, diambil pendekatan medan yang sedang,

sehingga

εTk

ppo

x 3

2

= (6.29)

Terlihat bahwa momen berbanding lurus dengan medan dan berbanding terbalik

dengan suhu. Dengan demikian polarisabilitas polarnya

Tk

p

op 3

2

=α (6.30)

Substitusi harga polarisabilitas polar (6.30) ke dalam persamaan Clausius-Mosotti

(6.22) menghasilkan

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∈=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∈−∈

TkpNW

oei

o

A

r

r

3321 2

αρ

(6.31)

dengan αei adalah kombinasi polarisabilitas elektronik dan ionik yang tidak

bergantung suhu. Dengan menggrafikkan polarisabilitas molar (ruas kiri) terhadap

kebalikan suhu 1/T, maka dapat ditentukan momen dipol permanen molekul polar p

dan polarisabilitas nonpolar αei suatu bahan. Untuk molekul nonpolar, grafik tersebut

berbentuk horisontal.

3

1

L(u)

u ( )Tkpo

ε=

6 BAHAN DIELEKTRIK


165

6.3.2.1.2 Polarisabilitas Polar Bolak-balik

Dalam mengikuti osilasi medan listrik, dipol mengalami gesekan karena

bertumbukan dengan molekul lain dalam sistem. Penyerapan energi medan ini

menimbulkan panas. Hal ini sering disebut “dielectric loss”.

Gerakan polarisasi polar digambarkan oleh persamaan

)()(1)(tptp

dttdp

ddsd −=

τ (6.32)

dengan pd(t) = momen dipol polar pada saat t

pds(t) = momen dipol saturasi (setimbang)

τ = waktu relaksasi

Misalnya, medan listrik statik dikenakan pada t=0. Dalam hal ini pds(t) =αpε=po,

dimana αp adalah polarisabilitas polar statik dan po adalah momen dipol permanen

molekul. Oleh karena itu persamaan di atas menjadi

ττ

odd ptpdt

tdp=+

)()( (6.33)

yang mempunyai solusi

pd(t) = po (1 – e-t/τ) (6.34)

Jika medan listrik statik dikenakan cukup lama pada bahan sehingga dicapai nilai

setimbang po, dan tiba-tiba medan dihentikan pada t=0, maka pds=0 dalam persamaan

(6.32) sehingga solusinya adalah

pd(t) = po e-t/τ (6.35)

Untuk medan listrik bolak-balik

ε(t) = A e-iωt (6.36)

keadaan setimbangnya dinyatakan oleh

pds(t) = αp(0) ε(t) (6.37)

dengan αp(0) adalah polarisabilitas polar statik; dan persamaan geraknya dinyatakan

oleh

)()0()()(

ttp

dttdp pdd ε

τα

τ=+ (6.38)

6 BAHAN DIELEKTRIK


166

Diambil solusi berbentuk

ps(t) = αp(ω) ε(t) = αp(ω) A e-iωt (6.39)

dengan αp(ω) adalah polarisabilitas bolak-balik. Substitusi bentuk solusi (6.39) ke

dalam persamaan gerak (6.38) menghasilkan

τω

αωα

ip

p −=

1)0(

)( (6.40)

Terlihat bahwa polarisabilitas αp(ω) merupakan besaran komplek, artinya polarisasi

tidak sefasa dengan medan. Hal ini berarti terjadi absorbsi energi.

Bila kontribusi ionik cukup kecil sehingga dapat diabaikan, maka konstanta

dielektrik )(ωr∈ dapat ditulis

)()(1)( ωχωχω per ++=∈

dengan )()( ωχωχ pe dan , masing-masing adalah suseptibilitas elektronik dan polar.

Dalam dispersi polar, yakni daerah gelombang mikro, suseptibilitas elektronik relatif

konstan, sehingga kontribusi polar dapat ditulis

)()( 2 ωχω pr n +=∈ (6.41)

dengan )(12 ωχ en += = konstanta dielektrik optik

n = indek bias

Kontribusi polar )(ωχ p tidak sepenuhnya mampu mengikuti osilasi medan sehingga

terjadi keterlambatan fasa. Karena pχ sebanding dengan αp, maka )(ωχ p

merupakan besaran komplek yang bentuknya sama dengan αp(ω) dalam (6.40)

sehingga konstanta dielektrik (6.40) dapat ditulis

τω

χω

in p

r −+=∈

1)0(

)( 2 (6.42)

dengan 2)0()0( nrp −=∈χ adalah suseptibilitas polar statik. Terlihat bahwa

konstanta dielektrik (6.42) di atas bergantung pada frekuensi. Hal ini berarti bahan

menunjukkan gejala dispersi. Dalam bentuk bagian riil dan imaginer, konstanta

dielektrik )(ωr∈ dapat ditulis

6 BAHAN DIELEKTRIK


167

)()()( "' ωωω rrr i∈+=∈∈ (6.43)

dengan

22

22'

1)0()(τω

ω+

−∈+=∈

nn rr (6.44a)

τωτω

ω ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−∈=∈ 22

2"

1)0(

)(nr

r (6.44b)

Ungkapan (6.44) ini disebut persamaan Debye, yang secara grafik ditunjukkan oleh

Gambar 6.8 berikut.

Gambar 6.8 Sketsa bagian riil )(' ωr∈ dan bagian imaginer )(" ωr∈ terhadap ln ωτ untuk bahan polar

Terlihat bahwa grafik τωω ln)(' −∈r merupakan kurva dispersi; dan τωω ln)(" −∈r

kurva absorbsi. Bagian riil )0('r∈ berharga konstan, yakni )0(r∈ pada daerah

ω<<1/τ, dan berharga n2 (konstanta dielektrik frekuensi tinggi) pada daerah ω>>1/τ.

Besaran 1/τ sering disebut frekuensi tumbukan, yang mencakup semua frekuensi

sampai dengan daerah gelombang mikro. Sedangkan bagian imaginer )(" ωr∈

mencapai harga maksimum, yakni 221 )0( nr −∈ , pada ω=1/τ.

6.3.2.2 Polarisabilitas Ionik Kristal ionik diatomik satu dimensi ditunjukkan dalam Gambar 6.9 berikut.

6 BAHAN DIELEKTRIK


168

Gambar 6.9 Kisi ionik diatomik satu dimensi

Dalam satuan sel terdapat dua atom, masing-masing dengan massa M1 dan M2 dan

muatan listrik e* dan –e*. Muatan efektif e* lebih kecil daripada muatan elektron e

karena transfer elektron dalam ikatan ionik molekul tidak sempurna. Jika medan

listrik bolak-balik ε dikenakan terhadap kristal, persamaan gerak masing-masing ion

adalah

εα *2 2221212

2

1 eUUUt

UM nnn

n +−−−=∂

∂++

+ (6.45)

εα *2 1212222

2

2 eUUUtU

M nnnn −−−−=

∂∂

+− (6.46)

Terlihat bahwa kristal mengalami gaya interaksi antaratom dan gaya listrik. Hal ini

berarti kisi mengalami vibrasi yang dipaksakan.

Misalnya, medan ε berbentuk gelombang bidang

ε = εx ei(kx - ωt) (6.47)

Jika diasumsikan λ>>d (atau k→0), maka semua atom sejenis mempunyai

perpindahan yang sama. Dalam keadaan mapan, M1 dan M2 masing-masing

mempunyai perpindahan U+ dan U- yang berbentuk sama seperti medan gaya (6.47)

U+ = Uo+ e-iωt (6.48a)

U- = Uo- e-iωt (6.48b)

Dengan harga k=0. Substitusi (6.47) dan (6.48) ke dalam persamaan gerak (6.45) dan

(6.46) di atas menghasilkan perpindahan ionik

( ) xt

o MeU ε

ωω ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=+ 221

* (6.49)

( ) xt

o MeU ε

ωω ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=− 222

* (6.50)

M2 M1

2n 2n+1 + - + -

6 BAHAN DIELEKTRIK


169

dengan ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

21

2 112MMt αω . Tampak bahwa ωt adalah frekuensi fonon optik

transversal pada k=0. Perbedaan perpindahan kedua ion ini menyebabkan timbulnya

momen dipol listrik molekul. Dengan demikian polarisasi ionik Pi yang terjadi

Pi = N e* (Uo+ -Uo-) (6.51)

Selain itu, pada kristal terjadi juga polarisasi elektronik Pe.

Polarisasi total Pie (ionik dan elektronik) disubstitusikan ke dalam persamaan

(6.7) sehingga menghasilkan konstanta dielektrik

2

22

2

1

1*)(1)(

t

too

er

eNP

ωωμωε

ω−

∈+

∈+=∈ (6.52)

dengan 21

21

MMMM+

=μ adalah massa tereduksi kedua ion. Pada ruas kanan, suku

kedua merupakan kontribusi elektronik, dan suku ketiga kontribusi ionik.

Untuk ω<<ωt, kedua kontribusi ada dan membentuk fungsi dielektrik statik )0(r∈ .

Untuk ω>>ωt, kontribusi ionik menjadi nol.

Konstanta dielektrik pada frekuensi tinggi, yang hanya terdiri dari kontribusi

elektronik, disimbolkan dengan 2)( nr =∞∈ , dengan n adalah indek bias optik.

Dengan demikian ungkapan konstanta dielektrik (6.52) di atas dapat ditulis dalam

bentuk

2

2

22

1

)0()(

t

rr

nn

ωω

ω−

−∈+=∈ (6.53)

Suku kedua ruas kanan merupakan polarisabilitas ionik bolak-balik, dan besaran

)0()0( 2ir n χ=−∈ merupakan suseptibilitas ionik statik. Sketsa )(ωr∈ terhadap ω

disajikan dalam Gambar 6.10 berikut.

6 BAHAN DIELEKTRIK


170

Gambar 6.10 Sketsa konstanta dielektrik )(ωr∈ terhadap ω molekul ionik

Pada gambar di atas tampak bahwa )(ωr∈ <0 dalam rentang ωt<ω<ωl, dengan ωl

adalah frekuensi dimana )(ωr∈ =0.

Fungsi konstanta dielektrik dapat digunakan untuk mempelajari sifat optik

medium. Jika indek bias optik berbentuk komplek, maka konstanta dielektrik dapat

dituliskan dalam bentuk

( )2Χ+=∈ inr (6.54)

dengan Χ adalah koefisien pemadaman. Refleksivitas R dan absorbsi medium αab

diungkapkan melalui hubungan

( )( ) 22

22

11

Χ++Χ+−

=nnR (6.55)

kab Χ= 2α (6.56)

Jika )(ωr∈ <0, maka menurut (6.54) haruslah n=0 dan 0≠Χ , sehingga refleksivitas

(6.55) berharga R = 1. Hal ini berarti gelombang datang dengan frekuensi dalam

rentang ωt<ω<ωl mengalami refleksi total, dan tidak dapat merambat dalam kristal.

Daerah ini disebut celah terlarang.

Pada gambar di atas tampak pula bahwa )(ωr∈ menunjukkan dispersi yang

kuat ( )(ωr∈ →∞) di dekat frekuensi fonon optik ωt. Di daerah ini, disamping terjadi

absorbsi maksimum, juga terjadi kondisi resonansi, yakni dimana frekuensi sinyal

sama dengan frekuensi alami sistem ionik sehingga respon sistem menjadi tak

0 ω

)0(r∈ n2

ωl ωt

)(ωr∈

6 BAHAN DIELEKTRIK


171

berhingga. Absorbsi dan refleksi optik secara kuat di atas terjadi dalam daerah

inframerah.

6.3.2.3 Polarisabilitas Elektronik

6.3.2.3.1 Polarisabilitas Elektronik Statik Dengan asumsi distribusi elektron uniform di sekitar atom, dikenakannya

medan ε pada atom, melalui hukum elektrostatik, menyebabkan inti mengalami

perpindahan terhadap pusat atom sebesar

επ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∈=

Zer

x ao34

(6.57)

dengan ra adalah radius atom dan Ze adalah muatan inti. Dengan demikian atom

terpolarisasi dengan momen dipol

P = Z e x

sehingga polarisasi elektronik yang terjadi

34 aoe r∈= πα (6.58)

6.3.2.3.2 Polarisabilitas Elektronik Bolak-balik Dalam hal ini diasumsikan bahwa elektron dalam atom mengalami gaya pulih

elastik yang bersesuaian dengan frekuensi resonansi ωo. Persamaan gerak elektron

saat dikenakan medan bolak-balik dengan polarisasi dalam arah-X

εω exmdt

xdm o −=+ 22

2

(6.59)

Jika medan ε = εx e-iωt, maka dapat ditentukan solusi untuk perpindahan x dan

polarisasi P. Polarisabilitas elektronik yang diperoleh

22

2 /)(ωω

ωα−

=o

eme (6.60)

Jika terdapat Z elektron peratom dan N atom persatuan volume, maka suseptibilitas

listriknya

6 BAHAN DIELEKTRIK


172

22

2 1)(ωω

ωχ−∈

=oo

e mNZe (6.61)

dan indek refraksi

22

22 11)(

ωωω

−∈+=

oo mNZen (6.62)

Secara grafik n2(ω) terhadap ω disajikan dalam Gambar 6.11 berikut.

Gambar 6.11 Sketsa kuadrat indek bias n2(ω) terhadap ω

Tampak bahwa dispersi tajam terjadi pada frekuensi resonansi ωo (daerah ultraviolet).

Jika kita memulai ωo=0, maka elektron berperilaku sebagai partikel bebas. Pada

frekuensi tinggi, ωo<<ω, harga n2(ω)→1, seperti halnya untuk vakum. Pada frekuensi

ini elektron tidak mampu mengikuti osilasi medan yang kuat.

6.4 GEJALA PIEZOELEKTRIK Gejala piezoelektrik berkait dengan polarisasi ionik. Efek langsung

piezoelektrik menunjukkan bahwa bila pada kristal terjadi regangan, maka akan

terjadi pula medan listrik. Sedangkan efek balik, pemakaian medan listrik

menghasilkan regangan . Dengan demikian, gejala piezoelektrik dapat digunakan

untuk mengkonversikan energi listrik menjadi energi mekanik, atau sebaliknya,

seperti yang terjadi pada transduser.

0 ω

)0(2n 1

ωo

)(2 ωn

6 BAHAN DIELEKTRIK


173

Gejala piezoelektrik hanya terjadi pada bahan nonsentrosimetri. Pada bahan

sentrosimetri, distorsi yang terjadi juga bersifat sentrosimetri sehingga polarisasi nol,

seperti ditunjukkan oleh Gambar 6.12 berikut.

Gambar 6.12 Kristal sentrosimetri tidak menunjukkan efek piezoelektrik

Sedangkan dalam bahan nonsentrosimetri, distorsi menghasilkan polarisasi. Distorsi

menyebabkan terjadinya perpindahan muatan ionik dalam kristal, yang semula

berimpit, karena dikenakannya tekanan, seperti ditunjukkan oleh Gambar 6.13

berikut.

Gambar 6.13 Gejala piezoelektrik pada kwarsa

6.5 GEJALA FERROELEKTRIK Umumnya, suseptibilitas ionik tak bergantung pada suhu. Tetapi, pada

kelompok bahan ferroelektrik konstanta dielektrik berubah terhadap suhu melalui

hubungan hukum Curie-Weiss

C

r TTC−

=∈ (6.63)

6 BAHAN DIELEKTRIK


174

dengan C adalah konstanta Curie dan TC adalah suhu Curie. Hal ini ditunjukkan


Gambar 6.14 Sketsa konstanta dielektrik r∈ terhadap suhu T dalam bahan ferroelektrik

Hubungan di atas berlaku bila T>TC. Dalam daerah ini, bahan berada dalam fasa

paraelektrik, yang mana polarisasi hanya dapat terjadi jika pada bahan dikenakan

medan eksternal dan polarisasinya lenyap bila medan dihilangkan.

Dalam daerah T<TC, bahan menjadi terpolarisasi secara spontan. Dalam

daerah ini bahan berada dalam fasa ferroelektrik. Dengan demikian, suhu Curie TC

merupakan tempat transisi fasa. Polarisasi spontan PS semakin naik bila suhu turun,

seperti ditunjukkan dalam Gambar 6.15 berikut.

Gambar 6.15 Sketsa polarisasi spontan PS terhadap suhu T dalam bahan ferroelektrik

Dalam fasa ferroelektrik, pusat muatan positip kristal tidak berimpit dengan pusat

muatan negatip. Gejala ferroelektrik hanya terjadi pada kelas nonsentrosimetri polar.

Arah polarisasi spontan ferroelektrik tidak sama dalam keseluruhan bagian

bahan. Oleh karena itu bahan terdiri dari sejumlah domain, yakni daerah dimana

T TC

0

r∈

T TC

0

PS

6 BAHAN DIELEKTRIK


175

polarisasinya konstan. Domain berbeda mempunyai polarisasi berbeda pula sehingga

polarisasi total bahan menjadi nol saat setimbang. Pensejajaran domain terjadi bila

dikenakan medan listrik eksternal; yakni domain yang polarisasinya searah medan

bertambah banyak, dan sebaliknya. Polarisasi ini dapat dibalik oleh medan listrik

dalam arah sebaliknya. Dengan demikian bahan ferroelektrik menunjukkan loop

histerisis, seperti ditunjukkan oleh Gambar 6.16 berikut.

Gambar 6.16 Loop histerisis bahan ferroelektrik

Contoh bahan ferroelektrik adalah jenis perovskit, misalnya barium titanat

(BaTiO3). Di atas suhu Curie (TC=120oC), BaTiO3 berstruktur kubik, seperti

ditunjukkan oleh Gambar 6.17 berikut.

6 BAHAN DIELEKTRIK


176

Gambar 6.17 Struktur BaTiO3 dalam fasa kubik

Tetapi, di bawah suhu Curie strukturnya berubah menjadi tetragonal. Dalam fasa ini,

ion Ti4+ dan O2- bergeser terhadap ion Ba2+, seperti ditunjukkan oleh Gambar 6.18

berikut.

Gambar 6.18 Pergeseran Ti4+ dan O2- terhadap Ba2+ pada tetragonal BaTiO3

Akibatnya, terjadilah pemisahan pusat muatan positip dan negatip sejauh 0,012 nm,

sehingga terjadi polarisasi spontan.

RINGKASAN

=Ba2+

=O2-

=Ti4+

=Ti4+

=O2-

a=b=0,398 nm

c=0,403 nm

0,006 nm 0,006 nm

6 BAHAN DIELEKTRIK


177

01. Dua muatan listrik berlawanan, tetapi besarnya sama, yakni –q dan +q,

membentuk dipol listrik yang momennya p. Suatu dipol listrik menimbulkan

medan listrik di sekitarnya. Jika suatu dipol dalam medan listrik eksternal, maka

timbul torsi dan energi potensial pada dipol. Dalam bahan dielektrik, kumpulan

momen dipol membentuk polarisasi, yakni jumlah momen dipol persatuan

volume.

02. Bahan dielektrik yang ditempatkan dalam suatu medan listrik eksternal oε

mengalami perpindahan listrik D, bahan menjadi terpolarisasi P, dan terjadi

induksi medan ε. Hubungan antara P dan ε melahirkan suseptibilitas listrik χ, dan

antara D dan ε melahirkan konstanta dielektrik r∈ . Kedua besaran ini merupakan

besaran karakteristik makroskopis bahan.

03. Polarisasi bahan terjadi karena medan listrik. Diambil asumsi bahwa momen

dipol molekul p sebanding dengan medan listrik lokal lε pada molekul yang

bersangkutan, yakni lp εα= , dengan α adalah polarisabilitas molekul.

Untuk memperoleh lε dipergunakan perumusan Lorentz, yaitu suatu dipol

tertentu dibayangkan dikelilingi oleh rongga bola yang berjari-jari R cukup besar

sehingga titik-titik di permukaan bola luar dapat dianggap sebagai medium

kontinu. Jika jumlah dipol molekul adalah N, maka didapatkan ungkapan

hubungan besaran makroskopis konstanta dielektrik r∈ dan besaran mikroskopis

polarisabilitas molekul α, yaitu or

r N∈

=+∈−∈

321 α , yang disebut sebagai hubungan

Clausius-Mosotti.

04. Sehubungan dengan proses polarisasi bahan, struktur molekul/atom yang

membangun suatu bahan dapat dikelompokkan menjadi molekul polar, nonpolar,

ionik, dan atom kristal kovalen bersifat nonpolar dan nonionik. Berdasarkan jenis

molekul/atom di atas dan perilakunya saat dikenakan medan, maka polarisabilitas

bahan dapat terdiri dari beberapa jenis, yaitu polarisabilitas polar/orientasional

(αp), ionik (αi), dan elektronik (αe). Oleh karena itu polarisabilitas total suatu

6 BAHAN DIELEKTRIK


178

bahan dapat ditulis α = αe + αi + αp. Bentuk αe terjadi pada semua jenis bahan.

Sedangkan bentuk αi hanya terjadi pada bahan ionik. Pada bahan polar dapat

terjadi proses ketiga polarisasi di atas.

05. Polarisabilitas polar terdiri dari dua macam, yaitu statik dan bolak-balik. Jenis

yang pertama menghasilkan Tk

p

op 3

2

=α ; dan yang kedua menghasilkan

τωα

ωαi

pp −

=1

)0()( yang merupakan besaran komplek, artinya polarisasi tidak

sefasa dengan medan (terjadi absorbsi energi). Pada jenis yang kedua juga

didapatkan konstanta dielektrik τω

χωχωχω

in p

per −+=++=∈

1)0(

)()(1)( 2 .

06. Pada frekuensi tinggi, yang hanya terdiri dari kontribusi elektronik, ungkapan

konstanta dielektrik dapat ditulis dalam bentuk

2

2

22

1

)0()(

t

rr

nn

ωω

ω−

−∈+=∈ . Suku

kedua ruas kanan merupakan polarisabilitas ionik bolak-balik.

07. Polarisabilitas elektronik terdiri dari dua macam, yaitu statik dan bolak-balik.

Jenis yang pertama menghasilkan polarisasi elektronik 34 aoe r∈= πα . Sedangkan

jenis yang kedua menghasilkan polarisabilitas elektronik 22

2 /)(ωω

ωα−

=o

eme .

08. Gejala piezoelektrik berkait dengan polarisasi ionik dan hanya terjadi pada bahan

nonsentrosimetri. Gejala piezoelektrik dapat digunakan untuk mengkonversikan

energi listrik menjadi energi mekanik (efek balik), atau sebaliknya (efek langsung),

seperti yang terjadi pada transduser.

09. Pada kelompok bahan ferroelektrik konstanta dielektrik berubah terhadap suhu

melalui hubungan hukum Curie-Weiss C

r TTC−

=∈ . Bila T>TC, polarisasi hanya

dapat terjadi jika pada bahan dikenakan medan eksternal dan polarisasinya lenyap

bila medan dihilangkan (fasa paraelektrik); dan bila T<TC, bahan menjadi

6 BAHAN DIELEKTRIK


179

terpolarisasi secara spontan (fasa ferroelektrik). Dalam fasa ferroelektrik juga

terdapat domain dan loop histerisis.

LATIHAN SOAL BAB VI 01. Bertolak dari medan lokal dalam persamaan (6.18), maka

a. Buktikan bahwa untuk bahan dielektrik linier isotropik medan lokal tersebut

dapat ditulis

εχε ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

31l

b. Dari soal (a) buktikan bahwa suseptibilitas listrik bahan adalah

o

o

NN

∈−

∈=

31

/α

αχ

(Ungkapan ini disebut hubungan Clausius-Mosotti antara suseptibilitas listrik

χ dan polarisabilitas molekul α)

c. Jika medan lokal sama dengan medan rata-rata dalam bahan, maka buktikan

bahwa suseptibilitas listrik soal (b) dapat ditulis

oN ∈= /αχ

02. Di antara kedua plat kapasitor diisikan selenium amorf dengan konstanta

dielektrik 6,0 dan konsentrasi 3,67.1028 atom/m3.

a. Hitunglah polarisabilitas atomnya!

b. Hitunglah medan lokal pada atomnya, jika muatan plat menghasilkan medan

1500 V/m!

c. Hitunglah momen dipol atomnya dalam medan soal (b)!

d. Berapakah harga konstanta dielektriknya, jika medan lokal sama dengan medan

makroskopis?

03. Andaikanlah bahwa titik asal sistem koordinat bertempat pada pusat bola Lorentz

dan polarisasi dalam arah sumbu-Z, maka buktikan bahwa komponen medan ε2

(karena muatan polarisasi pada permukaan bola Lorentz) dalam arah sumbu-X dan

sumbu-Y berharga nol!

6 BAHAN DIELEKTRIK


180

04. Momen dipol untuk distribusi muatan secara umum didefinisikan sebagai

∑=i

ii rqp , dengan qi dan ir , masing-masing adalah muatan dan vektor posisi

dari muatan ke-i, dan penjumlahan dilakukan atas semua muatan yang ada.

Pengambilan titik asal adalah sebarang.

a. Tunjukkan bahwa ungkapan di atas akan menjadi (6.1) bila hanya ada dua

muatan yang sama besar dan berlawanan tanda!

b. Buktikan bahwa jika muatan listrik sistem secara keseluruhan netral, maka

momen dipol tidak bergantung pada pengambilan titik asal!

05. Turunkanlah persamaan (6.13)!

06. Konstanta gaya untuk atom berdekatan dalam NaCl berharga 36 N/m. Jarak

setimbang kristal ini 2,82 Å.

a. Jika besar masing-masing muatan adalah e, maka hitunglah momen dipol pada

jarak setimbangnya!

b. Hitunglah perubahan jarak pisahnya karena medan listrik lokal 1500 V/m!

c. Hitunglah perubahan momen dipolnya!

d. Taksirlah polarisabilitas ionik statiknya!

07. Suatu kristal berstruktur kubik sederhana (dengan rusuk a) dan masing-masing

atomnya memiliki momen dipol sama, yaitu p .

a. Tunjukkan bahwa medan listrik pada suatu atom tertentu karena semua atom

yang berjarak a bernilai nol!

b. Ulangi soal (a) untuk medan dari semua atom yang berjarak a√2.

c. Ulangi soal (a) untuk medan dari semua atom yang berjarak a√3.

08. Suatu kristal berstruktur tetragonal sederhana (dengan sisi bujursangkar a dan

ketinggian c) dan masing-masing atomnya memiliki momen dipol p .

a. Tunjukkan bahwa medan listrik pada suatu atom tertentu karena semua atom

yang berjarak a adalah

31ˆ3

21

azppp Z

o

−∈

=π

dengan z adalah sumbu derajat-4 (tetrad)!

6 BAHAN DIELEKTRIK


181

b. Tuliskan ungkapan medan yang dihasilkan semua atom yang berjarak c!

c. Tunjukkan bahwa resultan medan dari soal (a) dan (b) berharga nol bila c=a!

09. Polarisabilitas elektronik statik Na+ dan Cl-, masing-masing adalah 3,47.10-41

C2m/N dan 3,41.10-40 C2m/N. Sedangkan polarisabilitas ionik statik pasangan ion

NaCl adalah 3,56.10-40 C2m/N. NaCl berstruktur FCC dengan sisi 5,64 Å.

a. Dengan menggunakan hubungan Clausius-Mosotti, hitunglah konstanta

dielektrik NaCl!

b. Jika medan listrik 1500 V/m diarahkan tegak lurus sisi kubus, maka hitunglah

medan lokal pada pasangan ion! Hitung pula medan makroskopis dan medan

polarisasi dalam sampel!

10. Suatu bahan polar mempunyai konsentrasi molekul polar 1,6.1028 molekul/m3 dan

tiap molekul mempunyai momen dipol permanen 3,5.10-26 Cm. Dengan

menggunakan formulasi Langevin

a. hitunglah polarisasi saturasi!

b. hitunglah polarisasi pada 300 K dalam medan listrik 2,5.104 V/m!

c. Abaikan efek medan lokal dan hitunglah suseptibilitasnya pada 300 K!

11. Cahaya 500 nm diarahkan tegak lurus pada sampel dengan indek bias n=1,653

dan koefosien pemadaman Χ =2,35.10-2.

a. Hitunglah kecepatan gelombang dalam sampel!

b. Hitunglah panjang gelombang dalam sampel!

c. Hitunglah jarak dalam sampel sehingga intensitas gelombang tinggal

setengahnya, jika fraksi intensitas gelombang yang diteruskan zk

oeII Χ−= 2

dengan k = vektor gelombang datang

z = jarak tempuh gelombang dalam sampel

d. Hitunglah refleksivitasnya!

e. Hitunglah bagian riil dan imaginer konstanta dielektriknya!

6 BAHAN DIELEKTRIK


182

12. Medan 3ε dalam persamaan (6.12) karena dipol dalam rongga bola bergantung

pada simetri kristal, dan umumnya berharga tidak nol dalam kristal nonkubik.

Anggaplah bahwa medan ini berharga

Pb

o∈=3ε

dengan b adalah konstanta, hitunglah konstanta dielektrik r∈ dalam bahan

tersebut!

13. a. Deretkanlah fungsi Langevin L(u) persamaan (6.28) dalam pangkat u, dan

tunjukkan bahwa

L(u) = u/3 – u3/45 + … , dimana u<<1

b. Hitunglah medan yang diperlukan untuk menghasilkan polarisasi dalam air

sebesar 10% polarisasi saturasi pada suhu kamar, jika diketahui polarisasi air

p=1,9.10-29 Cm!

14. Polarisabilitas molar air naik dari 4.10-5 menjadi 6,8.10-5 m3 jika suhu diturunkan

dari 500 K menjadi 300 K. Hitunglah momen permanen molekul air!

15. Ion Na+ dan Cl- dalam NaCl, masing-masing mempunyai polarisabilitas

elektronik 0,20.10-40 dan 2,65.10-40 farad m2. NaCl berstruktur FCC.

a. Hitunglah jarak terdekat antara atom Na dan Cl!

b. Hitunglah konstanta kisi NaCl!

16. Hitunglah polarisabilitas statik untuk atom hidrogen, jika diasumsikan bahwa

muatan pada elektron terdistribusi seragam dalam keseluruhan bola dengan jari-

jari Bohr!

B A B VII

BAHAN MAGNETIK

Bahan magnetik mempunyai banyak aplikasi, mulai dari teras penstransfer

dalam bidang kelistrikan sampai pada pita magnetik dalam bidang komputer. Oleh

karena itu, pengetahuan tentang sifat magnetik bahan banyak menarik minat para ahli

fisika, kimia dan teknik.

Bagian awal bab ini membahas perilaku magnetik dari atom bebas, dan

kemudian dilanjutkan dengan sifat magnetik elektron konduksi dalam logam.

Bahasan gejala ferromegnetik dibagi menjadi dua kelompok, yakni pada isolator dan

logam. Namun keduanya menitikberatkan pada bahasan medan magnet (internal)

molekuler yang berperan dalam gejala ferromagnetik. Akhirnya, bab ini ditutup oleh

bahasan tentang gejala antiferromagnetik dan ferrimagnetik.

7.1 SUSEPTIBILITAS MAGNETIK BAHAN

Pada bahan yang ditempatkan dalam medan magnet luar yang berintensitas

H , terjadi magnetisasi M , yakni momen dipol magnet persatuan volume. Untuk

kristal, magnetisasi merupakan momen dipol total dalam sel satuan tunggal dibagi

volume sel. Pada bahan, juga, terjadi induksi magnet B yang memenuhi hubungan

MHB oo μμ += (7.1)

Dengan demikian, induksi magnet dalam bahan terdiri dari dua bagian, yakni Hoμ

karena sumber luar dan Moμ karena magnetisasi bahan.

Magnetisasi timbul karena medan luar. Untuk medan lemah M sebanding

dengan H (bahan isotropik linier)

7 BAHAN MAGNETIK


184

HM χ= (7.2)

dengan suseptibilitas magnetik χ sebagai tetapan pembandingnya. Asumsi tersebut

mengabaikan medan demagnetisasi, koreksi medan lokal dan lain-lain karena M

sangat kecil terhadap harga H (harga χ=M/H=10-5). Tetapi dalam bahasan

ferromagnetik, dimana M berharga besar, pengabaian ini ditiadakan. Dengan

mensubstitusikan M ke dalam (7.1) diperoleh

HHB o μχμ =+= )1( (7.3)

dengan μ=μo(1+χ) disebut permeabilitas bahan. Seringkali digunakan besaran

permeabilitas relatif

χμμμ +== 1

or (7.4)

Berdasarkan tanda dan besar nilai suseptibilitas magnet suatu bahan

dikelompokkan menjadi sebagai berikut.

a. Bahan paramagnet, yang mempunyai harga χ positip dengan order 10-5 cm-3.

Berarti M paralel terhadap H . Contohnya, ion transisi dan ion tanah-jarang. Ion

ini mempunyai sel atomik yang tidak komplit.

b. Bahan diamagnet, yang mempunyai harga χ negatip dengan order 10-5 cm-3.

Berarti M berlawanan arah dengan H . Contohnya, kristal kovalen, ionik dan

atom gas mulia yang mempunyai sel penuh. Perilaku diamagnetiknya muncul

karena medan magnet menyebabkan distorsi gerakan orbitalnya.

c. Bahan ferromagnet, yang mempunyai harga χ besar sekali dengan order 105 cm-3

dan mengalami magnetisasi spontan di bawah suhu tertentu. Contohnya, logam Fe,

Co dan Ni.

7.2 GEJALA DIAMAGNETIK LANGEVIN

Perhatikanlah sebuah elektron beredar mengelilingi inti atom dalam medan

magnet B , seperti ditunjukkan dalam Gambar 7.1 berikut.

7 BAHAN MAGNETIK


185

Gambar 7.1 Gejala awal diamagnetik atomik

Sebelum medan dikenakan, pada elektron bekerja gaya Coulomb

rmF oo2ω= (7.5)

dan terjadi momen magnetik elektron

22

2rer

TeIA oo ωπμ === (7.6)

Setelah medan dikenakan, pada elektron bekerja gaya lain, yakni gaya Lorentz

)( BveFL ×−= yang melawan arah gaya Coulomb. Dengan demikian, persamaan

gerak (7.5) berubah menjadi

rmeBrFo2ωω =− (7.7)

yang merupakan persamaan kuadrat dalam ω. Jika medan kecil, maka bentuk

solusinya

m

eBo 2−=ωω (7.8)

Tampak bahwa rotasi elektron lebih pelan. Reduksi frekuensi ini menimbulkan

perubahan momen magnetik, bertolak dari (7.6), yaitu

Bmre

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Δ

4

22

μ (7.9)

Tampak bahwa momen induksi berlawanan arah dengan medan. Dengan kata lain,

respon elektron terhadap kehadiran medan adalah diamagnetik.

velektron

B

FL inti

Fo

7 BAHAN MAGNETIK


186

Dalam atom, orbit elektron berada dalam permukaan sferik. Tetapi, respon

diamagnetik efektif hanyalah pada penampang yang tegak lurus terhadap medan.

Dengan demikian, rata-rata r2 dalam ungkapan perubahan momen (7.9) di atas harus

diganti menjadi (2/3)r2, sehingga

Bmre

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Δ

6

22

μ (7.10)

dengan r adalah radius bola. Apabila atom mempunyai Z elektron dan dalam satuan

volume terdapat N atom, maka suseptibilitas magnetik

( )22

6/rNZ

me

BNZ

HM o

o

μμμχ −=

Δ== (7.11)

dengan 2r adalah rata-rata kuadrat jari-jari elektron. Perata-rataan dilakukan atas

semua orbital elektron dalam atom. Tampak bahwa suseptibilitas tidak bergantung

pada suhu. Respon diamagnetik ini terjadi pada padatan yang sel atomiknya terisi

penuh. Seringkali digunakan ungkapan suseptibilitas molar yang didefinisikan

χmolar=NAχ/N.

7.3 GEJALA PARAMAGNET

Momentum angular orbital total suatu atom didefinisikan sebagai ∑=i

iLL .

Sedangkan momentum angular spin totalnya ∑=i

iSS . Pada keduanya, penjumlahan

dilakukan terhadap semua elektron, dan berharga tidak nol hanya untuk suatu sel

yang tidak penuh.

Momentum angular L dan S berinteraksi, sehingga menimbulkan

momentum angular total

SLJ += (7.12)

yang relatif konstan. Dengan demikian, L dan S berpresisi mengelilingi J , seperti


7 BAHAN MAGNETIK


187

Gambar 7.2 Interaksi spin-orbit

Momen dipol orbital Lme

L ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2μ dan spin S

me

S ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=μ , juga berpresisi di sekitar

J . Momen dipol totalnya SL μμμ += tidak segaris dengan J , dan juga berpresisi

di sekitar J dengan sudut θ. Karena frekuensi presisi yang cukup tinggi, maka yang

teramati hanyalah kompnen dari μ sepanjang J , yakni

Jmegratarata ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−==− 2

cosθμμ

dengan

)1(2

)1()1()1(1+

+−++++=

jjllssjjg (7.13)

adalah faktor Lande.

Penentuan l, j dan s suatu atom memenuhi aturan Hund, yakti

(1). bilangan spin s cenderung mengambil harga maksimum dengan tetap berpegang

pada prinsip Pauli,

(2). demikian pula l, dan

7 BAHAN MAGNETIK


188

(3). jika sel kurang dari separoh maksimum, maka j=|l-s|, dan jika sel sama atau lebih

dari separoh maksimum, maka j=l+s.

Dengan demikian, dapatlah dikatakan bahwa suatu atom yang selnya tidak penuh

mempunyai suatu momen magnetik permanen, yang terjadi dari kombinasi gerakan

orbital dan spin elektronnya.

Teori Klasik

Selanjutnya, untuk sederhananya, ratarata−μ disingkat μ saja. Energi potensial

dipol magnet dalam suatu medan magnet

BV •−= μ (7.14)

Dengan analisa yang sama dengan bahasan polarisasi listrik polar (subbab 6.3.2.1.1),

didapatkan momen dipol rata-rata dalam arah medan (misalnya, sumbu-Z)

TkB

oZ 3

2μμ = (7.15)

Magnetisasinya

TkBNNM

oZ 3

2μμ == (7.16)

dan suseptibilitasnya

Tk

NHM

o

o

3

2μμχ == (7.17)

Tampak bahwa χ berbanding terbalik terhadap T. Hubungan ini disebut hukum Curie

dan suseptibilitasnya disebut suseptibilitas paramagnet Langevin.

Teori Kuantum

Saat medan magnet (misalnya, dalam arah sumbu-Z) dikenakan pada atom,

terjadilah “Zeeman splitting”

jB mBgBE μμ =•−= (7.18)

dengan m

eB 2=μ =9,3.10-24 Jm2/N disebut magneton Bohr.

7 BAHAN MAGNETIK


189

Misalnya, untuk j=1/2 dihasilkan tingkatan energi yang terpisah menjadi dua,

yang masing-masing bersesuaian dengan momen dipol paralel dan antiparalel dengan

arah medan, seperti ditunjukkan oleh Gambar 7.3 berikut.

Gambar 7.3 Zeeman splitting untuk j=1/2

Magnetisasinya

M = g μB (N1 –N2) (7.19)

Dengan g μB = komponen momen dalam arah-Z

N1 = konsentrasi atom di tingkat energi bawah

N2 = konsentrasi atom di tingkat energi atas

Perbandingan antara kedua konsentrasi memenuhi distribusi Boltzmann

TkE oeNN /

2

1 Δ−= (7.20)

dan hubungan N1+N2=N, dengan N adalah jumlah total konsentrasi. Oleh karena itu

magnetisasi (7.19) menjadi

)tanh(xNgeeeeNgM BXX

XX

B μμ =+−

= −

−

(7.21)

dengan TkBg

xo

Bμ= . Sketsa M terhadap x ditunjukkan dalam Gambar 7.4 berikut.

Gambar 7.4 Sketsa M terhadap x untuk sistem j=1/2

mj=-1/2

mj=+1/2

ΔE=gμBB

x

NgμB

M

7 BAHAN MAGNETIK


190

Tampak bahwa M sebanding dengan x untuk medan lemah dan M mencapai saturasi

saat medan listrik besar. Bila diambil kasus medan lemah, x<<1 dan tanh (x) ≅ x,

maka substitusi ke dalam (7.21) didapatkan suseptibilitas

TkgN

o

Bo2)( μμ

χ = (7.22)

Ungkapan ini sama dengan hasil teori klasik, tetapi dengan mengasumsikan momen

efektif atom μef=gμB√3.

Bentuk yang lebih umum, suatu atom dengan j tertentu akan mengalami

pembelahan tingkat energi sebanyak (2j+1) buah. Sedangkan suseptibilitasnya

Tk

N

o

efo

3

2μμχ = (7.23)

dengan

μef = p μB dan p = g (j[j+1])1/2 (7.24)

Bilangan p disebut bilangan efektif magneton Bohr untuk suatu atom.

Eksperimen menunjukkan bahwa kristal ion tanah-jarang memenuhi hukum

Curie, dengan bilangan efektif magneton Bohr p seperti yang dijelaskan dalam teori

interaksi spin-orbit di atas. Dalam ion ini (La s/d Lu), sel 4f, yang menunjukkan

perilaku magnetik, terisi tidak penuh. Sel yang lebih luar, yaitu 5p terisi penuh, 5d

dan 6s berperan dalam pembentukan ion. Karena letaknya yang jauh lebih dalam,

maka elektron dalam sel 4f tidak dipengaruhi oleh ion lain dalam kristal. Perilaku

magnetiknya seperti ion bebas, sehingga momentum angular L dan S berkopel

sangat kuat.

Sedangkan untuk ion logam transisi, eksperimen menunjukkan bahwa j=s.

Dalam hal ini, sel terluar 3d terisi tidak penuh. Elektron dalam sel 3d ini berinteraksi

sangat kuat dengan ion tetangga, sehingga gerakan orbitalnya hanyut, dan tinggal

momen spin yang mengkontribusi terhadap proses magnetisasi. Gejala demikian

disebut “quenching”.

7.4 GEJALA MAGNETIK DALAM LOGAM

7 BAHAN MAGNETIK


191

Kebanyakan logam bersifat paramagnet. Elektron konduksi dalam logam

mempunyai dua kontribusi, yaitu sifat paramagnet karena spinnya dan sifat

diamagnetik karena gerakan orbital yang diinduksikan oleh medan magnet.

Suseptibilitas elektronik nettonya adalah resultan dari kontribusi keduanya

χelektron = χspin + χorbital (7.25)

Paramagnetik Pauli

Apabila hanya memperhitungkan spin elektron saja, yakni j=s=1/2 dan g=2,

maka suseptibilitas bahan paramagnet (7.23) menjadi

Tk

N

o

Bo2μμ

χ = (7.26)

Terlihat bahwa χ berbanding terbalik dengan T.

Tetapi, eksperimen menunjukkan bahwa suseptibilitas spin dalam logam,

pada pokoknya, tidak bergantung pada suhu. Disamping itu, nilai pengamatan

menunjukkan harga yang lebih kecil daripada ungkapan di atas. Perlu diketahui

bahwa elektron konduksi dalam logam bersifat delokalisasi dan mengikuti distribusi

Fermi-Dirac.

Sehubungan dengan paramagnetisme spin ini, perhatikanlah Gambar 7.5

berikut.

Gambar 7.5 Variasi tingkat energi karena pemakaian medan magnet

a. Distribusi elektron pada keadaan energi dimana medan nol b. Perubahan tingkat energi saat medan baru dikenakan c. Penyusunan kembali elektron ke dalam keadaan energi terendah saat

medan setimbang H

½g(E)

B

2μBB

B

2μBB½g(E)

EFo s=1/2

a b c

s=-1/2

7 BAHAN MAGNETIK


192

Ketika medan belum dikenakan, sebagian elektron berspin dalam arah-Z positip dan

sebagian lagi dalam arah-Z negatip sehingga resultan magnetisasi M=0. Tetapi, ketika

medan B dikenakan, tingkat energi spin yang paralel B mengalami penurunan sebesar

μBB; dan tingkat energi spin yang antiparalel B naik sebesar μBB. Kondisi yang tidak

stabil ini menyebabkan beberapa elektron dengan spin antiparalel B di dekat tingkat

Fermi berpindah ke spin paralel B sehingga magnetisasinya M≠0. Banyaknya

elektron yang sanggup berpindah (T=0 K) tersebut

BEgdEEgn BF

BE

Eo

BoF

oF

μμ

)(21)(

21

∫+

≅=Δ

Karena masing-masing spin mengalami perubahan sebesar 2μB (dari -μB ke +μB),

maka magnetisasi yang terjadi

BEgnMoFBB )(2 2μμ =Δ≅

sehingga suseptibilitasnya

)(2oFBospin Egμμχ = (7.27)

Tampak bahwa suseptibilitas bergantung pada rapat keadaan pada tingkat energi

Fermi; dan tidak bergantung pada suhu. Pengaruh suhu terhadap distribusi elektron

Fermi-Dirac memang kecil.

Mengingat bahwa harga o

oF

F ENEg

23)( = (lihat persamaan (3.26) dan (3.30))

untuk pita energi standard (E∼k2) dan EFo=koTF , maka suseptibilitas logam

F

spin TTχχ

23

≅ (7.28)

dengan χ adalah suseptibilitas klasik (Boltzmann) (7.26). Karena harga suhu Fermi

TF=30.000 K, maka harga χspin lebih kecil daripada χ dengan faktor pengecil 10-2,

yang sesuai pula dengan hasil eksperimen.

Pada logam transisi, suseptibilitas paramagnet besar sekali. Hal ini terjadi

karena g(EF) besar sebagai akibat sempit dan tingginya pita 3d.

Diamagnetik

7 BAHAN MAGNETIK


193

Elektron konduksi dalam logam menunjukkan pula sifat diamagnetisme

karena gerakan siklotronnya di bawah pengaruh kehadiran medan magnet.

Pendekatan klasik menunjukkan kontribusi diamagnetisme total seluruh elektron

sama dengan nol. Tetapi, pendekatan kuantum menunjukkan bahwa kontribusi

suseptibilitas diamagnetik

spinorbital χχ31

= (7.29)

Dengan demikian, suseptibilitas elektronik netto merupakan respon paramagnet.

Dalam membandingkan hasil teoritis dengan eksperimen, harus disertakan

efek diamagnetik ion “core” (diamagnetik Langevin). Misalnya, bila dalam

eksperimen diperoleh χtotal dan χcore, maka suseptibilitas elektronik konduksi logam

χelektron =χtotal - χcore

7.5 GEJALA FERROMAGNETIK Gejala ferromagnetik adalah gejala terjadinya magnetisasi secara spontan

pada suatu bahan magnet. Ferromagnetik menyangkut pensejajaran sebagian besar

momen magnetik molekuler ke dalam suatu arah tertentu yang disukai dalam kristal.

Gejala ini terjadi pada elemen transisi dan tanah-jarang, yang mana sel 3d dan 4f

tidak terisi penuh. Contoh bahan ini adalah logam transisi, seperti Fe, Co dan Ni;

logam tanah-jarang, seperti Gd dan Dy; dan oksida logam transisi isolator CrO2.

Ferromagnetisme terjadi hanya di bawah suhu tertentu, yakni suhu Curie. Di

atas suhu Curie, momen berorientasi secara acak sehingga magnetisasinya nol dan

bahan menjadi paramagnet. Seperti halnya ferroelektrik, bahan ferromagnetik juga

menunjukkan adanya domain dan kurva histerisis.

7.5.1 Gejala Ferromagnetik pada Isolator

7.5.1.1 Teori Medan Molekuler Antara momen yang berdekatan terjadi interaksi model Heisenberg, yang

bergantung pada spin, satu sama lain. Misalnya, interaksi antara atom i dan j, yang

masing-masing berspin is dan js , menimbulkan energi pertukaran

7 BAHAN MAGNETIK


194

jiex ssJV •−= ' (7.30)

dengan J’ adalah konstanta pertukaran. Agar terjadi gejala ferromagnet, maka spin si

dan sj harus paralel, ji ss = . Dengan demikian, agar energinya minimal, maka

konstanta J’ haruslah positip.

Jika diasumsikan bahwa interaksi pertukaran dipol hanya terjadi antartetangga

terdekat saja (konstanta J’ menurun tajam terhadap bertambahnya jarak antardipol),

maka energi pertukaran total dipol

Vex = - Z J’ s2

Dengan Z adalah jumlah tetangga terdekat dipol. Ekivalensi energi ini terhadap

medan magnet molekuler HW adalah melalui hubungan

Z J’ s2 = (g s μB) (μo HW) (7.31)

Dengan (gsμB) adalah momen dipol magnet. Dengan demikian, dapatlah dikatakan

bahwa interaksi pertukaran spin dipol dalam kristal terjadi karena adanya medan

molekuler; atau medan internal molekuler HW inilah yang menyebabkan terjadinya

magnetisasi spontan.

Weiss mengasumsikan bahwa medan internal sebanding dengan magnetisasi

HW = λ M (7.32)

dengan λ adalah konstanta Weiss. Nimal maksimum HW, yakni sama dengan

λM(0)=λNgsμB, terjadi pada T=0 K. Substitusi HW maksimum ke dalam (7.31)

menghasilkan

λμμ

ZgN

J Bo2)(

'= (7.33)

Tampak bahwa J’ sebanding dengan λ dan masing-masing memiliki nilai 0,1 eV dan

104.

7.5.1.2 Magnetisasi Spontan dan Hukum Curie-Weiss Magnetisasi spontan hanya disebabkan oleh adanya medan internal molekuler

HW. Bila diambil kasus untuk j=1/2, dengan analisa yang sama dengan bahasan gejala

paramagnet secara kuantum, maka dari persamaan (7.21) diperoleh magnetisasi

7 BAHAN MAGNETIK


195

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

TkMg

gNMo

BoB

λμμμ tanh (7.34)

Solusi ungkapan ini dapat diselesaikan dengan metode grafik. Bila diambil

)(tanhtanh xTk

Mg

o

Bo =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λμμ

maka didapatkan dua ungkapan magnetisasi, yakni

xg

TkM

Bo

o

λμμ= (7.35)

( )xgNM B tanhμ= (7.36)

Keduanya diplot bersamaan dalam grafik M terhadap x untuk mendapatkan titik

perpotongan sebagai solusinya, seperti ditunjukkan dalam Gambar 7.6 berikut.

Gambar 7.6 Kurva garis lurus M∼x dan M∼tanh(x) terhadap x.

Titik perpotongan A merepresentasikan magnetisasi spontan (keadaan ferromagnetik)

Suhu kritik (Curie) TC adalah suhu dimana garis lurus (grafik M∼x) merupakan

tangensial kurva hiperbolik pada titik asal. Tampak bahwa untuk T<TC, dua kurva

berpotongan di titik A, yang berarti bahwa magnetisasi spontan terjadi pada bahan

(karena adanya medan molekuler HW).

Pendekatan tanh(x)≅x, untuk x kecil, menjadikan kesamaan M dalam dua

persamaan (7.35) dan (7.36) menghasilkan ungkapan konstanta Weiss

( )2

Bo

Co

gNTkμμ

λ = (7.37)

Bila harga TC=103 K dan N=1029m-3, maka didapatkan pendekatan harga λ≅104.

x

M∼tanh(x) A

T<TC

M∼xT=TC

T>TC

M

7 BAHAN MAGNETIK


196

Dari grafik terlihat bahwa magnetisasi maksimum Ms(0)=NgμB terjadi jika

T→0 K. Dengan mengingat ungkapan konstanta Weiss (7.37), maka persamaan

(7.34) juga dapat ditulis dalam bentuk

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

CTT

MM tanh

)0( (7.38)

yang secara grafik disajikan pada Gambar 7.7 berikut.

Gambar 7.7 Sketsa M(T)/M(0) terhadap T/TC untuk j=1/2

Grafik di atas adalah kurva universal untuk semua bahan magnet dengan nilai j=1/2.

Dalam daerah paramagnet, T>TC, medan total

Htotal = H + HW

Dengan H adalah medan eksternal yang dipasang. Bila diambil kasus untuk j=1/2

dalam medan total kecil, dengan analisa yang sama dengan bahasan gejala

paramagnet secara kuantum, maka dari persamaan (7.21) diperoleh

( )MHTk

gMM

o

Bo λμμ

+= )0( (7.39)

Dengan mengingat ungkapan λ dalam (7.37), maka diperoleh magnetisasi

HTT

CMC−

= (7.40)

dengan TkgNT

Co

BoC2)( μμ

λ== disebut konstanta Curie. Dengan demikian

suseptibilitas dalam daerah paramagnet

T/TC 1

0

1

M/M(0)

7 BAHAN MAGNETIK


197

CTT

C−

=χ (7.41)

Ungkapan suseptibilitas ini sering disebut hukum Curie-Weiss.

7.5.2 Gejala Ferromagnetik pada Logam Bahan ferromagnetik isolator tidak dapat digunakan secara langsung pada

logam. Misalnya, bilangan efektif magneton Bohr p untuk logam transisi adalah p=gs.

Tetapi, eksperimen menunjukkan bahwa bilangan tersebut adalah 2,22; 1,72 dan 0,54

masing-masing untuk Fe, Co dan Ni. Kegagalan ini terjadi karena bahasan

ferromagnetik isolator mengasumsikan bahwa elektron terlokalisasi di sekitar titik

kisi dan mengikuti distribusi Boltzmann. Sedangkan untuk elektron konduksi dalam

logam bersifat delokalisasi di seluruh ruang kristal dan mengikuti distribusi Fermi-

Dirac.

Bahasan ferromagnetik dalam menggunakan model elektron-itinerant yang

dikembangkan oleh Stoner. Perhatikanlah Gambar 7.8 berikut.

Gambar 7.8 Proses magnetisasi dalam model itinerant

Pita dibagi menjadi dua subpita, masing-masing dengan orientasi spin “up’ dan

“down”. Keadaan nonmagnetik (Gambar 7.8.a) ditandai oleh populasi sama dalam

dua subpita sehingga resultan magnetisasi nol.

Karena interaksi pertukaran, momen berusaha dalam arah “up” (energi yang

lebih rendah). Untuk itu, elektron harus berpindah dari daerah “down” ke “up”; dan

hal ini menimbulkan magnetisasi. Akibatnya, energi kedua subpita tidak sama lagi.

Kedua pita mengalami perpindahan relatif satu sama lain (Gambar 7.8.b). Dengan

b a

Bω=μoHω

7 BAHAN MAGNETIK


198

demikian, magnetisasi bergantung pada perpindahan relatif subpita (atau interaksi

pertukaran) dan bentuk pita.

Energi pertukaran yang hilang dari sebuah elektron yang berpindah dari arah

“down” (-μB) ke “up” (+μB)

( ) 2221

21

21 2 BooWoW MMHMB μλμλμμ ===

karena M=2μB. Ternyata, tidak semua elektron dalam arah “down” dapat berpindah,

melainkan hanya elektron yang berada di dekat energi Fermi EF. Misalnya, ΔE

merupakan rentang energi dalam subpita “up” yang hendak ditempati elektron yang

berpindah, maka jumlah elektron yang berpindah tersebut

EEgn Fo Δ= )(21

dengan g(EFo) adalah rapat keadaan pada tingkat Fermi. Jika n=1, maka diperoleh

)(

2

FoEgE =Δ

Dengan demikian, syarat agar terjadi gejala ferromagnetik adalah

)(

22 2

FoBo Eg>μλμ (7.42))

Untuk memenuhi syarat tersebut, maka konstanta pertukaran harus besar, yakni jika

sel atomik beradius kecil. Juga, g(EFo) harus besar, yang berarti menuntut pita sempit.

Sel beradius lebih kecil mempunyai kemungkinan overlap fungsi gelombang

lebih kecil dan karenanya pita menjadi lebih sempit. Hal ini dipenuhi oleh pita 3d

dalam Fe, Co dan Ni; dan pita 4f dalam Gd dan Dy. Nilai g(EFo) besar menyebabkan

pita dapat menampung elektron lebih banyak dalam rentang energi kecil. Tetapi,

g(EFo) kecil menyebabkan pita melebar, seperti pita 4s, yang tidak menunjukkan

gejala ferromagnetik.

7.6 GEJALA ANTIFERROMAGNETIK DAN FERRIMAGNETIK

7 BAHAN MAGNETIK


199

Berkaitan dengan keteraturan magnetik pada bahan, maka perhatikanlah

Gambar 7.9 berikut.

Gambar 7.9 Susunan magnetik

a. ferromagnetik, b. antiferromagnetik, dan c. ferrimagnetik

Ferromagnetik

Semua dipol disejajarkan dalam arah yang sama sehingga bahan berada dalam

keadaan termagnetisasi penuh.

Antiferromagnetik

Masing-masing dipol mempunyai momen yang sama. Tetapi dipol yang

berdekatan berlawanan arahnya. Dengan demikian, masing-masing dipol saling

meniadakan satu sama lain, sehingga magnetisasi netto sama dengan nol. Gejala ini

banyak ditunjukkan oleh senyawa logam transisi, seperti kristal MnF2.

Ferrimagnetik

Dipol yang berdekatan berlawanan arah. Tetapi karena masing-masing

momen tidak sama, maka terdapat magnetisasi netto yang tidak sama dengan nol.

Bahan ferrimagnetik sering disebut ferrit, yakni kristal oksida ionik Xfe2O4, dimana

X adalah logam divalen. Contoh ferrit adalah magnetit (“lodestone”) Fe3O4.

RINGKASAN

01. Pada bahan yang ditempatkan dalam medan magnet luar yang berintensitas H ,

terjadi magnetisasi M , dan juga, terjadi induksi magnet B . M dan H

direlasikan oleh suseptibilitas magnetik χ; sedangkan B dan H direlasikan oleh

permeabilitas bahan μ. Berdasarkan tanda dan besar nilai suseptibilitas magnet

suatu bahan dikelompokkan menjadi (a). paramagnet, (b). diamagnet, dan (c).

ferromagnet.

a b c

7 BAHAN MAGNETIK


200

02. Elektron yang beredar mengelilingi inti atom dalam medan magnet B mengalami

gejala diamagnetik Langevin, yakni momen induksi berlawanan arah dengan

medan. Respon diamagnetik ini terjadi pada padatan yang sel atomiknya terisi

penuh.

03. Momentum angular orbital dan spin total suatu atom, masing-masing adalah L

dan S berinteraksi membentuk momentum angular total J, sehingga L dan S

berpresisi mengelilingi J. L dan S berharga tidak nol hanya untuk suatu sel yang

tidak penuh. Demikian pula, momen dipol orbital μL dan spin μS berpresisi

terhadap J, tetapi momen dipol totalnya SL μμμ += tidak segaris dengan J .

Karena itu dicari momen dipol total rata-rata sepanjang J , yaitu

Jmegratarata ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−==− 2

cosθμμ dengan )1(2

)1()1()1(1+

+−++++=

jjllssjjg adalah

faktor Lande.

04. Hasil bahasan teori klasik adalah bahwa suseptibilitas paramagnet Langevin χ

berbanding terbalik terhadap T. Sedangkan teori kuantum memperoleh

suseptibilitas Tk

N

o

efo

3

2μμχ = dengan μef = p μB dan p = g (j[j+1])1/2. Bila gerakan

orbitalnya hanyut, dan tinggal momen spin yang mengkontribusi terhadap proses

magnetisasi, maka disebut “quenching”.

05. Elektron konduksi dalam logam mempunyai dua kontribusi, yaitu sifat

paramagnet karena spinnya dan sifat diamagnetik karena gerakan orbital yang

diinduksikan oleh medan magnet. Oleh karaean itu gejala magnetik dalam logam

meliputi dua hal, yaitu Paramagnetik Pauli dan diamagnetik. Bahasan

Paramagnetik Pauli memperoleh suseptibilitas )(2oFBospin Egμμχ = , yang

bergantung pada rapat keadaan pada tingkat energi Fermi; dan tidak bergantung

pada suhu. Sedangkan bahasan diamagnetik, melalui pendekatan kuantum

menunjukkan bahwa kontribusi suseptibilitas diamagnetik spinorbital χχ31

=

sehingga suseptibilitas elektronik netto merupakan respon paramagnet.

7 BAHAN MAGNETIK


201

06. Gejala ferromagnetik adalah gejala terjadinya magnetisasi secara spontan pada

suatu bahan magnet dan terjadi hanya di bawah suhu tertentu, yakni suhu Curie.

Bahan ferromagnetik juga menunjukkan adanya domain dan kurva histerisis.

Bahasan gejala ferromagnetik meliputi dua hal, yaitu pada isolator dan logam.

07. Gejala ferromagnetik dalam isolator memakai teori medan molekuler. Teori ini

menghasilkan suseptibilitas dalam daerah paramagnet CTT

C−

=χ , yang sering

disebut hukum Curie-Weiss.

08. Gejala ferromagnetik dalam logam menasumsikan bahwa elektron konduksi

dalam logam bersifat delokalisasi di seluruh ruang kristal dan mengikuti distribusi

Fermi-Dirac. Bahasan ini menggunakan model elektron-itinerant yang

dikembangkan oleh Stoner. Model ini memiliki syarat agar terjadi gejala

ferromagnetik, yaitu )(

22 2

FoBo Eg>μλμ . Berarti sel atomik harus beradius kecil.

Juga, g(EFo) harus besar, yang berarti menuntut pita sempit.

09. Berkaitan dengan keteraturan magnetik pada bahan, maka terdapat (a)

ferromagnetik, (b) antiferromagnetik, dan (c) ferrimagnetik.

LATIHAN SOAL BAB VII

01. Sebuah elektron yang bergerak melingkar beraturan mempunyai momen dipol

magnetik μ seperti persamaan (7.6). Jika momentum angular elektron tersebut

adalah L, maka buktikan bahwa

Lme

2−=μ

02. Pada suhu 4 K padatan Argon mempunyai konsentrasi 2,66.1028 atom/m3. Jika

jarak kuadrat rata-rata sebuah elektron terhadap inti terdekat 0,62 Å, maka

a. hitunglah suseptibilitasnya!

7 BAHAN MAGNETIK


202

b. hitunglah magnetisasinya dalam medan induksi 2,0 T!

03. Hitunglah faktor Lande g untuk keadaan dasar

a. ion Praseodymium 59Pr yang mempunyai 2 elektron pada subkulit f!

b. ion Erbium 68Er yang mempunyai 11 elektron pada subkulit f!

04. Nikel mempunyai 8 elektron dalam sel 3d.

a. Hitunglah bilangan efektif magneton Bohr ion Nikel bila

(1). Momentum angular orbital tidak “quenching”!

(2). Terjadi “quenching”!

b. Nilai eksperimen menunjukkan bahwa harga p=3,2. Apa komentar Anda?

05. Kontribusi teras (“core”) diamagnetik natrium terhadap suseptibilitas molar

adalah sebesar -6,1.10-12 m3/mol.

a. Hitunglah jarak rata-rata elektron teras terhadap inti terdekat!

b. hitunglah momen dipol teras dalam medan magnet induksi 0,5 T!

06. Dengan menggunakan aturan Hund, hitunglah bilangan kuantum l, s, j, faktor

Lande g dan momen dipol magnet untuk ion Vanadium 23V dengan 3 elektron

dalam sel 3d, bila dianggap momentum angular orbital

a. tidak mengalami “quenching”!

b. mengalami “quenching”!

07. Dengan menggunakan aturan Hund, hitunglah faktor Lande

a. untuk setiap bilangan yang mengisi sel d (1 s/d 10)! Anggaplah bahwa atom

berada dalam keadaan dasar dan momentum angular orbital tidak

“quenching”.

b. untuk bilangan berapakah momen dipol magnetnya nol? Atom apakah itu?

c. untuk bilangan berapakah momen dipol magnetnya terbesar? Atom apakah itu?

d. Ulangi soal (b) dan (c) bila momentum angular orbital mengalami

“quenching”.

08. Ion magnetik paramagnetik dalam pengaruh medan magnet akan memperoleh

energi seperti persamaan (7.18). Bila bahan paramagnet tersebut mempunyai

7 BAHAN MAGNETIK


203

momentum angular total ђ, faktor Lande g=2 dan medan magnet induksi 0,7 T

serta memenuhi distribusi Maxwell-Boltzmann, maka

a. hitunglah fraksi atom dengan JZ=+ђ, dengan JZ=0 dan dengan JZ=-ђ pada suhu

300 K!

b. hitunglah momen dipol atomik rata-rata!

09. Pada suhu kamar Oksigen merupakan gas paramagnetik dengan suseptibilitas

molar 4,33.10-8 m3/mol.

a. Hitunglah bilangan efektif magneton Bohr peratom!

b. Tunjukkan bahwa soal (a) sesuai dengan sel s dengan 2 elektron!

10. Dua bahan ferromagnetik mempunyai struktur kristal dan ukuran sel satuan yang

identik. Spin atomnya identik, tetapi koefisien pertukaran J’ yang satu berharga

dua kali yang lain. Bandingkan konstanta Weiss λ, konstanta Cuire C,

magnetisasi saturasi M(0) dan suhu Cuire TC antara keduanya!

11. Suseptibilitas diamagnetik karena ion teras (“cores”) dalam logam Tembaga

adalah -0,2.10-6. Jika diketahui bahwa kerapatan Cu adalah 8,93 gr/cm3 dan berat

atomnya 63,5 gr/mol, maka hitunglah jari-jari rata-rata ion tersebut!

12. Germanium mempunyai kerapatan 5,38 gr/cm3 dan berat atom 72,6 gr/mol.

a. Jika diketahui bahwa suseptibilitasnya -0,8.10-5 dan radius ion teras (“core”)

0,44 Å, maka hitunglah persentase dari kontribusi ikatan kovalen terhadap

suseptibilitasnya!

b. Jika dikenakan medan H=5.104 A/m, maka hitunglah magnetisasi dan induksi

magnetnya!

13. Suatu sistem dengan spin j=s=1/2 ditempatkan dalam suatu medan magnet

H=5.104 A/m,. Hitunglah

a. fraksi ion yang paralel terhadap medan pada suhu kamar!

b. komponen rata-rata momen dipol searah medan pada suhu kamar!

c. medan untuk Zu =0,5μB!

d. Ulangi soal (a) dan (b) pada suhu sangat rendah 1 K!

14. Turunkanlah persamaan (7.23)!

7 BAHAN MAGNETIK


204

15. Buktikanlah bahwa momen dipol rata-rata auatu atom, yang mengandung efek

interaksi spin-orbit, mempunyai ungkapan

Jmegu ratarata ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=− 2

dengan g adalah faktor Lande (7.13)!

16. a. Suseptibilitas spin elektron konduksi pada T=0 K diberikan oleh persamaan

(7.27). Nyatakalah hasil ini dalam bentuk konsentrasi elektron untuk pita energi

standard!

b. Hitunglah suseptibilitas spin logam K, bila diketahui kerapatan 0,87 gr/cm3

dan berat atom 39,1 gr/mol!

c. Hitunglah suseptibilitas diamagnetik elektron konduksi logam K!

d. Hitung jari-jari rata-rata ion K dalam keadaan logam!

17. Data untuk Fe: magnetisasi saturasi M(0)=1,74.106 A/m, suhu Fermi TF=1043 K,

kerapatan ρm=7,92 gr/cm3 dan berat atom M=55,6 gr/mol.

a. Buktikanlah bahwa momen dipol sebuah atom Fe adalah 2,22 μB!

b. Hitunglah konstanta pertukaran Weiss λ dan medan molekuler HW!

c. hitunglah konstanta Curie!

d. Hitunglah energi pertukaran untuk suatu interaksi dipol antartetangga terdekat!

DAFTAR RUJUKAN

Alonso, M., Finn, EJ. 1972. Fundamental University Physics III: Quantum and

Statistical Physics. California: Addison Wesley Publishing Company

Ashcroft, NW,. Mermin, ND. 1976. Solid State Physics. Philadelphia: Sounders College

Chrisman, FR. 1984. Fundamental of Solid State Physics. Singapura: John Wiley & Sons, Inc

Kittel, C. 1991. Introduction to Solid State Physics. Singapura: John Wiley & Sons, Inc

Omar, MA. 1975. Elementary Solid State Physics. Reading-Massachusetts: Addison Wesley Publishing Company

Pointon, AJ. 1976. An Introduction to Statistical Physics for Student. London: Longman

Supangkat, H. Diktat Matakuliah Susunan Zat. Bandung: Jurusan Fisika FMIPA ITB

Suwitra, N. 1989. Pengantar Fisika Zat Padat. Jakarta: Depdikbud Dirjendikti P2LPTK

Zat padat parno

Documents

Transcript of Zat padat parno