Trigonometri untuk sma

SMA - 1

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

TRIGONOMETRI

Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen

Sin α = ry

r y

Cosα = rx

α

x Tanα = xy

Hubungan Fungsi Trigonometri : 1. 2sin α + 2cos α = 1

2. tan α = αα

cossin

3. sec α = αcos

1

4. cosec α = αsin

1

5 . cotan α = αα

sincos

6. 2tan α + 1 = 2sec α ⇒ 2sin α + 2cos α = 1

⇒ αα

2

2

cossin +

αα

2

2

coscos =

α2cos1

⇒ 2tan α + 1 = 2sec α bukti

SMA - 2


7. 2cot an α + 1 = 2cosec α ⇒ 2sin α + 2cos α = 1

⇒ αα

2

2

sinsin +

αα

2

2

sincos =

α2sin1

⇒ αα

2

2

sinsin +

αα

2

2

sincos =

α2sin1

⇒ 1 + 2cot an α = 2cosec α bukti Rumus-rumus Penjumlahan dan Pengurangan : 1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A Sin B 2. sin (A - B) = sin A cos B - cos A Sin B 3. cos (A + B) = cos A cos B – sin A Sin B 4. cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B

5. tan (A + B) = BA

BAtan.tan1

tantan−

+

6. tan (A - B) = BA

BAtan.tan1

tantan+

−

Rumus-rumus Sudut Rangkap :

1. sin 2A = 2 sin A cosA 2. cos 2A = 2cos A - 2sin A (ingat : 2sin A + 2cos A = 1 ⇒ 2sin A = 1 - 2cos A

⇒ 2cos A = 1 - 2sin A) kalau dimasukkan ke dalam rumus maka :

= 1 – 2 2sin A ⇔ 2cos A - 2sin A = (1- 2sin A) - 2sin A = 1 - 2sin A - 2sin A = 1 - 2 2sin A = 2 2cos A – 1 ⇔ dengan cara yang sama bias dibuktikan

3. tan 2A = 2)(tan1tan2

AA

−

SMA - 3


Rumus Jumlah Fungsi : Perkalian jumlah/selisih 1. 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 2. 2 cos A sin B = sin (A+B) – sin (A-B) 3. 2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B)

4. -2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B) Jumlah/selisih perkalian

1. Sin A + sin B = 2 sin 21 (A + B) cos

21 (A –B)

2. Sin A - sin B = 2 cos 21 (A + B) sin

21 (A –B)

3. cos A + cos B = 2 cos21 (A + B) cos

21 (A –B)

4. cos A - cos B = - 2 sin21 (A + B) sin

21 (A –B)

Sudut-sudut istimewa :

α 00 030 045 060 090

Sin 0 2

1 21 2 2

1 3 1

Cos 1 2

1 3 21 2 2

1 0

Tan 0 3

1 3 1 3 ~

Tanda-tanda fungsi pada setiap kuadrant :

Kuadrant I α

Kuadrant II 0180 - α

Kuadrant III 0180 + α

Kuadrant IV 0360 - α

Sin + + - - Cos + - - + Tan + - + -

SMA - 4


Rumus-rumus Sudut :

• Sudut 0180 - α dan α (Kuadran kedua) sin ( 0180 - α ) = sin α cos ( 0180 - α ) = - cos α tan ( 0180 - α ) = - tan α

cosec ( 0180 - α ) = cosecα sec ( 0180 - α ) = - sec α cotan ( 0180 - α ) = - cotan α

• Sudut 0180 + α dan α (Kuadran ketiga) sin ( 0180 + α ) = - sin α cos ( 0180 + α ) = - cos α tan ( 0180 + α ) = tan α

cosec ( 0180 + α ) = - cosecα sec ( 0180 + α ) = - sec α cotan ( 0180 + α ) = cotan α

• Sudut 0360 - α dan α (Kuadran keempat) sin ( 0360 - α ) = - sin α cos ( 0360 - α ) = cos α tan ( 0360 - α ) = - tan α

cosec ( 0360 - α ) = - cosecα sec ( 0360 - α ) = sec α cotan ( 0360 - α ) = - cotan α

• Sudut 0360 + α dan α (Kuadran pertama) sin ( 0360 + α ) = sin α cos ( 0360 + α ) = cos α tan ( 0360 + α ) = tan α

cosec ( 0360 + α ) = cosecα sec ( 0360 + α ) = sec α cotan ( 0360 + α ) = cotan α

SMA - 5


• Sudut -α dan α sin (-α ) = -sin α cos (-α ) = cos α

tan (-α ) = -tan α cosec (-α ) = -cosec α sec (-α ) = sec α cotan (-α ) = -cotan α

• Sudut ( 090 - α ) dan α (Kuadran pertama) sin ( 090 - α ) = cos α cos ( 090 - α ) = sin α tan ( 090 - α ) = cotan α

cot ( 090 - α ) = tanα sec ( 090 - α ) = cosec α cosec ( 090 - α ) = sec α

• Sudut ( 090 + α ) dan α (Kuadran kedua) sin ( 090 + α ) = cos α cos ( 090 + α ) = -sin α tan ( 090 + α ) = -cotan α

cot ( 090 + α ) = =tanα sec ( 090 + α ) = -cosec α cosec ( 090 + α ) = sec α

• Sudut ( 0270 - α ) dan α (Kuadran ketiga) sin ( 0270 - α ) = -cos α cos ( 0270 - α ) = -sin α tan ( 0270 - α ) = cotan α

cot ( 0270 - α ) = tanα sec ( 0270 - α ) = -cosec α cosec ( 0270 - α ) = sec α • Sudut ( 0270 + α ) dan α (Kuadran keempat)

sin ( 0270 + α ) = -cos α cos ( 0270 + α ) = sin α tan ( 0270 + α ) = -cotan α

SMA - 6


cot ( 0270 + α ) = -tanα sec ( 0270 + α ) = cosec α cosec ( 0270 + α ) = -sec α

• Sudut yang melebihi satu putaran penuh : sin (k. 0360 + α ) = sin α cos (k. 0360 + α ) = cos α tan (k. 0360 + α ) = tan α

cosec (k. 0360 + α ) = cosecα sec (k. 0360 + α ) = sec α cotan (k. 0360 + α ) = cotan α dengan k bilangan bulat Persamaan dan pertidaksamaan Trigonometri 1. Persamaan Rumus umum penyelesaian persamaan trigonometri adalah : * sin x = sin α , maka 1x = α + k. 0360 2x = ( 0180 - α ) + k. 0360 * cos x = cos α , maka 2,1x = ± α + k. 0360 * tan x = tan α , maka x = α + k. 0180 2. Pertidaksamaan Pertidaksamaan-pertidaksamaan trigonometri seperti sin ax ≤ c, cos ax ≥ c dan sebagainya dapat diselesaiakan dengan menggunakan langkah-langkah umum pertidaksamaan seperti : - Diagram garis bilangan - Grafik fungsi trigonometri

SMA - 7


Aturan sinus dan cosinus C b γ a α β A B c aturan sinus

αsin

a = βsin

b = γsin

c

Aturan cosinus 1. 2a = 2b + 2c - 2bc cos α 2. 2b = 2a + 2c - 2ac cos β 3. 2c = 2a + 2b - 2ab cos γ Luas Segitiga

Luas segitiga = 21 ab sin γ

= 21 ac sin β

= 21 bc sin α

Nilai Maksimum dan Minimum 1. Jika y = k cos (x + nπ ) dengan k > 0 maka a. maksimum jika y = k dimana cos (x + nπ ) = 1 sehingga (x + nπ )= 0 b. minimum jika y = -k dimana cos (x + nπ ) = -1 sehingga (x + nπ )= π

SMA - 8


2. Jika y = k sin (x + nπ ) dengan k > 0 maka

a. maksimum jika y = k dimana sin (x + nπ ) = 1 sehingga (x + nπ )= 2π

b. minimum jika y = -k dimana sin (x + nπ ) = -1 sehingga (x + nπ )= 2

3π

Contoh-contoh soal dan Pembahasan baca di postingan berikutnya……….

Trigonometri untuk sma

Documents

Transcript of Trigonometri untuk sma