Trigonometri Libre Materi

1 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

TRIGONOMETRI

A Nilai Perbandingan Trigonometri Perhatikan segitiga berikut !

Y

r y

X O x

Sin = r

y

Cos = r

x

Tan = x

y

Cosec = yr

Sec = x

r

Cotan = yx

Selanjutnya nilai perbandingan trigonometri suatu sudut segitiga dapat ditentukan dengan menggunakan daftar / tabel dan kalkulator.

B Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Perhatikan gambar berikut !

45 60

2 1 2 1

45 30 1 3

Sin 30 = 21

Sin 45 = 21 2

Sin 60 = 21 3

Cos 30 = 21 3

Cos 45 = 21 2

Cos 60 = 21

Tan 30 = 31 3

Tan 45 = 1 Tan 60 = 3

Tabel Nilai Fungsi Trigonometri Untuk Sudut Istimewa

0 30 45 60 90

Sin 0 21

21 2

21 3

1

Cos 1 21 3

21 2

21

0

Tan 0 31 3

1 3

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI 1


C Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasia. Kuadran I (0 < < 90 )

Sin (90 - ) = Cos Cos (90 - ) = Sin Tan (90 - ) = Cotan Cosec (90 - ) = Sec Sec (90 - ) = Cosec Cotan (90 - ) = Tan

b. Kuadran II (90 < < 180 ) Sin (90 + ) = Cos Cos (90 + ) = - Sin Tan (90 + ) = - Cotan Cosec (90 + ) = Sec Sec (90 + ) = - Cosec Cotan (90 + ) = - Tan

c. Kuadran II (90 < < 180 ) Sin (180 - ) = Sin Cos (180 - ) = - Cos Tan (180 - ) = - Tan Cosec (180 - ) = Cosec Sec (180 - ) = - Sec Cotan (180 - ) = - Cotan

d. Kuadran III (180 < < 270 ) Sin (180 + ) = - Sin Cos (180 + ) = - Cos Tan (180 + ) = Tan Cosec (180 + ) = - Cosec Sec (180 + ) = - Sec Cotan (180 + ) = Cotan

e. Kuadran III (180 < < 270 ) Sin (270 - ) = - Cos Cos (270 - ) = - Sin Tan (270 - ) = Cotan Cosec (270 - ) = - Sec Sec (270 - ) = - Cosec Cotan (270 - ) = Tan

f. Kuadran IV (270 < < 360 ) Sin (270 + ) = - Cos Cos (270 + ) = Sin Tan (270 + ) = - Cotan Cosec (270 + ) = - Sec Sec (270 + ) = Cosec Cotan (270 + ) = - Tan

g. Kuadran IV (270 < < 360 ) Sin (360 - ) = -Sin Cos (360 - ) = Cos Tan (360 - ) = -Tan Cosec (360 - ) = - Cosec Sec (360 - ) = Sec Cotan (360 - ) = - Cotan

h. Kuadran IV (270 < < 360 ) Sin (- ) = - Sin Cos (- ) = Cos Tan (- ) = - Tan Cosec (- ) = - Cosec Sec (- ) = Sec Cotan (- ) = - Cotan

Pada sistem koordinat kartesius dapat digambarkan sebagai berikut : Y

Sin : + Sin : + Cos : - Cos : + Tan : - Tan : +

O X Sin : - Sin : - Cos : - Cos : + Tan : + Tan : -

Contoh: (i) Sin 65 = Cos (90 65) = Cos 25 (ii) Cos 120 = Cos (180 60) = - Cos 60 = -

21

(iii) Tan 210 = Tan (180 + 30) = Tan 30 = 31 3

(iv) Sin 315 = Sin (360 45) = - Sin 45 = - 21 2

(v) Cos (-60) = Cos 60 = 21


D Nilai Periodik Sin ( + k.360 ) = Sin

Cos ( + k.360 ) = Cos Tan ( + k.180 ) = Tan ; k B

Contoh: (i) Sin 400 = Sin (40 + 1. 360 ) = Sin 40 (ii) Cos 780 = Cos (60 + 2. 360 ) = Cos 60 (iii) Tan 480 = Tan (120 + 2. 180 ) = Tan 120

Latihan 1 1. Perhatikan gambar di samping!

Tentukan : C 12 B a. Sin A, Cos A, Tan A, Cotan A, Sec A, Cosec A b. Sin B, Cos B, Tan B, Cotan B, Sec B, Cosec B 5 13

A

2. Jika lancip, carilah nilai perbandingan trigonometri sudut , jika diketahui : a. Sin = 0,5 b. Cos =

257

c. Tan = 34

3. Sin 30 + Tan 60 . Cos 60 = 4.

4545

CosSin

= 5. Tan 30 + Tan 60 = 6. Sin 30 . Cos 60 + Sin 45 . Cos 45 = 7. Buktikan Cos 60 . Cos 30 - Sin 60 . Sin 30 = 0 !

8. QR = cm R PQ = cm

12 cm

P Q

9. AB = cm C

15 cm

A B

10. Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri sudut berelasi,lengkapi tabel berikut !

120

135

150

180

210

225

240

270

300

315

330

360

Sin Cos Tan

300

300


Sebuah titik P dapat digambarkan pada bidang XOY atau pada bidang kartesius, koordinat titiknya P(x, y). Titik P juga dapat dinyatakan dengan koordinat kutub (polar), koordinat titiknya P(r, ) dengan :

r = jarak titik O ke titik P = sudut yang dibentuk garis OP dengan sumbu X

Y Y Y

P(x,y) P(r, ) P(r cos , r. sin )

y r r y

O x X O X O x X

Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat kutub adalah sebagai berikut :

(i) Kartesius Kutub P(x, y) P(r, ) r = 22 yx

Tan = x

y

(ii) Kutub Kartesius P(r, ) P(x, y) x = r.cos

y = r.sin

Contoh:

1. Nyatakan titik P(4, 3) dalam koordinat kutub ! Jawab: r = 22 yx = 534 22

Tan = x

y = 75,0

43

= Tan -1 0,75 = arc Tan 0,75 = 36,87

Jadi koordinat kutubnya P(5, 36,87 ).

2. Tentukan koordinat kartesius titik Q(4, 150 ) ! Jawab: x = r cos = 4.cos 150 = 4 (-

21 3 ) = -2 3

y = r sin = 4.sin 150 = 4 (21 ) = 2

Jadi koordinat kartesiusnya P(-2 3 , 2).

Latihan 2 1. Tentukan koordinat kartesius dari :

a. (4, 60 ) c. (8, 300 ) b. (5, 120 ) d. (3 2 , 225 )

2. Tentukan koordinat kutub dari : a. (1, 3 ) c. (-5 3 , 5) b. (6, -2 3 ) d (-3 2 , -3 6 )

KOORDINAT KUTUB (POLAR) 2


A Aturan Sinus

A Pada setiap segitiga ABC berlaku :

c b

B a C

Aturan sinus dipakai untuk menghitung unsur-unsur segitiga yang lain, jika diketahui : (i) sisi, sudut, sudut (ii) sudut, sisi, sudut (iii) sisi, sisi, sudut

Contoh: Diketahui segitiga ABC, a = 15 cm, b = 20 cm, B = 30 . Hitunglah unsur-unsur yang lain dengan menggunakan aturan sinus !

Jawab:

Cc

Bb

Aa

sinsinsin

(i) B

bA

a

sinsin sin A = 375,0

4015

20.15

2030sin.15sin. 21

bBa

A = sin-1 0,375 = 22 (ii) C = 180 ( A + B) = 180 - (22 + 30 ) = 180 - 52 = 128 . (iii)

Cc

Bb

sinsin c = 5,31

5,076,15

5,0788,0.20

30sin128sin.20

sinsin.

BCb

cm

B Aturan Kosinus Pada setiap segitiga ABC berlaku :

Aturan Kosinus dipakai untuk mewnghitung unsure-unsur segitiga jika diketahui : (i) sisi, sudut, sisi (ii) sisi, sisi, sisi

Contoh: Diketahui segitiga ABC, a = 20 cm, b = 30 cm dan C = 64 . Hitunglah unsur-unsur yang lain dengan menggunakan aturan kosinus !

Jawab: (i) c2 = a2 + b2 2ab cos C = 202 + 302 2(20)(30) cos 64 = 400 + 900 1200(0,44) = 1300 526 = 774 c = 27,8

(ii) b2 = a2 + c2 2ac cos B cos B = 25,01112274

)8,27)(20(230)8,27(20

2

222222

ac

bca

B = 75,7 (iii) A = 180 - ( C + B) = 180 - (64 + 75,7 ) = 40,2

Cc

Bb

Aa

sinsinsin

a2 = b2 + c2 2bc cos A b2 = a2 + c2 2ac cos B c2 = a2 + b2 2ab cos C

ATURAN SINUS DAN KOSINUS 3


Latihan 3 1. Diketahui ABC , A = 60 , B = 45 dan panjang sisi BC = 12 cm. Tentukan panjang sisi AC !

2. Pada segitiga DEF, D = 135 , EF = 6 cm, E = 20 . Tentukan DF, F dan DE !

3. Diketahui ABC dengan A = 60 ,sisi b = 10 cm dan sisi c = 16 cm. Tentukan unsur-unsur berikut! a. panjang sisi a b. besar B c. besar C

4. Pada segitiga ABC, a = 6 cm, b = 10 cm, c = 7 cm, C = ?

Pada setiap segitiga ABC berlaku :

Rumus ini dipakai untuk menghitung luas segitiga jika diketahui dua sisi dan sebuah sudut yang diapitnya.

Rumus luas ABC

jika diketahui ketiga sisinya :

Contoh: Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui a = 4 cm, c = 3 cm dan B = 30 !

Jawab: L

ABC = 21

ac sin B

=

21

. 4 . 3 . sin 30

=

21

. 4 . 3 . 21

= 3 cm2.

Latihan 4 1. Luas segitiga ABC adalah 32 cm2. AB = 8 cm dan AC = 16 cm. Tentukan besar sudut A ! 2. Pada ABC, jika diketahui panjang sisi AB = 8 cm, sisi AC = 6 cm, dan A = 120 maka

tentukan luas ABC ! 3. Diketahui ABC dengan B = 135 , AB = 3 cm dan BC = 4 cm. tentukan luas ABC ! 4. Luas ABC adalah 12 2 cm2. Panjang AB = 6 cm dan AC = 8 cm. Tentukan besar sudut A !

L ABC = 2

1.bc.sin A

=

21

.ac.sin B

=

21

.ab.sin C

L ABC = ))()(( csbsass

LUAS SEGITIGA 4

dengan s = 21 (a + b + c)


A Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut Rumus rumus : 1. Sin ( ) = Sin . Cos + Cos . Sin

2. Sin ( ) = Sin . Cos Cos . Sin 3. Cos ( ) = Cos . Cos Sin . Sin 4. Cos ( ) = Cos . Cos + Sin . Sin 5. Tan ( ) =

TanTan1TanTan

6. Tan ( ) = .TanTan1TanTan

Contoh:

1. Jika Sin = 106

dan Cos = 1312

dengan dan sudut lancip, hitunglah :

a. Sin ( ) b. Cos ( ) c. Tan ( )

Jawab: Sin =

106

; Cos = 108

; Tan = 86

Cos = 1312

; Sin = 135

; Tan = 125

a. Sin ( ) = Sin . Cos + Cos . Sin =

106

.

1312

+ 108

.

135

=

6556

130112

13040

13072

b. Cos ( ) = Cos . Cos Sin . Sin =

108

.

1312

106

.

135

=

6533

13066

13030

13096

c. Tan ( ) = TanTan1TanTan

=

125

.

861

125

86

=

3356

66112

966696

112

2. Tanpa menggunakan tabel, hitunglah nilai Cos 75 ! Jawab: Cos 75 = Cos (45 + 30 )

= Cos 45 . Cos 30 Sin 45 . Sin 30

=

21 2 .

21 3

21 2 .

21

= 2416

41

= )26(41

3. Hitunglah nilai Cos 110 . Cos 25 Sin 110 . Sin 25 ! Jawab: Cos 110 . Cos 25 Sin 110 . Sin 25 = Cos (110 + 25) = Cos 135 =

21 2

RUMUS TRIGONOMETRI JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT 5


4. Jika Tan = 43 dan Tan =

158

, untuk dan sudut lancip, hitunglah nilai :

a. Sin ( ) b. Cos ( ) c. Tan ( ) Jawab: Tan =

43

Sin = 53

; Cos = 54

Tan = 158

Sin = 178

; Cos = 1715

a. Sin ( ) = Sin . Cos Cos . Sin =

53

.

1715

54

.

178

=

8513

8532

8545

b. Cos ( ) = Cos . Cos + Sin . Sin =

54

.

1715

+ 53

.

178

=

8584

8524

8560

c. Tan ( ) = .TanTan1TanTan

=

8413

60846013

60241

603245

158

.

431

158

43

5. Tanpa menggunakan tabel, tentukan nilai dari Sin 15o ! Jawab: Sin 15o = Sin (45o 30o) = Sin 45o . Cos 30o Cos 45o . Sin 30o

=

21 2 .

21 3

21 2 .

21

= 2416

41

= )26(41

6. Tanpa menggunakan tabel, tentukan nilai Cos 56o + Sin 56o.Tan 28o ! Jawab: Cos 56o + Sin 56o.Tan 28o = Cos 56o + Sin 56o.

28 Cos28Sin

=

28 28.Sin 56Sin + 28.56 Cos

CosCos

= 12828

28)2856(

CosCos

CosCos

B Rumus Trigonometri Sudut Rangkap Rumus rumus : 1. Sin 2 = 2.Sin . Cos

2. Cos 2 = Cos2 - Sin2 = 2 Cos2 - 1 = 1 2 Sin2

3. Tan 2 = Tan12.Tan

2


Contoh: 1. Nyatakan Sin 3 ke dalam Sin !

Jawab: Sin 3 = Sin (2 + ) = Sin 2 . Cos + Cos 2 . Sin = 2.Sin . Cos . Cos + (Cos2 - Sin2 ) .Sin = 2.Sin . Cos2 + Sin . Cos2 - Sin3 = 3. Sin . Cos2 - Sin3 = 3. Sin (1 Sin2 ) - Sin3 = 3. Sin - 3. Sin3 - Sin3 = 3. Sin - 4 Sin3

2. Dengan menggunakan Sin 60o = 21 3 , buktikan bahwa Sin 180o = 0 !

Jawab: Sin 180o = Sin (3 . 60o) Berdasarkan hasil contoh 1: Sin 180o = 3. Sin 60o 4 . Sin360o

= 3 ( 21 3 ) 4 (

21 3 )3

=

23 3

- 4 (83 3 )

=

23 3

-

23 3

= 0

3. Jika Sin = 54

dan terletak di kuadrat ke-1, tentukan nilai dari yang berikut ini !

a. Sin 2 b. Cos 2 c. Tan 2 Jawab: Sin =

54

Cos = 53

dan Tan = 34

a. Sin 2 = 2.Sin . Cos = 2. 54

.

53

=

2524

b. Cos 2 = Cos2 - Sin2 = (53 )2 (

54 )2 =

257

2516

259

c. Tan 2 = Tan12.Tan

2 = 724

79

38

97

38

9161

38

341

342

2

C Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus Rumus rumus :

1. 2 Sin Cos = Sin ( + ) + Sin( - ) 2. 2 Cos Sin = Sin ( + ) - Sin( - ) 3. 2 Cos Cos = Cos ( + ) + Cos( - ) 4. 2 Sin Sin = Cos( - ) - Cos ( + )

Contoh: 1. Ubahlah bentuk berikut menjadi bentuk selisih atau jumlah !

a. 2.Sin 3 .Cos 2 c. 2.Sin 60o.Cos 30o b. Cos 8 .Cos 2 d. Cos 105o.Cos 15o Jawab: a. 2 Sin 3 Cos 2 = Sin (3 + 2 ) + Sin (3 - 2 )

= Sin 5 + Sin


b. Cos 8 Cos 2 = 21 [Cos (8 + 2 ) + Cos (8 - 2 )]

=

21 [Cos 10 + Cos 6 ]

c. 2 Sin 60o Cos 30o = Sin (60o + 30o) + Sin (60o - 30o) = Sin 90o + Sin 30o

d. Cos 105o Cos 15o = 21 [Cos (105o + 15o) + Cos (105o - 15o)]

=

21 [Cos 120o + Cos 90o]

2. Tanpa menggunakan kalkulator atau tabel, tentukan nilai dari yang berikut ini ! a. 2.Sin 75o.Cos 15o b. 2.Cos 120o.Sin 30o c. Cos 135o.Cos 15o Jawab: a. 2.Sin 75o.Cos 15o = Sin (75o +15o) + Sin (75o - 15o)

= Sin 90o + Sin 60o = 1 + 21 2

b. 2.Cos 120o.Sin 30o = Sin (120o +30o) - Sin (120o - 30o) = Sin 150o - Sin 90o =

21

- 1 = -21

c. Cos 135o.Cos 15o = 21 [Cos (135o +15o) + Cos(135o - 15o)]

=

21 [ Cos 150o + Cos 120o] =

21 [-

21 3

-

21 ] = )13(

41

D Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus Rumus rumus :

1. Sin A + Sin B = 2 Sin 21 (A + B) Cos

21 (A - B)

2. Sin A - Sin B = 2 Cos 21 (A + B) Sin

21 (A - B)

3. Cos A + Cos B = 2 Cos 21 (A + B) Cos

21 (A - B)

4. Cos A - Cos B = -2 Sin 21 (A + B) Sin

21 (A - B)

Contoh: 1. Nyatakan dalam bentuk perkalian !

a. Sin 7A Sin 5A b. Cos 10 + Cos 6 c. Cos x Cos y Jawab: a. Sin 7A Sin 5A = 2 Cos

21 (7A + 5A) Sin

21 (7A 5A)

= 2 Cos 6A Sin A

b. (b) Cos 10 + Cos 6 = 2 Cos 21 (10 + 6 ) Cos

21 (10 - 6 )

= 2 Cos 8 Cos 2

c. Cos x Cos y = -2 Sin 21 (x + y) Sin

21 (x - y)


2. Sederhanakan ! a. Sin 150o + Sin 30o c. Cos 200o - Cos 20o b. Cos 125o + Cos 55o d. Sin 75o - Sin 15o Jawab: a. Sin 150o + Sin 30o = 2 Sin

21 (150o + 30o) Cos

21 (150o - 30o)

= 2 Sin 90o Cos 60o = 2.1. 21

= 1

b. Cos 125o + Cos 55o = 2 Cos 21 (125o + 55o) Cos

21 (125o - 55o)

= 2 Cos 90o Cos 35o = 2.0. Cos 35o = 0

c. Cos 200o - Cos 20o = -2 Sin 21 (200o + 20o) Sin

21 (200o - 20o)

= -2 Sin 110o Sin 90o = -2. Sin 110o .1 = -2 Sin 110o

d. Sin 75o - Sin 15o = 2 Cos 21 (75o + 15o) Sin

21 (75o - 15o)

= 2 Cos 45o Sin 30o = 2. 21 2 .

21

=

21 2

Latihan 5 1. Dengan menyatakan 105o = (60o + 45o), tentukan nilai Sin 105o !

2. Diketahui Sin A = 53

untuk A sudut lancip, dan Cos B = 1312

untuk B sudut tumpul. Tentukan

nilai dari jumlah dan selisih sudut berikut ! a. Sin (A + B) b. Cos (B A) c. Tan (A B)


untuk A sudut lancip. Tentukan nilai identitas trigonometri berikut!

a. Sin 2A b. Cos 2A c. Tan 2A 4. Nyatakan 2 Sin 75o Cos 15o sebagai rumus jumlah sinus ! 5. Hitunglah penjumlahan trigonometri berikut !

a. Cos 75o + Cos 15o b. Sin 75o + Sin 15o

6. Diketahui Tan A = 54

dan Tan B = 247

, dengan A sudut tumpul dan B sudut lancip. Tentukan

nilai dari bentuk trigonometri berikut ! a. Cos (A B) b. Sin (A + B) c. Tan (A B)

7. Sederhanakan bentuk trigonometri berikut !

a. 15751575

SinSinCosCos

b. ASinASinASinASin

3937


, Cos B = 23

, A sudut tumpul dan B sudut lancip. Tentukan nilai

Cos (A B) !


A Identitas Trigonometri Idnetitas trigonometri yaitu rumus-rumus yang menghubungkan antara sin , cos , dan tan .

1. Cos2 + Sin2 = 1

2. Tan = CosSin

3. Cosec = Sin

1

4. Sec = Cos

1

5. Cotan = SinCos

Tg1

6. 1 + Tan2 = Sec2 7. 1 + Cotan2 = Cosec2

Contoh:

1. Tentukan nilai Cos A, Tan A, Cosec A, Sec A, dan Cotan A jika Sin A = 54

dan A sudut

lancip ! Jawab: Cos2A + Sin2A = 1 Cos2A = 1 - Sin2A

Cos2A= 1 (54 )2 = 1 -

259

2516

Cos A = 53

259

A lancip Cos A = 53

Tan A = CosASinA

=

34

5354

Cosec A = ASin

1 =

541

=

45

Sec A = ACos

1 =

35

531

Cotan = 43

3411

ATan

2. Jika Sin A = 135

dan 90o < A < 180o ( A tumpul), tentukan Cos A dan Tan A ! Jawab: Cos2A = 1 - Sin2A = 1 (

135 )2 = 1 -

169144

16925

Cos A = 1312

169144

Karena 90o < A < 180o maka Cos A = 1312

Tan A = CosASinA

=

125

1312

135

3. Buktikan identitas berikut ini ! a. Tan2A + 1 = Sec2A b. Tan A . Sin A + Cos A = Sec A c. (Sin A + Cos A)2 + (Sin A Cos A)2 = 2 Jawab: a. Ruas kiri = Tan2A + 1

=

ACosACosASin

ACosACos

ACosASin

ACosASin

2

22

2

2

2

2

2

2

1

= ASecACos

22

1 = ruas kanan (terbukti)

PERSAMAAN TRIGONOMETRI 6


a. Sin x = Sin x1 = + k.360 atau x2 = (180 - ) + k.360 ; k B

b. Cos x = Cos x1 = + k.360 atau x2 = - + k.360 ; k B

c. Tan x = Tan x = + k.180 ; k B

b. Ruas kiri = Tan A . Sin A + Cos A

=

CosASinA

. Sin A + Cos A

=

CosACosACosA

CosASinASinA ..

= SecACosACosA

ACosASin 122

= ruas kanan (terbukti)

c. Ruas kiri = (Sin A + Cos A)2 + (Sin A Cos A)2 = Sin2A + 2 Sin A Cos A + Cos2A + Sin2A - 2 Sin A Cos A + Cos2A = 2 (Sin2A + Cos2A) = 2.1 = 2 = ruas kanan (terbukti)

B Persamaan Trigonometri Bentuk Sederhana

Contoh:

1. Tentukan penyelesaian dari Sin x = 21

; 0 x 360 !

Jawab: Sin x =

21

Sin x = Sin 30 x1 = 30 + k.360 k = 0 x1 = 30 x2 = (180 - 30) + k.360 = 150 + k.360 k = 0 x2 = 150 HP = {30 , 150 }

2 Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos 3x = 21

; 0 x 360 !

Jawab: Cos 3x =

21

Cos 3x = Cos 60 (i) 3x1 = 60 + k.360 x1 = 20 + k.120 k = 0 x1 = 20 k = 1 x1 = 140 k = 2 x1 = 260 (ii) 3x2 = -60 + k.360

x2 = -20 + k.120 k = 1 x2 = 100 k = 2 x2 = 220 k = 3 x2 = 340 HP = {20 , 100 , 140o, 220o, 260o, 340o}


3. Tentukan himpunan penyelesaian dari Tan 2x = 3 ; 0 x 180 ! Jawab: Tan 2x = 3 Tan 2x = Tan 60o

2x = 60o + k.180o x = 30o + k.90o k = 0 x = 30 k = 1 x = 120 HP = { 30 , 120 }

C Persamaan Trigonometri Bentuk Cos A Cos B dan Sin A Sin B

Rumus yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk di atas adalah :

1. Sin A + Sin B = 2 Sin 21 (A + B) Cos

21 (A - B)

2. Sin A - Sin B = 2 Cos 21 (A + B) Sin

21 (A - B)

3. Cos A + Cos B = 2 Cos 21 (A + B) Cos

21 (A - B)

4. Cos A - Cos B = -2 Sin 21 (A + B) Sin

21 (A - B)

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 x 360 ! a. Cos 4x + Cos 2x = 0 b. Sin 3x Sin x = 0

Jawab; a. Cos 4x + Cos 2x = 2 Cos

21 (4x + 2x).Cos

21 (4x - 2x)

= 2 Cos 3x.Cos x Cos 4x + Cos 2x = 0 2 Cos 3x.Cos x = 0 Cos 3x.Cos x = 0 Cos 3x = 0 atau Cos x = 0 Cos 3x = 0

Cos 3x = Cos 90 (i) 3x1 = 90 + k.360 x1 = 30 + k.120 k = 0 x1 = 30 k = 1 x1 = 150 k = 2 x1 = 270

(ii) 3x2 = -90 + k.360 x2 = -30 + k.120 k = 1 x2 = 90 k = 2 x2 = 210 k = 3 x2 = 330 Cos x = 0

Cos x = Cos 90 (i) x1 = 90 + k.360 k = 0 x1 = 90 (ii) x2 = -90 + k.360 k = 1 x2 = 270 HP = {30o, 90o, 150o, 210o, 270o, 330o}


b. Sin 3x Sin x = 2 Cos 21 (3x + x) Sin

21 (3x - x)

= 2 Cos 2x.Sin x Sin 3x Sin x = 0 2 Cos 2x.Sin x = 0 Cos 2x Sin x = 0 Cos 2x = 0 atau Sin x = 0 Cos 2x = 0

Cos 2x = Cos 90 (i) 2 x 1 = 90 + k.360

x 1 = 45 + k.180

k = 0 x1 = 45 k = 1 x1 = 225

(ii) 2 x2 = -90 + k.360 x2 = -45 + k.180 k = 1 x2 = 135 k = 2 x2 = 315 Sin x = 0

Sin x = Sin 0 (i) x1 = 0 + k.360 k = 0 x1 = 0 k = 1 x1 = 360 (ii) x2 = (180 0) + k.360 = 180 + k.360 k = 0 x2 = 180 HP = {0o, 45o, 135o, 180o, 225o, 315o, 360o}

D Persamaan Trigonometri Bentuk : a Cos x + b Sin = c

Bentuk a Cos x + b Sin x dapat dinyatakan dengan bentuk k Cos (x - ), dengan k suatu konstanta dan 0 x 360 . Untuk menentukan k dan perhatikan hal berikut : a Cos x + b Sin x = k Cos (x - ) = k (Cos x.Cos + Sin x.Sin ) = k Cos x.Cos + k Sin x.Sin Dari persamaan di atas , diperoleh : k Cos = a k Sin = b a2 + b2 = k2 Cos2 + k2 Sin2 = k2 (Cos2 + Sin2 ) = k2 . 1 a2 + b2 = k2 , sehingga k =

b a 22

a

bCoskSink

.

.

Tan = a

b. Jadi diperoleh dari Tan .

Dengan demikian maka :

Besarnya sudut tergantung pada tanda a dan b, karena keadaan a dan b dapat menentukan keadaan kuadran di mana berada.

a Cos x + b Sin x = k Cos (x - ) dengan k =

b a 22

Tan = a

b


Contoh: 1. Tentukan k dan dari : -Cos x + Sin x !

Jawab: -Cos x + Sin x = k Cos (x - ) a = -1 ; b = 1 k =

b a 22 = 2)1()1( 22 Tan =

a

b = 1

11

( di kuadran II) = 135o Jadi, -Cos x + Sin x = 2 Cos (x - 135o)

2. Tentukan k dan dari : 8 Cos x + 6 Sin x ! Jawab: 8 Cos x + 6 Sin x = k Cos (x - ) a = 8 ; b = 6 k =

b a 22 = 1010068 22

Tan = a

b =

43

86

( di kuadran I) = 36,89o Jadi, 8 Cos x + 6 Sin x = 10 Cos (x 36,89o)

3. 3) Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos x + Sin x = 21 2

; 0 x 360 !

Jawab: Cos x + Sin x =

21 2

a = 1 ; b = 1 k =

b a 22 = 211 22

Tan = a

b = 1

11

( di kuadran I) = 45o Cos x + Sin x = k Cos (x - )

2 Cos (x - 45o) =

21 2

Cos (x - 45o) = 21

2

221

Cos (x - 45o) = Cos 60o

(i) x1 - 45o = 60o + k.360o x1 = 105o + k. 360o

k = 0 x1 = 105o

(ii) x2 - 45o = -60o + k.360o x2 = -15o + k. 360o

k = 1 x2 = 345o

HP = {105o, 345o} 4. Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos x - 3 Sin x = 1 ; 0 x 360 !

Jawab: Cos x - 3 Sin x = 1 a = 1 ; b = - 3

k = b a 22 = 231)3(1 22

Tan = a

b = 3

13

( di kuadran IV) = 300o


Cos x - 3 Sin x = k Cos (x - ) 2 Cos (x 300o) = 1 Cos (x 300o) =

21

Cos (x 300o) = Cos 60o

(i) x1 - 300o = 60o + k.360o x1 = 360o + k. 360o

k = 0 x = 360o

(ii) x2 - 300o = -60o + k.360o x2 = 240o + k. 360o

k = 0 x = 240o

HP = { 240o, 360o}

Latihan 6

1. Buktikan : Sec A Cos A = Tan A . Sin A ! 2. Buktikan : Sec2x(1 Sin4x) 2 Sin2x = Cos2x ! 3. Tentukan himpunan penyelesaian Sin x = 3

21

untuk 0 x 360 !

4. Diketahui Cos x = 21

untuk 0 x 360 . Tentukan himpunan penyelesaiannya !

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari Tan x = 331

untuk 0 x 2 !

6. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 x 360 !

a. 2 Sin 2x = 3 b. Cos 2x = 21

c. 3 Tan 3x = -1

7. Tentukan penyelesaian dari 3 Tan 21

x = 1 untuk 0 x 2 !

8. Tentukan penyelesaian persamaan berikut untuk untuk 0 x 360 ! a. Sin (60o + x) Sin (60o x) = 1 b. Sin 5x Sin x = 0 c. Cos 4x Cos 2x = 0

9. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan Cos x - Sin x untuk 0 x 360 !

10. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan Sin2x + Sin x 2 = 0 untuk 0 x 360 !

Trigonometri Libre Materi

Documents

Transcript of Trigonometri Libre Materi