Matematika SMK Kelas XI / Aturan Sinus dan Cosinus

Materi Ajar

Trigonometri

Aturan sinus dan Cosinus

Ateng Transani, S.Pd

Mahasiswa PPG UNP Mapel Matematika

Tahun 2021 Angkatan III

1

Daftar Isi ................................................................ 1

Glosarium ............................................................... 2

Pendahuluan ........................................................... 3

- Petunjuk penggunaan Modul ................................ 3

- Tujuan Pembelajaran ............................................ 4

Pembelajaran ........................................................... 5

- Aturan Sinus ........................................................ 5

- Aturan Cosinus .................................................... 13

- Forum Diskusi ..................................................... 18

- Rangkuman .......................................................... 19

- Uji Kompetensi ..................................................... 20

Kriteria Penilaian Uji Kompetensi ............................. 23

Daftar Pustaka ......................................................... 24

Daftar Isi

2

Trigonometri Merupakan salah satu ilmu yang berhubungan dengan besar sudut,

dimana bermanfaat untuk menghitung ketinggian suatu tempat tanpa mengukur

secara langsung sehingga bersifat lebih praktis dan efisien.

Koordinat cartesius Suatu sistem koordinat yang menggunakan dua garis lurus yang

saling tegak lurus dan berarah dalam menentukan kedudukan suatu titik

pada bidang. Di mana dua garis yang dimaksud adalah sumbu X dan sumbu Y, serta

perpotongan kedua titik itu adalah titik asal. Koordinat cartesius sering disebut

dengan koordinat siku-siku.

Koordinat kutub Suatu koordinat yang menggunakan sebuah sinar garis sebagai

patokan muka dalam menentukan kedudukan suatu titik pada bidang. Di mana titik

pangkal sinar garis itu sebagai kutub atau titik asal dan sinar garis itu sendiri

sebagai sumbu kutub.

Glosarium

DAFTAR ISI

3

Matematika adalah hasil abstraksi (pemikiran) manusia terhadap objek-objek di

sekitar kita dan menyelesaikan masalah yang terjadi dalam kehidupan, sehingga

dalam mempelajarinya Anda harus memikirkannya kembali, bagaimana pemikiran

para penciptanya terdahulu. Belajar matematika sangat berguna bagi kehidupan.

Cobalah membaca dan pahami materinya serta terapkan untuk menyelesaikan

masalah-masalah kehidupan di lingkunganmu. Anda punya kemampuan, kami

yakin Anda pasti bisa melakukannya.

Agar modul ini dapat digunakan secara maksimal maka Anda diharapkan

melakukan langkah – langkah sebagai berikut :

1. Pelajarilah dan pahami peta konsep yang disajikan dalam setiap modul.

2. Pelajarilah dan pahami tujuan yang tercantum dalam setiap kegiatan

pembelajaran.

3. Pelajarilah uraian materi secara sistematis dan mendalam dalam setiap

kegiatan pembelajaran.

4. Lakukanlah uji kompetensi di setiap akhir kegiatan pembelajaran untuk

mengetahui tingkat penguasaan materi.

5. Diskusikan secara kelompok dan atau dengan guru jika mengalami kesulitan

dalam pemahaman materi.

6. Lanjutkan pada modul berikutnya jika sudah mencapai ketuntasan yang

diharapkan mendapatkan nilai 75.

3.12 Menerapkan aturan sinus dan kosinus.

4.12 Menyelesaikan permasalah kontekstual dengan aturan sinus dan kosinus

PENDAHULUAN

PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL

Kompetensi Dasar dan Indikator

DAFTAR ISI

4

Dalam kegiatan pembelajaran ini Anda harus:

1. mampu menjelaskan aturan sinus dengan benar;

2. mampu menjelaskan penyelesaian aturan sinus dengan benar;

3. mampu mengemukakan penyelesaian aturan sinus dengan benar;

4. mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan sinus

dengan benar;

5. mampu menjelaskan aturan cosinus dengan benar;

6. mampu menjelaskan penyelesaian aturan cosinus dengan benar;

7. mampu mengemukakan penyelesaian aturan cosinus dengan benar;

8. mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan cosinus

dengan benar;

Tujuan Pembelajaran

DAFTAR ISI

5

Pada bahasan ini kita akan menemukan rumus - rumus trigonometri yang berlaku

pada sebarang segitiga. Permasalahan pada segitiga adalah menentukan panjang sisi

dan besar sudut segitiga. Jika hanya sebuah panjang sisi segitiga diketahui, apakah

Anda dapat menentukan panjang sisi-sisi yang lain? Atau Anda dapat menentukan

besar sudutnya? Sebaliknya, jika hanya sebuah sudut segitiga yang diketahui,

apakah Anda dapat menentukan besar sudut-sudut yang lain dan panjang sisi-

sisinya?

Pertanyaan selanjutnya adalah apa saja yang harus diketahui agar Anda mampu

menyelesaikan masalah segitiga tersebut?

Agar Anda dapat memahaminya, pelajarilah masalah berikut.

Gampong Pulo teungoh dan gampong lango di pisahkan oleh sungai meureubo. Jika

warga gampong pulo teungoh ingin mengunjungi warga gampong Lango harus

berputar mengelilingi gampong Pante cermin terlebih dahulu. Begitu juga

sebaliknya. Maka warga dari kedua gampong membuat permohonan kepada instansi

terkait untuk menangi masalah ini, yaitu dengan membangun jalan dan jembatan.

Untuk membuat permohonan, warga harus dapat menentukan jarak/panjang jalan

dan jembatan tersebut. Dari peta ada beberapa hal yang dapat diketahui, yaitu :

1. jalan Gampong Pulo Teungoh dan jalan Gampong Lango berpotongan di

gampong pante cermin kemudian jarak antara gampong pante cermin dengan

gampong lango adalah 1 km,

2. sudut yang dibentuk gampong pulo teungoh dan gampong lango adalah 30o

3. sudut yang dibentuk oleh jalan gampong pulo teungoh dengan jalan dan

jembatan adalah 60o.

Dari uraian diatas, dapatkah anda membantu warga untuk dapat menentukan

panjang jalan dan jembatan dari gampong pulo teungoh dengan gampong lango.

PEMBELAJARAN

ATURAN SINUS

Pante Cermin

Pulo teungoh

Lango

6

Alternatif Penyelesaian

Misalkan :

Titik A = Gampong Pante Cermin

Titik B = Gampong Pulo teungoh

Titik C = Gampong Lango

Maka :

Untuk mempermudah perhitungan, kita bentuk garis tinggi CD, dimana garis CD

tegak lurus dengan AB, seperti pada gambar berikut ini :

Gambar.1.1 Segita ABC dengan garis tinggi CD

Ingat kembali tentang konsep aturan sinus pada segitiga siku-siku :

Perhatikan segitiga ΔACD !

Dalam segitiga ΔACD, diperoleh bahwa : 𝑠𝑖𝑛𝐴 =𝐶𝐷

𝐴𝐶 atau 𝐶𝐷 = 𝐴𝐶. 𝑠𝑖𝑛𝐴 ………… (1)

Dalam segitiga ΔBCD, diperoleh bahwa : 𝑠𝑖𝑛𝐵 =𝐶𝐷

𝐶𝐵 atau 𝐶𝐷 = 𝐶𝐵. 𝑠𝑖𝑛𝐵 ………… (2)

Dari persamaan (1) dan (2) di peroleh bahwa: 𝐴𝐶. 𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝐶𝐵. 𝑠𝑖𝑛𝐵 ..……….…..(3)

Diketahui bahwa ∠B = 60o. ∠A = 30o, dan jarak AC = 1 km.

7

Dengan mensubstitusikan nilai tersebut kepersamaan (3), maka diperoleh :

𝐴𝐶. 𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝐶𝐵. 𝑠𝑖𝑛𝐵

1. 𝑠𝑖𝑛30𝑜 = 𝐶𝐵. 𝑠𝑖𝑛60𝑜 (masukkan nilai 𝑠𝑖𝑛30𝑜 =1

2, dan 𝑠𝑖𝑛60𝑜 =

1

2√3 ke persamaan),

maka

1.1

2= 𝐶𝐵.

1

2√3

𝐶𝐵 =1

21

2√3

(gunakan konsep akar sekawan), maka

𝐶𝐵 =1

21

2√3

×1

2√3

1

2√3

=1

4√3

3

2

=1

6√3

𝐶𝐵 = 0.58 km

Jadi panjang jembatan dan jalan dari gampong lango ke gampong Pulo teungoh 𝑚

adalah 0.58 km

Perhatikan Gambar berikut

Gambar.1.2 segitiga ABC

Dari gambar diatas, diketahui bahwa ΔABC dengan panjang sisi-sisinya adalah a,b,

dan c. Garis CP merupakan garis tinggi, dimana AB ┴ CP dan garis AQ merupakan

garis tinggi, dimana CB ┴ AQ.

Maka :

Dari segitiga ΔBCP diperoleh 𝑠𝑖𝑛𝐵 =𝐶𝑃

𝑎 atau 𝐶𝑃 = 𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝐵 …………..(1)

Dari segitiga ΔBCP diperoleh 𝑠𝑖𝑛𝐴 =𝐶𝑃

𝑏 atau 𝐶𝑃 = 𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐴 …………..(2)

8

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh ,

𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐴 kalikan kedua ruas dengan 1

𝑠𝑖𝑛𝐵.𝑠𝑖𝑛𝐴 , maka :

𝑎.𝑠𝑖𝑛𝐵

𝑠𝑖𝑛𝐵.𝑠𝑖𝑛𝐴=

𝑏.𝑠𝑖𝑛𝐴

𝑠𝑖𝑛𝐵.𝑠𝑖𝑛𝐴

Maka diperoleh : 𝑎

𝑠𝑖𝑛𝐴=

𝑏

𝑠𝑖𝑛𝐵 …………………..………………………….(3)

Dari segitiga ΔACQ diperoleh 𝑠𝑖𝑛𝐶 =𝐴𝑄

𝑏 atau 𝐴𝑄 = 𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐶 …………..(4)

Dari segitiga ΔABQ diperoleh 𝑠𝑖𝑛𝐵 =𝐴𝑄

𝑐 atau 𝐴𝑄 = 𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐵 …………..(5)

Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh ,

𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐶 = 𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐵 kalikan kedua ruas dengan 1

𝑠𝑖𝑛𝐶.𝑠𝑖𝑛𝐵 , maka :

𝑏.𝑠𝑖𝑛𝐶

𝑠𝑖𝑛𝐶.𝑠𝑖𝑛𝐵=

𝑐.𝑠𝑖𝑛𝐵

𝑠𝑖𝑛𝐶.𝑠𝑖𝑛𝐵

Maka diperoleh : 𝑏

𝑠𝑖𝑛𝐵=

𝑐

𝑠𝑖𝑛𝐶 …………………..………………………….(6)

berdasarkan persamaan (3) dan (6) diperoleh

𝑎

𝑠𝑖𝑛𝐴=

𝑏

𝑠𝑖𝑛𝐵=

𝑐

𝑠𝑖𝑛𝐶

Aturan Sinus:

Untuk sembarang segitiga ABC, dengan Panjang sisi-sisi a, b, dan c dan ∠A, ∠B

dan ∠C, berlaku : 𝒂

𝒔𝒊𝒏𝑨=

𝒃

𝒔𝒊𝒏𝑩=

𝒄

𝒔𝒊𝒏𝑪

Contoh Soal:

1. Perhatikan segitiga berikut ini:

9

Hitunglah panjang sisi c !

Jawaban:

Diketahui : a = 2 cm

∠A = 30o, ∠C = 60o

Ditanyakan : c … ?

Penyelesaian: 𝑎

𝑠𝑖𝑛𝐴=

𝑐

𝑠𝑖𝑛𝐶

𝑐 =𝑎.𝑠𝑖𝑛𝐶

𝑠𝑖𝑛𝐴

𝑐 =2.𝑠𝑖𝑛60𝑜

𝑠𝑖𝑛30𝑜

𝑐 =2.

1

2√3

1

2

𝑐 =√3

1

2

𝑐 = 2√3

Jadi panjang c = 2√3 cm

2. Diketahui ΔABC dengan panjang sisi 𝑎 = 4 cm, ∠A=120o, ∠B=30o. Hitunglah

panjang sisi 𝑐 !

Jawab:

Diketahui : ΔABC

a = 4 cm

∠A=120o, ∠B=30o

Ditanyakan : c …?

Penyelesaian:

10

Gambar 1.4 segitiga ABC sembarang

Karena jumlah besar sudut dalam segitiga selalu 180o, maka ∠C adalah :180o

-120o -30o =30o.

Selanjutnya, dengan menggunakan Aturan Sinus, diperoleh : 𝑎

𝑠𝑖𝑛𝐴=

𝑐

𝑠𝑖𝑛𝐶

4

𝑠𝑖𝑛120𝑜=

𝑐

𝑠𝑖𝑛30𝑜

41

2√3

=𝑐1

2

𝑐 =4.

1

21

2√3

𝑐 =4

√3=

4

3√3

Jadi panjang sisi c adalah 4

3√3 m

3. Perhatikan gambar berikut :

11

Gambar.1.6 pohon dan burung

Seorang siswa sedang melakukan pengukuran ketinggian sebuah pohon

mangga dibelakang halaman sekolahnya. Tinggi pohon tersebut dengan sudut

elevasi 30o adalah 6 meter. Kemudian melintas seekor burung berada tepat

diatas pohon dengan sudut elevasi 45o. Hitunglah tinggi burung tersebut

terbang. (tinggi pengamat diabaikan) adalah …. (√2 = 1.41)

Jawaban:

Diketahui : misal tinggi pohon adalah a=6 meter

∠A =30o ∠X=45o

Ditanyakan: x …?

Penyelesaian:

Gambar. 1.7 segitiga

Dengan menggunakan aturan sinus, maka :

30o

45o

6 meter

12

𝑎

sin 𝐴=

𝑥

sin X ⟺

6

sin 30𝑜=

𝑥

sin 45𝑜 ⟺ 𝑥 =

6×sin 45𝑜

sin 30𝑜 ⟺ 𝑥 =

6×1

2√2

1

2

⟺ 𝑥 = 6 ×1

2√2 × 2

= 6√2=6 × 1,41 = 8,46 meter

Jadi tinggi burung dari pohon adalah 8,46 meter

4. Perhatikan gambar segitiga berikut :

Dua buah kelereng di lemparkan dari titik A dan B pada saat yang bersamaan.

Agar keduanya dapat bertemu pada satu titik C pada saat yang sama. Maka

kecepatan kelereng dari titik B harus …

Jawaban :

Diketahui : ∠A =30o ∠B=90o

ta = tb

Ditanyakan : va : vb ?

Penyelesaian

Menggunakan aturan sinus :

𝑎

𝑠𝑖𝑛𝐴=

𝑏

𝑠𝑖𝑛𝐵

𝑠𝑖𝑛𝐵

𝑠𝑖𝑛𝐴=

𝑏

𝑎

Karena ta = tb ⟺ 𝑠𝑎

𝑣𝑎=

𝑠𝑏

𝑣𝑏 ⟺𝑠𝑎 = 𝑎, 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑏 = 𝑏 maka :

𝑎

𝑣𝑎=

𝑏

𝑣𝑏

90o 30o

A B

C

90o 30o

A B

C

a b

13

𝑣𝑎

𝑣𝑏=

𝑏

𝑎 ⟺ karena

𝑏

𝑎=

𝑠𝑖𝑛𝐵

𝑠𝑖𝑛𝐴 , maka

𝑣𝑎

𝑣𝑏=

𝑠𝑖𝑛𝐵

𝑠𝑖𝑛𝐴

𝑣𝑎

𝑣𝑏=

𝑠𝑖𝑛30𝑜

𝑠𝑖𝑛90𝑜

𝑣𝑎

𝑣𝑏=

1

2

1

𝑣𝑏 = 2. 𝑣𝑎

Maka kecepatan kelereng B harus 2 kali lebih cepat dari kelereng A

DAFTAR ISI

14

Pada segitiga (i) diketahui panjang ketiga sisinya, sedangkan pada segitiga (ii),

diketahui sebuah sudut dan dua buah sisi yang mengapitnya. Bagaimana cara Anda

mengetahui ukuran sudut dan sisi lainnya dari kedua segitiga tersebut? Untuk

menemukan konsep aturan kosinus dalam segitiga, pelajarilah masalah berikut.

Dua kapal tanker berangkat dari titik yang sama dengan arah berbeda sehingga

membentuk sudut 60𝑜. Jika kapal pertama bergerak dengan kecepatan 30 km/jam,

dan kapal kedua bergerak dengan kecepatan 25 km/jam. Tentukanlah jarak kedua

kapal setelah berlayar selama 2 jam perjalanan.

Alternatif penyelesaian:

Untuk memudahkan penyelesaian diata, kita asumsikan bahwa pergerakan kapal

membentuk segitiga seperti gambar berikut :

Gambar. 1.8 segitiga ABC (i) dengan sudut C = 60o

Dari gambar diatas dapat kita misalkan beberapa hal sebagai berikut :

Titik C merupakan titik keberangkatan kedua kapal tersebut.

Besar sudut C merupakan sudut yang dibentuk lintasan kapal yang

berbeda yaitu sebesar 60o.

CB merupakan jarak yang ditempuh kapal pertama selama 2 jam

dengan kecepatan 30 km/jam, sehingga 𝐴𝐵 = 2 𝑗𝑎𝑚 × 30𝑘𝑚

𝑗𝑎𝑚= 60 𝑘𝑚

AC merupakan jarak yang ditempuh kapal kedua selama 2 jam dengan

kecepatan 25 km/jam, 𝐴𝐵 = 2 𝑗𝑎𝑚 × 25𝑘𝑚

𝑗𝑎𝑚= 50 𝑘𝑚.

AB merupakan jarak kedua kapal setelah menempuh perjalanan selama

2 jam. Karena itu, petanyaan yang harus dijawab adalah berapakah

panjang AB?

ATURAN COSINUS

15

Agar kita dapat

menentukan jarak AB maka kita memerlukan gambar seperti

disamping. Garis CP merupakan garis tinggi segitiga ABC,

dimana CP ┴ CB. Misalkan panjang CP

adalah 𝑐 maka panjang

BP adalah (𝑐 − 𝑥). Perhatikan ΔACP ! Dari ΔACP berlaku :

𝐴𝐶2 = 𝐴𝑃2 + 𝐶𝑃2 atau

𝐶𝑃2 = 𝐴𝐶2 − 𝐴𝑃2

Gambar 1.9 segitiga ABC dengan garis tinggi AP

Dengan mensubstitusi nilai – nilai yang sudah kita peroleh, maka :

𝐶𝑃2 = 𝑎2 − 𝑥2 ……………………(1)

Dari ΔBPC berlaku 𝐵𝐶2 = 𝐵𝑃2 + 𝐶𝑃2 atau 𝐶𝑃2 = 𝐵𝐶2 − 𝐵𝑃2

Dengan mensubstitusi nilai – nilai yang sudah kita peroleh,

𝐴𝑃2 = 𝑎2 − (𝑐 − 𝑥)2 = 𝑎2 − 𝑐2 + 2𝑐𝑥 − 𝑥2 …………………….(2)

Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh :

𝑏2 − 𝑥2 = 𝑎2 − 𝑐2 + 2𝑐𝑥 − 𝑥2

𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 + 2𝑐𝑥 − 𝑥2 + 𝑥2

𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 + 2𝑐𝑥

Atau

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑐𝑥 ……………………………………………….(3)

Berdasarkan ΔAPC diperoleh:

𝑐𝑜𝑠𝐴 =𝑥

𝑏, maka 𝑥 = 𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐴 ………………………………….…(4)

Dengan mensubstitusikan persamaan (4) ke persamaan (3), maka diperoleh:

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴………………………………………….(5)

Dengan mensubstitusi nilai – nilai yang telah diketahui kedalam persamaan

(5), maka diperoleh :

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴

𝑎2 = 502 + 602 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠60𝑜

𝑎2 = 502 + 602 − 2.50.60.1

2

𝑎2 = 2500 + 3600 − 300

𝑎2 = 4100 − 300

𝑎2 = 3800

𝑎 = √3800

𝑎 = 61,6 km

Maka jarak antara kedua kapal tanker setelah berlayar selama 2 jam adalah

61,6 km

16

Berdasarkan alternatif penyelesaian diatas, ditemukan aturan cosinus pada

sembarang segitiga sebagai berikut :

Aturan Cosinus:

Untuk sebarang segitiga ABC, dengan panjang sisi – sisi a, b, c dan ∠A, ∠B,

∠C, berlaku :

𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒃𝒄. 𝒄𝒐𝒔𝑨

𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒂𝒄. 𝒄𝒐𝒔𝑩

𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝟐𝒂𝒃. 𝒄𝒐𝒔𝑪

Contoh :

1. Perhatikan segitiga berikut ini :

Jika panjang AB = 8 cm dan AC = 10 cm, ∠A adalah 30o. Tentukan panjang

c

Jawab :

Perhatikan sketsa segitiga berikut

Maka dapat kita gunakan Aturan Cosinus, sebagai berikut :

17

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐴

𝑐2 = 82 + 102 − 2.8.10. 𝑠𝑖𝑛30𝑜

𝑐2 = 64 + 100 − 160.1

2

𝑐2 = 164 − 80

𝑐2 = 84

𝑐 = 9,16 km

jadi jarak c adalah 9,16 km

2. Sebuah mobil melaju dari tempat A sejauh 16 km dengan arah 40∘,

kemudian berbelok sejauh 24 km ke tempat B dengan arah 160∘.

Hitunglah jarak A dan B.

Jawaban:

Posisikan titik C dan gunakan garis bantu seperti gambar dibawah ini :

Gambar. 2.0 gambar segitiga ABC

Dari gambar diperoleh bahwa ∠ACB =20∘+60∘. Selanjutnya dengan

menggunakan Aturan Cosinus, diperoleh :

𝐴𝐵2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 − 2. 𝐴𝐵. 𝐵𝐶 𝑐𝑜𝑠60𝑜

𝐴𝐵2 = 162 + 242 − 2.16.24 1

2

𝐴𝐵2 = 256 + 576 − 768.1

2

𝐴𝐵2 = 832 − 384

𝐴𝐵 = √448 = √64 × √7 = 8√7 km

jadi jarak A dan B adalah 8√7 km

3. Pada jam praktik di lapangan andi diperintahkan oleh guru untuk

memindahkan hand traktor dari gudang ke lahan praktik. Untuk

mencapai lahan praktek, andi haru melalui jalan sebagai berikut: dari

depan gudang andi berjalan lurus sejauh 35 m, kemudian memutar pada

arah 45o sejauh 65 meter hingga berhenti. Hitunglah jarak andi membawa

hand traktor dari depan gudang sampai ia berhenti.

18

Jawaban :

Perhatikan sketsa berikut :

Gambar 2.1 Sketsa pergerakan hand Traktor

Misalkan titik A adalah titik mula-mula dan titik C merupakan titik

pemberhentian perahu. Jelas bahwa ∠𝐴𝐵𝐶 = 90° + 45° = 135°.

Diketahui bahwa panjang 𝐴𝐵 = 35 m dan panjang 𝐵𝐶 = 65 m.

Dengan menggunakan aturan cosinus diperoleh

𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 − 2 ⋅ 𝐴𝐵 ⋅ 𝐵𝐶 ⋅ cos ∠𝐴𝐵𝐶

𝐴𝐶2 = 352 + 652 − 2 ⋅ 35 ⋅ 65 ⋅ cos 135°

𝐴𝐶2 = 1225+4225 – 2 . 4550 . 1

2√2

𝐴𝐶2 = 5450 – 2275.√2

𝐴𝐶2 = 5450 – 3185

𝐴𝐶2 = 2265

AC = 47,6 m

Jadi jarak perpindahan traktor dari titik A ke titik C adalah 47,6 m

U

35 m

65 m

U

A B

C

DAFTAR ISI

19

Untuk meningkatkan pemahaman Anda terhadap materi pembelajaran Anda di

persilahkan mengerjakan tugas berikut. Kerjakan tugas berikut secara mandiri,

serius, dan bertanggung jawab. Pastikan Anda mengerjakan tugas ini dengan jujur

tanpa melihat uraian materi.

1. Setelah memahami permasalahan di atas tolong tuliskan kejadian atau

peristiwa pada kehidupan sehari – hari yang berkaitan dengan aturan Sinus

dan aturan Cosinus, masing – masing 1 dan berikan penjelasannya.

2. Sebuah kapal berlayar dari Pelabuhan A ke Pelabuhan B sejauh 200 mil

dengan arah 35∘. Dari Pelabuhan B, kapal itu berlayar sejauh 300 mil menuju

Pelabuhan C dengan arah 155∘. Jarak antara Pelabuhan A ke Pelabuhan C

adalah ⋯ mil.

3. Badan Geologi, Kementerian ESDM dan Mitigasi Bencana Geologi Sumatra

Utara sedang mengamati ketinggian letusan awan panas gunung Sinabung

pada hari tersebut. Puncak gunung terlihat pada sudut elevasi 30° sedangkan

puncak letusan awan panas terlihat pada sudut elevasi 60°.

Diketahui tinggi gunung Sinabung adalah 2.460 meter dan terjadi kesalahan

dalam mengukur sudut elevasi. Besar sudut elevasi untuk melihat tinggi

erupsi seharusnya adalah 50o. Akibat kesalahan ini, maka tinggi erupsi

gunung sebenarnya lebih tinggi atau rendahkah bila dibandingkan dengan

tinggi erupsi yang didapatkan dari sudut elevasi semula? Beri alasannya!

Forum Diskusi

DAFTAR ISI

20

Aturan Sinus:

Untuk sembarang segitiga ABC, dengan Panjang sisi-sisi a, b, dan c dan ∠A,

∠B dan ∠C, berlaku : 𝒂

𝒔𝒊𝒏𝑨=

𝒃

𝒔𝒊𝒏𝑩=

𝒄

𝒔𝒊𝒏𝑪

Aturan Cosinus:

Untuk sebarang segitiga ABC, dengan panjang sisi – sisi a, b, c dan ∠A, ∠B,

∠C, berlaku :

𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒃𝒄. 𝒄𝒐𝒔𝑨

𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒂𝒄. 𝒄𝒐𝒔𝑩

𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝟐𝒂𝒃. 𝒄𝒐𝒔𝑪

Rangkuman

DAFTAR ISI

21

Kerjakan soal berikut ini dengan baik sesuai dengan kemampuan Anda masing –

masing !

1. Pada △JKL, diketahui sinL=13, sinJ=35, dan JK=5 cm. maka

Panjang KL adalah ⋯ cm.

A. 5

B. 7

C. 9

D. 12

E. 15

2. Perhatikan gambar △ABC di bawah ini.

Perbandingan panjang BC dan AC adalah ⋯⋅

A. 3:4

B. 4:3

C. √2:√3

D. √3:2√2

E. √3:√2

3. Diketahui segitiga ABC, panjang AC = 5 cm, sisi AB = 3 cm, dan ∠A = 60o.

Nilai cos B adalah …

A. 5

38√57

B. 1

76

C. 5

38√19

D. 1

38√19

E. 1

19√19

4. Jika dalam segitiga ABC berlaku hubungan a2(1+cosA)=2bcsin2A, maka

segitiga ABC berbentuk ⋯⋅

Uji Kompetensi

22

A. segitiga sama kaki

B. segitiga siku-siku

C. segitiga sama sisi

D. segitiga sembarang

E. segitiga tumpul

5. Diberikan segitiga ABC dengan titik D pada AB dan titik E pada AC sehingga

terbentuk ruas garis DE. Jika AD=5, DB=3, EC=6, AE=4, dan BC=8, maka

panjang ruas garis DE adalah ⋯⋅

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

E. 8

6. Sisi segitiga ABC, a = 2√61, b = 10, c=8. Nilai cos A = …

A. −5

6

B. 1

2

C. −1

2

D. 4

5

E. 5

8

7. Sebuah kapal laut berlayar ke arah timur sejauh 120 km, kemudian memutar

kemudi pada jurusan 60∘ sejauh 100 km hingga berhenti. Jarak kapal dari

mula-mula titik berlayar ke tempat pemberhentian adalah ⋯ meter.

A. 25√50

B. 20√91

C. 24√66

D. 27√66

E. 24√70

8. Pada segita ABC diketahui sisi a = 4 cm, b = 6 cm dan besar ∠B = 45o. Nilai

cosA adalah …

A. 1

6√2

B. 1

6√6

C. 1

6√7

D. 1

3√2

23

E. 1

3√7

9. Diketahui segitiga ABC dengan ∠A=30∘, ∠C=105∘, dan BC = 10 cm. Panjang

AC = ….

A. 5 cm

B. 53 cm

C. 10√2 cm

D. 10√3 cm

E. 10

3√3 cm

10. Perhatikan gambar berikut!

Dua orang mulai berjalan masing-masing dari titik A dan titik B pada saat

yang sama. Supaya keduanya sampai di titik C pada saat yang sama, maka

kecepatan berjalan dari titik A harus ….

A. 2 kali kecepatan orang yang dari B.

B. 1

2√2 kali kecepatan orang yang dari B.

C. √2 kali kecepatan orang yang dari B.

D. 2√2 kali kecepatan orang yang dari B.

E. √3 kali kecepatan orang yang dari B.

DAFTAR ISI

24

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Uji Kompetensi yang terdapat

di bagian akhir kegiatan belajar ini. Hitunglah jawaban yang benar.

Gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap

materi pada kegiatan belajar ini.

Tingkat Penguasaan =𝐽𝑎𝑤𝑎𝑏𝑎𝑛 𝐵𝑒𝑛𝑎𝑟

𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑜𝑎𝑙 𝑥100

Arti tingkat penguasaan:

90% ≤ TP ≤ 100%: sangat baik

80% ≤ TP < 90%: baik

70% ≤ TP < 80%: cukup

TP < 70%: kurang

Apabila tingkat penguasaan Anda 75% atau lebih, Anda dapat melanjutkan ke

kegiatan belajar berikutnya. Bagus! Anda telah berhasil mempelajari materi pada

kegiatan belajar ini. Apabila tingkat penguasaan Anda kurang dari 75%, Anda harus

mempelajari kembali materi pada kegiatan belajar ini.

Kunci Jawaban Uji Kompetensi

No Soal Kunci

1. C

2. C

3. D

4. A

5. A

6. C

7. B

8. E

9. C

10. B

Kriteria Penilaian Uji Kompetensi

DAFTAR ISI

25

____, 2021. Contoh Soal dan Pembahasan Aturan Cosinus.

https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-aturan-sinus-aturan-

cosinus-dan-luas-segitiga-dalam-trigonometri/ (diakses 26 juli 2021)

____, 2021. Contoh Soal dan Pembahasan soal – soal AKM.

https://pusmenjar.kemdikbud.go.id/akm/(diakses 26 juli 2021)

____, 2021. Contoh soal dan Pembahasan.

https://www.catatanmatematika.com/2020/03/bank-soal-aturan-sinus-

dan-pembahasan.html (diakses 26 juli 2021)

Sinaga, Bornok dkk. 2014. Matematika Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI

Semester 1. Jakarta : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang,

Kemdikbud.

Sinaga, Bornok dkk. 2017. Matematika Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X.

Jakarta : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud.

Sulistiyono. 2012. SPM Matematika SMA dan MA. Jakarta : PT. Gelora Aksara

Pratama

Daftar Pustaka

DAFTAR ISI