Definisi

Misalkan V suatu bidang euclides, T dan V ke V. T disebut sebagai transformasi,

jika dan hanya jika T sebuah fungsi bijektif.

Postulat/Aksioma:

1. Dalam 2 buah titik dapat membentuk sebuah garis.

2. 2 buah titik yang dipanjangkan akan membentuk sinar yang tak terbatas.

Setengah sinar:

AB BA

Sinar yang seutuhnya:

AB

3. Pada sebarang titik dapat dibentuk lingkaran.

4. Semua sudut siku-siku besarnya sama yaitu 90 .

5. Jika suatu garis lurus memotong 2 buah garis lurus, membentuk sudut-sudut

dalam sepihak kurang dari sudut siku-siku.

P

1 2

3 4

1 2

3 4

Q

FUNGSI

Contoh Fungsi:

A B

1111

Contoh Bukan Fungsi:

A B A B

Fungsi Bijektif:

1. Fungsi Surjektif (Onto/Pada)

Adalah apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota pada

himpunan A. Syaratnya ada prapeta.

1

2

3

C

D

1

2

3

C

D

1

2

3

C

D

E

A B

Bukan termasuk onto karena bukan merupakan

fungsi sehingga bukan fungsi surjektif.

A B

Termasuk onto karena masing-masing dari

himpunan tersebut memiliki prapeta.

( )

A B

Termasuk onto karena setiap anggota

himpunan B memiliki kawan anggota pada

himpunan A.

2. Fungsi Injektif (Fungsi Satu-Satu)

, memenuhi ( ) ? A B

Merupakan Fungsi Satu-Satu

1

2

3

C

D

a

b

c

d

x

y

z

a

b

c

x

y

-1

0

1

-1

0

1

, memenuhi ( ) ? A B

Bukan termasuk Fungsi Satu-Satu

, memenuhi ( ) ? A B

Termasuk Fungsi Satu-Satu

memenuhi A ke B ( ) , artinya sehingga ( )

-1

0

1

0

1

-1

0

1

-2

0

2

KUIS

1. Misal v bidang euclides dan A sebuah titik tertentu pada v. Ditetapkan relasi T

sebagai berikut. ( ) . Apakah relasi T merupakan fungsi?

Ambil sebarang , karena A merupakan titik tertentu pada v maka

memunculkan 2 kondisi:

Menentukkan

Sudah jelas bahwa P mempunyai prapeta yaitu titik A itu sendiri, sehingga

( )

Menentukkan

T(M) = P

Secara geometris pada bidang v terdapat titik M yang merupakan prapeta dari

P yaitu ( ) ( ) merupakan titik tengah. Karena mempunyai

prapeta oleh fungsi T, yaitu ( ) sehingga T merupakan fungsi pada atau fungsi

surjektif. Oleh karena itu, relasi T merupakan transformasi.

2. Jika ( ) , merupakan titik tengah ruas garis . Apakah

relasi T merupakan fungsi?

Ambil sebarang titik P dan Q pada bidang v sehingga ( ) ( ). Hal ini

memunculkan kondisi:

Untuk :

Maka ( ) , sedangkan ( ) ( ) sehingga ( ) . Jadi

dan .

Untuk :

Maka ( ) , sedangkan ( ) ( ) sehingga ( ) . Jadi

dan .

Untuk dan :

Misalkan dan maka ( ) dan ( ) karena

maka , maka . Dengan demikian . Jadi A,

P, Q merupakan kolinear (tidak segaris). Dengan titik tengah

PEMBAHASAN SOAL LATIHAN

1. Andaikan g dan h dua garis yang sejajar pada bidang euclides V. A sebuah titik

yang terletakdi tengah antara g dan h. Sebuah T padanan dengan daerah asal g

yang didefinisikan sebagai berikut:

Apabila maka ( )

a) Apakah daerah nilai T ?

b) Apabila , buktikan bahwa ( )

( )

c) Apakah T injektif

Penyelesaian:

a) Daerah nilai T adalah h

b)

( ) ( )

Lihat ADE dan segitiga ADE

P=T(P)

A

P g

h

D

A

E g

h

D

E

( ) ( ) (Bertolak belakang)

(Karena A tengah-tengah dan )

(Karena A tengah-tengah dan )

Diperoleh menurut definisi sisi sudut sisi.

Akibatnya .

Akan dibuktikan T injektif

Ambil dua titik dan pada g,

Akan dibuktikan ( ) ( )

Andaikan ( ) ( )

Oleh karena ( ) dan ( )

Dalam hal ini dan memiliki dua titik sekutu yaitu A dan ( ) ( ).

Berarti garis dan berimpit, sehingga berakibat .

Ini suatu kontradiksi, sehingga pengandaian salah, maka haruslah ( ) ( )

Jadi T injektif.

2. Diketahui sebuah titik K dan ruas garis dan sebuah garis g sehingga g

// dan jarak K dan , adalah dua kali lebih panjang dari pada jarak antara K

x=T(x)

A

y

g

h

x

y=T(y)

dan g. Ada padanan T dengan daerah asal dan daerah nilai g sehingga apabila

maka ( ) .

a) Apakah bentuk himpunan peta-peta P kalau P bergerak pada

b) Buktikan bahwa T injektif.

c) Apabila E dan F dua titik pada , apakah dapat dikatakan tentang jarak EF jika

E = T(E) dan F=T(F)?

Penyelesaian:

P g

K

A P B

a) ABK , g // AB , T: gAB

ABP maka gKPPPT ')(

gKPP ' sehingga gP'

Jadi bentuk himpunan peta-peta P adalah ruas garis pada g.

b) Akan dibuktikan T injektif

Ambil dua titik dan pada AB , YX

Akan dibuktikan Andaikan ( ) ( ). Oleh karena gKXXT )( dan

gKYYT )( Dalam hal ini XA dan YA memiliki dua titik sekutu yaitu A dan

( ) ( ).

Ini berarti bahwa garis XA dan YA berimpit, sehingga berakibat .

Hal ini suatu kontradiksi. Jadi pengandaian salah, maka haruslah )()( YTXT

sehingga T injektif

c)

g

A B

Dipunyai , maka sehingga

Lihat dan

( ) ( ) ( )

Diperoleh (S Sd).

Akibatnya :

Jadi jarak EF adalah

kali jarak EF.

3. Diketahui tiga titik A, R, S yang berlainan dan tidak segaris. Ada padanan T yang

didefinisikan sebagai berikut:

T(A) = A, T(P) = P sehingga P titik tengah 'AP

a) Lukislah R = T(R)

b) Lukislah Z sehingga T(Z) = S

c) Apakah T suatu transformasi?

E F

F=T(F) E=T(E)

K

Penyelesaian:

(a) dan (b)

c) Bukti:

(i) Akan dibuktikan T surjektif.

T surjektif jika terdapat prapeta sehingga ( ).

Jika maka prapetanya adalah sendiri sebab ( ) .

Apabila maka terdapat tunggal dengan sehingga .

Diperoleh adalah titik tengah . Artinya ( ).

Maka terdapat prapeta sehingga ( ). Jadi T Surjektif.

(ii) Akan diselidiki T injektif

Ambil titik dan , tidak segaris.

Andaikan ( ) ( ).

Oleh karena ( ) dan ( ) maka dalam hal ini dan memiliki

dua titik sekutu yaitu dan ( ) ( ). Ini berarti bahwa garis dan

berimpit, sehingga mengakibatkan . Dengan kata lain segaris. Ini

suatu kontradiksi dengan pernyataan tidak segaris. Pengandaian salah,

sehingga ( ) ( ). Jadi T injektif.

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa T surjektif dan T injektif. Jadi T

merupakan suatu transformasi.

4. Diketahui P = (0,0), C1 1|),(22 yxyx

C2 25|),( 22 yxyx

Z S = T(Z)

P

P =T(P)

R

R =T(R)

A

T : C1 C2 adalah suatu padanan yang definisikan sebagai berikut : Apabila

1CX maka 2')( CPXXXT

a) Apabila A = (0,1) tentukan T(A)

b) Tentukan prapeta dari B(4,3)

c) Apabila Z sebarang titik pada daerah asal T, tentukan jarak ZZ, dengan Z =

T(Z).

d) Apabila E dan F dua titik pada daerah asal T , apakah dapat dikatakan tentang

jarak EF?

Penyelesaian:

a) A = (0,1) maka T(A) = (0,5)

b) Perhatikan gambar di atas.

Lihat APC dan

Jadi prapeta B adalah A = (

).

P

A = prapeta B

C Q

B

c) Dipunyai daerah asal .

Maka . Berarti ( ) dimana

.

Jelas ( ) ( )

.

Selanjutnya ( ). Maka Berarti ( ) dimana

. Jelas ( ) ( )

.

Jelas segaris.

Jadi jarak .

d) Dipunyai

Maka panjang busur

( )

( )

( )

Selanjutnya ( ) dan ( ). Maka panjang busur

( )

( )

( ).

Karena segaris dan segarismaka ( ) ( ).

Sehingga,

( ) ( )

Jadi

5. Diketahui f : V V. Jika P(x,y) maka f(P) =(|x|,|y|)

a) Tentukan f(A) jika A = (-3,6)

b) Tentukan semua prapeta dari titik B(4,2)

c) Apakah bentuk daerah nilai f?

d) Apakah f suatu transformasi?

Jawab:

a) A = (-3,6) maka f(A) = (|-3|,|6|) = (3,6)

b) Prapeta dari B(4,2) adalah (4,2),(4,-2),(-4,2),(-4,-2).

c) Daerah nilai f adalah himpunan semua titik-titik di Kuadran I.

d) Pilih ( ) ( )

Jelas . Maka ( ) ( ) dan ( ) ( ). Diperoleh ( )

( ). Jadi terdapat dan ( ) ( ). Artinya f tidak injektif. Karena

f tidak injektif maka f bukan transformasi.

6. Diketahui fungsi g : sumbu X V yang didefinisikan sebagai berikut:

Apabila P(x,0) maka g(P) = (x,x2).

a) Tentukan peta A(3,0) oleh g.

b) Apakah R(-14, 196) daerah nilai g?

c) Apakah g surjektif?

d) Gambarlah daerah nilai g.

Jawab:

a) Peta A(3,0) oleh g.

A(3,0) maka g(A) = (3,(3)2) =(3,9).

b) Diketahui R(-14,196).

196 = (-14)2 + y

196 = 196 + y

y = 0

Jelas VR , dan mempunyai prapeta yaitu ( ) pada sumbu .

Jadi daerah nilai .

c) Ambil titik , maka ( ) dengan .

Jelas terdapat ( ) sehingga ( ) . Jadi, g surjektif.

d)

7. T : V V, didefinisikan sebagai berikut : Apabila P(x,y) maka

i) T(P) = (x + 1, y), untuk x > 0

ii) T(P) = (x - 1, y), untuk x < 0

a) Apakah T injektif?

b) Apakah T suatu transformasi?

Jawab:

a) Ambil P(x1,y1) dan Q(x2,y2) sehingga QP . Akan dibuktikan )()( QTPT

Karena QP maka 21 xx atau 21 yy

(i) Untuk x > 0

T(P) = (x1+1, y1), T(Q) = (x2+1, y2). Jelas 11 2121 xxxx atau 21 yy

Jadi )()( QTPT

(0,0) P(x,0)

g(P)=(x,x2)

(ii) Untuk x < 0

T(P) = (x1-1, y1). T(Q) = (x2-1, y2). Jelas 11 2121 xxxx atau 21 yy

Jadi )()( QTPT dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa T injektif.

b) Ambil P(x1,y1) dan Q(x2,y2) dengan PQ.

Akan dibuktikan T(P)T(Q). Karena P Q maka x1 x2 atu y1 y2.

(i) Kasus x0

T(P) = (x1 + 1,y1)

T(Q) = (x2 + 1,y2)

Karena x1x2 maka x1+1 x2+1 dan y1y2.

Jadi T(P) T(Q).

(ii) Kasus x 0

T(P) = (x1 - 1,y1)

T(Q) = (x2 - 1,y2)

Karena x1x2 maka x1 - 1 x2 -1 dan y1y2.

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa T tidak surjektif.

Karena T tidak surjektif maka T bukan suatu transformasi.

8. Diketahui sebuah garis S dan titik-titik A, B, C seperti dapat dilihat pada gambar

di bawah ini

A

B

C

S

T : V V didefinisikan sebagai berikut:

i. Jika P S maka T(P) = P

ii. Jika P S maka T(P) = P, sedemikian hingga garis S adalah sumbu ruas 'PP

a) Lukislah A = T(A), B = T(B)

b) Lukislah prapeta titik C

c) Apakah T suatu transformasi ?

d) Buktikan bahwa AB = AB

Penyelesaian:

a) dan b)

A

B

A

C

B

C

c) Akan ditunjukkan T surjektif dan T injektif.

Jelas setiap P pada V, ada prapeta P, sehingga T(P) = P. Jika P S, maka P = P

dan jika P S maka P adalah cermin dari P terhadap sumbu S. Jadi T surjektif.

Untuk P S, Q S dan PQ, jelas P Q.

Untuk P S, ambil dua titik, A ,B S, A B. Kita akan menyelidiki kedudukan

A dan B. Andaikan A = B. Karena S adalah sumbu ruas garis AA maka S

tegak lurus AA dan karena S adalah sumbu dari ruas garis BB maka S tegak

lurus BB. Maka karena A = B dan kedua garis tegak lurus S, AA dan BB

berimpit. Akibatnya A =B. Ini suatu kontradiksi, harusnya A B. Jadi T injektif.

Dengan demikian karena T injektif dan T surjektif, maka T suatu transformasi.

d) Akan dibuktikan AB=AB.

A

B

A

B S

Misal titik potong garis dengan ruas garis dan titik potong garis

dengan ruas garis . Lihat dan .

(menurut definisi adalah sumbu sehingga tengah-tengah )

( ) ( ) (karena sumbu maka )

(berimpit)

Maka menurut teorema sisi-sudut-sisi . Akibatnya dan

( ) ( ). Lihat dan

(diketahui) (i)

(menurut definisi adalah sumbu sehingga tengah-tengah

) (ii)

( ) ( ) (karena sumbu maka )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Berakibat ( ) ( ) (iii)

Dari (i),(ii) dan (iii) maka menurut teorema sudut-sisi-sudut .

Akibatnya

D

E