mustika transformasi

17
TRANSFORMASI GEOMETRI Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis dari transformasi yang dapat dilakukan antara lain : 1. Translasi (Pergeseran) 2. Refleksi(Pencerminan) 3. Rotasi(Perputaran) 4. Dilatasi(Penskalaan) Berikut ini ilustrasinya : TRANSLASI / PERGESERAN Berdasarkan gambar di atas, segitiga ABC yang mempunyai koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) ditranslasikan:

description

mustika transformasi

Transcript of mustika transformasi

TRANSFORMASI GEOMETRITransformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis dari transformasi yang dapat dilakukan antara lain :1. Translasi (Pergeseran)2. Refleksi(Pencerminan)3. Rotasi(Perputaran)4. Dilatasi(Penskalaan)

Berikut ini ilustrasinya :

TRANSLASI / PERGESERAN

Berdasarkan gambar di atas, segitiga ABC yang mempunyai koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) ditranslasikan:

Berdasarkan penjelasan diatas, maka untuk mencari nilai translasi dapat digunakan rumus sebagai berikut :

dimana : a menyatakan pergeseran horizontal (kekanan+, kekiri-) b menyatakan pergeseran vertikal (keatas+,kebawah-)REFLEKSI / PENCERMINAN

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan: terhadap sumbu Y menjadi segitiga A2B2C2dengan koordinat A2(-3, 9), B2(-3, 3), C2(-6, 3) terhadap sumbu X menjadi segitiga A3B3C3dengan koordinat A3(3, -9), B3(3, -3), C3(6, -3) terhadap titik (0, 0) menjadi segitiga A4B4C4dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan: terhadap garis x = -2 menjadi segitiga A5B5C5dengan koordinat A5(-7, 9), B5(-7, 3), C5(-10, 3) terhadap sumbu y = 1 menjadi segitiga A6B6C6dengan koordinat A6(3, -7), B6(3, -1), C6(6, -1)

Segitiga PQR dengan koordinat P(6, 4), Q(6, 1), R(10, 1) dicerminkan: terhadap garis y = x menjadi segitiga P2Q2R2dengan koordinat P2(4, 6), Q2(1, 6), R2(1, 10) terhadap garis y = -x menjadi segitiga P3Q3R3dengan koordinat P3(-4, -6), Q3(-1, -6), R3(-1, -10)Berdasarkan penjelasan diatas dapat dirumuskan :

Pencerminan terhadap garis x = a atau y = b

Pencerminan terhadap sumbu x atau sumbu y

Pencerminan terhadap titik (0, 0)

Pencerminan terhadap garis y = x atau y = x

Pencerminan terhadap garis y = mx + cJika m = tan maka:

ROTASI / PERPUTARAN

Untuk rotasisearah jarum jam, sudut diberi tanda negatif()Untuk rotasiberlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif(+)Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi: +90 atau 270 dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2dengan koordinat A2(-9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6) +270 atau 90 dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3dengan koordinat A2(9, -3), B2(3, -3), C2(3, -6) +180 atau 180 dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A4B4C4dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)Berdasarkan penjelasan diatas, maka rotasi dapat dirumuskan sebagai berikut :Rotasi sejauh dengan pusat (a, b)

Rumus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi O(0, 0):

DILATASI / PENSKALAAN

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) didilatasi: dengan faktor skala k = 1/3 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2dengan koordinat A2(1, 3), B2(1, 1), C2(2, 1) dengan faktor skala k = 2 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3dengan koordinat A3(6, 18), B3(6, 6), C3(12, 6)Untuk nilaik negatif, arah bayanganberlawanandengan arah aslinya.Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan :Dilatasi dengan pusat (a, b) dan faktor skala k

Rumus praktis dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi O(0, 0):

Selain 4 transformasi yang telah dijelaskan diatas, juga terdapat 2 transformasi lagi yaitu shearing / gusuran dan stretching / regangan. Perhatikan penjelasan dibawah ini :GUSURAN/SHEARING

Persegi panjang ABCD dengan koordinat A(1, 1), B(4, 1), C(4, 6), D(1, 6) akan digusur: menurut arah sumbu X (invariant sumbu X) dengan faktor skala k = 2 menjadi persegi panjang A2B2C2D2dengan koordinat A2(3, 1), B2(6, 1), C2(16, 6), D2(13, 6) menurut arah sumbu Y (invariant sumbu Y) dengan faktor skala k = 2 menjadi persegi panjang A3B3C3D3dengan koordinat A3(1, 3), B3(4, 9), C3(4, 14), D3(1, 8)Pengaruh nilai k: untuk gusuran menurut arah sumbu X k positif arahnya ke kanan, k negatif arahnya ke kiri untuk gusuran menurut arah sumbu Y k positif arahnya ke atas, k negatif arahnya ke bawahBerdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan sebagai berikut :Gusuran menurut arah sumbu X (Gx) dengan faktor skala k maka :

Gusuran menurut arah sumbu Y (Gy) dengan faktor skala k maka :

STRETCHING / REGANGAN

Persegi panjang ABCD dengan koordinat A(1, 1), B(4, 1), C(4, 6), D(1, 6) diregangkan: searah sumbu X dengan faktor skala k = 3 menjadi A2B2C2D2dengan koordinat A2(3, 1), B2(12, 1), C2(12, 6), D2(3, 6) searah sumbu Y dengan faktor skala k = 2 menjadi A3B3C3D3dengan koordinat A3(1, 2), B3(4, 2), C3(4, 12), D3(1, 12)Pengaruh nilai k: untuk regangan searah sumbu X k positif arahnya ke kanan, k negatif arahnya ke kiri untuk regangan searah sumbu Y k positif arahnya ke atas, k negatif arahnya ke bawahBerdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan :Regangan searah sumbu X (Sx) dengan faktor skala k

Regangan searah sumbu Y (Sy) dengan faktor skala k

Transformasi dengan Matriks Transformasi Tertentu

KOMPOSISI TRANSFORMASImerupakan gabungan dari beberapa transformasi. Misalnya kita mempunyai transformasi T1 akan dilanjutkan ke T2 maka ditulis T2oT1.

Komposisi Khusus :1. Dua pencerminan yang berurutan terhadap sumbu-sumbu yang sejajar

2. Dua pencerminan yang berurutan terhadap dua sumbu yang tegak lurus ekuivalen dengan rotasi 180 yang pusatnya adalah titik potong kedua sumbu tersebut.3. Dua pencerminan terhadap dua sumbu yang berpotongan ekuivalen dengan rotasi dimana titik pusat adalah titik potong kedua sumbu dan sudutnya adalah sudut antara kedua sumbu.4. Dua rotasi berurutan terhadap pusat yang sama ekuivalen dengan rotasi dimana pusatnya sejauh jumlah sudut keduanya.LUAS HASIL TRANSFORMASITransformasi yang berupatranslasi,refleksi, danrotasitidakmengubah luas suatu benda

Mencari luas segitiga ABC jika diketahui koordinat titik A, B, dan C nya, maka kita dapat gunakan rumus :

Perhatikan contoh soal transformasi berikut ini.Tentukanlah persamaan bayangan kurva y = x2+ 3x -4 jika dicerminkan terhadap sumbu X, kemudian didilatasikan dengan faktor skala 2 dengan pusat dilatasi O(0, 0)

Penyelesaian :Cara 1 : cara langsung

Cara 2 : menggunakan matriks

PENERAPAN TRANSFORMASI GEOMETRIJika kita pergi ke tempat pembuatan batik maka kita dapat melihat kain batik dengan berbagai motif yang sesuai dengan estetika masing-masing daerah. Pada lembaran kain (merupakan bidang gambar), akan ditemui bentuk gambar yang sama antara satu gambar dengan gambar yang lain karena adanya pergeseran, gambar terbalik dari gambar sebelumnya karena pencerminan, dan motif-motif lain yang dapat terbentuk karena perputaran, pengecilan, maupun perbesaran gambar yang satu terhadap gambar yang lain. Ini berarti si pembatik telah menggunakan prinsip transformasi pada saat membatik.Salah satu motif batik yang menggunakan prinsip transfomasi dalam pembuatannya adalah motif tumpal. Motif tumpal yaitu motif yang memiliki bentuk dasar segitiga sama kaki yang memiliki konsep refleksi atau pencerminan.Definisi:Suatu pencerminan (refleksi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut: Jika P s maka M_s(P) = P

Aplikasi:P = salah satu corak yang diberi tanda Ps = garis / sumbu simetrisMaka M_s(P) = P = PKarena corak yang diberi tanda P terletak pada garis/sumbu simetris maka hasil refleksi P adalah P yang terletak sama pada P. Jika P s maka M_s(P) = P sehingga garis s adalah sumbu PP

Aplikasi:P = motif sebelah kanan dari garis s maka M_s(P) = P yaitu motif sebelah kiri dari garis sPada batik motif tumpal di atas memiliki sumbu simetri dan sumbu simetri itulah yang kita misalkan sebagai sumbu refkelsi atau sumbu pencerminan (garis s).Untuk membuktikan apakah pencerminan pada batik motif tumpal itu suatu transformasi, sebagai berikut:Daerah asal M adalah seluruh bidang V

Aplikasi:Motif bagian kanan batik merupakan daerah asal pencerminan. M_s adalah padanan yang surjektif. Sebab ambil XV, jika Xs maka X = X sebab M_s (X) = X = X

Aplikasi:Misalkan: X = P (pada gambar sebelumnya), dimana X terdapat pada garis s (sumbu simetri) maka X = X yaitu P itu juga sebab hasil refleksi P adalah P tersebut, M_s (X) = X = X. M_s adalah injektif. Jika A B maka M_s (A) M_s (B), dengan A s dan B s.

Aplikasi:Andaikan A BA : motif segitiga putih sebelah kanan maka M_s (A) = A= motif segitiga putih sebelah kiriB : motif segitiga biru sebelah kanan maka M_s (B) = B= motif segitiga biru sebelah kiriJadi kalau A B maka M_s (A) M_s (B). Jadi M_s adalah injektif A B maka BMaka dari sifat (1), (2) dan (3) M_s adalah suatu transformasi dengan daerah asal V dan daerah nilai V.

Teorema 3.1:Setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasiJadi refleksi motif batik tumpal terhadap sumbu simetri / sumbu pencerminannya merupakan suatu tranformasi.Suatu pencerminan pada garis mengawetkan jarakMisal:A = titik puncak segitiga putih sebelah kananB = titik puncak segitiga biru sebelah kananA = M_s (A) = titik puncak segitiga putih sebelah kiriB = M_s (B) = titik puncak segitiga biru sebelah kiriJadi jarak antara AB = AB yaitu jarak antara titik puncak segitiga putih dan titik puncak segitiga biru sebelah kanan sama dengan jarak antara titik puncak segitiga putih dan titik puncak segitiga biru sebelah kiri.