Tes Satu SampelChi-Square

Sekolah Tinggi Ilmu Statistik

Fungsi

Uji chi-square merupakan pengujian hipotesis tentang perbandingan antara frekuensi sampel yang benar-benar terjadi (selanjutnya disebut dengan frekuensi observasi – O) dengan frekuensi harapan yang didasarkan pada hipotesis tertentu pada setiap kasus atau data (selanjutnya disebut dengan frekuensi harapan – E).

Prosedur

1. Letakkan frekuensi-frekuensi terobservasi dalam k kategori. Jumlah frekuensi itu seluruhnya harus N, yakni banyak observasi-observasi independen.

2. Dari H0 tentukan frekuensi yang diharapkan untuk tiap-tiap k sel itu. Manakala k>2, dan bila lebih dari 20% dari Ei kurang dari 5, gabungkanlah kategori-kategori yang berdekatan apabila hal ini memungkinkan, dan dengan demikian kita mengurangi harga k serta meningkatkan harga beberapa Ei. Apabila k=2, tes 2 untuk kasus satu sampel dapat digunakan secara memadai hanya jika tiap-tiap frekuensi yang diharapkan adalah lima atau lebih.

3. Hitung harga 2 dengan rumus ∑(Oi-Ei)2/Ei.4. Tetapkan harga db=k-1.5. Dengan melihat tabel C, tetapkan probabilitas yang dikaitkan

dengan terjadinya suatu harga yang sebesar harga 2 hitungan untuk harga db yang bersangkutan. Jika harga ini sama atau kurang dari α, H0 ditolak.

Contoh

Apakah jumlah telepon masuk ke layanan PMB STIS sama setiap harinya dalam seminggu selama pendaftaran? (i.e., do calls follow a uniform distribution?)Data yang diperoleh:

Jumlah telepon masuk:Senin 290Selasa 250Rabu 238Kamis 257Jumat 265Sabtu 230Minggu 192

∑=1722

Solusi

If calls are uniformly distributed, the 1722 calls would be expected to be equally divided across the 7 days:

Chi-Square Goodness-of-Fit Test: menguji untuk melihat apakah hasil sampel konsisten dengan hasil yang diharapkan

diharapkan yg hariper panggilan rata-rata 2467

1722

Solusi

Frekuensi Observed vs. Expected

Observedoi

Expectedei

Senin

Selasa

Rabu

Kamis

Jumat

Sabtu

Minggy

290

250

238

257

265

230

192

246

246

246

246

246

246

246

TOTAL 1722 1722

Solusi

H0: Distribusi panggilan telepon adalah sama selama 7 hari dalam seminggu

HA: Distribusi panggilan telepon adalah tidak sama selama seminggu

The test statistic is

1)kdf (where e

)e(o

i

2ii2

where:

k = banyaknya kategorioi = Frekuensi hasil pengamatanei = Frekuensi yang diharapkan

Solusi

Daerah penolakan

0

2

Reject H0Do not reject H0

2

Reject H0 if2α

2

Chi Square hitung

23.05246

246)(192...

246

246)(250

246

246)(290 2222

Solusi

Chi Square Tabel

Chi Square hitung

k – 1 = 6 (7 days of the week) so use 6 dof

2.05 = 12.5916

2 = 23.05 > 2 = 12.5916

so reject H0 and conclude that the distribution is not uniform

0

= .05

Reject H0Do not reject H0

2

2.05 = 12.5916

23.05

Distribusi Chi-Square

Distribusi khi-kuadrat yang kita gunakan sebagai uji statistik mempunyai karakteristik sebagai berikut:1. Nilai Khi-kuadrat tidak pernah negatif, karena selisih

dari frekuensi pengamatan dan frekuensi harapan dikuadratkan.

2. Ketajaman dari distribusi khi-kuadrat tidak tergantung pada ukuran sampel tetapi tergantung pada banyaknya kategori yang digunakan.

3. Distribusi khi-kuadrat bersifat menceng kanan (nilai positif), semakin meningkat jumlah derajat bebas maka semakin mendekati distribusi normal.

Latihan 1

Sebuah Distributor alat penggilingan padi membagi pasar menjadi 4 wilayah (A, B, C, dan D). Ada informasi bahwa pendistribusian alat penggilingan merata pada setiap wilayah. Untuk membuktikan pernyataan tersebut diambil 40 arsip sebagai sampel. Data distribusi alat penggilingan di empat wilayah adalah sbb

Wilayah A B C DFrekuensi 6 12 14 8

Gunakan tingkiat signifikansi 5% untuk pengujian.

Latihan 2

Seorang manajer pemasaran sebuah pabrik kartu olahraga merencanakan membuat seri kartu dengan gambar pemain sepak bola terkenal. Pemain terkenal tersebut adalah Messi, Ronaldo, Sneijder, Torres, Xavi, dan Gerrard. Di hari terakhir, ia berhasil menjual sebanyak 120 kartu dengan data sebagai berrikut:Pemain M R S T X GKartu terjual 13 33 14 7 36 17Uji apakah popularitas pemain mempengaruhi tingkat penjualan kartu olah raga tersebut seandainya tidak ada perbedaan yang signifikan pada popularitas para pemain.

Latihan 3

BPS mengindikasikan bahwa 63,9% penduduk Indonesia berstatus kawin, 7,7% cerai mati, 6,9% cerai hidup (dan tidak menikah lagi), dan 21,5% belum kawin. Sampel 500 orang dewasa dari DKI Jakarta menunjukkan bahwa 310 kawin, 40 cerai mati, 30 cerai hidup, dan 120 belum kawin. Pada tingkat signifikansi 5% dapatkah disimpulkan bahwa DKI Jakarta berbeda (distribusi berubah) dari Indonesia?

Jawab Latihan 1

Distribusi alat penggilingan di daerah A, B, C, dan D

Wilayah Total

A B C D

Distribusi bdsrkan sampel, O

6 12 14 8 40

Distribusi bdsrkan harapan, E

10 10 10 10 40

Jawab Latihan 1

Jawab Latihan 2

Distribusi Kartu terjualPemain M R S T X GKartu terjual 13 33 14 7 36 17Harapan Kartu 20 20 20 20 20 20terjual

Hasil 2 adalah (13-20)2/20 + ……….+ (17-20)2/20 = 34,40Daerah kritis untuk taraf nyata 0,05 dan derajat bebas 5 adalah 11,070. Karena nilai 2 > 11,070 maka keputusan tolak H0 yang berarti bahwa popularitas pemain mempengaruhi tingkat penjualan dari kartu olah raga tersebut.

Jawab Latihan 3

Status

Married 310 319.5 .2825Widowed 40 38.5 .0584

Divorced 30 34.5 .5870

Single 120 107.5 1.4535

Total 500 2.3814

Oi Ei (Oi-Ei)2/Ei

Jawab Latihan 3

Step 1: H0: The distribution has not changed. H1: The distribution has changed.

Step 2: H0 is rejected if 2 >7.815, df=3, α=0.05Step 3: 2-hit = 2.3824Step 4: Fail to reject H0. The distribution has not changed.

Tes Satu Sampel Kolmogorov Smirnov

Sekolah Tinggi Ilmu Statistik

Fungsi

Tes ini menetapkan apakah skor-skor dalam sampel (observasi) dapat secara masuk akal dianggap berasal dari suatu populasi dengan distribusi teoretis tertentu.

Tes ini mencakup penghitungan distribusi frekuensi kumulatif yang akan terjadi di bawah distribusi teoretisnya, serta membandingkan distribusi frekuensi itu dengan distribusi frekuensi kumulatif hasil observasi.

Distribusi teoretis diharapkan di bawah H0.

Prosedur

1. Tetapkan fungsi kumulatif teoretisnya, yakni distribusi kumulatif yang diharapkan di bawah H0.

2. Aturlah skor-skor yang diobservasi dalam suatu distribusi kumulatif dengan memasangkan setiap interval SN(X) dengan interval F0(X) yang sebanding.

F0(X) = suatu fungsi distribusi frekuensi kumulatif yang sepenuhnya ditentukan, yakni distribusi kumulatif teoretis di bawah H0.

SN(X) = distribusi frekuensi kumulatif yang diobservasi dari suatu sampel random dengan N observasi.

Prosedur

3. Untuk tiap-tiap jenjang pada distribusi kumulatif, kurangilah F0(X) dengan SN(X).

4. Tentukan D = maksimum | F0(X) – SN(X) |

5. Lihatlah tabel E untuk menentukan kemungkinan (dua sisi) yang dikaitkan dengan munculnya harga-harga sebesar harga D observasi di bawah H0. Jika p ≤ α, H0 ditolak.

Contoh

Seorang peneliti ingin menguatkan pendapat bahwa orang-orang Negro Amerika memiliki kecenderungan menyukai warna kulit menurut gelap terangnya. Untuk menguji seberapa sistematisnya kecenderungan kesukaan tingkat2 warna kulit itu, peneliti melakukan pemotretan satu per satu atas 10 orang negro. Fotografer memrosesnya sedemikian rupa sehingga dari setiap subyek yang sama didapatkan 5 cetakan yang satu dengan yang lain sedikit berbeda dalam hal gelap terangnya. Kelima lembar foto dengan subyek yang sama itu diurutkan dari yang paling gelap (tingkat 1) hingga paling terang (tingkat 5).

Contoh Lanjutan

Selanjutnya setiap subyek diminta memilih di antara kelima foto wajahnya sendiri itu. Jika gelap terangnya warna wajah mereka tidak penting, maka kelima lembar foto itu akan dipilih sama seringnya, dengan perbedaan-perbedaan random saja. Jika gelap terangnya kulit memang penting bagi mereka, maka orang-orang itu secara konsisten akan lebih menyukai salah satu dari tingkat-tingkat yang ekstrim.

Solusi

Hipotesis:

H0 : tidak terdapat banyak perbedaan pilihan yang diharapkan untuk masing-masing dari kelima tingkatan, dan setiap perbedaan yang terobservasi hanyalah variasi yang kebetulan semata-mata yang dapat diharapkan terjadi dalam suatu sampel random dari populasi di mana f1=f2=…=f5

H1 : Frekuensi tidak semuanya sama

Statistik uji:

Tes satu sampel kolmogorov smirnov karena ingin membandingkan distribusi skor yang diobservasi dengan satu distibusi teoretis

Solusi

Tingkat signifikansi:

digunakan taraf signifikansi α = 0,01.Banyaknya orang negro yang berindeks sebagai subyek penelitian, N=10.

Tabel E D = maks | F0(X) – SN(X) | untuk α = 0,01 dan N=10 adalah 0,490

Daerah penolakan:

H0 ditolak apabila D-hitung > 0,490

H0 gagal ditolak apabila D-hitung ≤ 0,490

Solusi

Nilai D-hitung

Tingkatan gelap terang

1 2 3 4 5

f 0 1 0 5 4

F0(X) 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5

S10(X) 0/10 1/10 1/10 6/10 10/10

F0(X) - S10(X) 2/10 3/10 5/10 2/10 0

Nilai D maksimumKeputusan:

Oleh karena D-hitung lebih besar dari D-tabel (0,5>0,490), maka H0 ditolak, dan disimpulkan bahwa subyek-subyek penelitian menunjukkan preferensi yang nyata dalam hal gelap terangnya warna kulit.

Latihan 1

Data mengenai durasi pemogokan sejak 1965 di UK dikumpulkan, dianalisis, dan prediksi dibuat dengan menggunakan suatu model matematika. Tabel berikut adalah distribusi frekuensi kumulatif dari N=840 durasi pemogokan.

Apakah distribusi durasi pemogokan mengikuti prediksi dari model matematika. Gunakan taraf signifikansi 5%.

Latihan 2

Data berikut menunjukkan jumlah pemakaian jasa telepon di kantor pusat telepon suatu kota. Pengamatan dilakukan sebanyak 3754 waktu yang berbeda.

Dengan tes kolmogorov smirnov, ujilah hipotesis bahwa data tersebut tersusun dari random sampel yang berasal dari suatu populasi Poisson dengan mean sama dengan 10,5. Gunakan taraf signifikansi 0,01.

Latihan 2Jumlah

pemakaian jasa telepon

Frekuensi pengamatan

Jumlah pemakaian

jasa telepon

Frekuensi pengamatan

0 0 12 413

1 5 13 358

2 14 14 219

3 24 15 145

4 57 16 109

5 111 17 57

6 197 18 43

7 278 19 16

8 378 20 7

9 418 21 8

10 461 22 3

11 433

Uji Liliefors

Uji Liliefors tidak jauh berbeda dengan uji Kolmogorov-Smirnov. Bila pada uji Kolmogorov-Smirnov, nilai SN(X) berdasarkan pada observasi data asli yang disesuaikan namun pada uji liliefors nilai SN(X) diperoleh dari sampel yang dinormalkan.

Latihan

2 digit terakhir no telp diambil secara acak dari buku telepon sebanyak 50 angka. Data yang diperoleh adalah sebagai berikut

23 31 36 43 54 58 61 65 73 81

23 32 37 44 54 58 61 66 73 87

24 33 40 45 56 58 62 68 74 89

27 33 42 48 57 58 63 68 75 93

29 35 43 48 57 59 64 70 77 97

Dengan = 0,05, dapatkah kita mengatakan bahwa data di atas berdistribusi normal?

• H0: Jumlah angka 2 digit yang diambil dari buku telepon berdistribusi normal.

• H1: Jumlah angka 2 digit yang diambil dari buku telepon tidak berdistribusi normal.

Berdasarkan data di atas diperoleh nilai xbar = 55,04 dan s = 19,00.

Xi Zi S50(X) F0(X)D =

F0(X) - S50(X)

23 -1.69 0.05 0.02 0.03

23 -1.69 0.05 0.04 0.01

24 -1.63 0.05 0.06 0.01

27 -1.48 0.07 0.08 0.01

29 -1.37 0.09 0.10 0.01

31 -1.27 0.10 0.12 0.02

32 -1.21 0.11 0.14 0.03

33 -1.16 0.12 0.16 0.04

33 -1.16 0.12 0.18 0.06

35 -1.05 0.15 0.20 0.05

36 -1.00 0.16 0.22 0.06

37 -0.95 0.17 0.24 0.07

40 -0.79 0.21 0.26 0.05

42 -0.69 0.25 0.28 0.03

43 -0.63 0.26 0.30 0.04

43 -0.63 0.26 0.32 0.06

44 -0.58 0.28 0.34 0.06

Xi Zi S50(X) F0(X)D =

F0(X) - S50(X)

45 -0.53 0.30 0.36 0.0648 -0.37 0.36 0.38 0.0248 -0.37 0.36 0.40 0.0454 -0.05 0.48 0.42 0.0654 -0.05 0.48 0.44 0.0456 0.05 0.48 0.46 0.0257 0.10 0.54 0.48 0.0657 0.10 0.54 0.50 0.0458 0.16 0.56 0.52 0.0458 0.16 0.56 0.54 0.0258 0.16 0.56 0.56 0.0058 0.16 0.56 0.58 0.0259 0.21 0.58 0.60 0.0261 0.31 0.62 0.62 0.0061 0.31 0.62 0.64 0.0262 0.37 0.64 0.66 0.0263 0.42 0.66 0.68 0.0264 0.47 0.68 0.70 0.0265 0.52 0.70 0.72 0.0266 0.58 0.72 0.74 0.02

Xi Zi S50(X) F0(X)D =

F0(X) - S50(X)

68 0.68 0.75 0.76 0.0168 0.68 0.75 0.78 0.0370 0.79 0.79 0.80 0.0173 0.95 0.83 0.82 0.0173 0.95 0.83 0.84 0.0174 1.00 0.84 0.86 0.0275 1.05 0.85 0.88 0.0377 1.16 0.88 0.90 0.0281 1.37 0.91 0.92 0.0187 1.68 0.95 0.94 0.0189 1.79 0.96 0.96 0.0093 2.00 0.98 0.98 0.0097 2.21 0.99 1.00 0.01

• Bila dilihat dari tabel, = 0,05 adalah 0,886/50 = 0,125.

• Karena nilai Dhitung < Dtabel (0,07<0,125), maka kita putuskan terima H0 yang artinya bahwa jumlah angka 2 digit yang diambil dari buku telepon berdistribusi normal.