TEORI MODEL DEBYE (KAPASITAS KALOR DALAM ZAT PADAT)

Ringkasan

Model Einstein tentang kapasitas kalor suatu zat padat hanya cocok pada suhu tinggi, dimana ini diperlihatkan oleh berbagai hasil eksperimen yang ada. Dalam model Einstein, atom-atom dianggap bergetar secara terisolasi dari atom di sekitarnya. Model Debye merupakan sebuah metode yang dikembangkan oleh Peter Debye pada tahun 1912 untuk memperkirakan kontribusi fonon terhadap kalor spesifik (kapasitas kalor) dalam suatu zat padat. Dalam teori Debye, kristal zat padat ditampilkan sebagai atom-atom yang tersusun pada jarak yang teratur dalam kisi-kisi tiga dimensi. Jika sebuah atom tergeser dari posisi kesetimbangannya, maka atom tersebut akan mengalami gaya pulih (restore) dari atom-atom di sekitarnya, atom-atom tersebut bertindak bagaikan sekumpulan kopel osilator. Model Debye (1912) berawal dari sudut pandang yang bertentangan, yang memperlakukan zat padat sebagai suatu benda kontinuum sehingga struktur atomik diabaikan. Model Debye memperkirakan bahwa dalam batas temperatur T yang cukup rendah, kapasitas kalor disebabkan oleh getaran kisi kristal (dalam elektron pada logam juga berkontribusi pada CV) yang harus bervariasi dengan T3, bukan seperti pada model Einstein yang menyatakan . Model Debye berhasil menjelaskan kapasitas kalor pada temperatur rendah, dimana hasil ini sesuai atau cocok dengan hasil-hasil eksperimen.

1. Pendahuluan

Dalam termodinamika dan fisika zat padat, Model Debye merupakan sebuah metode yang dikembangkan oleh Peter Debye pada tahun 1912 untuk memperkirakan kontribusi fonon terhadap kalor spesifik (kapasitas kalor) dalam suatu zat padat. Model ini mengkaji getaran dari kisi atomik (panas/kalor) sebagai fonon-fonon dalam sebuah kotak, berbeda halnya dengan Model Einstein, yang mengkaji zat padat sebagai bentuk tunggal yang banyak, yakni osilator harmonik kuantum tak-berinteraksi. Model Debye secara tepat memperkirakan kebergantungan temperatur rendah dari kapasitas kalor, yang proporsional/sebanding dengan T3 – Hukum T3 Debye. Sama halnya dengan Model Einstein, ini juga sesuai dengan Hukum Dulong-Petit pada temperatur tinggi.

Temuan teori Einstein tentang panas spesifik dari padatan adalah yang pertama menunjukkan bahwa secara kualitatif spesifik panas padat bervariasi dengan suhu. Namun bentuk ketergantungan CV

pada suhu tidak benar karena asumsi disederhanakan bahwa atom-atom yang padat (1) bergetar independen satu sama lain dan (2) dengan satu dan frekuensi yang sama.

Debye mengusulkan teori modifikasi dari panas spesifik dari padatan dengan asumsi sebagai berikut; (i) solid adalah sebuah kontinum elastis isotropik dengan atom yang digabungkan elastis satu sama lain. (ii) gerak atom pengaruh dipengaruhi atom yang lain, (iii) getaran atom yang digabungkan dan karenanya atom bergetar secara kolektif, (iv) getaran kisi memiliki rentang frekuensi yang berbeda, (v) energi internal solid berada di dalam gelombang berdiri elastis disebarkan melalui kisi kristal, (vi) energi dari gelombang elastis terkuantisasi; gelombang terkuantisasi kisi disebut sebagai "Fonon".

Kalor jenis molar pada volume konstan, CV, suatu zat padat didefisinikan sebagai perubahan kandungan energi satu mol zat padat per satuan perubahan temperatur ketika volume zat padat tersebut dipertahankan konstan. Menurut fisika klasik, diharapkan bahwa kalor jenis kristal zat padat ini akan tetap konstan terhadap temperatur, dan akan dinyatakan oleh Hukum Dulong-Petit, CV = 3R, dimana R adalah konstanta gas ideal. Namun demikian, melalui ekperimen, ditemukan bahwa CV bervariasi terhadap temperatur, sebagaimana tampak di Gambar 1.

(1) (2)

Gambar 1. (a) Hubungan CV dan T pada zat padat; (b) Perbandingan hasil eksperimen dan teori Einstein (Nash L.K., 1972: 126)

Penjelasan yang sempurna mengenai perilaku CV yang diamati ini diberikan oleh P. Debye pada tahun 1912, yang berhasil memperbaiki teori sebelumnya yang dikembangkan oleh Einstein pada tahun 1906. Dalam teori Debye, kristal zat padat ditampilkan sebagai atom-atom yang tersusun pada jarak yang teratur dalam kisi-kisi tiga dimensi. Jika sebuah atom tergeser dari posisi kesetimbangannya, maka atom tersebut akan mengalami gaya pulih (restore) dari atom-atom di sekitarnya, atom-atom tersebut bertindah bagaikan sekumpulan kopel osilator. Setiap gangguan akan ditransmisikan ke atom-atom di sekitarnya, dan menghasilkan rambatan gelombang pada zat padat. Ditemukan bahwa jumlah energi yang ditransfer dari satu atom ke atom tetangganya, terkuantisasi sebesar hυ, υ adalah frekuensi klasik pada saat atom tersebut bervibrasi di sekitar posisi kesetimbangannya. Setiap hυ kuantum pada energi akustik disebut fonon, yang analog dengan foton pada radiasi elektromagnetik.

Perambatan gelombang pada kisi kristal dapat berlangsung secara transversal maupun longitudinal, dengan kecepatan masing-masing vt dan vl. Gelombang transversal memiliki dua derajat kebebasan vibrasi, sedangkan gelombang longitudinal hanya memiliki satu derajat kebebasan. Setiap derajat kebebasan vibrasi (mode vibrasi) kristal berkorespondensi dengan keadaan sistem tersebut, dan fonon-fonon terdistribusi di antara keadaan-keadaan ini mengikuti Distribusi Bose-Einstein.

Di dalam kristal, ditemukan sejumlah frekuensi maksimum vibrasi, yang disebut frekuensi Debye, υd. Frekuensi maksimum tersebut hadir karena sistem yang terdiri dari N molekul memiliki hanya 3N mode vibrasi (setiap molekul memiliki tiga derajat kebebasan vibrasi independen). Kalor jenis kristal zat padat didapatkan dari penentuan frekuensi Debye pertama dan kerapatan keadaan untuk kristal tersebut, dan kita selanjutnya dapat memanfaatkan informasi ini untuk mencari energi kinetik vibrasi dan kalor jenis molar.

Di samping transfer energi oleh vibrasi-vibrasi atomik, jika kristal zat padat tersebut adalah konduktor, di dalamnya juga akan terdapat transfer energi oleh elektron-elektron konduksi bebas. Total kalor selanjutnya akan ditentukan jumlah aljabar kalor jenis listrik dan kalor jenis kisi kristal.

Suatu zat padat dapat diidealisasi atau dimodelkan sebagai sebuah kisi kristal dari atom-atom, dan getaran beramplitudo kecil dapat dijelaskan dalam bentuk modus-modus normal, yang merupakan osilator-osilator harmonik. Paket (kuanta) dari modus normal ini yang disebut sebagai fonon (phonons). Fonon ini memenuhi statistik Bose-Einstein dan jumlahnya tidak berubah (Gautreau, 1999 : 246)

2. Model Einstein dalam Zat Padat

Pada tahun 1907, dalam aplikasi pertama teori kuantum terhadap suatu persoalan lainnya dari radiasi, memodelkan sebuah zat padat mengandung N atom sebagai suatu kumpulan 3N osilator harmonik. Fungsi partisi untuk sebuah osilator tunggal adalah :

Osilator-osilator ini tidak terikat satu sama lain, sehingga :

Energi rata-ratanya:

Ini tampaknya sama: energi yang sama akan memiliki sebuah foton berfrekuensi n.Energi dalam bukanlah merupakan sebuah kuantitas terukur secara langsung, dan sebagai gantinya kita mengukur kapasitas panas:

Batasan:

Temperatur tinggi T (kBT>>hn): (ekuipartisi) Temperatur rendah T (kBT<<hn): Model Einstein memprediksi terlalu rendah kapasitas kalor pada temperatur rendah.

Debye mengembangkan suatu model osilator kuantum sebagai modus gabungan dalam zat padat yang disebut “fonon”.

Menurut hasil ini jelas bahwa model Einstein cocok pada suhu tinggi. Bagaimana untuk suhu rendah. Pada suhu rendah (T<<) nilai (θE/T) besar. Hal ini berdampak pada penyebut dalam persamaan (3). Jadi, pada suhu rendah CV sebanding dengan exp(−θET) dan jelas ini tidak cocok dengan hasil eksperimen, dimana CV sebanding dengan T3. Sekali lagi, model inipun gagal menjelaskan CV pada suhu rendah. Dalam model Einstein, atom-atom dianggap bergetar secara terisolasi dari atom di sekitarnya.

.... (1)

.... (2)

.... (3)

−

Untuk satu mol osilator tiga-dimensi memiliki energi dalam :

Sehingga kapasitas kalornya:

,

Dalam model Einstein frekuensi osilator ω biasa ditulis ωE yang disebut frekuensi Einstein.Untuk menyederhanakan persamaan (3) didefinisikan temperatur Einstein ( ) menurut :

dan persamaan (3) tereduksi menjadi :

Pada suhu tinggi (T>>), maka nilai (θE/T) berharga kecil; sehingga exp (θE/T) dapat diuraikan ke dalam deret sebagai berikut :

Pada suhu rendah (T<<) nilai (θE/T) besar. Hal ini berdampak pada penyebut dalam persamaan (2.48); yaitu :

sehingga ungkapan kapasitas panas menjadi :

Dengan

Jadi, pada suhu rendah CV sebanding dengan e dan jelas ini tidak cocok dengan hasil eksperimen, dimana CV sebanding dengan T3. Sekali lagi, model inipun gagal menjelaskan CV pada suhu rendah. (http://www.physics.rutgers.edu)

.... (4)

.... (5)

.... (6)

.... (7)

.... (7)

.... (8)

.... (9)

.... (10)

3. Teori Dasar

a. Teori Debye tentang Kapasitas Kalor Zat Padat

Model Debye (1912) berawal dari sudut pandang yang bertentangan, yang memperlakukan zat padat sebagai suatu benda kontinuum, struktur atomik diabaikan. Suatu kontinum memiliki mode getaran dari frekuensi rendah sebarang, dan pada temperatur T yang cukup hanya mode frekuensi rendah ini tereksitasi. Mode normal frekuensi ini secara sederhana merupakan gelombang suara berdiri (standing waves)

Gambar 2. Ilustrasi fonon transversal (http://en.wikipedia.org/wiki/heat_capacity.html)

Suatu alasan untuk berasumsi bahwa panjang gelombang minimal dari sebuah fonon adalah dua kali jarak pemisahan atom, sebagaimana yang ditunjukkan pada gambar yang paling bawah.

Jika kita mengkuantisasikan medan distorsi elastik ini, yang sama dengan kuantisasi gelombang elektromagnetik, kita sampai pada suatu konsep tentang fonon, kuanta (paket) dari medan elastik ini. Untuk fonon termal, panjang gelombang bertambah dengan penurunan temperatur T :

cS – kecepatan gelombang suara

Nilai yang besar dari l berkaitan dengan mode ini membenarkan penggunaan suatu model kontinum.

b. Rapat Keadaan dalam Model DebyeOleh karena sebuah fonon merupakan suatu keadaan kuantum dari sebuah osilator harmonik

tertentu, fonon memiliki frekuensi karakteristik dan sebuah energi . Keadaan dari kisi dimana satu fonon hadir berkaitan dengan gelombang suara yang berbentuk:

Dimana vektor perambatan k memiliki besar:

.... (11)

.... (12)

.... (13)

.... (14)

Dimana c adalah kecepatan suara.*, vektor polarisasi dapat memiliki tiga arah bebas, yang berkaitan dengan satu modus longitudinal dari gelombang termampatkan dan dua modus transversal dari gelombang potong (shear). Karena sebuah keadaan eksitasi dari sebuah osilator harmonik dapat mengandung sejumlah kuanta, fonon memenuhi Statistik Bose-Einstein, dengan tidak ada perubahan dari jumlah totalnya.

Dalam sebuah padatan kristal, atom-atomnya bervibrasi di sekitar posisi kesetimbangan. Kita ingin menentukan kontribusi dari vibrasi-vibrasi ini terhadap energi dan kalor spesifik dari suatu zat padat.

Pertama-tama kita menganggap N atom dalam sebuah volum V suatu zat padat dengan kerangka kerja fisika klasik. Kita tuliskan koordinat dari atom-atomnya dengan (x1, ...., ) dan

koordinat posisi kesetimbangan oleh , Jika sebuah zat padat memiliki N atom, maka juga memiliki 3N modus normal. Oleh karena

itu akan ada 3N jenis yang berbeda dari fonon dengan frekuensi karakteristik,

Oleh karena sebuah kontinum elastik memiliki sebuah distribusi kontinyu dari frekuensi normal dimana kita akan tertarik pada modus-modus normal yang memiliki frekuensi yang berada antara ω dan ω + dω. Untuk mendapatkan jumlah ini kita harus mengetahui syarat batas pada gelombang bunyi dalam medium elastik tersebut. Dengan mengambil syarat batas periodik, seperti biasanya kita mendapatkan bahwa , dimana dan n memiliki komponen 0, ± 1, ± 2, ... bilangan yang kita cari kemudian

banyaknya modus normal dengan frekuensi antara ω dan ω + dω

Dimana angka faktor 3 muncul dari ketiga kemungkinan polarisasi. Oleh karena kita mempunyai,

Frekuensi maksimum diperoleh dengan syarat yang harus dipenuhi,

Yang memberikan nilai, dimana ,

Panjang gelombang yang bersangkutan dengan adalah :

jarak antar partikel

(Huang, 1987: 136)

Untuk sebuah kristal makroskopik, spektrum gelombang suara kebanyakan sifatnya kontinyu, dan kita dapat menangani n sebagai sebuah variabel kontinyu. Seperti dalam kasus foton, kita mulai dengan rapat keadaan per satuan frekuensi g(n).

.... (14)

.... (15)

.... (16)

.... (17)

.... (18)

Banyaknya modus per satuan volum dengan bilangan gelombang < k:

(dikalikan dengan 3 karena suatu gelombang suara dalam zat padat dapat memiliki 3 polarisasi (dua transversal dan satu longitudinal)

Inilah persamaan untuk n yang cukup rendah (http://www.physics.rutgers.edu)

c. Kapasitas Kalor dalam Model Debye

Fonon adalah kuanta (paket) dari gelombang bunyi dalam sebuah zat padat makroskopik. Secara`matematis, fonon muncul melalui cara yang sama dengan foton dari kuantisasi medan elektromagnetik. Setiap modus normal secara klasik merupakan sebuah gelombang gangguan dari bidang-bidang kisi-dalam hal ini sebuah gelombang suara. Dalam teori kuantum modus-modus normal ini menimbulkan kuanta (quanta) yang disebut fonon. Sebuah keadaan kuantum dari sebuah kisi kristal yang berdekatan keadaan dasarnya dapat dispesifikasi dengan menghitung semua kehadiran fonon. Oleh karena itu pada suhu yang sangat rendah suatu zat padat dapat dianggap sebagai sebuah volum yang mengandung suatu gas yang fonon-fononnya tak berinteraksi. (Amit & Verbin, 1999: 265)

Jumlah fonon dengan energi E. Fonon-fonon memenuhi statistik Bose-Einstein. Distribusinya diberikan oleh rumus Bose-Einstein yang terkenal,

atau,

Sekarang kita akan menghitung sifat-sifat kesetimbangan dari suatu zat padat pada temperatur rendah dengan menghitung fungsi partisi untuk sebuah gas fonon yang sesuai. Energi dari keadaan dimana terdapat ni fonon adalah:

Fungsi partisinya adalah

Oleh karena,

Banyaknya partikel rata-rata yang menempati adalah

energi gabungan adalah

Melalui limit kita peroleh, dengan bantuan pers (15),

.... (19)

.... (20)

.... (21)

.... (22)

.... (23)

.... (24)

.... (25)

.... (26)

.... (27)

.... (28)

Atau,

Atau dengan cara lain,Untuk energi sebuah gas fonon, kita peroleh dengan cara,

Dimana,

Dalam hal ini D(x) disebut sebagai Fungsi Debye dan TD adalah temperatur Debye. Kita definisikan Fungsi Debye D(x) dengan

Dan temperatur Debye TD diberikan oleh

Oleh karena itu, kita perolehUntuk ,

Sehingga

Pada temperatur rendah kita dapat mengamati adanya Hukum - .

Untuk ,

Sehingga,

.... (29)

.... (30)

.... (29)

.... (30)

.... (31)

.... (32)

.... (33)

.... (34)

.... (35)

(Huang, 1987 : 136)

Sehingga, Model Debye memperkirakan bahwa dalam batas temperatur T yang cukup rendah, kapasitas kalor disebabkan oleh getaran kisi kristal (dalam elektron pada logam juga berkontribusi pada Cv) yang harus bervariasi dengan T3.

Gambar 3. Kalor spesifik dari sebuah kisi kristal dalam Teori Debye(http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/thermo/debye.html)

Pada temperatur yang rendah berkurang sebanding dengan , memverifikasi hukum ketiga termodinamika. Ketika temperatur sangat besar dibandingkan temperatur Debye, kisi berperilaku secara klasik, ditandai oleh fakta bahwa . Untuk kebanyakan zat padat temperatur Debye berada pada orde 200 K. Pada temperatur tinggi ekstrim model dari fonon-fonon tak berinteraksi gagal disebabkan kisi pada akhirnya melebur (tidak terbentuk). Meleburnya kisi kemungkinan disebabkan oleh fakta bahwa gaya antara atom dalam kisi bukanlah gaya harmonik yang kuat. Dalam istilah fonon, fonon-fonon tidak bebas secara ketat. Fonon-fonon tersebut harus berinteraksi satu sama lain, dan interaksi menjadi kuat pada temperatur yang sangat tinggi.

4. Perbandingan Model Einstein Dan Model Debye

(a) (b)Gambar 1. Perbandingan nilai kapasitas kalor (a) model Einstein dan (b) model Debye

(Yoshioka, D., 2007: 69 dan 75)

Pada model Einstein, untuk temperatur rendah, misalnya ketika T → 0, , sehingga ini memberika nilai CV yang menurun secara eksponensial. Sedangkan dalam model Debye,

untuk temperatur rendah, ketika T → 0, . Dari model Debye tampak bahwa adanya

kebergantungan kapasitas kalor terhadap pada temperatur yang sangat rendah. Dari kedua model di atas, dapat dilihat bahwa pendekatan yang diberikan Einstein memberikan bahwa ketika temperatur semakin mendekati nol, maka kapasitas kalor cenderung lebih cepat menurun menuju nol dibandingkan temperatur, sedangkan pendekatan yang diberikan Debye ini sesuai dengan hasil eksperimen yang ada untuk berbagai jenis material zat padat (solids).

Gambar 2. Model Debye vs Model Debye (Kittel, C., 1996: 168)

5. Aplikasi

a. Penentuan Temparatur Debye dalam Zat PadatSalah satu aplikasi yang dapat digunakan dengan teori Debye adalah penentuan berbagai

temperatur Debye material zat padat. Frekuensi Debye yang memenuhi:

Jarak antar partikel dalam zat padat:

Temperatur Debye didefinisikan sebagai

sehingga, temperatur Debye proporsional dengan frekuensi cut-off. Berikut ini beberapa temperatur Debye material zat padat yang ada,

(http://ruelle.phys.unsw.edu.au)

b. Perhitungan hamburan neutron

Model Debye juga digunakan untuk menghitung hamburan neutron oleh sebuah kisi Bravais bentuk kubus.

(http://www.osti.gov)

REFERENSI

Amit & Verbin, 1999. Statistical Physics. An Introductory Course, World Scientific, Singapore

Huang, 1987. Statistical Mechanics, Second Edition. John Wiley & Sons, New York.

Gautreau, 1999. Schaum's Outline of Modern Physics, Mc Graw-Hill, New York.

Kittel, C., 1996. Introduction to Solid State Physics (7 ed.). John Wiley & Sons, New York

Nash L.K., 1972. Elements of Statistical Thermodynamics, 2nd edition, by, Addison-Wesley,.

Yoshioka, D., 2007. Statistical Physics An Introduction, Springer, New York

http://alfredbudiono.blogspot.com/2011/06/einsten-dan-debye.html , diakses (2/11/2012)

http://www.physics.rutgers.edu/~gersh/351/Lecture%2027.ppt, diakses (2/11/2012)

http://www.osti.gov/energycitations/product.biblio.jsp?osti_id=4713672, diakses (2/11/2012)

http://ruelle.phys.unsw.edu.au/~gary/PHYS3020_files/SM3_6.pdf, diakses (2/11/2012)