4. Trigonometri  Sudut  Berelasi    a. Sudut  90! ± 𝛼  

 Segitiga  𝐴𝐶𝐵    siku  siku  di  𝐶  sehingga    𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180!𝛼 + 𝐵 + 90! = 180!𝐵 = 180! − 90! − 𝛼𝐵 = 90! − 𝛼

   

   

Gambar  17    sin 90! − 𝛼 = !"

!"= cos𝛼    

 cos 90! − 𝛼 = !"

!"= sin𝛼    

 tan 90! − 𝛼 = !"

!"= cot𝛼    

     Kesimpulan      

sin 90! − 𝛼 = cos𝛼    

cos 90! − 𝛼 = sin𝛼    

tan 90! − 𝛼 = cot𝛼      

 

Segitiga  𝐴𝐶′𝐵′  adalah  segitiga  𝐴𝐵𝐶  yang  diputar  90!  berlawanan  arah  jarum  jam  sehingga  ∠𝐶𝐴𝐵! = 90! + 𝛼    Kedua  segitiga  terletak  di  dalam  lingkaran  satuan  𝑟 = 1    

       Gambar  18           Gambar  19      𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏,𝑎)         𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (−𝑎, 𝑏)        cos𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏           sin 90! + 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑏    sin𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎           cos 90! + 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = −𝑎    cot𝛼 = !"#$#

!"#$%&'= !

!           tan 90! + 𝛼 = !"#$%&'

!"#$#= !

!!  

   Kesimpulan    

sin 90! + 𝛼 = cos𝛼          

cos 90! + 𝛼 = − sin𝛼      

tan 90! + 𝛼 = − cot𝛼          

 

b. Sudut  180! ± 𝛼    Segitiga  𝐴𝐶′𝐵′  adalah  segitiga  𝐴𝐵𝐶  yang  dicerminkan  terhadap  sumbu  Y  sehingga  ∠𝐶𝐴𝐵! = 180! − 𝛼    Kedua  segitiga  terletak  di  dalam  lingkaran  satuan  𝑟 = 1    

     Gambar  20           Gambar  21      𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏,𝑎)         𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (−𝑏,𝑎)        sin𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎           sin 180! − 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎    cos𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏           cos 180! − 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = −𝑏    tan𝛼 = !"#$%&'

!"#$#= !

!           tan 180! − 𝛼 = !"#$%&'

!"#$#= !!

!  

   Kesimpulan      

sin 180! − 𝛼 = sin𝛼          

cos 180! − 𝛼 = − cos𝛼      

tan 180! − 𝛼 = − tan𝛼  

 

Segitiga  𝐴𝐶′𝐵′  adalah  segitiga  𝐴𝐵𝐶  yang  diputar  180!  berlawanan  arah  jarum  jam  sehingga  ∠𝐶𝐴𝐵! = 180! + 𝛼    Kedua  segitiga  terletak  di  dalam  lingkaran  satuan  𝑟 = 1        

     Gambar  22           Gambar  23        𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏,𝑎)         𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (−𝑏,−𝑎)      sin𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎           sin 180! + 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = −𝑎    cos𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏           cos 180! + 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = −𝑏    tan𝛼 = !"#$%&'

!"#$#= !

!           tan 180! + 𝛼 = !"#$%&'

!!"#"= !!

!!  

   Kesimpulan      

sin 180! + 𝛼 = − sin𝛼          

cos 180! + 𝛼 = − cos𝛼      

tan 180! + 𝛼 = tan𝛼        

 

c. Sudut  270! ± 𝛼    Segitiga  𝐴𝐶′𝐵′  adalah  segitiga  𝐴𝐵𝐶  yang  diputar  90!  searah  jarum  jam  kemudian  dicerminkan  terhadap  sumbu  Y  sehingga  ∠𝐶𝐴𝐵! = 270! − 𝛼    Kedua  segitiga  terletak  di  dalam  lingkaran  satuan  𝑟 = 1      

       Gambar  24           Gambar  25      𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏,𝑎)         𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (−𝑎,−𝑏)        cos𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏           sin 270! − 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = −𝑏    sin𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎           cos 270! − 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = −𝑎    cot𝛼 = !"#$#

!"#$%&'= !

!           tan 270! − 𝛼 = !"#$%&'

!"#$#= !!

!!  

   Kesimpulan    

sin 270! − 𝛼 = − cos𝛼          

cos 270! − 𝛼 = − sin𝛼      

tan 270! − 𝛼 = cot𝛼  

 

Segitiga  𝐴𝐶′𝐵′  adalah  segitiga  𝐴𝐵𝐶  yang  diputar  90!  searah  jarum  jam  kemudian  dicerminkan  terhadap  sumbu  Y  sehingga  ∠𝐶𝐴𝐵! = 270! + 𝛼    Kedua  segitiga  terletak  di  dalam  lingkaran  satuan  𝑟 = 1      

       Gambar  26           Gambar  27      𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏,𝑎)         𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑎,−𝑏)        cos𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏           sin 270! + 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = −𝑏    sin𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎           cos 270! + 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑎    cot𝛼 = !"#$#

!"#$%&'= !

!           tan 270! + 𝛼 = !"#$%&'

!"#$#= !!

!  

   Kesimpulan    

sin 270! + 𝛼 = − cos𝛼          

cos 270! + 𝛼 = sin𝛼      

tan 270! + 𝛼 = − cot𝛼      

 

d. Sudut  360! − 𝛼    atau    Sudut  –𝛼    Segitiga  𝐴𝐶′𝐵′  adalah  segitiga  𝐴𝐵𝐶  dicerminkan  terhadap  sumbu  X  sehingga  ∠𝐶𝐴𝐵! = 360! − 𝛼    Kedua  segitiga  terletak  di  dalam  lingkaran  satuan  𝑟 = 1    

       Gambar  28           Gambar  29      𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏,𝑎)         𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏,−𝑎)        sin𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎           sin 360! − 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = −𝑎    cos𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏           cos 360! − 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏    tan𝛼 = !"#$%&'

!"#$#= !

!           tan 360! − 𝛼 = !"#$%&'

!"#$#= !

!!  

   Kesimpulan      

sin 360! − 𝛼 = − sin𝛼          

cos 360! − 𝛼 = cos𝛼      

tan 360! − 𝛼 = − tan𝛼      

Untuk  sudut  –𝛼    sama  dengan  sudut  360! − 𝛼