Oleh : Andre Haryanto

1.1 Teorema Green

Misalkan kurva mulus sepeotong-sepotong, tertutup sederhana, yang membentuk batas dari

suatu daerah di bidang . Jika dan kontinu dan mempunyai turunan kontinu pada S

dan batasnya , maka :

Bukti :

Misalkan dan batasnya sendiri atas

tempat busur , , dan . dan

Sama halnya dengan memperlakukan sebagai suatu himpunan x sederhana, maka diperoleh

Hasil diatas dapat diperluas ke daerah tak sederhana yaitu dengan memecah menjadi

suatu gabunngan daerah-daerah yang berupa himpunan sederhana dan

sederhana

Teorema Green tetap berlaku untuk suatu daerah dengan satu atau beberapa lubang,

asal saja tiap bagian dari batas terarah sehingga selalu di kiri selama seseorang menelusuri

kurva dalam arah positif seperti berikut ini

Contoh :

Andaikan adalah batas dari segitiga dengan titik-titik sudut (0,0), (1,2), dan (0,2).

maka hitunglah

Jawab :

Diketahui , dan . karena dan polinom maka mempunyai

turunan yang kontinyu, sehingga menurut teorema Green berlaku :

1.2 Bentuk vektor dari teorema Green

Misalkan kurva tertutup, sederhana, mulus pada bidang dan bahwa kurva

tersebut diberi arah berlawanan dengan putaran parameterisasinya dan ,

maka :

adalah vektor singgung satuan dan

adalah vektor normal satuan yang menunjuk ke arah luar dari daerah yang dibatasi oleh .

jika adalah suatu medan vektor maka

Contoh :

Jika dan melintasi batas dari bujur sangkar dengan titik-

titik sudut (0,0), (1,0), (0,1), dan (1,1), maka hitunglah

Jawab ;

Diketahui dan . maka

dan

.