TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear - Share...

Trihastuti Agustinah

Bidang Studi Teknik Sistem PengaturanJurusan Teknik Elektro - FTIInstitut Teknologi Sepuluh Nopember

TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear

OBJEKTIF

TEORI

CONTOH

SIMPULAN

LATIHAN

1

2

3

4

5

O U T L I N E

OBJEKTIF Teori Contoh Simpulan Latihan

Tujuan Pembelajaran

Mahasiswa mampu:1. Menjelaskan definisi dari matriks2. Melakukan operasi matriks3. Menggunakan sifat-sifat operasi matriks dan

aturan aritmatika matriks4. Membedakan tipe matriks5. Membentuk sistem linear dalam notasi matriks

Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan

Pendahuluan

Matriks merupakan tool untuk mendapatkan solusidari persoalan sistem linear.

TEORI

Operasi Matriks dan Sifatnya

Kombinasi Linear

Perkalian Matriks

Tipe-tipe Matriks

Notasi-notasi

Menu TeoriDefinisi Matriks

Sistem Linear Dalam Bentuk Matriks

Contoh Simpulan LatihanObjektif

TEORI

Definisi dan Notasi Matriks

a11 a12 a1n···

a21 a22 a2n···

··· ··· ···am1 am2 amn···

baris (m)

kolom (n)

=m×nA

matriks

kuantitas

entri = aij atau (A)ij

Simpulan LatihanObjektif Contoh

Notasi Vektor

Matriks Am×n

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

][ 21 naaa =a

Matriks baris dan kolom: – huruf kecil cetak tebal– vektor

=

mb

bb

2

1

b

Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI

Operasi Matriks (1)

Matriks A dan B adalah sama

– Ukuran sama

– Entri yang bersesuaian sama

Hasilkali cA (c adalah skalar) Perkalian tiap entri A dengan c

A = B ↔ (A)ij = (B)ij atau aij = bij

(cA)ij = c(A)ij = caij


Operasi Matriks (2)

Jumlah A+B

– Ukuran sama

– Penjumlahan entri yang bersesuaian sama

Selisih A-B

(A + B) ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij

(A – B)ij = (A)ij – (B)ij = aij – bij


Sifat-sifat Operasi Matriks

Asumsi ukuran matriks berikut sesuai

Operasi berikut adalah valid

ABBA +=+

CBACBA ++=++ )()(

CABBCA )()( =

ACABCBA +=+ )(

ACABCBA −=− )(

aCaBCBa ±=± )(

bCaCCba ±=± )(

)()()( aCBCaBBCa ==


Kombinasi Linear

• Matriks A1, A2, …, An berukuran sama

• c1, c2, …, cn adalah skalar

Kombinasi linear:

nn AcAcAc +++ 2211


Perkalian Matriks (1)

rjirjijiij bababaAB +++= 2211)(

Matriks Amxr dan Brxn

Hasilkali AB:

Perkalian matriks melalui kolom dan baris

kombinasi linear


Perkalian Matriks (2)

Partisi matriks

=

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaa

A

=

2221

1211

AAAA

Partisi ke dalam vektor baris

=

3

2

1

rrr

Partisi ke dalam vektor kolom

][ 4321 cccc=

=

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaa

A

=

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaa

A


Perkalian Matriks: kolom dan baris (3)

Perkalian matriks menggunakan kolom

][][ 2121 nn AAAAAB bbbbbb ==

=

=

B

BB

BAB

mm a

aa

a

aa

2

1

2

1

Perkalian matriks menggunakan baris


Perkalian Matriks: kolom dan baris (4)

• Perkalian matriks tanpa menghitung semuahasilkalinya

• Cara melakukan perkalian:

Matriks kolom ke-j dari AB = A [kolom ke-j dari B]

Matriks baris ke-i dari AB = [baris ke-i dari A] B


Perkalian Matriks: kombinasi linear (5)

Matriks dan vektor

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

=

nx

xx

2

1

x

Perkalian matriks dengan vektor

++

+

=

+++

++++++

=

mn

n

n

n

mmnmnmm

nn

nn

a

aa

x

a

aa

x

a

aa

x

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

A

2

1

2

22

12

2

1

21

11

1

2211

2222121

1212111

x


Tipe Matriks dan Operasinya: Transpos

Matriks Amxn

– transpos A AT

– matriks nxm hasil pertukaran baris dan kolom

(AT)ij=(A)ji

Transpos matriks bujursangkar

1 -2

3 00 50

7

4

A = AT =1 -2

3 00 50

7

4

A =


Tipe Matriks dan Operasinya: Transpos

Sifat-sifat:

((A)T)T = A

(A ± B)T = AT ± BT

(kA)T = kAT

(AB)T = BTAT

Jika A dapat dibalik (di-invers-kan)

(AT)-1 = (A-1)T


Tipe Matriks dan Operasinya: Trace

• Matriks bujursangkar• Jumlah entri dalam diagonal utama

=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A 332211)(tr aaaA ++=

−−

−−

=

01243721

48530721

B 110751)(tr =+++−=B


Tipe Matriks dan Operasinya: Nol

Matriks dengan semua entri bernilai nol

Operasi dengan matriks nol

0000

000000

000

AAA =+=+ 00

0=− AA

AA −=−0

000 == AA


Tipe Matriks dan Operasinya: Identitas

• Matriks bujursangkar dengan diagonal bernilai 1 dan entri lainnya bernilai nol

• Notasi: I• Jika ukuran diperhatikan: In

• Perkalian dengan matriks Am×n

=

100010001

3I

AAIn =

AAIm =


Tipe Matriks dan Operasinya: Elementer

Matriks nxn yang diperoleh dari matriks identitas Inmelalui satu operasi baris elementer

Tukar baris 1 dengan baris 4 dari I4

Kalikan baris 2 dari I2 dengan -3 1 0

0 1–3

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1



• Matriks nxn yang diperoleh dari matriks identitasIn melalui satu operasi baris elementer

Tambahkan 3 kali baris ketiga dari I3pada baris pertama

100010301

Kalikan baris pertama dari I3 dengan 1

100010001



Perkalian matriks dengan matriks elementer

E: matriks hasil operasi baris pada Im

A: matriks mxn

EA: matriks hasil dari operasi baris yang sama denganE pada matriks A



Perkalian matriks dengan matriks elementer

Matriks Am×n

−=

044163123201

A

=

103010001

E

−=

9104463123201

EA

Matriks Em

Matriks EA

3b1+b3

3b1+b3


Tipe Matriks dan Operasinya: Diagonal

Matriks bujursangkar

Bentuk lain: D = diag(d1,d2,∙∙∙, dn)

=

nd

dd

D

00

0000

2

1

Perkalian matriks dengan matriks diagonal

=

232222212

131121111

232221

131211

2

1

00

adadadadadad

aaaaaa

dd

=

322311

222211

122111

2

1

3231

2221

1211

00

adadadadadad

dd

aaaaaa


Tipe Matriks dan Operasinya: Segitiga

Matriks segitiga bawah(lower triangular)

Matriks segitiga atas(upper triangular)

333231

2221

11

000

aaaaa

a

33

2322

131211

000

aaaaaa


Tipe Matriks dan Operasinya: Simetris

Sifat-sifat matriks simetris

Matriks bujursangkar

A=AT

Jika dan hanya jika aij = aji

−

−6337

−

805034541

4

3

2

1

000000000000

dd

dd


Tipe Matriks dan Operasinya

Matriks Amxn dan ATnxm

Hasilkali matriks dengan transposnyao AAT (berukuran mxm)

o ATA (berukuran nxn)

o matriks bujursangkaro simetris


Sistem Linear dalam Bentuk Matriks

Sistem linear:– m persamaan– n variabel

11212111 bxaxaxa nn =+++

22222121 bxaxaxa nn =+++

mnmnmm bxaxaxa =+++ 2211

Sistem linear: persamaan matriks

=

+++

++++++

mnmnmm

nn

nn

b

bb

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

2

1

2211

2222121

1212111


Sistem Linear dalam Bentuk Matriks

Perkalian matriks:

=

mnmnmm

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

2

1

2

1

21

22221

11211

=

mmnmm

n

n

baaa

baaabaaa

bA

21

222221

111211

][Matriks augmentasi:

A x = b


Teori CONTOH

Contoh (1)

=

xA

312

=

4312

B4 =1) Matriks A=B?

2) Dapatkan A+B, A-B, ½C dengan

=

131432

A

−−

=531720

B

−=

1202268

C

A+B =A-B =

½C =

Simpulan LatihanObjektif

CONTOH

Contoh (2)

3) Kombinasi linearCBACBA 2

121 )1(22 +−+=+−

−+

−

−−+

=

601134

531720

262864

=

1334218

Kombinasi linear dari matriks A, B dan C

koefisien 2, -1 dan ½

Simpulan LatihanTeoriObjektif

CONTOH

Contoh (3)

4) Hasilkali matriks

−=

257213103414

B

=

062421

A

=AB


CONTOH

Contoh (4)

5) Perkalianmatriks melaluikolom dan baris:

−=

257213103414

B

=

062421

A

062421

Matriks kolom ke-2 dari AB:

−

257213103414

Matriks baris pertama AB:

−

711

−

=4

27

]421[ ]13302712[=


CONTOH

Contoh (5)

6) Hasil kali matriks:

−=31

2x

−−=

−−+

−

−

39

1

23

2 3

123

1211

2

−−

−=

212321

231A

−−=

−

−−

−

39

1

31

2

212321

231

Perkalian langsung:

Kombinasi linear:


CONTOH

Contoh (6)

7) Dapatkan AAT dan ATA

−

−=

503421

A


CONTOH

Contoh (7)

8) Bentuk sistem linear berikut dalam matriks dandapatkan solusinya

985352432

31

321

321

=+=++=++

xxxxxxxx


SIMPULAN

Matriks

1. Operasi matriks dapat dilakukan bila ukuranmatriks memungkinkan terjadinya operasi tersebut

2. Pengetahuan tentang tipe-tipe matriksmemudahkan untuk melakukan operasi matriksberdasarkan karakteristik dari matriks-matrikstersebut

3. Bentuk sistem linear dalam notasi matriksmemberikan kemudahan dalam penyelesaiannya

LatihanTeoriObjektif Contoh

LATIHAN

Soal:

1. Dapatkan hasil perkalian matriks berikut:

SimpulanTeoriObjektif Contoh

−

−=

165124305121

A

−−

−=

430511233412

B

TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear - Share...

Documents

Transcript of TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear - Share...