Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Trihastuti Agustinah

TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear

O U T L I N E

2. Teori

3. Contoh

4. Simpulan

5. Latihan

1. Objektif

Mahasiswa mampu:

1. Mentransformasi matriks ke dalam bentuk diagonal

2. Menghitung pangkat matriks menggunakan metode diagonalisasi matriks

Contoh Simpulan Latihan Objektif Teori

Tujuan Pembelajaran

Diagonalisasi matriks merupakan salah satu cara

mengubah bentuk matriks sebarang ke dalam

bentuk matriks diagonal. Salah satu kegunaan

dari diagonalisasi matriks adalah untuk

menghitung pangkat dari suatu matriks

Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh

Pendahuluan

P-1AP

Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh

Diagonalisasi

a11 a12

a21 a22

a13

a23

a31 a32 a33

λ1 0

0 λ2

0

0

0 0 λ3

p11

p21

p31

p12

p22

p32

p13

p23

p33

transformasi similaritas

transformasi D A

P

P-1AP

Langkah 1: Dapatkan n eigenvektor bebas linear dari A, yaitu p1, p2, …, pn

Langkah 2: Bentuk matriks P dari p1, p2, …, pn sebagai vektor kolom dari P

Langkah 3: Dapatkan P-1AP sebagai bentuk diagonal dari matriks A dengan λi merupakan eigenvalue untuk pi yang bersesuaian

Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh

Prosedur Diagonalisasi

D=P-1AP

Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh

Perpangkatan matriks

Ak=PDkP-1

Matriks A (n×n)dan P matriks dapat dibalik:

(P-1AP)2 = P-1APP-1AP = P-1AIAP = P-1A2P

Secara umum, untuk k positif:

(P-1AP)k = P-1AkP = Dk

Dapatkan matriks P yang mendiagonalkan matriks A berikut:

Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan

Contoh 1 (1)

−=

301121200

A

Persamaan karakteristik: det(λI-A) = 0

0301

12120

det =

−−−−−λ

λλ

0)2)(1( 2 =−− λλ

Eigenvalue: λ1=1 λ2,3= 2

Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan

Contoh 1 (2)

Sistem homogen:

Untuk λ1 = 1

−=

112

1p

λ2,3 = 2

−=

101

2p

=

010

3p

Matriks P yang mendiagonalkan matriks A adalah

−−=

011101012

P

Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan

Contoh 1 (3)

Cek

Bila urutan vektor kolom dalam P diubah

−−=

011110021

P

=−

200010002

1APP

=

−−

−

−−=−

200020001

011101012

301121200

111201101

1APP

Dapatkan A5 untuk matriks A berikut:

Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan

Contoh 2 (1)

−=

301121200

A

A5 = A•A•A•A•A

diagonalisasi? A5=PD5P-1

Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan

Contoh 2 (2)

Dari contoh 1, diperoleh matriks P dan D

−−=

011101012

P

Matriks A5:

−−

−−== −

111201101

200020001

011101012

5

5

5

155 PPDA

=

200020001

D

−−=

6303131323162030

Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan

Contoh 3 (1)

Dapatkan matriks P yang mendiagonalkan matriks A berikut:

−=

253021001

A

0)2)(1(253

021001

)det( 2 =−−=−−

−−−

=− λλλ

λλ

λ AI

Persamaan karakteristik: det(λI-A) = 0

Eigenvalue: λ1=1; λ2,3= 2

Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan

Contoh 3 (2)

Sistem homogen:

Untuk λ1 = 1

λ2,3 = 2

Karena hanya terdapat dua vektor basis, maka A tidak dapat didiagonalisasi menggunakan prosedur diagonalisasi

−=1

81

81

1p

=

100

2p

Diagonalisasi matriks mentransformasi matriks ke dalam bentuk diagonalnya

Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan

Diagonalisasi Matriks

Letak vektor kolom dalam matriks pendiagonal menentukan letak eigenvalue dalam matriks diagonal

Pangkat matriks dapat dihitung menggunakan matriks diagonal (D) dan matriks pendiagonal (P)

Jawab:

Dapatkan matriks P yang mendiagonalkan matriks A berikut:

Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan

Soal Latihan

−−

−−=

313043241

A

=

300020001

D

=

431331121

P

Jawab:

Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan