TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear -...

Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember

TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear

O U T L I N E

OBJEKTIF 1

TEORI 2

CONTOH 3

SIMPULAN 4

LATIHAN 5

Eigenvalue dan Eigenvektor

Latihan Simpulan Contoh Teori

Mahasiswa mampu:

1. Menghitung eigenvalue dari matriks

2. Menghitung eigenvektor untuk eigenvalue terkait dari suatu matriks

OBJEKTIF

Tujuan Pembelajaran


Perkalian matriks A dengan vektor x, pada

umumnya tidak memiliki hubungan secara

geometris. Tetapi, seringkali terdapat vektor tak-

nol x sedemikian hingga x dan Ax merupakan

perkalian skalar antara satu dengan lainnya.

Nilai skalar tersebut disebut eigenvalue dan

vektor terkait disebut eigenvektor.

Latihan Simpulan Contoh TEORI Objektif

Pendahuluan


Latihan Simpulan Contoh

x disebut eigenvektor untuk λ yang bersesuaian

TEORI Objektif

Eigenvalue


x

A

x

λx

Ax = λx

λ disebut eigenvalue


Eigenvalue

Representasi geometri hubungan vektor x dengan Ax

λx

x

λx

x

λx

x

λx

x

-1≤λ≤0 λ≥1 0≤λ≤1 λ≤-1


Sistem homogen


Persamaan karakteristik

A x = λ x

det(λI – A) = 0

(λI – A) x = 0

x ≠ 0

Pers. karakteristik

solusi nontrivial

Eigenvalue

(akar karakteristik)


Eigenvektor dari matriks A yang berkaitan dengan eigenvalue λ:

Vektor tak-nol x yang memenuhi Ax = λx


Eigenvektor

Basis untuk ruang eigen disebut eigenvektor

Ruang solusi (λI–A)x = 0 ruang eigen A untuk λ terkait


1) Dapatkan eigenvalue dari matriks:

Latihan Simpulan CONTOH Teori Objektif

Eigenvalue dan eigenvektor

−=

301121200

A

2) Dapatkan eigenvektor dari matriks tersebut.

… Jawab 1

… Jawab 2 Eigenvalue dan Eigenvektor

Pers. karakteristik: det(λI-A) = 0


Solusi Contoh 1:

0301

12120

det =

−−−−−λ

λλ

0485 23 =−+− λλλ

0)2)(1( 2 =−− λλ

Eigenvalue: λ1=1 dan λ2,3= 2 Eigenvalue dan Eigenvektor

Cara mencari akar karakteristik

1 -5 8 -4

2 1

2

-3

-6

2

4

0

2 1

2

-1

-2

0

1 1

1

0

Persamaan karakteristik: det(λI-A) = 0


Solusi Contoh 2:

0301

12120

det)det( =

−−−−−=−λ

λλ

λ AI

0)2)(1(485 223 =−−=−+− λλλλλ

Eigenvalue: λ1=1 dan λ2,3= 2


Sistem homogen:


Solusi Contoh 2:

Untuk λ1 = 1

=

−−−−−

000

301121

20

3

2

1

xxx

λλ

λ

=

−−−−−

000

201111201

3

2

1

xxx

=

−

000

000110201

3

2

1

xxx

=

−

000

000110201

3

2

1

xxx



Solusi Contoh 2:

Solusi sistem : x1 = -2s; x2 = s; x3 = s

ssss

1122

−=

−=x

Basis ruang eigen untuk λ1 = 1 eigenvektor

−=

112

1x


Sistem homogen:


Solusi Contoh 2:

Untuk λ2,3 = 2

=

−−−−−

000

301121

20

3

2

1

xxx

λλ

λ

=

000

000000101

3

2

1

xxx

=

−−−−

000

101101101

3

2

1

xxx

=

−−−−

000

101101202

3

2

1

xxx



Solusi Contoh 2:

Solusi sistem : x1 = -s; x2 = t; x3 = s

Basis ruang eigen (eigenvektor) untuk λ2,3 = 2

−=

101

2x

tsts

s

sts

010

101

0

00

+

−=

+

−=

−=x

=

010

3x


1. Eigenvalue suatu matriks merupakan akar-akar dari persamaan karakteristik untuk matriks tersebut

2. Eigevektor merupakan basis ruang eigen dari sistem pers. homogen untuk eigenvalue terkait

Latihan SIMPULAN Contoh Teori Objektif


Untuk matriks berikut:

LATIHAN Simpulan Contoh Teori Objektif

2) eigenvektor dari matriks tersebut.


−−=

102012104

A

1) eigenvalue dari matriks A

dapatkan:

Soal Latihan

Terima kasih

Latihan Simpulan Contoh Teori Objektif


TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear -...

Documents

Transcript of TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear -...