Trihastuti Agustinah

TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear

Bidang Studi Teknik Sistem PengaturanJurusan Teknik Elektro - FTIInstitut Teknologi Sepuluh Nopember

O U T L I N E

2. Teori

3. Contoh

4. Simpulan

5. Latihan

1. Objektif

Mahasiswa mampu:

1. Menghitung eigenvektor generalisasi untukbeberapa eigenvalue real sama

2. Mentransformasi matriks yang memilikibeberapa eigenvalue real sama ke dalam bentukJordan

Contoh Simpulan LatihanObjektif Teori

Tujuan Pembelajaran

Bentuk Jordan digunakan untuk mendapatkan

bentuk matriks diagonal bila transformasi

similaritas biasa tidak dapat dilakukan. Bentuk

Jordan terjadi bila matriks nonsingular memiliki

eigenvalue sama.

Simpulan LatihanTeori Contoh

Pendahuluan

Objektif

Teori

Generalisasi Eigenvalue

Pers. karakteristik via generalisasi eigenvalue

Ax1 = λix1

Ax2 = λix2 + x1

Ax3 = λix3 + x2

Axn = λixn + xn-1 (A– λiI)xn = xn-1

…

Simpulan LatihanContohObjektif

Objektif Teori

Generalisasi Eigenvalue (dalam perkalian matriks)

Pers. karakteristik via generalisasi eigenvalue

= −

i

i

i

i

i

nn

λλ

λλ

λ

00001000

00000100001

][ 121

xxxx

][ 121 nnA xxxx −

Simpulan LatihanContoh

Objektif Simpulan LatihanTeori Contoh

Bentuk Jordan

Bentuk Jordan untuk beberapa eigenvalue sama

J = M -1AM

dengan M merupakan matriks eigenvektor

Submatriks Ji disebut blok Jordan

Bentuk Jordan: matriks diagonal blok

J = diag(J1, J2, …, Jp)

Contoh

Contoh 1 (1)

Dapatkan bentuk Jordan untuk matriks

−=

4112

A

Pers. karakteristik

0)3(41

12det)det( 2 =−=

−−−

=− λλ

λλIA

Eigenvalue: λ1,2 = 3

Objektif Teori Simpulan Latihan

Contoh

Contoh 1 (2)

Sistem homogen:

041

12

2

1 =

−−−

xx

λλ

Generalisasi eigenvektor:

−=

−−−

11

4112

2

1

xx

λλ

=

01

2x

−=

11

1x

−=

−−11

1111

2

1

xx

−−011011

000011rref

Eigenvektor untuk λ=3

−−−111111

000111rref

Objektif Teori Simpulan Latihan

Contoh

Contoh 1 (3)

Matriks eigenvektor dan invers-nya:

−=

0111

M

Bentuk Jordan dari matriks A:

=−

11101M

−

−

=−

0111

4112

11101AMM

=

−

−

=3013

0111

3341

J

Objektif Teori Simpulan Latihan

Contoh

Contoh 2 (1)

Dapatkan eigenvalue, eigenvektor dan bentuk Jordan untuk matriks

−−−−

=

718208100001000010

A

Objektif Teori Simpulan Latihan

Contoh

Contoh 2 (2)

Pers. karakteristik

Eigenvalue: λ1 = −1 λ2,3,4 = −2

0)1()2( 3 =++ λλ

0111

011222

02314622

0485181610228201871

−−

−−−

−−−−

−−−−−

0820187

7182081000

010001

234 =++++=

+−

−−

=− λλλλ

λ

λλ

λ AI

Objektif Teori Simpulan Latihan

Contoh

Contoh 2 (3)

Sistem homogen:

=

−−−−−−

−−

=−

0000

718208100010001

)(

4

3

2

1

1

xxxx

IA

λλ

λλ

λ x

=

−

0000

0000110010101001

4

3

2

1

xxxx

λ1= -1

TTxxxx ]1111[][ 43211 −−==x

=

−−−− 0000

618208110001100011

4

3

2

1

xxxx

Objektif Teori Simpulan Latihan

Contoh

Contoh 2 (4)

=

−

0000

0000100010001

4

3

2

1

214181

xxxx

λ2 = -2

TT ]15.025.0125.0[]1[ 21

41

81

2 −−=−−=x

Sistem homogen:

=

−−−−−−

−−

=−

0000

718208100010001

)(

4

3

2

1

1

xxxx

IA

λλ

λλ

λ x

=

−−−− 0000

518208120001200012

4

3

2

1

xxxx

Objektif Teori Simpulan Latihan

Contoh

Contoh 2 (5)

TT ]025.025.01875.0[]0[ 41

41

163

3 −−=−−=x

Generalisasi eigenvektor:

(A-λI)x3 = x2

−

−

=

−−−−−−

−−

1718208100010001

21

4181

4

3

2

1

xxxx

λλ

λλ

−−−−−

−

1518208120001200012

214181

−−

−

00000100010001

41

21

41

41

163

81

Objektif Teori Simpulan Latihan

Contoh

Contoh 2 (6)

TT ]0125.01875.01875.0[]0[ 81

163

163

4 −−=−−=x

Generalisasi eigenvektor:

(A-λI)x4 = x3

−−−−−

−

0518208120001200012

4141

163

−−

−

00000100010001

81

21

163

41

326

81

−

−

=

−−−−−−

−−

0718208100010001

4141

163

4

3

2

1

xxxx

λλ

λλ

Objektif Teori Simpulan Latihan

Contoh

Contoh 2 (7)

Matriks M dan invers-nya

−−−−

−−−−

=

0011125.025.05.01

1875.025.025.011875.01875.0125.01

M

−−−

−−−−

=−

8406432412802612816128

1M

Objektif Teori Simpulan Latihan

Contoh Simpulan Latihan

Contoh 2 (8)

Bentuk Jordan untuk matriks A:

),1diag(

2000120001200001

21 JJAMM −==

−−

−−

=−

Objektif Teori

Contoh

Contoh 2 (a)

Sistem homogen:

=

+−

−−

=−

0000

718208100010001

)(

4

3

2

1

1

xxxx

AI

λλ

λλ

λ x

=

−

0000

0000110010101001

4

3

2

1

xxxx

λ1= -1

TTxxxx ]1111[][ 43211 −−==x

=

−−−−

−−

0000

618208110001100011

4

3

2

1

xxxx

Objektif Teori Simpulan Latihan

Contoh

Contoh 2 (b)

=

−

0000

0000100010001

4

3

2

1

214181

xxxx

λ2 = -2

TT ]15.025.0125.0[]1[ 21

41

81

2 −−=−−=x

=

+−

−−

=−

0000

718208100010001

)(

4

3

2

1

2

xxxx

AI

λλ

λλ

λ x

Sistem homogen:

=

−−−−

−−

0000

518208120001200012

4

3

2

1

xxxx

Objektif Teori Simpulan Latihan

Contoh

Contoh 2 (c)

TT ]025.025.01875.0[]0[ 41

41

163

3 −−=−−=x

Generalisasi eigenvektor:

(λI-A)x3 = x2

−−−−−

−−−

1518208120001200012

214181

−−

00000100010001

41

21

41

41

163

81

−

−

=

+−

−−

1718208100010001

21

4181

4

3

2

1

xxxx

λλ

λλ

Objektif Teori Simpulan Latihan

Contoh 2 (d)

TT ]0125.01875.01875.0[]0[ 81

163

163

4 −−=−−=x

Generalisasi eigenvektor:

(λI-A)x4 = x3

−=

−−−−

−−

0518208120001200012

4141

163

4

3

2

1

xxxx

−−−−−

−−−

0518208120001200012

4141

163

−−

00000100010001

81

21

163

41

326

81

Contoh Simpulan LatihanObjektif Teori

Bentuk Jordan dapat digunakan untuk mendapatkanmatriks diagonal dari matriks nonsingular bila:

memiliki beberapa eigenvalue real sama

transformasi similaritas biasa tidak dapatdilakukan.

Simpulan

Bentuk Jordan

Objektif Teori Contoh Latihan

Dapatkan bentuk Jordan untuk matriks A berikut:

Soal Latihan

−−=

131041012

A

Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan

Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan