DISTRIBUSI TEORITIS

Dr. Teguh Hadi Priyono

Distribusi teoritis merupakan alat untuk menentukan apa yg dapat diharapkan, dengan asumsi-asumsi yang dibuat benar. Distribusi teoritis sering digunakan sbg dasar pembanding dr suatu hasil observasi, dan sering digunakan sbg pengganti distribusi sebenarnya. Hal ini penting, karena untuk menyusun distribusi sebenarnya yg harus diperoleh melalui eksperimen membutuhkan biaya yg mahal dan sulit dilakukan. Distribusi teoritis memungkinkan pengambil keputusan untuk memperoleh dasar logika yg kuat, dan sangat berguna sbg dasar pembuatan ramalan (forecasting / prediction), berdasarkan informasi terbatas atau pertimbangan teoritis, dan berguna pula untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu kejadian.

Beberapa distribusi teoritis, yaitu: distribusi binomial, distribusi poisson, distribusi hipergeometrik, distribusi multinomial, distribusi normal, distribusi kai-kuadrat, distribusi F, dan distribusi t.

Ahli tanaman menggunakan distribusi binomial untuk meramalkan penyilangan (crossing) berbagai varietas tanaman yg berbeda. Ahli pengendali mutu (quality control specialist) menggunakan distribusi poisson untuk memutuskan, apakah suatu proses produksi sudah berjalan dgn baik. Ahli antropologi menggunakan distribusi normal untuk membandingkan karakteristik dua populasi.

Ahli riset pemasaranan menggunakan distribusi kai-kuadrat untuk menentukan apakah ada perbedaan yg berarti dr reaksi konsumen thd perubahan produk. Ahli agronomi menggunakan distribusi F untuk menentukan apakah perbedaan teknik pemupukan akan menyebabkan perbedaan yg berarti dr hasil pertanian. Ahli perekonomian menggunakan distribusi t untuk menentukan apakah kenaikan harga minyak menyebabkan kenaikan harga makanan.

Distribusi Binomial

Eksperimen dikatakan eksperimen binomial apabila;1.Banyaknya eksperimen merupakan bilangan tetap (fixed number of

trial),2.Setiap eksperimen mempunyai 2 hasil yang dikategorikan menjadi

“sukses” dan “gagal”,3.Probabilitas sukses nilainya sama pada setiap eksperimen,4.Eksperimen tersebut harus bebas (independen) satu sama lain, artinya

hasil eksperimen yang satu tidak mempengaruhi hasil eksperimen lainnya.

P(x) = P(X = x) = n!/x!(n – x)! (px qn-x) q = (1 – p)Contoh; Seorang penjual mengatakan bahwa diantara seluruh barang

dagangan, ada yg rusak sebanyak 20%. Seorang pelanggan membeli barang tersebut sebanyak 8 buah dan dipilih scr acak. Jika X = banyaknya barang yg tidak rusak (bagus), maka hitung semua probabilitas untuk memperoleh X, dan probabilitas kumulatifnya.

x n- x p,(x) F(x) = P(X ≤ x)

0 8 1(0,8)0 (0,2)8 = 0,0000

0,0000

1 7 8(0,8)1 (0,2)7 = 0,0001

0,0001

2 6 28(0,8)2 (0,2)6 = 0,0011

0,0012

3 5 56(0,8)3 (0,2)5 = 0,0092

0,0104

4 4 70(0,8)4 (0,2)4 = 0,0459

0,0563

5 3 56(0,8)5 (0,2)3 = 0,1468

0,2031

6 2 28(0,8)6 (0,2)2 = 0,2936

0,4967

7 1 8(0,8)7 (0,2)1 = 0,3355

0,8322

8 0 1(0,8)8 (0,2)0 = 0,1678

1,0000

Rata-rata dan varians Distribusi Binomial

Rata-rata Distribusi Binomial

μ = E(X) = Σxpr(x)= Σx [n!/x!(n – x)!] px qn-x dimana x = 1, 2, 3, …..,

n= n.p

Varian Distribusi Binomialσ2 = E[X – E(X)]2 = E(X – np)2

= n.p.q maka simpangan baku distribusi binomial adalah σ = √n.p.q

Contoh; Satu uang logam dilempar 4 kali, dimana probabilitas muncul angka sama dengan ½ . Hitunglah rata-rata dan simpangan bakunya.

Rata-rata μ = n.p = 4. (1/2) = 2

Simpangan baku σ2 = n.p.q = 4.(1/2).(1/2) = 1 Simpangan baku = 1

n

n

Distribusi Poison

Pada distribusi probabilitas binomial dimana probilitas sukses (p) kurang dari 0,5 dan jumlah eksperimen (n) sangat besar, maka perhitungan dengan menggunakan distribusi binomial hasil perhitungannya akan semakin melenceng. Maka dikembangkan distribusi poisson. Distribusi poisson melibatkan jumlah n yg besar dengan p kecil, biasanya digunakan untuk menghitung nilai probabilitas suatu kejadian dalam suatu selang waktu dan daerah tertentu, misal banyaknya bakteri dalam air bersih, banyaknya presiden yg meninggal akibat kecelakaan, banyaknya kesalahan ketik pada laporan penelitian, dsb. Distribusi poisson digunakan untuk menghitung probabilitas suatu kejadian yg jarang terjadi.Rumus penyelesaian distribusi poisson;

pr(x) = (λx e-λ)/x! dimana λ = rata-rata distribusi (λ = n.p)

Misal; Pemilik pabrik rokok melakukan promosi produk A. Diantara 1.000 batang rokok terdapat 5 batang yang diberi tulisan berhadiah, dan dicampur scr acak. Apabila X menyatakan banyaknya batang rokok yang terdapat tulisan berhadiah dalam satu bungkus rokok merek A, dimana setiap bungkusnya berisi 20 batang. Tentukan berapa P(X=0), P(X=1), P(X=2), P(X=3), P(X=4)

n = 20, p = 5/1.000 = 0,005, dan λ = n.p = 20.(0,005) = 0,1

X 0 1 2 3 4pr(x) 0,9048 0,0905 0,0045 0,0002 0,000

Contoh; Kepala bagian kredit beranggapan bahwa 4% dr nasabahnya tidak puas dengan pelayanan bank tersebut, kemudian dipilh scr acak 50 orang nasabah. Hitung p(x) untuk x = 0, 1, 2, ……, 9, dan distribusi kumulatif F(x) = P(X ≤ x). n = 50, dan λ = n.p = 50(0,04) = 2x p,(x) F(x) = P(X

≤ x)0 0,1353 0,13531 0,2707 0,40602 0,2707 0,67673 0,1804 0,85714 0,0902 0,94735 0,0361 0,98346 0,0120 0,99547 0,0034 0,99888 0,0009 0,99979 0,0002 0,9999

Lampiran Distribusi Poisson

Rata-rata dan Varians Distribusi Poissonμ = E(X) = Σ x. [(λx e-λ)]/x! = λ

σ2 = E(X - λ)2

= λ simpangan baku adalah σ = √λ

∞

n=0

Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan distribusi yg banyak digunakan dalam berbagai penerapan. Distribusi ini merupakan distribusi kontinu yg mensyaratkan variabel yg diukur harus kontinu, misal tinggi badan, berat badan, jml curah hujan, hasil ujian, dsb.

Kurva normalSuatu variabel acak kontinu X, memiliki distribusi berbentuk lonceng disebut variabel acak normal. Persamaan matematika distribusi probabilitas acak normal tergantung pada dua parameter, yaitu μ dan σ atau nilai tengah dan simpangan bakunya. Fungsi kepadatan probabilitas normal adalah:

ƒ(x) = e–½[(x-μ)/σ] untuk –∞ ≤ x ≤ ∞

Apabila nilai-nilai dan diketahui, maka dapat digambarkan kurva normal dgn pasti, bagaimana bentuk dan ketinggian kurva normal.

σ√2π1 2

Kurva normal dgn μ1 ≠ μ2 tetapi σ1 = σ2

Kurva normal dgn μ1 = μ2 tetapi σ1 ≠ σ2

Kurva normal dgn μ1 ≠ μ2 tetapi σ1 ≠ σ2

μ1 = μ2 μ1 μ2 μ1 μ2

Distribusi Binomial

Distribusi Poisonμ1 = μ2

Karakteristik distribusi normal:1. Distribusi normal memiliki dua parameter, yaitu μ dan σ yg masing-masing

menentukan lokasi dan bentuk distribusi,2. Titik tertinggi kurva normal berada pd rata-rata,3. Distribusi normal adalah distribusi yg simetris,4. Simpangan baku (standar deviasi) σ, menentukan lebar kurva. Makin kecil

nilai σ, maka bentuk kurva makin runcing.5. Total luar daerah dibawah kurva normal adalah 1 (hal ini berlaku untuk

seluruh distribusi probabilitas kontinu),6. Jika jarak masing-masing nilai X terhadap rata-rata μ diukur dengan

simpangan baku σ, maka kira-kira 68 berjarak 1σ, 95% berjarak 2σ, dan 99% berjarak 3σ, atau

P(μ - 1σ ≤ X ≤ μ + 1σ) = 68% (68,26%)P(μ - 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) = 95% (95,46%)P(μ - 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) = 99% (99,74%)

μ - 3σ μ - 2σ μ - σ μ μ + σ μ + 2σ μ + 3σ X

Z -3 -2 -1 0 1 2 3

68,26%95,46%99,74%

Distribusi normal Baku (Standar)

Z = (X - μ)/σ

Bila x berada di antara x = x1 dan x = x2, mk variabel acak z akan berada di antara nilai-nilai x tersebut;

z1 = (x1 - μ)/σ dan z2 = (x2- μ)/σ

x1 x2 z1 z2

σ σ=1 μ=0

μ

Variabel normal baku Z mempunyai rata-rata μ = 0 dan standar deviasi σ = 1

Dengan menggunakan tabel normal, hitunglah:a) P(0 ≤ Z ≤ 1,20) b) P(Z ≥ 1,54) c) P(Z ≥ -0,86) d) P(-0,5 ≤ Z ≤ 0,75)

a)

1,20 0

b)

1,54 0

P(0 ≤ Z ≤ 1,20) = 0,3849

P(Z ≥ 1,54) = P(Z ≥ 0 – P(Z ≤ 1,54) = 0,5000 – 0,4382 = 0,0618

c)

-0,86

0

P(Z ≥ -0,86) = P(0 ≤ Z ≤ 0,886) + P(Z ≥ 0) = 0,3051 + 0,5000 = 0,8051d)

0,75 0 -0,5

P(-0,5 ≤ Z ≤ 0,75) = P(0 ≤ Z ≤ 0,5) + P(0 ≤ Z ≤ 0,75) = 0,1915 + 0,2734 = 0,4649

Apabila diketahui bahwa X – N(μ, σ2) = N(12, 4), dan σ = √σ2, maka hitung P(11 ≤ X ≤ 14)

c)

12 11 14

σ = √σ2 = √4 = 2 Z = (X - μ)/σ

Untuk X = 11 Z = (11 -12)/2 = -0,50

Untuk X = 14 Z = (14 – 12)/2 = 1P(11 ≤ X ≤ 14) = P(-0,50 ≤ Z ≤ 1) = P(0 ≤ Z ≤ -0,50 ) + P(0 ≤ Z ≤ 1) = 0,1915 + 0,3413 = 0,5328

-0,5

1

0

XZ

Satu uang logam dilempar sebanyak 4 kali. X menyatakan banyaknya gambar yg muncul. Dengan menggunakan pendekatan fungsi normal hitunglah p(x), maka hitunglah probabilitas bahwa X > 2.

X = 0 p(0) = 0,0625 μ = E(X) = n.p = 4. ½ = 2X = 1 p(1) = 0,2500 σ = √n.p.q = √ 4. ½. ½

= 1X = 2 p(2) = 0,3750X = 3 p(3) = 0,2500 Z = (X - μ)/σ = (2,5 – 2)/ 1

= 0,5X = 4 p(4) = 0,0625

P(X > 2) = P( Z > 0,1) Dengan Binomial P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) = P(Z ≥ 0) - P(0 ≤ Z ≤ 0,5) = 0,2500 + 0,0625 = 0,5000 – 0,1915 = 0,3125 = 0,3085 (selisih 0,004 atau 0,4%)

Perusahaan ban melakukan tes dr produk terbarunya, dengan melakukan pengukuran rata-rata ban tsb rusak. Hasil uji dapat disajikan pada tabel berikut. Apabila yg ditempuh sampai ban rusak 25.300 km dengan simpangan baku 6.100 km. Dengan menggunkan pendekatan distribusi normal. Buat distribusi normal kumulatif sbg pendekatan distribusi frekuensi kumulatifBatas

Kelas (ribu km)

Nilai Tengah

(X)

Banyak Ban (f)

fr F(X) Z Distribusi Normal

Kumulatif F(X)

13 – 15 14 20 0,050 0.050 -1,85 0,032216 – 18 17 40 0,100 0.150 -1,36 0,086919 – 21 20 50 0,125 0.275 -0,87 0,192222 – 24 23 70 0,175 0.450 -0,38 0,352025 – 27 26 80 0,200 0.650 0,11 0,5438 28 – 30 29 60 0,150 0.800 0,61 0,729131 – 33 32 40 0,100 0.900 1,10 0,866534 – 36 35 30 0,075 0.975 1,59 0,944137 - 39 38 10 0,025 1.000 2,08 0,9812Jumlah 400 1,000

Z = (X – μ,)/σ = (X – 25,3)/6,1

Z1 = (14 – 25,3)/6,1 = -1,85 P(Z ≤ -1,85) Z1 = (29 – 25,3)/6,1= 0,61 P(Z ≤ 0,61)

Z2 = (17 – 25,3)/6,1 = -1,36 P(Z ≤ -1,36) Z7 = (32 – 25,3)/6,1= 1,10 P(Z ≤ 1,10)

Z3 = (20 – 25,3)/6,1 = -0,87 P(Z ≤ -0,87) Z8 = (35 – 25,3)/6,1= 1,59 P(Z ≤ 1,59)

Z4 = (23 – 25,3)/6,1 = -0,38 P(Z ≤ -0,38) Z9 = (28 – 25,3)/6,1= 2,08 P(Z ≤ 2,08)

Z5 = (26 – 25,3)/6,1 = 0,11 P(Z ≤ 0,11)

F(X) F(k)

15,5

18,5

21,5

24,5

27,5

30,5

33,5

36,5

39,5

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

F(X) = Distribusi Normal Kumulatif

F(k) = Frekuensi Kumulatif

F(X) F(k)

Skala X