Sistem Persamaan Linear dengan N Bilangan yang Tidak Diketahui

A. Sistem persamaan Linear

Penyelesaian n persamaan linear dan n bilangan yang tidak diketahui

1. Dua persamaan liniear dengan dua bilangan yang tidak diketahui.

a) ................. a1 x + b1 y = k1 ...........(I)

b) ................. a2 x + b2 y = k2 ...........(II)

a1 dan b1 masing – masing adalah koefisien dari x dan y, k1 = konstanta

(I) × 𝑎2 ≫ 𝑎1𝑎2𝑥 + 𝑎2𝑏2𝑦 = 𝑎2𝑘1

(II) ×𝑎1≫𝑎1𝑎2𝑥+ 𝑎1𝑏2𝑦= 𝑎1𝑘2

𝑎1𝑏2−𝑎2𝑏1 𝑦 = 𝑎1𝑘2−𝑎2𝑘1 −

Atau

Asalkan a1 b2 – a2 b1 ≠ 0

Bila 𝐼 𝑥 𝑏 𝐼𝐼 𝑥 𝑏

} maka juga diperoleh

Asalkan a1 b2 – a2 b1 ≠ 0

Bentuk (III) dan (IV) dapat ditulis dalam bentuk determinan sebagai berikut:

Asalkan

2. Tiga persamaan linear dengan tiga bilangan yang tidak diketahui:

a) a1 x + b1y + c1z= k1 ...........(I)

b) a2 x + b2 y + c2z= k2 ...........(II)

c) a3 x + b3 y + c3 z = k3 ...........(III)

a1, b1, dan c1 masing masing adalah koefisien dari x, y,dan z, dan k1 = konstanta

(I) 𝑥 𝑐2 ≫ 𝑎1 𝑐2 𝑥 + 𝑏1 𝑐2 𝑦 + 𝑐1 𝑐2 𝑧 = 𝑘1 𝑐22

(II) 𝑥 𝑐1 ≫ 𝑎2 𝑐1 𝑥 + 𝑏2 𝑐11 𝑦 + 𝑐1 𝑐2 𝑧 = 𝑘2 𝑐1

𝑎1𝑐2 – 𝑎2𝑐1 𝑥 + 𝑏1𝑐2 – 𝑏2𝑐1 𝑦 = 𝑘1𝑐2 – 𝑘2𝑐1−

(a1c2 – a2c1)x + (b1c2 – b2c1)y = k1c2 – k2c1 .........(IV)

(III) 𝑥 𝑐3 ≫ 𝑎2𝑐3𝑥 + 𝑏2𝑐3𝑦 + 𝑐2𝑐3𝑧 = 𝑘2𝑐3

(IV) 𝑥 𝑐2 ≫ 𝑎3𝑐2𝑥 + 𝑏3𝑐2𝑦 + 𝑐3𝑐2𝑧 = 𝑘3𝑐2

𝑎2𝑐3 – 𝑎3𝑐2 𝑥 + (𝑏2𝑐3 – 𝑏3𝑐2)𝑦 = 𝑘2𝑐3 – 𝑘3𝑐2−

(a2c3 – a3c2)x + (b2c3 – b3c2)y = k2c3 – k3c2 .........(V)

Dari [(IV) x (b2c3 – b3c2) – (V) x (b1c2 – b2c1)] diperoleh suatu kesamaan dengan ruas kiri

[(a1c2 – a2c1)(b2c3 – b3c2) – (a2c3 – a3c2)(b1c2 – b2c1)] x dan ruas kanan yaitu:

(k1c2 – k2c1)(b2c3 – b3c2) – (k2c3 – k3c2)(b1c2 – b2c1)

Pada ruas kiri , koefisien dari x adalah

(a1b2c2c3 – a2b2c1c3 – a1b3c2 + a2b3c1c2) – (a2b1c2c3 + a3b1c2 – a2b2c1c3 + a3b2c1c2)

= a1b2c2c3 - a1b3c2 + a2b3c1c2 – a2b1c2c3 + a3b1c2 – a3b2c1c2

=c2(a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 – a3b2c1 – a2b1c3 – a1b3c2)

Sedang ruas kanan menjadi:

(k1b2c2c3 – k2b2c1c3 – k1b3c2 + k2b3c1c2) – (k1b1c2c3 – k3b1c2 – k2b2c1c3 + k3b2c1c2)

= k1b2c2c3 – k1b3c2 + k2b3c1c2 – k2b1c2c3 + k3b1c2 – k3b2c1c2

= c2(k1b2c3 + k2b3c1 + k3b1c2 – k3b2c1 – k2b1c3 – k1b3c2)

Jadi harga x adalah

Asalkan koefisien dari x tidak sama dengan nol

Dengan cara perhitungan yang sama, juga diperoleh:

Asalkan penyebut tidak sama dengan nol.

Dengan demikian maka harga x, y, z yang ditulis dalam bentuk (IV), (VII) dan (VIII) dapat

disajikan dalam bentuk determinan.

D disebut determinan pokok yaitu determinan yang elemen elemennya terdiri dari koefisien

koefisien parameter yang akan ditentukan besarannya

Dx adalah determinan yang diperoleh dari determinan D dimana kolom pertama (yaitu elemen

elemen yang diambil dari koefisien kolom pertama (yaitu elemen elemen yang diambil dari

koefisien koefisien x atau ai) diganti dengan suku suku yang diketahui

Dy diperoleh dari determinan D dimana kolom kedua (koefisien koefisien dari y atau bi)

diganti dengan suku suku yang diketahui (yaitu ki)

Dz diperoleh dari determinan D dimana kolom ketiga (koefisien koefisien dari z atau ci)

diganti dengan suku suku yang diketahui (yaitu ki). Jadi x, y dan z dapat disajikan sebagai

berikut:

𝑥 = 𝐷𝑥

𝐷, 𝑦 =

𝐷𝑦

𝐷 𝑑𝑎𝑛 𝑍 =

𝐷𝑧

𝐷 𝑎𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝐷 ≠ 0

3. Empat persamaan linier dengan empat bilangan-bilangan yang tidak diketahui

A1x + b1y + c1z + d1w = k1

A2x + b2y + c2z + d2w = k2

A3x + b3y + c3z + d3w = k3

A4x + b4y + c4z + d4w = k4

Dengan cara yang sama maka diperoleh

𝑥 =𝐷𝑥

𝐷 , 𝑦 =

𝐷𝑦

𝐷, 𝑧 =

𝐷𝑧

𝐷 𝑑𝑎𝑛 𝑤 =

𝐷𝑤

𝐷

Asalkan D ≠ 0

𝐷 =

𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1

𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2

𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑑3

𝑎4 𝑏4 𝑐4 𝑑4

; 𝐷𝑥 =

𝑘1 𝑏1 𝑐1 𝑑1

𝑘2 𝑏2 𝑐2 𝑑2

𝑘3 𝑏3 𝑐3 𝑑3

𝑘4 𝑏4 𝑐4 𝑑4

𝐷𝑦 =

𝑎1 𝑘1 𝑐1 𝑑1

𝑎2 𝑘2 𝑐2 𝑑2

𝑎3 𝑘3 𝑐3 𝑑3

𝑎4 𝑘4 𝑐4 𝑑4

; 𝐷𝑧 =

𝑎1 𝑏1 𝑘1 𝑑1

𝑎2 𝑏2 𝑘2 𝑑2

𝑎3 𝑏3 𝑘3 𝑑3

𝑎4 𝑏4 𝑘4 𝑑4

; 𝐷𝑤 =

𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑘1

𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑘2

𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑘3

𝑎4 𝑏4 𝑐4 𝑘4

Metode diatas dikenal dengan nama aturan cramer, metode tersebut juga berlaku untuk n

persamaan linier atau linear dengan n bilangan yang tidak diketahui

Penjelasannya sebagai berikut:

Bila determinan pokok D ≠ 0 maka bilangan yang tidak diketahui (parameter dari n

persamaan linier tersebut, dapat ditentukan dengan cara mengganti element-elemen suatu

kolom dari D yang merupakan koefisien-koefisien parameter (yang akan ditentukan

besarannya) dengan suku-suku yang diketahui sehingga diperoleh harga parameter tersebut

sama dengan harga determinan setelah suatu kolom dari D yang merupakan koefisien-

koefisien parameter tersebut diganti dengan suku-suku yang diketahui dibagi dengan harga

determinan pokok D.