7/25/2019 Bab 6 Minggu 9-10 Spl

1/19

UNIVERSITAS GADJAH MADAFAKULTAS MIPA

JURUSAN ILMU KOMPUTER DAN ELEKTRONIKA

ILMU KOMPUTER

RKPMRencana Kegiatan Pembelajaran Mingguan

Modul Pembelajaran Minggu ke 9,10

PENYELESAIAN NUMERIS SISTEM

PERSAMAAN LINIER

oleh

1. Drs. G.P. Dalijo, Dipl. omp.

!. "gus #ihabuddin, #.#i., M.Kom.

Didanai dengan dana BOPTN P3-UGM

Tahun Anggaran 2012

Desember !01!

7/25/2019 Bab 6 Minggu 9-10 Spl

2/19

INTEGRASI NUMERIK

MINGGU KE 7

Dari kalukulus, dapat diketahui bah$a%

&'() *

b

a dxxf )' merupakan limit% Rieman #ums

* +'b) +'a) merupakan teori dasar dalam calculus dengan +'-) sembarang

antideriati( dari ('-).

/agaimana dengan 1

0

!xe dx,

0

)sin' dxxx

ntuk itu, diperlukan metode numerik untuk menghitungn2a. Pada bab ini dijelaskan

mengenai integrasi numerik menggunakan aturan trape3oid, dan aturan simpson

7.1 Aturan Trape!"#a$

&de dari metode ini adalah mengganti ('-) dengan (ungsi pendekatan 2ang

integraln2a bisa dihitung.

Gambar 4.1 &lustrasi metode trape3oidal

Dengan menggunakan polinomial linier% P1'-) *ab

bfaxafxb

+ )')')')'

dan karena% P1'-) *01

1001 )')'

xx

yxxyxx

+

Maka integral dari P1'-) dalam 5a,b6 adalah daerah dengan ba2ang7ba2ang, 2aitu%

81'() * 'b7a)

+

!

)')' bfaf

Contoh soal%

2*('-)

2*P1'-

)

a b

7/25/2019 Bab 6 Minggu 9-10 Spl

3/19

itung integral, +=

1

0 1 x

dxI dengan aturan trape3oidal.

Pen2elesaian%

8 * !

1

+ !1

1* :

;

* 0,49;1:4

?ror% & 7 81* 70,09

ntuk membuat appro-imasi 81'() lebih baik, bagi interal 5a,b6 menjadi

subinteral7interal lebih kecil dan terapkan 81'() untuk trap subinteral, jika ('-)

tidak terlalu linear pada 5a,b6.

Gambar 4.! Pembagian interal 5a, b6 ke dalam subinteral7subinteral

ontoh% untuk (ungsi pada contoh di atas, dengan memakai ! subinteral.

& * +!

1

0 1 x

dx@ +

1

!

1

1 x

dx

8!*

+!

1

!

1 ;!

@

+!!

1 !1

;!

*!:

14* 0,40

& 8!* 70,01

Misalkan jumlah interal n dan h *n

ab merupakan panjang tiap interal.

Aj * a @ jh, ( * 0,1, .... , n adalah titik7titik subinteral.

I'f) * =b

a

xn

xodxxfdxxf )')'

b

2*('-

)

a -1

-!

7/25/2019 Bab 6 Minggu 9-10 Spl

4/19

* +++1 !

1 1)'.....)')'

x

xo

x

x

xn

xndxxfdxxfdxxf

Tn'f)%

+++

++

+

!

)')1'.....

!

)!')1'

!

)1')' xnfxnfh

xfxfh

xfxofh

% [ ])')1'.....)1')' !1

!1 xnfxnfxfxofh ++++

B disebut aturan "nte&ra'" nu(er") Trape!"#a$

Perhitungan eror untuk "turan 8rape3oidal dapat dijabarkan sebagai berikut.

+'-) mempun2ai deriati( kontin2u sampai tingkat ! pada 5a,b6 dan n adalah ineger

positi(. Maka error 2ang terjadi dalam mengintegrasikan I'f) *

b

a

dxxf )' dengan

aturan 8rape3oidal adalah%T

nE 'f) * &'f) Tn'f) * )'C1!

)'!cnf

abh

cn berada pada 5a,b6 dan h *n

ab

Contoh soal%

itung batas error dalam penggunaan aturan trape3oidal untuk integrasi%

& * +1

0 1 x

dxpada 50,16 untuk n*!

Pen2elesaian%

('-) *x+1

1, ('-) * ;

)1'

!

x+

T

nE '() * 71!

!h

( 'cn), 10 cn

/atas dari )'C xf pada 5a,b6 * 50,16 adalah% ma- 10 x ;)1'

!

x+*

!

Maka%>

)!'1!

)'!! hh

fETn =

ntuk n * ! B 0:14,0>

)')'

!

!1

=fETn

"dapun estimasi error untuk aturan 8rape3oidal adalah%

== a

b

xn

xo

T

n fTndxxffTndxxffE )')')')')'

7/25/2019 Bab 6 Minggu 9-10 Spl

5/19

*

++

+

!

1

1

!

)!')1')'

!

)1')0')'

x

x

x

xo

xfxfhdxxf

xfxfhdxxf

@ ..... @

+

xn

xn

xnfxnfhdxxf1 !

)')1')'

.....)'C1!

)'C1!

)' !

;

1

;T

n fh

fh

fE =

dengan n ,.....,1 terletak pada subinteral berurutan%

[ ] [ ] [ ]nn

xxxxxx ,,.....,,,,1!110

[ ])'C.....)'C1!

)' 1

!

n

T

n hfhfh

fE ++= disebut

jumlahan Riemann.

Dan karena% =b

aafbfdxxf )'E)'E)'C

maka%

[ ])'E)'E1!

)'!

afbfh

fETn

= disebut dengan estimasi as2mptotic

?stimasi ini biasa dilambangkan dengan )'F

fET

n

Karena% [ ])'E)'E1!

)')'!

afbfh

fTfI n

= , maka

[ ]

)'

)'E)'E1!

)')'!

fCT

afbfh

fTfI

n

n

=

=,

2ang disebut Aturan Trape!"#a$ ter)!re)'".

Contoh soal%

ntuk +=

1

0 1 x

dxI maka !)1'

1)'E

xxf

+

= , sehingga%

nh

hhfE

T

n

1,

1>)01'

1

)11'

1

1!)'

F !

!! =

=

+

+

=

ntuk n * ! B 01,0)'F

=fETn

7/25/2019 Bab 6 Minggu 9-10 Spl

6/19

7.* Aturan S"(p'!n

&de dari aturan simpson adalah menggunakan interpolasi kuadratik untuk

mendekati ('-) pada5a,b6. Penjabarann2a sebagai berikut.

P!'-) adalah polinomial kuadratik 2ang menginterpolasi ('-) pada a,c * !

ba +dan b.

= b

adxxPfI )'!)'

* dxbfcbab

cxaxcf

bcac

bxaxaf

baca

bxcxb

a

+

+

)'))''

))'')'

))''

))'')'

))''

))''

ika!

)' abh

= , maka didapatkan%

;))''

))'' hdx

baca

bxcxb

a=

#ecara lengkap%

+

+

+= )'!:)';)'! bfba

faf

h

fS

ontoh soal%

itunglah +=

1

0 1 x

dxI dengan aturan simpson.

Pen2elesaian%

!

1

!

=

= ab

h dan [ ] >9::,0;>

!

0

0

70.99;9

70.H!

!.00 ? @ 0

1.00 ? @ 0

;.!! ? 7 1

1.:: ? 7 1

? 7 !

0.H>4

-1@ -!@ -;* 0.H;;H

1.;;1 -1@ 1.!1 -!@ 1.1 -;* 1.000

Didapatkan pen2elesaian dengan ?liminasi Gauss tanpapartial pi(oting%

1

x * 0.!!< !

x * 0.!490 ;

x * 0.;!90, 7;>.;1, ;0.!968

Proses diulangi%

r'1)* 570.000>!, 7;>.;!, ;0.;068

ntuk metode iterasi acobi dan Gauss #eidel, metode koreksi residual dapat

dirumuskan sebagai berikut %

)')')1'

)')'

)')'

R

R

kkk

kk

kk

exx

re$

"xbr

+=

=

=

+