ALE Bab 1 SPL

Aljabar Linear Elementer 2011/2012

BAB I

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang

ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik

potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang ekonomi atau model

regresi statistik sering ditemukan sistem persamaan dengan banyaknya

persamaan sama dengan banyaknya variabel dalam hal memperoleh

jawaban tunggal bagi variabel.

Apabila variabel lebih banyak dari persamaan, seperti dalam

perancangan linear, umumnya diperoleh jawaban yang tak hingga

banyaknya. Namun dalam teknik listrik sering ditemukan variabel lebih

sedikit dari persamaan. Karena beberapa dari persamaan mempunyai

sifat ketergantungan maka jawaban masih mungkin untuk diperoleh.

Dalam bab ini, akan dibahas sistem persamaan linear bukan

hanya yang mempunyai jawaban tunggal, tetapi juga yang mempunyai

jawaban banyak. Untuk membantu penyelesaian masalah dipergunakan

konsep matriks.

Tujuan Instruksional Kusus

Setelah mempelari bab ini diharapkan mahasiswa dapat :

a. Menjelaskan pengertian sistem persamaan linear dan pengertian

penyelesaian sistem persamaan linear

1


b. Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dengan

metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan.

1.1. Pengertian Sistem Persamaan Linear

Definisi : Secara umum sebuah persamaan linear dalam n variabel

x1, x2, …, xn dapat dinyatakan dalam bentuk :

a1x1 a2 x 2 … an xn b,

dengan a1, a2, …, an dan b adalah konstanta real.

Contoh :

Persamaan berikut merupakan persamaan linear :

a. x 3y 7

b. y 5x 3z 1

Persamaan berikut bukan persamaan linear :

c. x2 3y = 5

d. y sin x = 0

Definisi : Himpunan berhingga dari persamaan linear- persamaan

linear dalam n variabel x1, x2, …, xn dinamakan sistem

persamaan linear atau sistem linear. Bentuk umum sistem

persamaan linear (disingkat SPL) yang terdiri dari m persamaan

dan n variabel x1, x2, …, xn dapat ditulis sebagai :

a11 x1 a12 x2 … a1n xn b1

a21 x1 a22 x2 … a2n xn b2

:

am1x1 am2 x2 … amn xn bm,

2


dengan aij dan bi (1 i m, 1 j n) adalah konstanta-konstanta

real.

Contoh :

a. SPL 2 persamaan dan 2 variabel :

x1 2 x2 5

2 x1 3 x2 8

b. SPL 2 persamaan 3 variabel :

x1 x2 x3 2

2 x1 x2 x3 4

c. SPL 3 persamaan 2 variabel :

x1 x2 2

x1 x2 1

x1 4

Sebuah sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam bentuk

matriks.

Definisi : Matriks adalah suatu susunan segiempat siku-siku dari

bilangan-bilangan, susunan tersebut disajikan di dalam kurung

besar atau kurung siku. Bilangan-bilangan itu disebut entri atau

elemen dari matriks.

Bentuk umum suatu matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom

adalah

3


A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

atau A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

Bentuk matriks tersebut dapat disajikan dengan notasi matriks, yaitu

A = ija dengan i = 1,2,...,m dan j=1,2,...,n berturut-turut

menunjukkan baris dan kolom dari matriks A.

Suatu matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut

matriks berukuran mxn dan dilambangkan dengan Am n atau (aij)m

n, ditulis singkat A = ija . Dalam hal ini aij dinamakan elemen ke-

ij dari matriks A. Matriks A = ija dengan m = n dikatakan sebagai

matriks persegi.

Definisi : Suatu sistem persamaan linear dengan m persaman dan n

variabel-variabel yang tidak diketahui x1, x2, …, xn dapat

dinyatakan sebagai matriks

A X B

dengan Am x n = ija , Xn x 1 =

jx , dan Bm x 1 = ib . A disebut

matriks koefisien.

Jika matriks B pada SPL di atas diganti dengan matriks nol O, maka

sistem persamaan linear tersebut dikatakan homogen, jika tidak

disebut SPL non homogen.

Contoh :

4


a. SPL non homogen berikut

x1 x2 x3 2

2x1 x2 x3 4

disajikan dalam bentuk matriks

4

2.

112

311

3

2

1

x

x

x

.

b. SPL homogen berikut

x1 x2 0

x1 x2 0


0

0.

11

11

2

1

x

x

.

1.2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Sebuah penyelesaian (solution) persamaan linear a1x1 + a2 x2

+ … + anxn =b adalah sebuah urutan dari n bilangan s1, s2, …, sn

sehingga persamaan tersebut dipenuhi jika kita mensubstitusikan x1 =

s1, x2 = s2, …, xn = sn. Himpunan semua penyelesaian tersebut

dinamakan himpunan penyelesaiannya.

Penyelesaian SPL adalah sebuah tupel n terurut bilangan-

bilangan x1, x2, …, xn yang memenuhi semua persamaan dalam

SPL tersebut.

Contoh :

a. Pasangan terurut (1,2) adalah penyelesaian dari sistem

x1 2x 2 5

5


2x1 3x 2 8

karena : 1(1) + 2(2) = 5 dan 2(1) + 3(2) = 8.

Tetapi, pasangan terurut (3,1) bukan penyelesaian dari SPL tersebut

karena tidak memenuhi persamaan kedua, yakni 2(3) + 3(1) 8.

c. Tripel terurut (2,0,0) adalah penyelesaian dari SPL

x1 x2 x3 2

2x1 + x2 x3 4

karena 1(2) – 1(0) + 1(0) = 2

2(2) + 1(0) – 1(0) = 4

Periksalah bahwa tripel terurut (2,1,1), (2,2,2), (2,3,3), .... juga

merupakan penyelesaian SPL tersebut. Jadi SPL tersebut mempunyai

banyak penyelesaian. Jika adalah sebarang bilangan real, maka

terlihat bahwa tripel terurut (2,,) adalah penyelesaian SPL tersebut.

Tidak semua sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian,

hal ini dapat ditunjukkan pada sistem

x1 x2 2

x1 x2 1

x1 4

Jika persamaan ketiga x1= 4 disubstitusikan ke persamaan pertama dan

kedua, maka x2 harus memenuhi :

4 x2 = 2

4 x2 = 1

Karena tidak ada bilangan real yang memenuhi kedua persamaan ini,

maka SPL ini tidak mempunyai penyelesaian.

6


Sebuah SPL yang tidak mempunyai penyelesaian disebut tak

konsisten (inconsistent). Sebuah SPL yang mempunyai paling sedikit

satu penyelesaian disebut konsisten (consistent).

Dari contoh di atas, banyaknya penyelesaian suatu SPL dibedakan 3

yaitu :

1. SPL mempunyai satu penyelesaian (penyelesaian tunggal)

2. SPL mempunyai banyak penyelesaian (tak terhingga

penyelesaian)

3. SPL tidak mempunyai penyelesaian

SPL homogen AX 0 selalu mempunyai penyelesaian (konsisten)

yaitu X0, yang dinamakan dengan penyelesaian trivial. Jika ada

penyelesaian lain (yang tidak nol), maka penyelesaian tersebut

dinamakan penyelesaian tak trivial.

Contoh :

2x1 + x 2 - 3 x 3 = 0

x 1 + 2 x 2 = 0

x 2 + x 3 = 0

SPL homogen di atas mempunyai penyelesaian tak trivial yaitu :

x 1 = 2 x 3

x 2 = x 3

Jika x3 = t, dengan t bilangan real, maka x1 = 2t, x2 = t sehingga

himpunan penyelesaiannya adalah {(t,2t,-t)} = {t(1,2,-1)}. Ini

7


menunjukkan SPL di atas mempunyai tak terhingga banyak

penyelesaian, sebanyak bilangan real t. Š

1.3. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Metode

Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss-Jordan

Definisi : Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris (row-

echelon form) jika memenuhi :

a. Jika terdapat baris yang tidak semua elemennya nol, maka

elemen pertama yang tidak nol adalah 1, dan disebut 1 utama

(pivot)

b. Jika terdapat baris yang semua elemennya nol, maka baris ini

diletakkan pada baris paling bawah.

c. Pada sebarang dua baris yang berurutan yang tidak semua

elemennya nol, 1 utama pada baris yang bawah terletak di

sebelah kanan dari 1 utama baris di atasnya.

Contoh :

100

310

241

dan

00000

21000

31100

50231

adalah bentuk eselon baris,

sedangkan [1 0 00 0 00 0 1 ] dan

[1 2 60 0 10 1 2 ] bukan bentuk eselon baris

Definisi : Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris

tereduksi (reduced row-echelon form) jika matriks tersebut

8


dalam bentuk eselon baris dan pada masing-masing kolom yang

memuat 1 utama, elemen 1 merupakan satu-satunya elemen

yang tidak nol.

Contoh.

000

100

010

001

dan

0000

1000

0210

adalah bentuk eselon baris

tereduksi,

sedangkan [0 1 3 50 0 1 20 0 0 0 ] bukan bentuk eselon baris tereduksi.

Matriks Yang Diperbesar

Ingat bahwa suatu sistem persamaan linear dengan m persaman dan n

variabel-variabel yang tidak diketahui x1, x2, …, xn dapat dinyatakan

sebagai matriks

A X B

dengan Am n = ija , Xn x 1 =

jx , dan Bm x 1 = ib . A disebut matriks

koefisien.

Untuk menyelesaikan SPL tersebut dibentuk matriks yang diperbesar

(augmented matrix) [A|b]

Contoh.

SPL non homogen berikut

x1 x2 x3 2

9


2x1 x2 x3 4


4

2.

112

311

3

2

1

x

x

x

.

Matriks yang diperbesar dari SPL tersebut adalah [1 −1 3 22 −1 −1 4 ]

Metode dasar untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

adalah dengan menggantikan sistem yang ada dengan suatu sistem

baru yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama (sistem

yang ekivalen) tetapi penyelesaiannya lebih mudah. Sistem baru ini

biasanya diperoleh melalui beberapa langkah dengan cara menerapkan

tiga jenis operasi berikut untuk mengeliminasi variabel-variabel yang

tidak diketahui secara sistematis.

1. Menukar posisi dua persamaan

2. Mengalikan persamaan dengan bilangan real k dengan k ¿0.

3. Menambahkan kelipatan satu persamaan ke persamaan lainnya.

Karena baris-baris dari matriks yang diperbesar [A|b] bersesuaian

dengan persamaan-persamaan dalam sistem yang berkaitan, ketiga

operasi ini bersesuaian dengan operasi-operasi berikut pada baris-baris

matriks yang diperbesar.

1. Menukar posisi dua baris

2. Mengalikan baris dengan bilangan real k dengan k ¿0.

3. Menambahkan kelipatan satu baris ke baris lainnya

Operasi-operasi tersebut disebut dengan operasi baris elementer.

10


Contoh :

Selesaikan SPL berikut :

x + y + 2 z = 9

2 x + 4 y 3 z = 1

3 x + 6 y 5 z = 0

Pada kolom kiri di bawah ini, SPL diselesaikan dengan melakukan

operasi terhadap persamaan dalam sistem, sedangkan pada kolom

kanan SPL yang sama diselesaikan dengan melakukan operasi terhadap

baris pada matriks diperbesarnya.

0563

1342

92

zyx

zyx

zyx

0563

1342

9211

0563

1772

92

zyx

zy

zyx

0563

17720

9211

27113

1772

92

zy

zy

zyx

271130

17720

9211

11

Tambahkan 2 kali persamaan pertama ke persamaan kedua untuk memperoleh

Tambahkan 2 kali baris pertama ke baris kedua untuk memperoleh

Tambahkan 3 kali persamaan pertama ke persamaan ketiga untuk memperoleh

Tambahkan 3 kali baris pertama ke baris ketiga untuk memperoleh

Kalikan persamaan kedua dengan ½ untuk memperoleh

Kalikan baris kedua dengan ½ untuk memperoleh


27113

92

217

27

zy

zy

zyx

271130

10

9211

217

27

23

21

217

27

92

z

zy

zyx

23

21

217

27

00

10

9211

3

92

217

27

z

zy

zyx

3100

10

9211

217

27

3217

27

235

211

z

zy

zx

3100

10

01

217

27

235

211

3

2

1

z

y

x

3100

2010

1001

Penyelesaian x = 1, y = 2, dan z = 3 kini telah diperoleh.

12

Tambahkan 3 kali persamaan kedua ke persamaan ketiga untuk memperoleh

Tambahkan 3 kali baris kedua ke baris ketiga untuk memperoleh

Kalikan persamaan ketiga dengan 2 untuk memperoleh

Kalikan baris ketiga dengan 2 untuk memperoleh

Tambahkan 1 kali persamaan kedua ke persamaan pertama untuk memperoleh

Tambahkan 1 kali baris kedua ke baris pertama untuk memperoleh

Tambahkan 211

kali persamaan ketiga ke persamaan pertama

dan 27

kali persamaan ketiga ke persamaan kedua untuk memperoleh

Tambahkan 211

kali baris ketiga

ke baris pertama dan 27

kali baris ketiga ke baris kedua untuk memperoleh


Contoh di atas menggambarkan bagaimana operasi baris elementer

dapat digunakan untuk menyelesaikan SPL. Untuk mempersingkat

penulisan, operasi baris elementer di atas dinotasikan sebagai berikut :

1. Menukar baris ke-i dan baris ke-j, dinyatakan dengan Bij.

2. Menggandakan setiap elemen baris ke i dengan skalar 0k ,

dinyatakan dengan Bi(k).

3. Menambahkan k kali elemen-elemen baris ke-j (k skalar) kepada

baris ke-i, dinyatakan dengan Bij(k).

Jika operasi baris elementer dikenakan pada suatu matriks untuk

memperoleh matriks yang lain, maka matriks awal dan hasilnya

dihubungkan dengan tanda .

Metode Eliminasi Gauss

Definisi : Proses menggunakan operasi baris elementer untuk

mengubah suatu SPL dalam bentuk matriks diperbesar [A|b] ke

bentuk eselon baris disebut Eliminasi Gauss.

Contoh :


x1 2 x2 4

3 x1 x2 2

4 x1 x2 6

13


SPL di atas diubah ke bentuk matriks AX b dengan

A=[1 23 −14 1 ]

2

1

x

xX

dan

6

2

4

b

.

Selanjutnya dibentuk matriks diperbesar [ A|b ] =

614

213

421

.

Dengan operasi baris elementer , diperoleh

614

213

421

)3(21

B

614

1070

421

)4(31

B

1070

1070

421

)1(32

B

000

1070

421

)(71

2

B

000

10

421

710

Jika dikembalikan seperti saat penyusunan AX b, matriks terakhir

menunjukkan SPL :

710

2

21 42

x

xx

SPL terakhir yang diperoleh merupakan SPL yang ekivalen dengan SPL

awal.

Dari SPL terakhir diperoleh penyelesaian :

x2=107 , dan selanjutnya diperoleh juga

x1=87

14


Jadi penyelesaian dari SPL tersebut adalah ( x1 , x2 )=( 8

7, 107)

Contoh :

Selesaikan SPL berikut : x1 + 2x2 + x3 = 1

2x1 x2 + x3 = 2

4x1 + 3x2 + 3x3 = 4

3x1 + x2 + 2x3 = 3

Penyelesaian :


213

334

112

121

A

,

X=[ x1x2x3 ]dan

3

4

2

1

b

.

Selanjutnya dibentuk matriks [ A|b ] =

3213

4334

2112

1121

.

Dengan operasi baris elementer B21(-2), B31(-4), B41(-3), B32(-1), B42(-1),

B2(-1/5) kita dapat memperoleh bentuk eselon baris dari matriks [ A|b ]

yaitu

15


0000

0000

05/110

1121

Jika kita kembalikan seperti saat penyusunan AX b, matriks terakhir

menunjukkan SPL :

0x5

1x

1xx2x

32

321

SPL terakhir yang diperoleh merupakan SPL yang ekivalen dengan SPL

awal.


31

32

x5

31x

x5

1x

Jika x3 = t, maka t5

1x2

dan t5

31x1

, dengan t sebarang bilangan

real.

Jadi penyelesaian dari SPL tersebut adalah

( x1 , x2 , x3 )=(1−35t ,− 1

5t ,t )=(1,0,0 )+ t(− 3

5,−1

5,1)

Metode Eliminasi Gauss-Jordan

Definisi : Proses menggunakan operasi baris elementer untuk

mengubah suatu SPL dalam bentuk matriks diperbesar [A|b] ke

bentuk eselon baris tereduksi disebut Eliminasi Gauss-Jordan.

Contoh :


16


x1 2 x2 4

3 x1 x2 2

4 x1 x2 6


A=[1 23 −14 1 ]

,

2

1

x

xX

dan

6

2

4

b

. Selanjutnya dibentuk matriks diperbesar [ A|b ] =

614

213

421

.

Dengan operasi baris elementer , diperoleh

614

213

421

)3(21

B

614

1070

421

)4(31

B

1070

1070

421

)1(32

B

000

1070

421

)(71

2

B

000

10

421

710

)2(12

B

000

10

01

71078

Jika dikembalikan seperti saat penyusunan AX b, diperoleh SPL yang

ekivalen dengan SPL awal dan sekaligus merupakan penyelesaian dari

SPL tersebut, yaitu :

710

2

1 4

x

x

Jadi penyelesaian dari SPL tersebut adalah ( x1 , x2 )=(4 , 10

7)

Contoh :

Selesaikan SPL berikut dengan eliminasi Gauss-Jourdan

x1 + x 2 x 3 + 3 x 4 = 0

17


3 x 1 + x 2 x 3 x 4 = 0

2 x 1 x 2 2 x 3 x 4 = 0

Penyelesaian :

Langkah pertama adalah menbentuk matriks diperbesar [ A|b ] dari SPL

di atas, yaitu:

01212

01113

03111

Selanjutnya dengan melakukan operasi baris elementer berikut :

B21(3), B31(-2), B32(-1/4), B2(1/4), B3(-1/3), B23(1), B13(1), B12(-1), B1(-1)

diperoleh matriks:

01100

01010

01001

Dari matriks di atas diperoleh SPL yang ekivalen dengan SPL awal, yaitu

:

x3 – x4 = 0

x2 + x4 = 0

x1 – x4 = 0


x 3 = x 4

x 2 = x 4

x1 = x4

Misal x4 = t dengan t sebarang bilangan real maka x1 = t, x2 = t, x3 =

t.

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah X = { t(1,-1, 1, 1)}.

18


Eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan dapat digunakan

untuk semua sistem persamaan linear tanpa tergantung pada

banyaknya persamaan dan banyaknya variabel.

19

ALE Bab 1 SPL

Documents

Transcript of ALE Bab 1 SPL