Sistem Persamaan Linear dengan N Bilangan yang Tidak Diketahui
A. Sistem persamaan Linear
Penyelesaian n persamaan linear dan n bilangan yang tidak diketahui
1. Dua persamaan liniear dengan dua bilangan yang tidak diketahui.
a) ................. a1 x + b1 y = k1 ...........(I)
b) ................. a2 x + b2 y = k2 ...........(II)
a1 dan b1 masing β masing adalah koefisien dari x dan y, k1 = konstanta
(I) Γ π2 β« π1π2π₯ + π2π2π¦ = π2π1
(II) Γπ1β«π1π2π₯+ π1π2π¦= π1π2
π1π2βπ2π1 π¦ = π1π2βπ2π1 β
Atau
Asalkan a1 b2 β a2 b1 β 0
Bila πΌ π₯ π πΌπΌ π₯ π
} maka juga diperoleh
Asalkan a1 b2 β a2 b1 β 0
Bentuk (III) dan (IV) dapat ditulis dalam bentuk determinan sebagai berikut:
Asalkan
2. Tiga persamaan linear dengan tiga bilangan yang tidak diketahui:
a) a1 x + b1y + c1z= k1 ...........(I)
b) a2 x + b2 y + c2z= k2 ...........(II)
c) a3 x + b3 y + c3 z = k3 ...........(III)
a1, b1, dan c1 masing masing adalah koefisien dari x, y,dan z, dan k1 = konstanta
(I) π₯ π2 β« π1 π2 π₯ + π1 π2 π¦ + π1 π2 π§ = π1 π22
(II) π₯ π1 β« π2 π1 π₯ + π2 π11 π¦ + π1 π2 π§ = π2 π1
π1π2 β π2π1 π₯ + π1π2 β π2π1 π¦ = π1π2 β π2π1β
(a1c2 β a2c1)x + (b1c2 β b2c1)y = k1c2 β k2c1 .........(IV)
(III) π₯ π3 β« π2π3π₯ + π2π3π¦ + π2π3π§ = π2π3
(IV) π₯ π2 β« π3π2π₯ + π3π2π¦ + π3π2π§ = π3π2
π2π3 β π3π2 π₯ + (π2π3 β π3π2)π¦ = π2π3 β π3π2β
(a2c3 β a3c2)x + (b2c3 β b3c2)y = k2c3 β k3c2 .........(V)
Dari [(IV) x (b2c3 β b3c2) β (V) x (b1c2 β b2c1)] diperoleh suatu kesamaan dengan ruas kiri
[(a1c2 β a2c1)(b2c3 β b3c2) β (a2c3 β a3c2)(b1c2 β b2c1)] x dan ruas kanan yaitu:
(k1c2 β k2c1)(b2c3 β b3c2) β (k2c3 β k3c2)(b1c2 β b2c1)
Pada ruas kiri , koefisien dari x adalah
(a1b2c2c3 β a2b2c1c3 β a1b3c2 + a2b3c1c2) β (a2b1c2c3 + a3b1c2 β a2b2c1c3 + a3b2c1c2)
= a1b2c2c3 - a1b3c2 + a2b3c1c2 β a2b1c2c3 + a3b1c2 β a3b2c1c2
=c2(a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 β a3b2c1 β a2b1c3 β a1b3c2)
Sedang ruas kanan menjadi:
(k1b2c2c3 β k2b2c1c3 β k1b3c2 + k2b3c1c2) β (k1b1c2c3 β k3b1c2 β k2b2c1c3 + k3b2c1c2)
= k1b2c2c3 β k1b3c2 + k2b3c1c2 β k2b1c2c3 + k3b1c2 β k3b2c1c2
= c2(k1b2c3 + k2b3c1 + k3b1c2 β k3b2c1 β k2b1c3 β k1b3c2)
Jadi harga x adalah
Asalkan koefisien dari x tidak sama dengan nol
Dengan cara perhitungan yang sama, juga diperoleh:
Asalkan penyebut tidak sama dengan nol.
Dengan demikian maka harga x, y, z yang ditulis dalam bentuk (IV), (VII) dan (VIII) dapat
disajikan dalam bentuk determinan.
D disebut determinan pokok yaitu determinan yang elemen elemennya terdiri dari koefisien
koefisien parameter yang akan ditentukan besarannya
Dx adalah determinan yang diperoleh dari determinan D dimana kolom pertama (yaitu elemen
elemen yang diambil dari koefisien kolom pertama (yaitu elemen elemen yang diambil dari
koefisien koefisien x atau ai) diganti dengan suku suku yang diketahui
Dy diperoleh dari determinan D dimana kolom kedua (koefisien koefisien dari y atau bi)
diganti dengan suku suku yang diketahui (yaitu ki)
Dz diperoleh dari determinan D dimana kolom ketiga (koefisien koefisien dari z atau ci)
diganti dengan suku suku yang diketahui (yaitu ki). Jadi x, y dan z dapat disajikan sebagai
berikut:
π₯ = π·π₯
π·, π¦ =
π·π¦
π· πππ π =
π·π§
π· ππ πππππ π· β 0
3. Empat persamaan linier dengan empat bilangan-bilangan yang tidak diketahui
A1x + b1y + c1z + d1w = k1
A2x + b2y + c2z + d2w = k2
A3x + b3y + c3z + d3w = k3
A4x + b4y + c4z + d4w = k4
Dengan cara yang sama maka diperoleh
π₯ =π·π₯
π· , π¦ =
π·π¦
π·, π§ =
π·π§
π· πππ π€ =
π·π€
π·
Asalkan D β 0
π· =
π1 π1 π1 π1
π2 π2 π2 π2
π3 π3 π3 π3
π4 π4 π4 π4
; π·π₯ =
π1 π1 π1 π1
π2 π2 π2 π2
π3 π3 π3 π3
π4 π4 π4 π4
π·π¦ =
π1 π1 π1 π1
π2 π2 π2 π2
π3 π3 π3 π3
π4 π4 π4 π4
; π·π§ =
π1 π1 π1 π1
π2 π2 π2 π2
π3 π3 π3 π3
π4 π4 π4 π4
; π·π€ =
π1 π1 π1 π1
π2 π2 π2 π2
π3 π3 π3 π3
π4 π4 π4 π4
Metode diatas dikenal dengan nama aturan cramer, metode tersebut juga berlaku untuk n
persamaan linier atau linear dengan n bilangan yang tidak diketahui
Penjelasannya sebagai berikut:
Bila determinan pokok D β 0 maka bilangan yang tidak diketahui (parameter dari n
persamaan linier tersebut, dapat ditentukan dengan cara mengganti element-elemen suatu
kolom dari D yang merupakan koefisien-koefisien parameter (yang akan ditentukan
besarannya) dengan suku-suku yang diketahui sehingga diperoleh harga parameter tersebut
sama dengan harga determinan setelah suatu kolom dari D yang merupakan koefisien-
koefisien parameter tersebut diganti dengan suku-suku yang diketahui dibagi dengan harga
determinan pokok D.
Top Related