Download - SPL m persamaan linear dengan n bilangan yang tidak diketahui part 1

Transcript

Sistem Persamaan Linear dengan N Bilangan yang Tidak Diketahui

A. Sistem persamaan Linear

Penyelesaian n persamaan linear dan n bilangan yang tidak diketahui

1. Dua persamaan liniear dengan dua bilangan yang tidak diketahui.

a) ................. a1 x + b1 y = k1 ...........(I)

b) ................. a2 x + b2 y = k2 ...........(II)

a1 dan b1 masing – masing adalah koefisien dari x dan y, k1 = konstanta

(I) Γ— π‘Ž2 ≫ π‘Ž1π‘Ž2π‘₯ + π‘Ž2𝑏2𝑦 = π‘Ž2π‘˜1

(II) Γ—π‘Ž1β‰«π‘Ž1π‘Ž2π‘₯+ π‘Ž1𝑏2𝑦= π‘Ž1π‘˜2

π‘Ž1𝑏2βˆ’π‘Ž2𝑏1 𝑦 = π‘Ž1π‘˜2βˆ’π‘Ž2π‘˜1 βˆ’

Atau

Asalkan a1 b2 – a2 b1 β‰  0

Bila 𝐼 π‘₯ 𝑏 𝐼𝐼 π‘₯ 𝑏

} maka juga diperoleh

Asalkan a1 b2 – a2 b1 β‰  0

Bentuk (III) dan (IV) dapat ditulis dalam bentuk determinan sebagai berikut:

Asalkan

2. Tiga persamaan linear dengan tiga bilangan yang tidak diketahui:

a) a1 x + b1y + c1z= k1 ...........(I)

b) a2 x + b2 y + c2z= k2 ...........(II)

c) a3 x + b3 y + c3 z = k3 ...........(III)

a1, b1, dan c1 masing masing adalah koefisien dari x, y,dan z, dan k1 = konstanta

(I) π‘₯ 𝑐2 ≫ π‘Ž1 𝑐2 π‘₯ + 𝑏1 𝑐2 𝑦 + 𝑐1 𝑐2 𝑧 = π‘˜1 𝑐22

(II) π‘₯ 𝑐1 ≫ π‘Ž2 𝑐1 π‘₯ + 𝑏2 𝑐11 𝑦 + 𝑐1 𝑐2 𝑧 = π‘˜2 𝑐1

π‘Ž1𝑐2 – π‘Ž2𝑐1 π‘₯ + 𝑏1𝑐2 – 𝑏2𝑐1 𝑦 = π‘˜1𝑐2 – π‘˜2𝑐1βˆ’

(a1c2 – a2c1)x + (b1c2 – b2c1)y = k1c2 – k2c1 .........(IV)

(III) π‘₯ 𝑐3 ≫ π‘Ž2𝑐3π‘₯ + 𝑏2𝑐3𝑦 + 𝑐2𝑐3𝑧 = π‘˜2𝑐3

(IV) π‘₯ 𝑐2 ≫ π‘Ž3𝑐2π‘₯ + 𝑏3𝑐2𝑦 + 𝑐3𝑐2𝑧 = π‘˜3𝑐2

π‘Ž2𝑐3 – π‘Ž3𝑐2 π‘₯ + (𝑏2𝑐3 – 𝑏3𝑐2)𝑦 = π‘˜2𝑐3 – π‘˜3𝑐2βˆ’

(a2c3 – a3c2)x + (b2c3 – b3c2)y = k2c3 – k3c2 .........(V)

Dari [(IV) x (b2c3 – b3c2) – (V) x (b1c2 – b2c1)] diperoleh suatu kesamaan dengan ruas kiri

[(a1c2 – a2c1)(b2c3 – b3c2) – (a2c3 – a3c2)(b1c2 – b2c1)] x dan ruas kanan yaitu:

(k1c2 – k2c1)(b2c3 – b3c2) – (k2c3 – k3c2)(b1c2 – b2c1)

Pada ruas kiri , koefisien dari x adalah

(a1b2c2c3 – a2b2c1c3 – a1b3c2 + a2b3c1c2) – (a2b1c2c3 + a3b1c2 – a2b2c1c3 + a3b2c1c2)

= a1b2c2c3 - a1b3c2 + a2b3c1c2 – a2b1c2c3 + a3b1c2 – a3b2c1c2

=c2(a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 – a3b2c1 – a2b1c3 – a1b3c2)

Sedang ruas kanan menjadi:

(k1b2c2c3 – k2b2c1c3 – k1b3c2 + k2b3c1c2) – (k1b1c2c3 – k3b1c2 – k2b2c1c3 + k3b2c1c2)

= k1b2c2c3 – k1b3c2 + k2b3c1c2 – k2b1c2c3 + k3b1c2 – k3b2c1c2

= c2(k1b2c3 + k2b3c1 + k3b1c2 – k3b2c1 – k2b1c3 – k1b3c2)

Jadi harga x adalah

Asalkan koefisien dari x tidak sama dengan nol

Dengan cara perhitungan yang sama, juga diperoleh:

Asalkan penyebut tidak sama dengan nol.

Dengan demikian maka harga x, y, z yang ditulis dalam bentuk (IV), (VII) dan (VIII) dapat

disajikan dalam bentuk determinan.

D disebut determinan pokok yaitu determinan yang elemen elemennya terdiri dari koefisien

koefisien parameter yang akan ditentukan besarannya

Dx adalah determinan yang diperoleh dari determinan D dimana kolom pertama (yaitu elemen

elemen yang diambil dari koefisien kolom pertama (yaitu elemen elemen yang diambil dari

koefisien koefisien x atau ai) diganti dengan suku suku yang diketahui

Dy diperoleh dari determinan D dimana kolom kedua (koefisien koefisien dari y atau bi)

diganti dengan suku suku yang diketahui (yaitu ki)

Dz diperoleh dari determinan D dimana kolom ketiga (koefisien koefisien dari z atau ci)

diganti dengan suku suku yang diketahui (yaitu ki). Jadi x, y dan z dapat disajikan sebagai

berikut:

π‘₯ = 𝐷π‘₯

𝐷, 𝑦 =

𝐷𝑦

𝐷 π‘‘π‘Žπ‘› 𝑍 =

𝐷𝑧

𝐷 π‘Žπ‘ π‘Žπ‘™π‘˜π‘Žπ‘› 𝐷 β‰  0

3. Empat persamaan linier dengan empat bilangan-bilangan yang tidak diketahui

A1x + b1y + c1z + d1w = k1

A2x + b2y + c2z + d2w = k2

A3x + b3y + c3z + d3w = k3

A4x + b4y + c4z + d4w = k4

Dengan cara yang sama maka diperoleh

π‘₯ =𝐷π‘₯

𝐷 , 𝑦 =

𝐷𝑦

𝐷, 𝑧 =

𝐷𝑧

𝐷 π‘‘π‘Žπ‘› 𝑀 =

𝐷𝑀

𝐷

Asalkan D β‰  0

𝐷 =

π‘Ž1 𝑏1 𝑐1 𝑑1

π‘Ž2 𝑏2 𝑐2 𝑑2

π‘Ž3 𝑏3 𝑐3 𝑑3

π‘Ž4 𝑏4 𝑐4 𝑑4

; 𝐷π‘₯ =

π‘˜1 𝑏1 𝑐1 𝑑1

π‘˜2 𝑏2 𝑐2 𝑑2

π‘˜3 𝑏3 𝑐3 𝑑3

π‘˜4 𝑏4 𝑐4 𝑑4

𝐷𝑦 =

π‘Ž1 π‘˜1 𝑐1 𝑑1

π‘Ž2 π‘˜2 𝑐2 𝑑2

π‘Ž3 π‘˜3 𝑐3 𝑑3

π‘Ž4 π‘˜4 𝑐4 𝑑4

; 𝐷𝑧 =

π‘Ž1 𝑏1 π‘˜1 𝑑1

π‘Ž2 𝑏2 π‘˜2 𝑑2

π‘Ž3 𝑏3 π‘˜3 𝑑3

π‘Ž4 𝑏4 π‘˜4 𝑑4

; 𝐷𝑀 =

π‘Ž1 𝑏1 𝑐1 π‘˜1

π‘Ž2 𝑏2 𝑐2 π‘˜2

π‘Ž3 𝑏3 𝑐3 π‘˜3

π‘Ž4 𝑏4 𝑐4 π‘˜4

Metode diatas dikenal dengan nama aturan cramer, metode tersebut juga berlaku untuk n

persamaan linier atau linear dengan n bilangan yang tidak diketahui

Penjelasannya sebagai berikut:

Bila determinan pokok D β‰  0 maka bilangan yang tidak diketahui (parameter dari n

persamaan linier tersebut, dapat ditentukan dengan cara mengganti element-elemen suatu

kolom dari D yang merupakan koefisien-koefisien parameter (yang akan ditentukan

besarannya) dengan suku-suku yang diketahui sehingga diperoleh harga parameter tersebut

sama dengan harga determinan setelah suatu kolom dari D yang merupakan koefisien-

koefisien parameter tersebut diganti dengan suku-suku yang diketahui dibagi dengan harga

determinan pokok D.