Sistem bilangan real ( matematika i )

Sistem Bilangan Real

Matematika I

Saiful Khair, S.Si, M.Si

Universitas Teknologi Sumbawa

September 2014

Saiful Khair, S.Si, M.Si Matematika I

Sistem Bilangan Real PendahuluanPertidaksamaan dan Nilai Mutlak

Bilangan merupakan konsep yang digunakan untuk pencacahandan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untukmewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambangbilangan.Jenis-jenis bilangan:

1 Bilangan asli dilambangkan dengan N = {1, 2, 3, ...} .2 Bilangan bulat dilambangkan dengan

Z = {...,−2,−1, 0, 1, 2, ...} .3 Bilangan rasional: bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk a

bdengan a, b ∈ Z dengan b 6= 0. Secara matematis ditulis,

Q ={ ab|a ∈ Z, b ∈ Z, b 6= 0

}4 Bilangan irasional: Bilangan yang tidak dapat dituliskandalam bentuk bilangan desimal yang berulang/ bukanbilangan rasional. Contoh:

√2,π.

5 Bilangan real: Sekumpulan bilangan rasional dan irasionalbeserta negatif dan nol.



Hubungan antara jenis-jenis bilangan:



Desimal berulang adalah bilangan rasional.Contoh: Perlihatkan bahwa x = 0.136136136... adalah bilanganrasional.Jawab: Misalkan x = 0.136136136...maka 1000x = 136, 136136....kemudian kurangkan x dari 1000x diperoleh:

1000x = 136, 136136...x = 0, 136136...

999x = 136

x =136999

−



Operasi Pada Bilangan

1 Hukum Komutatif: x + y = y + x dan xy = yx .2 Hukum Asosiatif: x + (y + z) = (x + y) + z danx (yz) = (xy) z .

3 Hukum Distributif: x (y + z) = xy + xz4 Memiliki Elemen Identitas:

Terhadap penjumlahan: 0 sebab x + 0 = xTerhadap perkalian: 1 sebab 1.x = x

5 Invers (balikan). Setiap bilangan real x memiliki invers/balikanterhadap operasi aditif dan multiplikatif. Untuk operasi aditifyaitu negatif (−x) yang memenuhi x + (−x) = 0 dan untukoperasi multiplikatif, yaitu

1xyang memenuhi x .

1x= 1.



Sifat-sifat Urutan

1 Trikotomi: Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka tepatsatu diantara yang berikut berlaku: x < y atau x = y ataux > y .

2 Ketransitifan: x < y dan y < z .3 Penambahan: x < y ⇔ x + z < y + z4 Perkalian: Ketika z positif maka x < y ⇔ xz < yz , ketika znegatif maka x < y ⇔ xz > yz



Menyelesaikan suatu persamaan (misalnya 3x − 12 = 3) adalahmencari nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Nilai xtersebut bisa berupa suatu bilangan atau mungkin sejumlahbilangan berhingga. Dari persamaan tersebut diperoleh x = 5.Dalam kasus pertidaksamaan, kita mencari solusi semua himpunanbilangan real yang membuat pertidaksamaan tersebut berlaku.Himpunan pemecahan dari suatu pertidaksamaan biasanya terdiridari suatu keseluruhan interval bilangan atau, dalam beberapakasus, gabungan dari interval-interval.



Pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka yang menggunakanrelasi <,≤,> atau ≥ . Penyelesaian suatu pertidaksamaan adalahsemua bilangan yang memenuhi pertidaksamaan tersebut yangbiasanya merupakan interval maupun gabungan interval-interval.Interval terbuka (a, b) adalah himpunan semua bilangan realyang lebih besar dari a dan kurang dari b dinotasikan dengan(a, b) = {x |a < x < b} . Interval tertutup [a, b] adalahhimpunan semua bilangan real yang lebih besar atau sama denganb. [a, b] = {x |a ≤ x ≤ b}



Interval



Contoh pertidaksamaan:

1 2x − 7 < 4x − 22 −5 ≤ 2x + 6 < 43 x2 − x − 6 < 042x − 5x − 2 ≤ 1



Nilaii MutlakNilai mutlak suatu bilangan real x , dinyatakan oleh |x |didefinisikan sebagai:

|x | = x jika x ≥ 0|x | = −x jika x < 0

Contoh: |6| = 6, |−12| = − (−12) = 12



Sifat-Sifat Nilai Mutlak

1 |ab| = |a| |b|

2

∣∣∣ ab

∣∣∣ = |a||b|3 |a+ b| ≤ |a|+ |b|4 |a− b| � ||a| − |b||

Pertidaksamaan yang Melibatkan Nilai Mutlak

|x | < a⇔ −a < x < a|x | > a⇔ x < −a atau x > a

Contoh: Selesaikan pertidaksamaan mutlak berikut:

1 |x − 4| < 22 |3x − 5| ≥ 1



Rumus abcRumus abc biasa digunakan untuk menyelesaikan persamaankuadrat yang berbentuk

ax2 + bx + c = 0

dengan rumus:

x =−b±

√b2 − 4ac2a

Contoh:Selesaikan x2 − 2x − 4 ≤ 0.Kuadrat MutlakPerhatikan bahwa:

|x |2 = x2 dan |x | =√x2

Untuk bilangan tak negatif dapat berlaku:

|x | < |y | ⇔ x2 < y2



Sistem Koordinat KartesiusKoordinat kartesius adalah dua garis bilangan real yangberpotongan saling tegak lurus di titik nolnya, yang satu mendatar(horizontal ) dan yang lain tegak (vertikal). Garis mendatardisebut dengan sumbu X, dan garis yang tegak disebut dengansumbu Y. Sumbu-sumbu koordinat, yakni sumbu X dan sumbu Ymembagi bidang datar menjadi 4 daerah yang bagian-bagiannyadisebut dengan kuadran I, kuadran II, kuadran III dan kuadran IV.



Jarak antara dua titikMisalkan ada dua titik P (x1, y1) dan Q (x2, y2) dalam sistemkoordinat kartesius. Jarak antara dua titik didefinisikan sebagai:

d (P,Q) =√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

x1 dan x2 disebut absis, y1 dan y2 disebut ordinat.



Persamaan Garis LurusBentuk umum persamaan garis lurus adalah:

ax + by + c = 0

dimana a dan b tidak boleh keduanya nol. Beberapa bentuk umumpersamaan garis adalah:

1 y = p (sejajar sumbu X)2 x = q (sejajar sumbu Y)3 y = mx + n (persamaan garis lurus)4 ax + by = 0 (melalui titik asal (0, 0))5 y − y1 = m (x − x1) (melalui titik (x1, y1) dengan gradien m)6y − y1y2 − y1

=x − x1x2 − x1

(melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2))

7 Gradien/kemiringan didefinisikan sebagai:

m =y2 − y1x2 − x1



Catatan:

Dua garis sejajar memiliki gradien (m) yang sama.

Dua garis yang berpotongan tegak lurus jika gradien garispertama adalah negatif satu pergradien garis kedua.(m1 = −

1m2

)Contoh: Carilah persamaan garis yang melalui (6, 8) yang sejajardengan garis yang mempunyai persamaan 3x − 5y = 11.


Sistem bilangan real ( matematika i )

Education

Transcript of Sistem bilangan real ( matematika i )