bab1. Sistem Bilangan Real
-
Upload
alviyandaadril -
Category
Documents
-
view
330 -
download
12
Transcript of bab1. Sistem Bilangan Real
Mat 1 1
1. SISTEM BILANGAN REAL
Firdaniza, M.Si.,dkk
Mat 1 2
1.1 SISTEM BILANGAN REAL Semesta pembicaraan dalam Kalkulus : Himp. Bilangan
Real. Himp. Bilangan Real merupakan gabungan dari himp.
bilangan Rasional dan himp. Bilangan Irasional. Secara lengkap dapat dilihat dari bagan berikut:
R = Himp.Bil. Real
Q = Himp.Bil. Rasional
Z = Himp.Bil. Bulat
N = Himp. Bil. Asli Gb. 1.1 Diagram Venn Himpunan Bilangan Real
Mat1 3
Sifat-sifat R : Sifat Medan Jika x, y, z adalah anggota bilangan Real, maka
x + y = y + x dan xy = yx ( hukum komutatif) x + (y+z) = (x+y) + z dan x(yz)=(xy)z (hukum asosiatif) x(y+z) = xy + xz (hukum distributif) Unsur Identitias. sehingga x + 0 =x dan x.1=x. Unsur Invers. dan
Sifat Urutan * Trikotomi. Jika x dan y bilangan, maka pasti berlaku salah satu
x < y atau x = y atau x > y.
* Transitif.
* Penambahan. * Perkalian. Jika z bilangan positif,
Jika z bilangan negatif,
zxzyyx dan
zyzxyx
,
,yzxzyx
.yzxzyx
R 1,0
0)()(, xxxRx
0,1)1
.(1
, xx
xx
Rx
Mat 1 4
Garis bilangan : Interval dan himpunan
Himpunan Bilangan Real ( R ) secara kongkrit dapat dinyatakan sebagai suatu garis bilangan.
Bagian yang lebih kecil dari garis bilangan disebut interval ( selang ).
R
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Gb. 1.2 Garis bilangan Real
koordinat
2
Himpunan Bilangan Real ( R ) secara kongkrit dapat dinyatakan sebagai suatu garis bilangan.
Bagian yang lebih kecil dari garis bilangan disebut interval ( selang ).
Mat 1 5
Interval dan Penulisannya
[ , ] |a b x a x b
( , ) |a b x a x b
[ , ) |a b x a x b
( , ] |a b x a x b
( , ) |a x x a
axxa |],(
a b
a b
a b
a b
a
a
interval tutup
interval buka
interval setengah buka
interval setengah buka
interval tak terbatas
interval tak terbatas
),(
R
Mat 1 6
1.2 Pertaksamaan
Bentuk umum pertaksamaan adalah :
(1.1)
dengan A(x), B(x), C(x) dan D(x) suku banyak.
( tanda < dapat diganti oleh : >, , ). Himpunan semua bilangan Real x yang memenuhi
pertaksamaan (1.1) disebut Himpunan Penyelesaian (Hp) pertaksamaan (berupa selang)
A x
B x
C x
D x
( )
( )
( )
( )
Mat 1 7
Cara menentukan himpunan penyelesaian :
Buat ruas kanan (1.1) menjadi nol atau Bentuk menjadi
Faktorkan atau uraikan P(x) dan Q(x) menjadi faktor linier dan atau faktor kuadrat definit positif
Tentukan titik pemecah ( pembuat nol ) dari masing-masing faktor linier , lalu gambarkan dalam garis bilangan.
Gunakan satu titik uji untuk menentukan tanda ( + atau - ) interval pada garis bilangan
0)(
)(
)(
)(
xD
xC
xB
xA
0)(
)(
xQ
xP
Mat 1 8
Contoh
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari : Jawab :
12
xx
012
xx
0)2)(1(
02 2
x
xx
x
xx
titik pemecah : x=1 , x=-2 , x=0 ++ --- ++ ---
Maka 1,02, Hp-2 10
Contoh Tentukan Himpunan Penyelesaian dari :
Mat1 9
11 5
2 1x
11
2 1dan
x
Jawab :
11 5
2 1x
15
2 1x
1 (2 1)
02 1
x
x
2
02 1
x
x
1 5(2 1)0
2 1
x
x
6 10
02 1
x
x
1 { 0 1/ 2}Hp x x x 2 { 1/ 2 3 / 5}Hp x x x 1 2
{ 0 3 / 5}
Hp Hp Hp
x x x
0 1
2
1
2
3
5
Mat 1 10
1.3 Pertaksamaan dengan Nilai Mutlak Definisi nilai mutlak adalah :
Sifat-sifat nilai mutlak :
0,
0,
xx
xxx
|||| yxxy 1. dan 0,||
|| y
y
x
y
x
2. Jika maka 0aaxaax
22 ax axatauaxax
22 ax |||||| yxyx
| | | |x y x y 2 2
3.
4.
Mat1 11
Contoh : 1. Tentukan Hp dari
Jawab : Dengan menggunakan sifat yang ke 2 bagian 2, kita dapatkan
atau
Ini tak lain merupakan dua pertaksamaan yang akan dicari penyelesaiannya.
15
2 x
15
2 x
15
2 x
0505
052
015
2
xatauxx
x
x
xx
x(i).
03
50
530
5201
52
x
x
x
x
xx
x
Sehingga Himpunan penyelesaian dari pertaksamaan tersebut adalah :
(ii).
.,00,3
55,0,
3
5,05,
2.Tentukan Hp dari
Mat1 12
2 2
2 2
1 3 3 5
(1 3 ) (3 5)
(1 3 ) (3 5) 0
((1 3 ) (3 5))((1 3 ) (3 5)) 0
6( 4 6 ) 0
4 6 0
6 4
2
3
x x
x x
x x
x x x x
x
x
x
x
J awab :
1 3 3 5x x
Mat 1 13
1.4 Akar Kuadrat Setiap bilangan positif mempunyai dua akar kuadrat. Misalnya,
dua akar kuadrat dari 4 adalah 2 dan -2 ; dua akar kuadrat dari 16 adalah 4 dan -4.
Untuk , lambang disebut akar kuadrat utama dari a, yang
menunjukkan akar kuadrat tak negatif dari a.
Jadi dan
• Jadi , penting untuk diingat bahwa ,
a
24 10100)10( 2
0a
||2 xx
Mat 1 14
Soal Latihan
5432 xx
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
3232 xx
1
2
3
xx
x
124
2
3
122
x
x
x
x
4
2 3 1
3 4
x
x
2
1 1
x x
x x
24
2 3
x
x
5.
6.
7.
82
1xx