Bilangan Real Dan Grafik

MODUL KULIAHMATEMATIKA/KALKULUS 1*

Modul I : Bilangan Real

Pokok Bahasan : Kalkulus I*Sistem Bilangan RealFungsi dan Grafik Fungsi, Fungsi TrigonometriLimit Fungsi, Fungsi KontinuTurunan FungsiPenggunaan Turunan, Grafik FungsiLimit Bentuk Tak Tentu, Penggunaan TurunanUTSIntegral Tak Tentu dan Integral TentuPenggunaan Integral TentuFungsi-fungsi TransendenMetode Integrasi, Penggunaan Tabel IntegralUAS

*SISTEM BILANGAN REALBilangan Kompleks z = a + biBilangan Real ( R )Bilangan Immajiner, i = Bilangan RasionalBilangan IrrasionalBilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan (P/Q)Bilangan yang dapat ditulis sebagai desimal berulangBilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahanBilangan desimal tidak berulang


*Garis Bilangan RealBilangan real dinyatakan dengan notasi R.Bilangan-bilangan real dapat dipandang sebagai titik-titk sepanjang sebuah garis bilangan real> R 3 2 1 0 1 2 3 4Bidang Bilangan KompleksBilangan komplek, z = a + bi, dalam bentuk geometri bilangan kompleks dinyatakan dalam bentuk bidang kompleksIm(z)Ra(z)abP=3,14e4/5x < -2


Pengertian Pertidaksamaan*Pertidaksamaan adalah himpunan bilangan yang memenuhi sifat urutan bilangan tertentu. Pertidaksamaan dinyatakan dengan salah satu tanda dari lambang berikut : > q artinya p lebih besar dari pada qp q artinya p lebih kecil atau sama dengan qp q artinya p lebih besar atau sama dengan qSifat-sifat Sederhana :Penjumlahan/pengurangan. Jika x < y, maka x + a < y + a Misal, jika x < 10, mk x+2 0, Jika x < y, maka ax < ay Misal, jika x < 2, mk 4x < 4(2)

Perkalian/pembagian denan bilangan negatif. Untuk a < 0, Jika x < y, maka ax > ayMisal, jk x < 4, mk -2x > -2(4)

*Pertidaksamaan dan IntervalPersamaan (x2 + 2x 8 = 0) solusinya adalah sebuah titik di dalam garis bilangan R (x1 = 4, x2 = 2)Pertidaksamaan (x2 + 2x 8 0) solusinya adalah sebuah interval tertutup, interval terbuka atau kombinasi, (HP = {x:4 x 2})Interval adalah himpunan dari R yang memenuhi sifat urutan bilangan tertentuInterval terdiri interval terbuka, tertutup atau kombinasi dari keduanya. Interval disajikan dengan notasi himpunan, interval dan garis bilangan Contoh Tentukan HP dari :x3 -2x2 11x + 12 0Solusi :- -0 + + + 0 - - - - 0 + + + > R 3 1 4HP = {x: x 3 V 1 x 4}Contoh Tentukan HP dari :dg, x 8, x 4 Solusi :- -0 + + + 0 - - - - 0+ + ++0- - - > R 4 1 4 8HP = {x: x 8}


Pertidaksamaan Sederhana*Solusi pertidaksamaan adalah himpunan bilangan yang memenuhi pertidaksamaan. Solusinya dapat digambarkan pada garis bilangan.

Contoh : Solusi dari : x + 4 > 7Ruas kiri dan kanan dikurangi 4 diperoleh, x + 4 4 > 7 4 x > 3Jadi semua nilai x lebih besar dari 3 yang memenuhi pertidaksamaan, ---------+----+----+----+--------- x 0 1 2 3Contoh : Cari nilai x yang memenuhi pertidaksamaan, 3 + 4x 6x + 7 Tulis pertidaksamaan menjadi, 4x 6x 7 3 2x 4 2x 4 x 2 Jadi semua nilai x lebih kecil atau sama dengan 2 yang memenuhi pertidaksamaan. Garis bilangannya : ---------+----+----+----+--------- x 3 2 1 0

Pertidaksamaan Kuadratik (1)*Pertidaksamaan kuadratik adalah pertidaksamaan yang memuat persamaan kuadratik.

Tahap-tahap menentukan solusinya adalah :Ubah bentuk pertidaksamaan menjadi persamaanCarilah akar-akar persamaan kuadratnya, jika mungkin dengan faktorisasiSelidikilah nilai-nilai yang mungkin dengan menggunakan garis bilanganTentukan solusinya dari langkah (3).Contoh :Tentukan HP dari x2 4x 12 < 0Faktor dari, x2 4x 12 = 0 adalah,(x + 2)(x 6) = 0, dan akar-akarnya x=2, x=6. Perhatikan garis bilangan

- - -0 + + + + + + + + (x+2) -----+------------+------ 2 6 - - - - - - - - - - 0 + + +(x6) -----+------------+------ 2 6 + + 0 - - - - - -0++ +(x+2)(x6) -----+------------+----- 2 6HP, 2 < x < 6.

Pertidaksamaan Kuadratik (2)*Contoh :Tentukan HP dari 2x2 + 3x 9 0Faktor, 2x2 + 3x 9 = 0 adalah,(2x 3)(x + 3) = 0, dan akar-akarnya x=3/2, x=3. Perhatikan garis bilangan - - -0 + + + + + + + (x+3) -----+-----------+----- 3 3/2 - - - - - - - - - 0 + + (2x3) -----+----------+------ 3 3/2 + + 0 - - - - - -0++ +(2x+3)(x3) -----+-----------+-----Jadi nilai x yang memenuhi pertidaksamaan, x 2 v x 6.Contoh :Tentukan HP : 0 < x2 4x 12 < 20

Solusi pertidaksamaan diatas adalah irisan HP : 00, atau (x+2)(x 6) > 0 adalah x< 2 v x > 6

Solusi dari, x2 4x 12 < 20 atau x2 4x 32 < 0, (x + 4)(x 8) < 0 adalah 4< x < 8

Irisan kedua solusi adalah 4

Pertidaksamaan dan Pecahan (1)*Sifat-sifat :Batas interval, solusinya adalah p=0, dan q0Contoh :Hitunglah HP dari,JawabBatas interval pertidaksamaan adalah x1=2, dan x23. Perhatikanlah garis bilangan berikut : - - - - - - - - - 0+ + + (x 2) -----+-----------+----- 3 2 - - - 0 + + + + + + +(3x+9) -----+----------+------ 3 2 + + 0 - - - - - -0++ +HP -----+-----------+----- 3 2Jadi HP pertidaksamaan, 3 < x 2

Pertidaksamaan dan Pecahan (2)*Contoh :Hitunglah HP dari,JawabTulislah pertidakamaan menjadi,Perhatikanlah garis bilangan berikut, - - - - - - - 0 + + + + + + +(x + 1) -----+-----+-------+------+-- 3 1 3 6 - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + (x 6) -----+-----+-------+------+-- 3 1 3 6 - - - 0 + + + + + + + + + +(x + 3) -----+-----+-------+------+-- 3 1 3 6 - - - - - - - - - - - 0 + + + +(x 3) -----+-----+-------+------+-- 3 1 3 6 + + 0- - - 0 + + 0 - - - 0+ + HP -----+-----+-------+------+-- 3 1 3 6Jadi HP : 3 < x 1 v 3 < x 6

*Nilai Mutlak BilanganNilai mutlak suatu bilangn real x selalu bernilai positip. Nilai mutlak bilangan real x ditulis |x|, didefininisikan oleh :> R x 0 x Kasus khusus, > R (x-a) 0 x-a Grafik persamaan, y = |x| Y=xY=-xyx0Grafik persamaan, y = |x a|yaaY=a-xxY=x-a


Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak (1)*Nilai mutlak bilangan x, ditulis |x| didefinisikan, Dari definisi diatas nilai mutlak bilangan selalu bernilai positif.

Pertidaksamaan dengan nilai mutlak yang penting :

| x | < a a < x < a | x | > a x a

Sifat (1) berlaku pula untuk (), sifat (2) berlaku pula untuk () Contoh :Hitunglah HP dari, |2x 5| < 9 JawabMenurut definisi, |2x 5| < 9 9 < 2x 5 < 9 9+5 < 2x < 9+5 4 < 2x < 14Jadi, HP : 2 < x < 7

Contoh :Hitunglah HP dari, |2x + 3| > 11 JawabMenurut definisi,|2x + 3|>11 2x+3< 11 v 2x+3>11 2x113 2x < 14 v 2x > 8Jadi, HP : x < 7 v x > 4

Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak (2)*Contoh :Hitung HP dari, |x2 4x 25|< 20JawabMenurut definisi, |x2 4x25|

Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak (3)*Contoh :Hitung HP dari, |x2 5x 21|> 15JawabMenurut definisi, |x2 5x 21|> 15 x2 5x 2115Jadi, HP merupakan gabungan HP, (1) x2 5x 21 < 15 atau (2) x2 5x 21 > 15

Mengingat, x2 5x 21< 15 x2 5x 6 < 0 (x + 1)(x 6) 15 x2 5x 36 >0 (x + 4)(x 9) > 0Solusinya adalah : + + 0 - - - - - - 0 + + + HP (2) -----+------------+------- 4 9Jadi HP (2) : x < 4 v x > 9

Jadi solusi pertidaksamaan adalah :

HP -----+-------+---------+-------+--- 4 1 6 9Solusi : x < 4 v 1< x < 6 v x > 9

*Pertidaksamaan Nilai MutlakContoh Tentukan HP dari :|x2 + 2x 16| 88 x2 + 2x 16x2 + 2x 16 8+ 0 - - - - 0 ++ > R 4 2 + 0 - - - - 0 ++ > R 6 4 Solusi :

> R 6 4 2 4HP = {x: 6 x 4 V 2 x 4}Bentuk grafik 8Y=x2 + 2x 16 x8Grafik persamaan kuadrat, Contoh Tentukan HP dari :|x2 6x 16| 86 42 4


Soal-soal latihan*Carilah solusi pertidaksamaan berikut ini :13 < 3x 7 < x+17x2 10x + 24 < 010 < x2 4x + 5 < 178 < 2x2 5x + 5 < 301< 3x2 4x 5 < 10 |2x + 5| < 17|3x 4| > 14|x2 5x 32| 18 |x2 + 4x 22| > 10

*Soal-Soal Latihan : Soal 16.Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini Soal 17. Diberikan, Tentukan nilai x agar f(x) = 0Nilai x agar f(x) tidak ada (penyebut sama dengan 0)interval f(x) > 0 dan f(x) < 0


*Sistem Koordinat Kartesiusdan Grafik Garis Lurus (1)Grafik : gambar mempresentasikan informasi hubungan satu variabel dengan variabel yang lain. Grafik dg sistem koordinat kartesius.Grafik yang paling sederhana adalah garis lurus, dima persamaannya : y=mx + cm disebut dengan gradien.

Persamaan garis yang melalui dua buah titik P(x0,y0) dan Q(x1,y1) adalah :


Grafik Garis Lurus (2)*Contoh :Persamaan garis lurus yang melalui titik P(1,5) dan Q(2,8) seperti terlihat pada gambar berikut :P(1,5)Q(2,8)Garis Sejajar.Garis sejajar adalah garis lurus yang memiliki gradien yang sama

Grafik Garis Lurus (3)*Contoh :Garis berpotongan. Carilah titik potong dua garis, 3x+y = 1, dan x+2y=5. Dan buat pula sketsa grafiknya.JawabTitik potong diperoleh dengan cara eliminasi atau substitusi.3x+y = 1 x 1 3x + y =1x+2y=5 x 3 3x +6y=15 ---------------- (+) 7y=14Untuk, y=2, maka x=2(2) 5 =1

Jadi titik potong kedua garis adalah (1,2) Sketsa grafik kedua garis 3x+y = 1, x+2y=5Titik potong (1,2)

Grafik Garis Lurus (4)*Contoh :Garis tegak lurus. Carilah garis yang tegak lurus garis, 3x + y = 9, dan melalui titik (1,6)JawabDua garis saling tegak lurus, maka m1m2=1. Dari, garis 3x+y=9, maka diperoleh, m1= 3, dengan demikian,

dan persamaan garisnya adalah,Sketsa grafiknya adalah :3 2 1 0 1 2 3 4 3x + y = 9x 3y = 17(1,6)

Grafik Parabola (1)*Grafik persamaan kuadrat yang berbentuk, y=ax2+bx+c disebut dengan parabola

Sifat-sifat grafik parabola.Kecekungan. (a) a > cekung terbuka keatas (b) a < cekung terbuka kebawah.Sumbu simetri. Garis,

adalah sumbu simetri parabolaTitik potong dengan sumbu y. Grafik memotong sumbu di titik (0,c)4. Titik potong dengan Sumbu xKasus D > 0. Grafik parabola memotpng sumbu di dua tempat, yaitu :

(b) Kasus D = 0 Grafik parabola menyinggung sumbu x di titik,

Kasus D < 0Grafik parabola tidak memotong sumbu x

Grafik Parabola (2)*Langkah-langkah membuat sketsa grafik adalah :Bilamana mungkin tentukanlah pula titik potongnya dengan sumbu koordinat.Tentukanlah koordinat-koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaan.Buatlah diagram pencar titik-titik di bidangHubungkan titik-titik tersebut sehingga membentuk suatu kurva yang mulus

Contoh :Buatlah sketsa grafik parabola, y=4x2 + 4x 15 Jawab Untuk x=0, y=15, sehingga titik potong dengan sumbu y adalah (0,15)Titik potong dengan sumbu x. Untuk y=0, diperoleh persamaan kuadrat, 4x2 + 4x 15 =0, (2x + 5)(2x 3) = 0 dimana akar-akarnya adalah : x1=2,5 dan x2=1,5 Jadi titik potong dengan sumbu x di (2,5,0) dan (1,5,0)

Grafik Parabola (3)*(c) Sumbu simetri,

Untuk x=1 0,5, y=1 16. Puncak parabola di (0,5,16)

Diagram pencar untuk beberapa nilai diberikan tabel berikut,

x 3 2 1 0 1 2 ------------------------------------ y 9 7 15 15 7 9 (e) Sketsa grafik lihat gambar sampingSumbu simetriTitik potonga=4> 0

*

Bilangan Real Dan Grafik

Documents

Transcript of Bilangan Real Dan Grafik