MAKALAH

SEJARAH MATEMATIKA PERIODE AKHIR YUNANI KUNO

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Testruktur

Pada Mata Kuliah Sejarah Matematika

Kelompok 5:

Winta Nofriani

Endang Lastri

Lismaita

Dosen Pembimbing

Eka Pascha Suryabayu, M.Pd

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN TARBIAH

SKOLAH TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI (STAIN)

SJECH M. DJAMIL DJAMBEK

BUKITTINGGI

BAB I

Periode Akhir Yunani

I. Latar Belakang Sejarah

Walau sekarang terdapat ungkapan “Matematika Yunani”, maka yang

kemungkinan terbayang dalam pikiran seseorang bahwa yang dimaksud adalah

matematika yang berkembang pada suatu negeri tertentu yakni Yunani. Tetapi pemikiran

demikian tidaklah tepat karena daerah perkembangan matematika Yunani bukanlah

hanya di Yunani saja melainkan tersebar luas.

Periode terakir dari zaman Yunani Kuno adalah didominasi oleh kekuasaan

Romawi, karena Yunani adalah kota yang paling aman damai dalam sejarah termasuk

juga Mesir. Jadi Yunani adalah tempat untuk berlindung yang aman bagi para kaum

cendekiawan dalam kurun waktu yang sangat lama.

Dalam tahun 212 S.M Syracusp dikuasai oleh bangsa Romawi dan dalam tahun

146 S.M Chartago juga jatuh ketangan kekuasaan Romawi serta kota terakir Yunani

Gorinth juga dikuasai bangsa Romawi sehingga menjadikan Yunani sebagai salah satu

propinsi dari kekaisaran Romawi. Mulai saat itu kekuasaan Yunani mulai menyebar

keseluruh kehidupan bangsa Romawi.

II. Tokoh-tokoh Matematika Periode Akhir Yunani

a. Diophantus

Sekitar tahun 250 seorang matematikawan Yunani yang bermukim di

Alexandria melontarkan problem matematika yang tertera di atas batu

nisannya. Tidak ada catatan terperinci tentang kehidupan Diophantus, namun

meninggalkan problem tersohor itu pada Palatine Anthology, yang ditulis setelah

meninggalnya. Pada batu nisan Diophantus tersamar (dalam persamaan) umur

Diophantus.

Diophantus sering disebut sebagai “Bapak Aljabar” Karena jasanya yang

besar dalam mengembangkan aljabar sinkopasi, yaitu aljabar dengan menggunakan

lambang-lambang tertentu Karya utama dari Diophantus ini adalah “Arithmetica”,

yang aslinya terdiri dari lima belas buku, tetapi hanya tujuh buku pertama yang

dapat diselamatkan.

Dalam zaman Yunani perkataan Arithmatika berarti bilangan, bukan

komputasi sering Arithmatika disamakan dengan falsafah yang terlihat dari hasil

karya Nicomachus dari Gerasa yang berjudul “ Itroductio Arithmaticae”

Nicomacus adalah seorang Neo Pithagoras, yang kadang-kadang di anggap

sebagai seorang yang berlatar belakang Syria, tetapi jika dilihat hasil karya nya lebih

bersifat filosof Yunani.

Itroductio Nicomacus ini dimulai dengan mengklasifikasikan bilangan atas

dua kelompok, yakni kelompok genap dan ganjil, kemudian dikelompokkan

dedalam kelompok 2n, kelompok 2n.p (p ganjil, p>1 dan n>1), dan 2.p (p ganjil dan

p>1). Dalam buku ini didefenisikan bilangan prima, bilangan komposirt, bilangan

sempurna, dan empat bilangan sempurna yang di kenal waktu itu yakni (6, 28, 496

dan 8128), serta deskripsi tentang saringan Erastosthenes.

Dalam buku ini terdapat teorema : “ apabila bilangan ganjil di kelompokkan

dalam kelompok-kelompok ; 3+5; + + ; 3+ 5+ + ; +…… , maka jumlah

kelompok berturut-turut akan membentuk bilangan pangkat tiga.

Secara umum ada tahapan perkembangan dalam sejarah perkembangan

aljabar yang di kenal:

1. Aljabar Retorik (rhetorical algebra), yaitu tahap permulaan aljabar, dimana

setiap sesuatunya, termasuk penyelesaian nya, semuanya di tuliskan dengan

perkataan lengkap, tanpa menggunakan singkatan atau lambing.

2. Aljabar Sincopasi (syncopated algebra), yaitu tahap pertengahan, dimana telah

mulai menggunakan beberapa singkatan untuk menyatakan sesuatu kuantitas

3. Aljabar Simbolik (symbolic algebra), yaitu tahap terakir, dimana semuanya pada

umumnya menggunakan lambang-lambang.

Aljabar sebelum Diophantus adalah aljabar Retorik, sedangkan aljabarnya

Diophantus adalah aljabar sinkopasi, yang merupakan konstribusi Diophantus yang

terbesar dalam perkembangan aljabar untuk masa selanjutnya.

Dalam seluruh enam buku Arthmetica terdapat penggunaan yang sistematis

dari singkatan untuk pangkat bilangan dan untuk relasi operasi bilangan. Suatu

bilangan yang tidak dikenal (variable) dilambangkan dengan lambing yang

menyerupai huruf Yunani sigma (δ), yang kemungkinan di ambil dari huruf terakir

“Arthmos” kuadrat bilangan yang tidak di ketahui dilambangkan dengan Δy, yaitu

dua huruf pertama dari perkataan dinamis (ΔγHAHZ) atau pangkat, pangkat tiga

dilambangkan dengan Kγ , dua hiuruf pertama dari perkataan kubos (KγBOΣ)

Lambang untuk negative dilambangkan dengan, barang kali sebagai

gabungan dari Λ dan I dari perkataan Icipis (ΛEIψiΣ) yang berarti “ kurang”

Dalam menuliskan suatu suku banyak (polynomial), semua suku-suku

negative dikumpulkan bersama dan di dahului oleh lambang negative, dan koefisien

bilangan ditulis sesudah lambing-lambang untuk pangkat.

Apabila dalam suku banyak itu terdapat konstanta maka digunakan lambang,

singkatan dari monades (MONAΔEΣ) dengan bilangan yang sesuai. Sebagai contoh

misalnya:

a) X3+13x +5x, dituliskan :

b) X3-5x +8x-1, dituliskan :

c) 2x +3x3-4x +5x-6, dituliskan :

Perbedaan aljabar Sinkopasi Diophantus dengan aljabar sekarang ini adalah

kurangnya lambang-lambang dari aljabar Diophantus untuk melambangkan relasi

dan operasi seperti notasi eksponesial, akar dan sebagainya. Buku Aritmatika berisi

150 problem yang berhubungan dengan persamaan linear dan persamaan kuadrat

serta satu penyelesaian persamaan pangkat tiga.

Dalam menyelesaikan problem-problem dengan dua atau lebih bilangan yang

tidak diketahui, Diophantus secara cerdikk sekali mengatakan semua bilangan yang

tidak diketahui itu hanya dengan salah satu dari bilangan yang tidak diketahui itu.

Sebagai contoh, misalnya : carilah dua bilangan yang jumlahnya 20 dan jumlah

kuadratnya 200, bilangan –bilangan yang tidak membentuk 200 maka Diophantus

tidak dinyatakan dengan x dan y, melainkan dengan 10+x dan 10-x. jadi, (10+x) -

( -x) = 200, maka diperoleh x= 2. Jadi bilangan itu adalah 8 dan 12.

Problem lain adalah bagaimana menentukan dua bilangan sehingga apabila

salah satu bilangan itu ditambahkan dengan kuadrat bilangan yang lain

menghasilkan kuadrat suatu bilangan rasional. Dalam menyelesaikan problem ini

Diophantus tidak mengambil x dan y sebagai bilangan tak tentu, melainkan x dan

x+

Dalam hal ini, jika bilangan kedua ( x+1) ditambahkan dengan kuadrat

bilangan kedua (x ), akan menghasilkan bilangan kuadrat sempurna, tidak peduli

nilai berapapun yang diberikan untuk x. sekarang diperlukan pula (2x+1) +x harus

bilangan kuadrat sempurna, dan ia tidak menunjukan bahwa tak terhingganya

banyaknya kemungkinan jawaban, tetapi ia memilih salah satu kemungkinan

jawaban saja, yakni (2x- , dimana apabila (2x-

disamakan dengan (2x+1)

+x

akan menghasilkan nilai x= 3/13 dan 2x+1 =19/13.

Buku II problemnya adalah : Tentukan lah dua bilangan kuadrat dimana

apabila perkalian kedua bilangan itu ditambah dengan salah satu bilangan itu

menghasilkan bilangan kuadrat .

Buku III problemnya adalah: Tentukanlah tiga bilangan sedemikian

sehingga ketiga bilangan itu adalah bilangan kuadrat, dan jumlah dua bilangan

sembarang juga bilangan kuadrat. Carilah tiga bilangan yang merupakan deret

hitung r sehingga jumlah sembarang dua bilangan adalah bilangan kuadrat.

Tentukanlah tiga bilangan, sehingga hasil bilangan ketiga adalah bilangan kuadrat.

Buku IV problemnya adalah: Carilah dua bilangan sedemikian sehingga

jumlahnya sama dengan jumlah pangkat tiganya Tentukanlah tiga bilangan yang

merupakan deret geometri sedemikian sehingga selisih antara sembarang dua

bilangan adalah bilangan kuadrat.

Buku VI problemnya adalah: Tentukanlah suatu segitiga Pythagoras

dimana panjang garis bagi dari salah satu sudut lancipnya Rasional.

b. Pappus

Pada tahun 320 Pappus menulis sebuah buku yang sangat penting yang

berjudul “Collection” (Synagoge . Buku mathematical oleh collection yang kadang

disebut collection adalah karya Pappus yang terbesar yang berisi kombinasi antara

komentar dan sebagai buku panduan bagi karya-karya geometri pada saat itu.

Buku ini dilengkapi dengan banyak sekali proposisi yang orisinil, perbaikan-

perbaikan dan perluasan proposisi geometri sebelumnya, serta komentar-komentar.

Buku ini dianggap penting dalam sejarah matematika, karena antara lain:

1. Buku ini berisi catatan-catatan sejarah yang berharga tentang bagian-bagian

matematika Yunani yang belun diketahui sebelumnya, misalnya dalam buku ini

dapat diketahui bagaimana Archimedes menemukan tiga belas semiregular

polyhedral atau yang dikenal dengan “Arcimedean Solid”

2. Dalam buku ini tredapat alternative pembuktian yang lain untuk proposisi-

proposisi Euclid, Archimedes dan Apollonius serta beberapa tambahan lemma.

3. Terdapat penemuan-penemuan baru Pappus serta pengeneralisasian yang

sebelumnya belum pernah dikenal.

Dalam buku ini Pappus memberikan uraian tentang bagaimana metode

Apollonius menuliskan dan bekerja dengan bilangan-bilangan yang besar. Dalam

buku III Pappus membedakan dengan tajam antara problem-problem bidang datar,

benda-benda ruang (solid), dan linear. Menurut Pappus bidang datar dapat

dikonstruksi dengan hanya mneggunakan jangka dan mistar saja. Solid dapat

diselesaikan dengan menggunakan irisan kerucut, sedangkan untuk linear diperlukan

karya selain dari garis lurus, lingkaran dan irisan kerucut.

Dalam buku III ini Pappus memberikan beberapa bentuk penyelesaian dari “

Tiga problematic” nya Yunani, yaitu penduakalian kubus, membagi sudut sepertiga

bagian yang sama besar dan mengkuadratkan lingkaran. Problem yang pertama dan

yang kedua dikategorikan oleh Pappus dengan kategori Euclid, sedangkan problem

yang ketiga sebagai linear. Lebih lanjut Pappus mengatakan bahwa tidak mungkiun

ketiga problem ini dapat diselesaiakan dengan hanya menggunakan jangka dan

mistar.

Pappus memperlihatkan bahwa apabila dalam suatu setengah lingkaran ADC

dengan pusat O dibuat tegak lurus AC dan BF tegak lurus AD, maka DO adalah

rata-rata hitung, DE rata-rata geometri dan DF rata-rata harmonic dari AB dan BC.

Dalam buku IV Pappus mengatakan bahwa untuk menyelesaiakn suatu

problem harus dilakukan konstruksi yang sesuai. Misalkan diketahui sudut AOB

terletak dalam suatu lingkaran dengan pusat O, dan misalkan lagi bahwa OC adalah

garis bagi sudut AOB. Lukis hiperbola dengan A sebagai salah satu fokusnya, OC

sebagai dirktrixnya, dan dengan eccentrisitas sama dengan dua. Maka salah satu

cabang dari parabola ini akan memotong keliling lingkaran suatu titik T, dimana

sudut AOT adalah 1/3 dari sudut AOB.

Trisection kedua dari Pappus adalah dengan menggunakan hiperbola sama

sisi sebagai berikut: misalkan sisi OB dari sudut-sudut AOB adalah diagonal suatu

empat persegi panjang OABC. Melalui titik A dilukis suatu hiperbola sama sisi

dengan BC dan OC sebagai assimptot, dengan A sebagai pusat dan jari-jari dua kali

OB, dilukis suatu lingkaran yang memotong hiperbola di P. dari titik P ditarik garis

lurus PT kepada perpanjangan CE. Dari sifat-sifat parabola, garis lurus melalui O

dan T akan sejajar dengan AP dan sudut AOT adalah 1/3 sudut AOB.

Dalam buku IV ini , Pappus juga melakukan generalisasi sedehana dari

teorema Pythagoras sebagai berikut:

1. Apabila ABC adalah suatu sembarang segitiga, dan apabila CGBF adalah

sembarang jajaran genjang yang dilukis pada kedua sisi segitiga itu, maka

Pappus membuat pada sisi AC suatu jajaran genjang ACKL yang luasnya sama

dengan luas kedua jajaran genjang semula.

2. Jajaran genjang ACKL ini dapat dilukis dengan jalan memperpanjang sisi FG

dan sisi ED yang akan saling berpotongan di titik A ke AC pada titik J. terakhir

dilukis AD dan CK sejajar dengan HJ, maka terbentuklah jajaran genjang

ACKL.

Buku V dari collection adalah buku yang disenangi oleh komentator

matemtika selanjutnya, karena dalam buku ini diperlihatkan tentang kecerdikan

lebah dalam membuat sarangnya. Menurut Pappus , dua segitiga segibanyak

beraturan yang mempunyai diameter yang sama, maka segibanyak mempunyai sisi

yang terbanyak akan mempunyai luas yang lebih besar dbandingkan denga yang

mempunyai sisi lebih sedikit.

Oleh karena itu, Pappus menyimpulkan bahwa lebah telah memperlihatkan

pengertian matematika yang cukup tinggi dalam membuat sarangnya, yaitu

berbentuk hexagonal, bukan segitiga, bukan segiempat, atau prisma. Dan juga bahwa

luas suatu lingkaran dengan diameter yang sama dengan sembarang segibanyak

beraturan, akan selalu lebih besar dari luas segibanyak beraturan itu.

Buku VI umumnya berhubungan dengan astronomi, dan aplikasi matematika

dalam astronomi, optic, dan mekanika.

Buku VII berisi tentang metode analisis data yabg dikenal dengan nama “

Treasury of Analysis “ Ada dua belas karya yang didiskusikan dalam Treasury of

Analysis, yaitu

1. Data

2. Porisms.

3. Surface Loci ( semuanya karya Euclid )

4. Conic Sections.

5. On Proportional Section.

6. On Optical Section.

7. On Determinate section.

8. Tangencion.

9. Varginge.

10. Place Loci ( semuanya karya Apollonius )

11. On Means, karya Erastothenes.

12. Solid Loci, karya Aristaceus.

Teorema Troida (pusat gravitasi) dari Paul Guldin, seorang mathematician

pada abad ke 17 yang dianggap menemukan teorema ini, yaitu :

1. Apabila suatu busur dibidang datar diputar mengelilingi suatu sumbu yang

terletak sebidang dengan kurva itu, tetapi tidak memotong kurva, maka luas

permukaan benda putar yang terjadi adalah sama dengan perkalian panjang busur

dan panjang lintasan yang dilalui oleh pusat gravitasi busur itu.

2. Apabila suatu kurva tertutup bidang datar diputar mengelilingi sumbu yang

terletak sebidang dengan kurva itu, tetapi tidak memotong kurva, maka isi benda

putar yang terjadi adalah sama dengan perkalian luas kurva dengan panjang

lintasan yang dilalui oleh pusat gravitasi busur itu.

Dalam buku ini dibicarakan tentang tempat kedudukan terhadap tiga dan

empat garis, yaitu: “apabila P , P , P3, dan P adalah panjang segmen-segmen garis

yang dilukis dari suatu titik P kepada empat garis yang diketahui, dan membuat

sudut-sudut tertentu dengan garis-garis ini, dan apabila P P = kP3 ,atau

P P =kP3P , dimana k bilangan konstan, maka tempat kedudukan titik adalah suatu

irisan kerucut” Yang dibuktikan oleh Apollonius

Teorema lainnya adalah teorema Stewart, yaitu:”apabila A,B,C, dan D

sembarang empat titik pada suatu garis, maka: (AD) (BC) + (BD)

(CA) +

(CD) (AB) + (BC) (CA) (AB) = 0”.

Bahwa empat sinar dari suatu titik yang dipotong oleh dua transversal

masing-masingnya pada titik A, B, C, D dan titik A„, B„, C„, D„, maka kedua cross

ratio (AB/CD) dan (A„B„/C„D„ adalah sama, yang merupakan teorema dasar dari

geometri proyektif.

Buku VIII berisi bagaimana melukis suatu kerucut melalui lima titk yang

diketahui “apabila D, E, F adalah pada sisi BC, CA, dan AB dari suatu segitiga

ABC, sehingga BD/DC = CE/EA=AF/FC, maka segtiga DEF dan ABC mempunyai

pusat gravitasi yang sama.

Komentator-komentator matematika yang terkenal sampai akhir abad

keenam adalah:

a. Theon dari Alexadria

Theon menulis komentar atas karya Ptolomy,Almagest, dalam sebelas

buku. Disamping itu, edisi modern dari karya Euclied,Elements, adalah

berdasarkan pada revisi dari Theon terhadap naskah aslinya. Walaupun demikian

Theon lebih berjasa dalam informasi sejarah dibandingkan dengan hasil karya

matematikany.

b. Hypatia

Hypatia adalah salah seorang yang terkemuka dalam bidang matematika,

terutama bidang aljabar.dia adalah ahli matematika wanita pertama yang

tercantum namanya dalam sejarah matematika. Berdasarkan komentar

mathematician sesudahnya, diketahui bahwa hypati banyak menulis komentar-

komertar atas karya-karya mathematician sebelumnya, seperti “ Arithmetica”

nya Diophantus, “Conic section” dari Apollonius, dan “Al-Magest” nya Ptolemy

Hypatia juga dikenal sebagai ahli medicine dan ahli falsafa.

Tahun 415, Hypatia dibunuh secara kejam suatu kelompok fanatic

Kristen, karena dia tidak mau memeluk agama Kristen yang dianjurkan oleh

pejabat Alexandria waktu itu. Kematian Hypatia dianggap sebagai zaman

berakhirnya matematika Yunani.

c. Proclus -

Proclus lebih bersifat filosofis dibandingikan sebagai matematikan tetapi

ucapan-ucapan dan tulisan-tulisannya sering memberikan kritik terhadap sejarah

permulaan perkembangan geometri yunani . karyanya yang terbesar adalah

komentarnya terhadap buku I elemen karya Euclid . dalam menulis komentarnya

komentarnya ini, dipastikan bahwa Proklus mempunyai suatu salian dari History of

Geometri karya Eudemus, yang sekrang tidak dapat lagi , sama halnya dengan karya

Poppus Geometri of the Elements, yang sebagian besar tidak dapat di temukan

lagi.

Jasa Proclus yang terbesar adalah karyanya tentang sejarah geometri

sebelum Ecluid , dimana dalam karyanya “Geometri “ , Proklus membuat ringkasan

dari karya Eudemus “ History of Geometry”, yang terdiri dari empat buku. Bagian

dari buku ini, yang di kenal dengan “Eudemion Summery” dianggap sebagai

kontribusi Proklus yang terbesar kepada sejarah matematika, disamping teorema

penemuannya : Apabila suatu segmen garis yang panjangnya tetap bergerak dengan

kedua ujungnya pada dua garis berpotongan , suatu titik dari segmen garis itu akan

melukiskan suatu bagian elips . karya Proklus yang lain adalah komentarnya

terhadap karya Plato “Republic” Proclus meninggal di Athena , ketika dia berumur

lebih kurang 75 tahun.

d. Boothius (475-

Boothius disamping sabagai seorang matematika dan filasof, dia adalah juga

seorang negarawan terkenal. Walaupun Boothius adalah seorang matematika

terkemuka pada zaman romawi, namun tingkatan hasil karyanya jauh ketinggalan

dari karya-karya penulis Yunani. Boothius menulis buku teks untuk empat cabang

matematika, yakni aritmatika, geometri, music, dan astronomi. Buku aritmatika

Boothius berdasarkan kepada “Introduction” karya Hicomacus, geometri

berdasarkan “Elements”nya Euclid, astronomi berdasarkan “Almagest‟‟nya ptolomy,

sedangakan musik berdasarkan kepada karya Hicomacus, Euclid dan Ptolemy.

Karena pertentangan politik dan agama dengan penguasa dan pihak gereja

pada waktu itu, yang sanggat besar pengaruhnya terhadap pemerintahan, maka

Boothius dipenjarakan untuk beberapa tahun lamanya, dan akhirnya dijatuhi

hukuman mati pada tahun 521. Kematian Boathius ini dapat dianggap sabagai

akhirnya periode matematika zaman kuno di kekaisaran Romawi Barat. karya

terakhir dari Boothius adalah “De consolatione philosopjiae”, yang dituliskanya

maka berada dalam penjara, sebelum dia dihukum mati.

e. Simplicius

Karya Simplicius yang terkenal adalah komentarnya atas karya Aristotles,

”Physica” Disamping itu Simplicius juga menulis tentang percobaan Anthipon

(430 S.H) untuk mengkuatdratkan lingkaran, tentang lune nya Hippocratus dan

tentang concection nya Eudoxus. Simplicius mengutip kota demi kata apa yang

ditulis Eudemus tentang “quadratur of lune”nya Hippocratus

Dari catatan-catatan Simplicius inilah orang dapat mengenal karya-karya

geometri Yunani yang monuskrip aslinya tidak ditemukan lagi, terutama sekali

karya-karya geometri sebelum zaman Plato. Karya Simplicius yang lain adalah

komentarnya terhadap buku I Elements karya Euclid yang kemudian diterjemahkan

kedalam bahasa arab pada zaman khalifah Harun Al-Rasyid. Simplicius diperkirakan

hidup pada pertengahan pertama abad keenam, dan pernah mengenyam pendidikan

Alexandria dan Athena.

f. Metrodorus

Anthologi ini adalah salah satu sumber yang sangat berharga tentang

aljabar yunani yang disusun oleh Metrodorus, seorang ahli tata bahasa yunani.

Anthology aini berisi segienam ribu epigmen (sanjak, puisi), dimana 46 buah berisi

problem-problem ini adalah berasal dari Metrodorus, dan sebagian lagi berasal dari

karya-karya matematica sebelumnya , termasuk problem matematika sesudah zaman

Diophantus . Sekitar satu lisin mengenai persamaan simultan sederhana dengan dua

variable, satu persamaan simultan dengan empat persamaan dan empat variabel dan

dua problem yang berhubunggan dengan pertsamaan tak tentu (undeteminate

equstion) dari pertama.