Persamaan Linier (PL)

• Penyelesaian PL dg eleminasi

• Penyelesaian PL dg subtitusi

• Penyelesaian PL dg matriks

• Penyelesaian PL dg gafis

• Penyelesaian PL dg metode simplex

Contoh:Carilah Penyelesaiana. persamaan3x + 4y = 22x – 3y = 7

b. persamaan3x + 2y = 194x + 3y = 26

Penyelesaian Persamaan Linier dengan Matriks

Misalkan persamaan linier:

ax + by = c

dx + ey = f

1. Tuliskan matriks dari konstanta-2 persamaan linier

fed

cba

2. digunakan operasi hitung, sehingga matriks tersebut menjadi

f

c

10

01 Sehingga dpt disimpulkan penyelsaian sistem persamaan tsb. adalah (c, f)

Contoh:dik: sistem persamaan linier

3x + 4y = 22x – 3y = 7

732

243

1. Matriks dari konstanta-konstanta

732

3/23/43/3

732

3/23/41

2. Kalikan baris pertama dg 1/3

3/173/170

3/23/41

3. Kalikan baris pertama dg -2 kemudian tambahkan kpd baris kedua

110

3/23/41

4. Kalikan baris kedua dg -3/17

3/173/170

3/23/41

110

201

5. Kalikan baris kedua dg -4/3 kemudian tambahkan kpd baris pertama

6. Jadi penyelesaian sistem

3x + 4y = 22x – 3y = 7

Adalah (2, -1)

Latihan

Carilah penyelesaian sistem:

3x + 2y = 19

4x + 3y = 26

Dengan bantuan matriks

Sistem Persamaan Linier dg 3 variabel

r

q

p

100

010

001

Perhatikan:

a1x + b1y + c1z = p

a2x + b2y + c2z = q

a3x + b3y + c3z = r

Maka dari sistem persamaan linier 3 varibel di atas perlu diusahakan memperoleh matriks:

Ini berarti penyelesaian sistem persamaan di atas (p, q, r)

Contoh:

x - 4z = 52x - y + 4z = -36x – y + 2z = 10

Matriks dari konstanta-konstanta adalah:

10216

3412

5401

1. Kalikan baris pertama dg -2 kemudian tambahkan kpd baris kedua

10216

131210

5401

10216

131210

5401

2. Kalikan baris pertama dengan -6, kemudian tambahkan kpd baris ketiga

202610

131210

5401

3. Kalikan baris kedua dengan -1

202610

131210

5401

4. Tambahkan baris kedua kpd baris ketiga, sehingga menjadi

71400

131210

5401

5. Kalikan baris ketiga dengan 1/14

2/1100

131210

5401

6. Kalikan baris ketiga dg 12 kemudian tambahkan hasilnya kpd baris kedua

2/1100

7010

5401

7. Kalikan baris ketiga dg 4 kemudian tambahkan hasilnya kpd baris pertama

2/1100

7010

3001didapat x = 3, y = 7, dan z = -1/2. jadi

penyelesaiannya (3, 7, -1/2)

Latihan

Selesaikan persamaan linier berikut dengan bantuan matriks:

2x – y + z = -1

x – 2y + 3z = 4

4x + y + 2z = 4

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier dengan Hukum Cramer

dc

ba

1. Determinan dari matriks:

dc

baadalah:

dc

badidefinisikan…

= (ad – bc)

2. determinan dari

333

222

111

cba

cba

cba

adalah:

22

113

33

112

33

221

333

222

111

cb

cba

cb

cba

cb

cba

cba

cba

cba

Perhatikan sistem persamaan linier

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2apabila persamaan pertama kita kalikan dengan b2, dan persamaan kedua dikalikan dengan –b1, kemudian kita jumlahkan kedua persamaan itu, maka diperoleh (a1b2 - a2b1)x = c1b2 – c2b1, atau……

022

11,

22

11

22

11

ba

basyarat

ba

ba

bc

bc

x Analog, kita peroleh:

022

11,

22

11

22

11

ba

basyarat

ba

ba

ca

ca

y

kalau

22

11

ba

baD

22

11

bc

bcDx

22

11

ca

caDy

maka

D

Dxx dan D

Dyy ; D≠0

Sistem persamaan tiga varibel

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3 dan determinan dari

333

222

111

cba

cba

cba

D 333

222

111

cbd

cbd

cbd

Dx 333

222

111

cda

cda

cda

Dy 333

222

111

dba

dba

dba

Dz

D

Dxx

D

Dyy D

Dzz

Latihan:

Selesaikan dengan menggunakan cara cramer persamaan linier berikut:

1. 2x + 5y = 7

5x – 2y = -3

2. x – 3y + 7z = 13

x + y + z = 1

x – 2y + 3z = 4

Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linier

Diketahui Pertidaksamaan Linier

2x + y ≥ 2

4x + 3y ≤ 12

1/2 ≤ x ≤ 2

y ≥ 0

Diktanyakan:

1. Gambar tiap persamaan tsb

2. Arsir daerah tiap pertidaksamaan

3. Gambar dalam satu bidang xoy kemudian arsir daerah yg memenuhi semua syarat di atas.

Jawab untuk pertidaksamaan

2x + y ≥ 2

1

2

Jawab untuk pertidaksamaan

4x + 3y ≤ 12

3

4

Jawab untuk pertidaksamaan

1/2 ≤ x ≤ 2, 4x + 3y ≤ 12, 2x + y ≥ 2, x ≥ 0, y ≥ 0

4

3211/2

2

x

y

Nilai Ekstrem Fungsi LinierMisalkan sistem pertidaksamaan linier sbb:

5x + 6y ≤ 30 , x ≥ 0

3x + 2y ≤ 12 , y ≥ 0

dan relasi T = x + 5y,

Carilah sepasang nilai (x, y) yang merupakan anggota penyelesaian pertidaksamaan di atas dan membuat nilai T optimum.

6

6

5

4

(3/2, 15/4)

x y T= x + 5y

0 5 25

4 0 4

0 0 0

3/2 15/4 20,25

Diketahui sistem pertidaksamaan:

x – y + 1 ≤ 0

x – y + 3 ≥ 0

2 ≤ x ≤ 5

Carilah nilai maksimum dan minimum dari T = 9x + 40 y jika (x, y) merupakan anggota himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier di atas.

Uraian dan Contoh:

Peternak ayam potong memiliki sejumlah ayam yg tiap waktu tertentu dijual kepada konsumen berdasarkan berat badannya. Karena itu peternak tersebut berusaha memberi makanan yang memenuhi syarat agar ayam-ayam menjadi lebih berat dan harga per ekornya menjadi lebih mahal. Berdasarkan saran petugas kesehatan hewan, peternak perlu menggunakan bahan A dan bahan B yang harus dicampur sendiri supaya lebih ekonomis. Kedua bahan makanan tersebut mengandung sejumlah tertentu protein, mineral, vitamin, dan kalori. Bagaimana kombinasi kedua bahan itu agar biaya yang ditanggung serendah mungkin dan hasil yang diperoleh akan memenuhi syarat.

Model Matematika:

Misal: bahan A adalah x

bahan B adalah y, dan

harga perunit bahan A adalah p

harga perunit bahan B adalah q

Total biaya yang perlu dikeluarkan oleh peternak

T = px + qy

T = px + qy adalah fungsi tujuan (objektif)

1. bahan A dan B bersifat non negatif variabel atau x ≥ 0 ; y ≥ 0

2. zat-zat yg terdapat bahan A dan B harus terpenuhi

misalkan: jumlah minimum protein adalah c1

jumlah minimum mineral adalah c2

jumlah minimum vitamin adalah c3

jumlah minimum kalori adalah c3

dalam satu unit bahan A terpenuhi dalam satu unit bahan B terpenuhi

protein sebanyak a1 ; protein sebanyak b1

mineral sebanyak a2 ; mineral sebanyak b2

vitamin sebanyak a3 ; vitamin sebanyak b3

kalori sebanyak a4 ; kalori sebanyak b4

Sistem pertidaksamaan linier sebagai berikut:

a1x + b1y ≥ c1…………………….

a2x + b2y ≥ c2…………………….

a3x + b3y ≥ c3…………………….

a4x + b4y ≥ c4…………………….

Nilai minimum dapat diperlihatkan dengan gambar berikut:

A

B

C

D

E

LATIHAN

1. Seorang penjahit mempunyai bahan 60 m wol dan 40 m katun. Dari bahan tersebut akan membuat setelan jas dan rok untuk untuk dijual. Satu setel jas memerlukan 3 m wol dan 1 meter katun; satu rok memerlukan 2 m wol dan 2 m katun. Berapa stel jas dan rok yg harus ia buat agar mendapat keuntungan sebesar-besarnya, bila satu stel jas harganya Rp 80.000,00 dan satu stel rok harganya Rp 40.000,00.

Terjemahkan dalam model matematika:

a. aktivitas (variabel)

b. fungsi tujuan

c. fungsi pembatas (constraints)

Jawab

a. x adalah jumlah stelan jas

y adalah jumlah stelan rok

b. fungsi tujuan f(x,y) = 80.000x + 40.000y

c. fungsi pembatas adalah: 3x + 2y ≤ 60; x + 2y ≤ 40; x ≥ 0; y ≥ 0

d. Agar mencapai keuntungan sebesar-besarnya stel jas dan rok yg harus dibuat adalah:

30

20

20

40

x y f(x,y)=80000x + 40000y

0 20 800.000

20 0 1.600.000

10 15 1.250.000

Latihan

1. Seorang petani memerlukan zat kimia A, B, C berturut turut 20 kg, 18 kg dan 12 kg, untuk memupuk kebun sayurnya. Dlm stiap kaleng pupuk cair mengandung zat A = 1 kg,; B = 2 kg dan C = 3 kg. Pupuk kering tiap kantong mengandung zat A = 5 kg; B = 3 kg dan C = 1 kg. Harga 1 kaleng pupuk cair Rp 1000,- dan 1 kantong pupuk kering Rp 1.500,-. Berapa banyak tiap jenis pupuk harus dibeli dg harga paling murah dengan zat yg diperlukan terpenuhi?

2. Seorang agen sepeda ingin membeli sepeda 25 buah untuk persediaan, ia ingin membeli sepeda biasa (jenis I) dg harga 60.000/buah, dan sepeda balap (jenis II) dg harga 80.000/buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp. 1.680.000,- dg harapan untung Rp 10.000 utk sepda biasa dan Rp 12.000 utk sepeda balap.

Ditanyakan:

a. aktivitas (variabel)

b. fungsi tujuan (objektif)

c. fungsi pembatas (constraints)

3. Suatu perusahaan bangunan merencanakan membangun rumah-2 untuk 540 org. Banyak rumah yg akan dibangun tidak lebih dari 120 buah. Rumah jenis I dg biaya sewa Rp 90.000/tahun dan ditempati oleh 4 org; rumah jenis II dg sewa tiap tahun Rp 107.000 dan dapat ditempati 6 orang.

Ditanyakan:

a. aktivitas

b. fungsi tujuan

c. fungsi pembatas

Penyelesaian Program Linier dengan cara Grafis

a. Persoalan dengan jawaban tunggal

contoh:

sebuah pabrik baja mempunyai persdiaan 18 ton bahan mentah yg akan diproseskan menjadi besi beton dengan kontrak pembuatan 7,6 ton dari bahan yg tersedia dan menjual sebagian bahan mentah kepada pabrik lain. Tercatat selama proses pembuatan besi beon berlangsung, 5% baja hilang. Berapa banyak bahan mentah yg dijual kepada pabrik lain?

Jawab:

1. misal baja yg akan dijual adalah x ton

2. jumlah baja yg diproses menjadi besi beton (18 – x) ton

3. bahan mentah yg hilang selama proses menjadi besi beton (18 – x) – 5% (18 – x) = 95% (18 – x) = 7,6.

dengan demikian diperoleh : 18 – x = (7,6) : (0,95) = 10 ton

jadi jumlah besi beton yg dpt dijual kepada pabrik lain adalah 10 ton.

Penyelesian sistem persamaan linier (PL) tiga variabel dengan cara grafis

Tahapan proses penyelesaian dg 3 variabel:

1. Terjemahkan data persoalan PL menjadi sistem pertidaksamaan sebagai pembatas dan fungsi linier T = ax1 + bx2 + cx3 sbg fungsi tujuan.

2. Lukis bidang datar dari tiap pembatas dan arsir ruang himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier

3. Menentukan titik dalam ruang penyelesaian yg memungkinkan fungsi tujuan mencapai nilai optimum

Persoalan tiga variabel:

Fungsi tujuan:

T =c1x1 + c2x2 + c3x3

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0

yang mencapai optimum

Pembatasan:

a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ h1 atau ≥ h1

a21x1 + a22x2 + a23x3 ≤ h2 atau ≥ h2

a31x1 + a32x2 + a33x3 ≤ h3 atau ≥ h3

Contoh:

Gambar bidang datar yang ditunjuk oleh:

2x1 + 3x2 + 6x3 = 120

Maka titik potong sumbu koordinat adalah:

Pd. Sb x1, bila x2 = 0, x3 = 0 mk P1(60,0,0)

Pd. Sb x2, bila x1 = 0, x3 = 0 mk P2(0,40,0)

Pd. Sb x3, bila x1 = 0, x2 = 0 mk P3(0,0,20)Gambarlah bidang datar 2x1 + 3x2 + 6x3 = 120

Gambar bidang datar 2x1 + 3x2 + 6x3 = 120

p1

P2

P3

Latihan 1:

Gambar dalam satu sistem koordinat, ketiga bidang datar yg ditunjukkan oleh sistem persamaan linier berikut:

2x1 + 3x2 + 6x3 = 120

6x1 + 2x2 + 3x3 = 120

3x1 + 6x2 + 2x3 = 120

Latihan 2:

Suatu perusahaan mempunyai 3 bahan mentah yaitu jenis I 480 unit, jenis II sebanyak 960 dan jenis III sebanyak 600 unit. Dari bahan mentah yg tersedia akan diproduksi tiga macam barang dg perincian, satu unit barang produksi memerlukan bahan mentah sbb:

1 unit brg A memerlukan 4 unit bahan I, 6 unit bahan II dan 6 unit bahan III.

1 unit brg B memerlukan 3 unit bahan I, 12 unit bahan II dan 5 unit bahan III

1 unit brg C memerlukan 6 unit bahan I, 8 unit bahan II dan 6 unit bahan III

Harga penjualan brg A, 1 unit menghasilkan Rp 90.000,-

Harga penjualan brg B, 1 unit menghasilkan Rp 60.000,-

Harga penjualan brg C, 1 unit menghasilkan Rp 120.000,-

Ditanyakan: Nilai maksimum fungsi tujuan…

Sistem Persamaan Linier lanjutan (persiapan simplex)

Perhatikan sistem persamaan:2x1 + 3x2 + 4x3 = 12

X1 + 2x2 + 2x3 = 4Jumlah baris m = 2 dan jumlah n = 3, atau jumlah variabel lebih dari jumlah persamaan, jika x3=0 maka x1 dan x2 dpt dicari: 2x1 + 3x2 = 12x1 + 2x2 = 4

4

12

21

32

2

1

x

xX1 = 12; x2 = -4; x3 = 0

21

32Adalah invers dari

21

32

Jika x1 = 0, maka x2 dan x3 dapat dicari

3x2 + 4x3 = 12

2x2 + 2x3 = 4

4

12

32

42

2

1

3

2

x

x

Sehingga diperoleh x1 = 0; x2 = -4; x3 = 6

Bagaimana bila x2 = 0, berapa nilai x1 dan x3 ?

ContohCarilah pemecahan dasar dari sistem persamaan:

X1 + 2X2 + X3 = 4

2X1 + 5X2 + 5X3 = 5

Jawab:

1. Banyaknya pemecahan dasar 3C2 = 3

2. Pemecahan dasar itu adalah

a) x3 = 0; X1 = …, dan x2 = ….

5

4

2

1

52

21

x

x

5

4

12

25

3

1

2

1

x

xx1 = 2; dan x2 = 1

b) x2 = 0, x1 = ? dan x3 = ?

c) x1 = 0, x2 = ? dan x3 = ?

Penyelsaian sistem persamaan linier dengan cara:1. penghapusan dari Gauss2. metode Gauss - Jordan

Contoh:

carilah penyelesaian daari sistem persamaan:2x1 + x2 + 4x3 = 163x1 + 2x2 + x3 = 10x1 + 3x2 + 3x3 = 16

Jawab:a) dengan penghapusan Gauss

pers (1) diperoleh x1 + ½ x2 + 2x3 = 8 ataux1= 8 – 1/2x2 – 2x3 ……………..(1’)nilai x1 disubtitusikan ke dalam (2) dan (3) shg x1 hilang dari pers. (2) dan (3)dari (2) 3x1 + 2x2 + x3 = 10 menjadi………

3(8 – 1/2x2 – 2x3) + 2x2 + x3 = 10

1/2x2 – 5x3 = -14………………………(2’)

dari (3)

x1 + 3x2 + 3x3 = 16 menjadi

(8 – 1/2x2 – 2x3) + 3x2 + 3x3 = 16

21/2x2 + x3 = 8………………………..(3’)

persamaan (2’) dikalikan dengan 2 sehingga menjadi

x2 - 10x3 = 28 atau x2 = -28 + 10x3………(2’’) kemudian disubtitusikan kedalam (3’) sehingga menjadi

21/2(-28 + 10x3) + x3 = 8

-70 + 25x3 + x3 = 8

26x3 = 78 atau x3 = 3………(3’’)

x3 = 3 disubtitusikan kedalam (2’’) dan (1’’) sehingga merupakan penyelesaian sistem persamaan tsb di atas

b) dengan metode Gaus – Jordan

langkah pertama kita gunakan cara penghapusan Gauss atau perhatikan sistem persamaan:

x1 + 1/2x2 + 2x3 = 8 ………………(1’)

1/2x2 – 5x3 = -14…………………..(2’)

21/2x3 + x3 = 8…………………….(3’)

dari (2’) 1/2x2 – 5x3 = -14 kita cari x2 kemudian disubtitusikan kedalam (1’) dan (3’) x2 = -28 + 10x3 kedalm (1’)

menjadi: x1 + 7x3 = 22 ………(1”)

x2 – 10x3 = -28…….(2”)

x3 = 3 ……………….(3”)

kemudian x3 = 3 disubtitusikan kedalam (1”) dan (2”) maka diperoleh x1 = 1 dan x2 = 2 atau matriks segitiga dari penghapusan Gaus diubah menjadi

3

2

1

3

2

1

100

010

001

x

x

x

Soal-soal

1. Diketahui sistem persamaanx1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 72x1 + x2 + x3 + 2x4 = 3a. berapa banyak pemecahan dasar maksimum yang mungkin diperoleh ?b. cari tipa pemecahan dasar yang mungkin dari sistem persamaan itu?

2. Diketahui:3x1 + 2x2 + 4x3 = 72x1 + x2 + x3 = 4x1 + 3x2 + 5x3 = 2carilah pemecahan sistem persamaan itu dengan cara a. penghapusan Gausb. Gauss-Jordanc. Cramerd. cari invers matriks dan cari pemecahan pers. itu

531

112

423