Tugas program linier

PROGRAM LINEAR

(METODE SIMPLEKS)

Oleh :

ANDRIYA SWARSIH10536 4183 11

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MAKASSARFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA2013

PROGRAM LINEAR DENGAN METODE SIMPLEX

1) Fungsi Tujuan : z = 8x + 3y

Fungsi Pembatas : 50x + 100y ≤ 1.200.000

50x ≥ 3.000

5x + 4y ≥ 60.000

Bentuk baku diperoleh dengan menambahkan variabel slack pada kendala

pertama, mengurangkan variabel surplus pada kendala kedua. Sehingga

diperoleh :

Minimumkan : Z = 8x + 3y + 0S1 + 0S2 + 0S3 +MA1 + MA2

50x + 100y + S1 = 1.200.000

50x - S2 + A1 = 3.000

5x + 4y – S3 + A2 = 60.000

Table Simpleks Awal

Basi

s

X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 NK Rasio

Z 55M

-8

4M

-3

0 -

M

-

M

0 0 63.000M

S1 50 100 1 0 0 0 0 1.200.00

0

1.200.000:50=24.00

0

A1 50 0 0 -1 0 1 0 3.000 3.000:50 = 60

A2 5 4 0 0 -1 0 1 60.000 60.000 : 5 = 12.000

Iterasi Pertama

Basi

s

X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 NK Rasio

Z 0 4M

-3

0 0,1M

-0,16

0 -

1,1M+0,1

6

0 59.700M+48

0

S1 0 100 1 1 0 -1 0 1.197.000 11.97

0

X1 1 0 0 -0,02 0 0,02 0 60

A2 0 4 0 0,1 -1 -0,1 1 5700 1.425

Iterasi Kedua

Basis X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 NK

Z 0 0 0 -

0,085

M-

0,75

-

M+0,085

-

M+0,75

54.000M+4755

S1 0 0 1 -1,5 25 1,5 -25 1.054.500

X1 1 0 0 -0.02 0 0.02 0 60

X2 0 1 0 0,025 -

0,25

-0,025 0,25 1425

Iterasi kedua adalah optimal karena koefisien pada persamaan Z semuanya nonpositif, dengan X1= 60, X2 = 1425 dan Z = 54.000M+4755

2) PT Yummy food memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi dua jenis

produk yaitu vanilla dan violette. Untuk memproduksi kedua produk

tersebut diperlukan bahan baku A, bahan baku B dan jam tenaga kerja.

Maksimum pengerjaan bahan baku A adalah 60kg per hari, bahan baku B

30kg per hari dan tenaga kerja 40jam per hari. Kedua jenis produk

memberikan sumbangan keuntungan sebesar Rp40,00 untuk vanilla dan

Rp30,00 untuk violette. Masalah yang dihadapi adalah bagaimana

menentukan jumlah unit setiap produk yang akan diproduksi setiap hari.

Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat

diliha pada tabel berikut ini:

Jenis bahan baku dan

tenaga kerja

Kg bahan baku dan jam tenaga

kerja

Maksimum

Penyediaan

Vanilla Violette

Bahan baku A 2 3 60Kg

Bahan baku B - 2 30Kg

Tenaga Kerja 2 1 40jam

Sumbangan

keuntungan

Rp40,00 Rp30,00

Penyelesaian:

Z = Rupiah keuntungan per hari

X1 = Jumlah vanilla yang diproduksi/perhari

X2 = jumlah violette yang diproduksi/hari

Langkah 1

Formulasi LP (bentuk standar)

Fungsi tujuan Zmax = 40X1 + 30X2

Fungsi kendala I. 2X1 + 3X2 ≤ 60

II. 2X2 ≤ 30

III. 2X1 + 1X2 ≤ 40

IV. X1,X2 ≥ 0

Diubah menjadi:

2X1 + 3X2 + S1 + 0S2 + 0S3 = 60

2X2 + 0S1 + S2 + 0S3 = 30

2X1 + 1X2 + 0S1 + 0S2 + S3 = 40

40X1 + 30X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3

C1 = 40, C2 = 30, C3 = 0, C4= 0, C5 = 0

Langkah 2

Tabel simplex awal masalah PT Yummy Food

Cj 40 30 0 0 0

Ci BV X1 X2 S1 S2 S3 Bi

0 S1 2 3 1 0 0 60

0 S2 0 2 0 1 0 30

0 S3 2 1 0 0 1 40

Zj 0 0 0 0 0 0

Cj-ZJ 40 30 0 0 0

Langkah 3

Apakah tabel tersebut sudah optimal?

Belum, karena tabel optimal bila nilai yang terdapat pada baris Cj – Zj ≤ 0

Langkah 4

Penyelesaian dengan cara iterasi

1. Menentukan kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai Cj-Zj

terbesar yaitu kolom x1. Dengan demikian x1 akan masuk dalam basis

2. Menentukan baris kunci, yaitu baris yang memiliki angka indeks

terkecil dan bukan negatif. Dalam hal ini baris s3. Dengan demikian

s3 akan keluar dari basis dan tempatnya akan digantikan oleh x1

3. Menetukan angka kunci. Angka kunci adalah angka yang terdapat

pada persilangan kolom kunci dengan baris kunci, dalam hal ini angka

kunci = 2

4. Mencari angka baru yang terdapat pada baris kunci, dengan cara

membagi semua angka yang terdapat pada baris kunci dengan angka

kunci

Angka baru = 40/2, 2/2, ½, 0/2, 0/2, ½

Atau = 20, 1, ½, 0,0 ½

5. Mencari angka baru pada baris lain, yaitu :

Baris S1

Angka lama = [ 60 2 3 1 0 0 ]

Angka baru = [ 20 1 ½ 0 0 ½] (2)

_

Angka baru = [20 0 2 0 0 -1]

Baris S2

Angka lama = [ 30 0 2 0 1 0]

Angka baru = [ 20 1 ½ 0 0 1/2] (0)

_

Angka baru = [ 30 0 2 0 1 0]

Hasil perhitungan di atas, akan nampak pada tabel baru simplex yaitu

tabel yang merupakan hasil iterasi pertama.

Cj 40 30 0 0 0


0 S1 0 2 1 0 -1 20

0 S2 0 2 0 1 0 30

40 X1 1 ½ 0 0 ½ 20

Zj 40 20 0 0 20

Cj-ZJ 0 10 0 0 0

Tabel iterasi 1 belum optimal sehingga harus diulang langkah di atas dan

akan di dapat tabel iterasi 2:

Cj 40 30 0 0 0


30 X1 0 1 ½ 0 -1/2 10

0 S2 0 0 -1 1 1 10

40 S3 1 0 -1/4 0 ¾ 15

Zj 40 30 5 0 15

Cj-ZJ 0 0 -5 0 -15 900

Solusi optimum tabel iterasi 2 menunjukan bahwa total nilai Z = 900

dengan masing-masing variabel keputusan X1 = 15 dan X2 = 10.

Variabel basis Koefisien fungsi

tujuan

Nilai variabel

basis

X2 30 10 300

S2 0 10 0

X1 40 15 600

JUMLAH 900

KESIMPULAN:

1. Pada tabel iterasi 2 merupakan tabel akhir simplex, dengan solusi optimal

adalah :

X1 (vanilla) = 15 unit

X2 (violette) = 10 unit

Z (keuntungan) = Rp 900,00

2. Kendala kedua (bahan baku B) masih tersisa sebanyak 10 Kg yang

ditunjukan oleh nilai S2 =10, pada tabel optimal

3. Kendala 1 dan 3 tidak ada sisa (full capacity), yang ditunjukan oleh nilai

S1 = S3 = 0 ( variabel nonbasis). Hal ini juga dapat dibuktikan dengan

memasukan nilai S1 dan S2 ke dalam kendala 1 dan 3

Kendala 1 : 2X1 + 3X2 = 60

2 (15) + 3 (10) =60

60 = 60

Bahan baku yang digunakan = yang tersedia

Kendala 3 : 2X1 + 1X2 = 40

2 (15) + 1(10) =40

40 = 40

Jam kerja yang digunakan = yang tersedia

3) Gunakan metode simpleks untuk memaksimumkan

= 8000 X1 + 7000 X2

Dengan kendala :

2 X1 +3 X2≤242 X1 + X2≤16X1+4 X 2≤27

X1≥0 dan X2≥0

Penyelesaian :

1. Fungsi tujuan dalam bentuk implisit :

- + 8000 X1 + 7000 X2 = 0≤

2. Karena masalah maksimisasi, maka kendala harus ditambah

variabel slack

2 X1+3 X2+S1 =242 X1+ X2+S2 =16X1+4 X2+S3 =27

3. Tabel Simpleks I (awal)

Variabel Dasar

X1 X2 S1 S2 S3 Nilai kanan (konstanta)

Baris 1 =

Baris 2 = S1

Baris 3 = S2

Baris 4 = S3

-1 8000 7000 0 0 0

0 2 3 1 0 0

0 2 1 0 1 0

0 1 4 0 0 0

0

24

16

27

Kolom kunci adalah kolom X1

Baris kunci adalah baris 3

Langkah-langkah Membentuk Tabel Simpleks II

1. Kolom kunci adalah kolom yang berada pada angka positif terbesar dalam

baris pertama, yaitu kolom X1.

2. Baris kunci adalah :

Baris 2 =

Nilai kanan ( NK )Angka kolom kunci ( AKK )

=242

=12

Baris 3 =

Nilai kananAngka kolom kunci

=162

=8→ positif terkecil

Baris 4 =

Nilai kolomAngka kolom kunci

=271

=27


3. Baris kunci baru (baris 3 baru) :

Baris kunci lama :

X1 X2 S1 S2 S3 NK

0 2 1 0 1 0 16

Baris kunci baru = Baris lama dibagi angka kunci

0 1 ½ 0 ½ 0 8

4. Baris lain yang baru

Baris (1) Baru = Baris (1) lama – (Baris kunci baru x 8000)



5. Tabel Simpleks II

Variabel Dasar

X1 X2 S1 S2 S3 Nilai

Kanan

Baris (1) =

Baris (2) = S1

Baris (3) = X1

Baris (4) = S3

-1 0 3000 0 -4000 0

0 0 2 1 -1 0

0 1 ½ 0 ½ 0

0 0 3,5 0 -½ 0

-64.000

8

8

19

Langkah Membentuk Tabel Simpleks III

Kolom kunci = Kolom X2

Baris kunci =

Baris 2 =

NKAKK

=82=4→ positif terkecil

Baris 3 =

NKAKK

= 81 /2

=16

Baris 4 =

NKAKK

=193,5

=5 , 43


Baris kunci baru (baris 2 baru) =

X1 X2 S1 S2 S3 NK

0 0 1 ½ -½ 0 4

Baris lain yang baru =


Baris (3) Baru = Baris (3) lama – (Baris kunci baru x ½)

Baris (4) Baru = Baris 94) lama – (Baris kunci baru x 3,5)

Tabel Simpleks III

Variabel Dasar

X1 X2 S1 S2 S3 Nilai

Kanan Baris (1) =

Baris (2) = X2

Baris (3) = X1

Baris (4) = S4

-1 0 0 -1500 -2500 0

0 0 1 ½ -½ 0

0 1 0 -1/4 ¾ 0

0 0 0 -7/4 5/4 1

-76.000

4

6

5

Karena pada baris (1) tidak ada lagi yang bernilai positif, penyelesaian optimal

selesai.

X1 = 6 ; X2 = 4 ; - = -76.000

*= 76.000.

4) Minimumkan: Z = 2X1 + 10X2

Kendala : 2X1 + X2 ≤ 6 5X1 + 4X2 ≥ 20

X1 ≥ 0 dan X2 ≥ 0

Tentukan X1, X2 yang meminimum Z=…?

Penyelesaian:

Tahap 1: Memasukkan Variable Slack dan Variable Buatan

Fungsi Tujuan : Z = 2X1 + 10X2 + M.A1Kendala :2X1 + X2 + S1 = 65X1 + 4X2 - S2 + A1 = 20

Keterangan: S1 dan S2: variabel SlackA1 : Variabel Buatan (variabel artifisial).

Tahap 2: Langkah Membentuk Tbl Simpleks I:

Membentuk fungsi tujuan untuk siap dimasukkan ke Tabel Simpleks I:

Minimumkan: - Z + 2X1 + 10X2 + M.A1 = 0

Karena nilai M pada fungsi tujuan harus nol, maka fungsi tujuan semula harus diubah menjadi funsi tujuan yang disesuaikan.

Fungsi Tujuan

X1 X2 S1 S2 A1 NK

Fungsi Tujuan

2 10 0 0 M 0

Kendala (2) x M

5M 4M 0M -1M 1M 20M

Fungsi Tujuan Baru

(2-5M) (10-4M) 0 +M 0 -20M

Tabel Simpleks I:

Variabel dasar

X1 X2 S1 S2 A1 NK

F.Tujuan(Cj-Zj)

(2-5M) (10-4M) 0 +M 0 -20M

S1 2 1 1 0 0 6S2 5 4 0 -1 1 20

Tahap 3: Langkah Membentuk Tabel Simpleks II.

(1). Kolom Kunci : Kolom X1 karena memiliki nilai negatif terbesar pada baris Cj-Zj.

(2). Baris Kunci (NK/ AKK):

Baris 2 (Baris S1): NK/AKK = 6/2 = 3....(BK)Baris 3 (Baris S2): NK/AKK = 20/5 = 4.

(3). Baris Kunci Baru (Baris 2) Baru: BKB = (BKL/AK) Baris Kunci X1 X2 S1 S2 A NKBKB=BKL/AK

2/2 ½ ½ 0/2 0/2 6/2

BKB 1 ½ ½ 0 0 3

(4). Baris Lain yang Baru: a. Baris 1 (Baris Cj-Zj) baru = Baris Lama – (AKK.BKB)

Baris 1(Cj-Zj)

X1 X2 S1 S2 A1 NK

Baris 1 Lama

(2-5M) (10-4M) 0 M 0 -20M

BKB 1 ½ ½ 0 0 3AKKxBKB

(2-5M)(1) (2-5M)(1/2) (2-5M)(1/2) (2-5M)(0) (2-5M)(0)

(2-5M) (1-5/2M) (1-5/2M) 0 0

(2-5M).(3)

(6-15M)Baris 1 Baru

0 (9-3/2M) (-1+5/2M) M 0 (-6-5M)

b. Baris 3 (Baris S2) Baru:Baris 3 X1 X2 S1 S2 A1 NKBaris 3 Lama

5 4 0 -1 1 20

BKB 1 ½ ½ 0 0 3BKBxAKK

5(1) 5(1/2) 5(1/2) 5(0) 5(0)

5 2,5 2,5 0 0

5(3)

15Baris 3 Baru

0 3/2 -2,5 -1 1 5

Tabel Simpleks IIVariabel Dasar X1 X2 S1 S2 A1 NKBaris 1Cj-Zj

0 (9-3/2M) (-1+5/2M) M 0 (-6-5M)

Baris S1.... Baris (X1)

1 ½ ½ 0 0 3

Baris S2 0 3/2 -5/2 -1 1 5

Tahap IV: Langkah Membentuk Tabel Simpleks III

Dengan cara yang sama dapat ditentukan:(1). Kolom Kunci: Kolom X2 (Negatif terbesar)(2). Baris Kunci: Baris 3 (Baris S2);(3). Baris Kunci Baru;(4). Baris Lain yang baru.

Tabel Simpleks IIIVariabel Dasar X1 X2 S1 S2 A1 NKBaris 1Cj-Zj

1 0 14 6 (-6+M) -36

Baris S1...(X1) 1 0 4/3 1/3 -1/3 4/3Baris S2...(X2) 0 1 -5/3 -2/3 2/3 10/3.

Karena : Baris 1 (Cj-Zj) sudah positif semua dan telah terbentuk matrik Identity untuk kolom 1 dan kolom 2, maka Tabel Simpleks selesai;

Nilai Optimum:

-Zj = -36...... Zj = 36, X1 = 4/3, X2 = 10/3.

5) Minimumkan : C = 6X1 + 24X2

Kendala: X1 + 2X2 ≥ 3 X1 + 4X2 ≥ 4

Dan X1, X2 ≥ 0

Penyelesaian:

Langkah membentuk Tabel Simpleks I:

1. Penyesuaian Fungsi tujuan dan Kendala:

Minimisasi: C = 6X1 + 24X2 +M.A1+ M.A2 Kendala : X1 + 2X2 –S1 + A1 = 3 X1 + 4X2 – S2+ A2 = 4 Keterangan: S1, S2 : Variabel Slack A1,A2 : Variabel Buatan

2. Penyesuaian Fungsi tujuan agar siap masuk pada Tabel Simpleks I, karena

nilai M akan dianggap Nol.

a. Fungsi Tujuan dalam bentuk Implisit

- C + 6X1 + 24X2 + MX1 + MX2 = 0

b. Penyesuain Fungsi Tujuan :Fungsi Tujuan

X1 X2 S1 A1 S2 A2 NK.....?

Cj-Zj 6 24 0 M 0 M 0Kendala (1) x M

1M 2M -M M 0 0 3M

Cj-Zj (6-M) (24-2M) M 0 0 M -3MKendala (2) xM

1M 4M 0 0 -M M 4M

Cj-Zj (6-2M) (24-6M) M 0 M 0 -7M (nilai M =0)

c.Tabel Simpleks I

Variabel Dasar

X1 X2 S1 A1 S2 A2 NK

Cj-Zj (6-2M) (24-6M) M 0 M 0 0A1 1 2 -1 1 0 0 3A2 1 4 0 0 -1 1 4

Langkah Membentuk Tabel Simpleks II:

1. Kolom Kunci: Kolom X2 (Negatif terbesar)2. Baris Kunci:

Baris 2 =NK/AKK = 3/2 = 1,5 Baris 3 : NK/AKK = 4/4 = 1 ...Baris Kunci

3. Baris Kunci Baru (BKB = BL/AK);

4. Baris lain (Baris 1 dan Baris 2) yang baru;

5. Tabel Simpleks II:

Variabel Dasar

X1 X2 S1 A1 S2 A2 NK

Cj-Zj (-1/2M) 0 M 0 (6-1/2M) (-6+3/2M) (-24+6M)A1 ½ 0 -1 1 ½ -1/2 1A2...X2 ¼ 1 0 0 -1/4 1/4 1

Langkah Membentuk Tabel Simpleks III:

Kolom Kunci: Kolom X1(Negatif terkecil)Baris Kunci:

Baris 2= NK/AKK = 1/(1/2)=2..Baris Kunci Baris 3 : NK/AKK = 1/(1/4) = 4.

Baris Kunci Baru (BKB = BL/AK);

Baris lain (Baris 1 dan Baris 3) yang baru.

Tabel Simpleks III:

Variabel Dasar

X1 X2 S1 A1 S2 A2 NK.....?

Cj-Zj 0 0 0 M 6 (-6+M) (-24+7M)A1...X1 1 0 -2 2 1 -1 2X2 0 1 ½ -1/2 -2/4 2/4 1/2

Titik Optimal:X1 = 2 ; X2 = ½; -Zj = -24+7M....Zj=C= 24.

6) Maksimumkan Z=3 X1+2 X 2

dengan syarat :

X1+X2≤152 X1+ X2≤28X1+2 X2≤20

X1 , X2≥0

Bentuk baku masalah LP tersebut adalah :

Z−3 X1−2 X2−0S1−0S2−0S3=0X1+X2 + S1 =152 X1+ X2 + S2 =28

X1+2 X2 + S3 =20

Berdasarkan bentuk baku diatas, tentukan solusi awal (initial basic solution)

dengan menetapkan n-m variable non basis sama dengan nol. Dimana n jumlah

variabel dan m banyaknya kendala. Yaitu, n sebanyak 2 buah dan m sebanyak 3

kendala. Solusi dengan menggunakan tabel simpleks adalah sbb :

Tabel Simpleks Awal

Basis X1 X2 S1 S2 S3 Solusi RasioZ -3 -2 0 0 0 0S1 1 1 1 0 0 15 15S2 (2) 1 0 1 0 28 14S3 1 2 0 0 1 20 20

Tabel Iterasi Pertama

Basis X1 X2 S1 S2 S3 Solusi RasioZ 0 - ½ 0 3/2 0 42S1 0 (½) 1 - ½ 0 1 2X1 1 ½ 0 ½ 0 14 28S3 0 3/2 0 - ½ 1 6 4

Tabel Simpleks Kedua (optimum)

Basis X1 X2 S1 S2 S3 SolusiZ 0 0 1 1 0 43X2 0 1 1 - ½ 0 2X1 1 0 -1 1 0 13S3 0 3/2 0 - ½ 1 6

Pada iterasi kedua telah tercapai solusi optimum dengan X1 = 13, X2 = 2 dan Z

= 43. Pada tabel iterasi kedua (optimum) S3 = 0 artinya pengambil keputusan

akan menggunakan seluruh persediaan sumber daya pertama dan kedua, tetapi

masih memiliki sumber daya ketiga sebanyak 6 karena tidak digunakan.

7) Persamaan matematis suatu program linier adalah sebagai berikut :

Minimasi : Z = 6X1 + 7,5X2

Dengan pembatas :

7X1 + 3X2 ≥ 210

6X1 + 12X2 ≥ 180

4X2 ≥ 120

X1, X2 ≥ 0

Carilah harga X1 dan X2 ?

JAWABAN

Pada kasus ini kita akan menggunakan metode simplex M (BIG – M), hal ini

dikarenakan pada kasus ini pertidk samaan pembatasnya menggunakan ≥ (lebih

dari sama dengan).

Persamaan Tujuan : Z - 6x1 - 7,5X2 - 0S1 - 0S2 - 0S3 = 0 Baris 0

Persamaan Kendala : 7x1 + 3x2 - S1 +A1 = 210 Baris 1

6x1 + 12x2 - S2 +A2 = 180 Baris 2

4x2 - S3 + A3 = 120 Baris 3

Bagi kendala pertidaksamaan jenis ≤, maka variabel slack ditambahkan untuk

menghabiskan sumber daya yang digunakan dalam kendala. Cara ini tidak dapat

diterapkan pada kendala pertidaksamaan jenis ≥ dan kendala persamaan (=)

persamaan diatas diperoleh karena tanda ≥ harus mengurangi variable surplus.

Untuk mengarahkan artifisial variabel menjadi nol, suatu biaya yang besar

ditempatkan pada A1, A2, dan A3 sehingga fungsi tujuannya menjadi :

Z = 6x1 + 7,5X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + MA1 + MA2 + MA3

Table simplex awal dibentuk dengan A1, A2, dan A3 sebagai variable basis,

seperti table berikut :

Basis X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK RASIO

Z 13M-

6

19M-

7,5

-

M

-

M

-M 0 0 0 510M

A1 7 3 -1 0 0 1 0 0 210 210 : 3 =

70

A2 6 12 0 -1 0 0 1 0 180 180 : 12

= 15

A3 0 4 0 0 -1 0 0 1 120 120 : 4 =

30Dari table diatas kita ketahui bahwa semua BFS belum optimal. Hal ini

dikarenakan seluruh NBV masih mempunyai koefisien yang berharga positif.

Oleh karena itu Untuk x2 terpilih sebagai entry variable karena x2 memiliki nilai

koefisien positif yang paling besar, dan A3 menjadi Leaving Variable. Dan yang

akan menjadi pivot adalah baris 2 karena memiliki rasio paling kecil.

Langkah-langkah ERO Iterasi Pertama :

ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 1 pada baris 2

½ x1 + x2 - 1/12 S2 +1/12 A2 = 15


Z = 9/4 x1 + 0S1 + 15/24 S2 + 0S3 + MA1 + [ M - 15/24]A2 + MA3 + 112,5


11/2 x1 + ¼ S2 + A1 - 1/4 A2= 165


-2x1 + 1/3 S2 - S3 - 1/3 A2 + A3 = 60

Konversi bentuk standard iterasi Pertama :

Z = 9/4 x1 + 0S1 + 15/24 S2 + 0S3 + MA1 + [ M - 15/24]A2 + MA3 + 112,511/2 x1 + ¼ S2 + A1 - 1/4 A2 = 165

-2x1 + 1/3 S2 - S3 - 1/3 A2 + A3 = 60

½ x1 + x2 - 1/12 S2 +1/12 A2 = 15

Tabel Iterasi Pertama

Basis X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK RASIO

Z -13/2M-

6

0 0 7/12 -15/24

-M 0 1/24 -

M

0 225M –

112,5

*

A111/2 0 0 1/4 0 1 -1/4 0 165 165 : 5,5

= 30

A3 -2 0 0 1/3 -1 0 -1/3 1 60 *

X2 ½ 1 0 -1/12 0 0 1/12 0 15 15 : 0,5

= 30

Pada fungsi tujuan masih terdapat variable dengan nilai koefisien positif, oleh

karena itu lakukan iterasi kedua.

Langkah-langkah ERO Iterasi Kedua:


x1 + 1/22 S2 + 2/11A1 - 1/22 A2 = 30


Z = 0S1 + 0,725 S2 + 0S3 + MA1 -0,4A1 + [ M – 0,725]A2 + MA3 + 180


0.5 A2 = 0


0,39 S2 - S3 +0,36A1 + 0,21 A2 + A3 = 120

Konversi bentuk standard iterasi kedua :

Z = 0S1 + 0,725 S2 + 0S3 + [M -0,4]A1 + [ M – 0,725]A2 + MA3 + 180

x1 + 1/22 S2 + 2/11A1 - 1/22 A2 = 30

0.5 A2 = 0

0,39 S2 - S3 + 0,36A1 + 0,21 A2 + A3 = 120

Tabel Iterasi Kedua

Basi

s

X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK

Z 0 0 0 -

0,72

5

0 -

M+0,

4

-1/2M+0,725

M -

18

0

x1 1 0 0 1/22 0 2/11 -1/22 0 30

A3 0 0 0 0 0 0 ½ 0 0

X2 0 0 0 0,39 -1 0,36 0,21 1 12

0

Iterasi kedua adalah optimum karena koefisien pada persamaan Z

semuanya non positif, dengan x1 = 30, x2 = 120 dan z=-180.

8) PT Unilever bermaksud membuat 2 jenis sabun, yakni sabun bubuk dan

sabun batang. Untuk itu dibutuhkan 2 macam zat kimia, yakni A dan B.

jumlah zat kimia yang tersedia adalah A=200Kg dan B=360Kg. Untuk

membuat 1Kg sabun bubuk diperlukan 2 Kg A dan 6 Kg B. untuk membuat

1 Kg sabun batang diperlukan 5 Kg A dan 3 Kg B. bila keuntungan yang

akan diperoleh setiap membuat 1Kg sabun bubuk = $3 sedangkan setiap 1

Kg sabun batang = $2, berapa Kg jumah sabun bubuk dan sabun batang

yang sebaiknya dibuat ?

JAWABAN

Pemodelan matematika :

Maksimumkan : Z = 3x1 + 2x2

Pembatas : 2x1 + 5x2 = 200

6x1 + 3x2 = 360

Persamaan Tujuan : Z - 3x1 - 2x2 = 0 Baris 0

Persamaan Kendala : 2x1 + 5x2 + A1 = 200 Baris 1

6x1 + 3x2 + A2 = 360 Baris 2

Untuk mengarahkan artifisial variabel menjadi nol, suatu biaya yang besar

ditempatkan pada A1, A2, dan A3 sehingga fungsi tujuannya menjadi :

Z = 3x1 - 2X2 + MA1 + MA2

Basis x1 x2 A1 A2 NK Rasio

Z 8M-3 8M+2 0 0 560M

A1 2 5 1 0 200 200:5=40

A2 6 3 0 1 360 360:3=120

Dari table diatas kita ketahui bahwa semua BFS belum optimal. Hal ini

dikarenakan belum seluruhnya NBV mempunyai koefisien yang berharga

positif. Oleh karena itu Untuk x2terpilih sebagai entry variable karena

x2 memiliki nilai koefisien negatif, dan A1 menjadi Leaving Variable. Dan

yang akan menjadi pivot adalah baris 1 karena memiliki rasio paling kecil.

Langkah-langkah ERO Iterasi Pertama :


0,4x1 + x2 + 0,2A1 = 40


Z = 3,8x1 + [M-0,4]A1 + MA2 - 80


4,8x1 – 0,6A1 + A2 = 240

Konversi bentuk standard iterasi pertama :

Z = 3,8x1 + [M-0,4]A1 + MA2 - 80

0,4x1 + x2 + 0,2A1 = 40

4,8x1 – 0,6A1 + A2 = 240

Basis x1 x2 A1 A2 NK Rasio

Z 4,8M-

3,8

0 0,4-

0,4M

0 240M+80

X2 0,4 1 0,2 0 40

A2 4,8 0 0,6 1 240

Iterasi pertama adalah optimum karena koefisien pada persamaan Z

semuanya positif, dengan x1 = 40, x2 = 240 dan z=240M+80.

9) Memaksimalkan : Z=8 x+6 y

Dengan pembatas 4 x+2 y ≤60

2 x+4 y ≤48

x1 , x2≥0

Selesaikan dengan metode simpleks.Jawab:

(1) Mengubah ke dalam berntuk persamaan linier.

4 x+2 y +s1=60

2 x+4 y +s2=48

(2) Nyatakan ke dalam bentuk matriks.

(4 2 1 02 4 0 1 )(

xys1

s2)=(60

48 )(3) Table simpleks.

I C j 8 6 0 0

C i x1 x2 s1 s2 b i Ri

0 s1 4 2 1 0 60 15

0 s2 2 4 0 1 48 24

Z j 0 0 0 0 Z=0

Z j−C j -8 -6 0 0

X j( j=1,2, . .. ) : macam variabel (x1 , x2 , s1 , s2 )

x1 , x2 : variabel keputusans1 , s2 : variabel basisC j

( j=1,2, . . .) : koefisien dari fungsi tujuan (8, 6, 0, 0) dari f =8 x1+6 x2+0 s1+0 s2

C i : koefisien variabel basis dalam fungsi tujuanC j

( j=1,2, . . .) : ∑ (Ci×aik )

Agar f maksimal maka Z j−C j harus non negatif.Melanjutkan ke tabel ke-2:

– Kolom Kunci (KK) = Z j−C j yang paling kecil

– Baris Kunci (BK) = Ri yang paling kecil di mana

Ri=b i

aik

– Nomor Kunci = pertemuan antara KK & BK

Pada tabel berikutnya, nomor kunci harus = 1 dan elemen lain yang satu kolom dengan nomor kunci harus = 0

Sehingga dari tabel I ke II:

B1×14 dan

B2−12

B1

I C j 8 6 0 0


8 x1 1 1/2 1/4 0 15 30

0 s2 0 3 -1/2 1 18 6

Z j 8 4 2 0 Z=120

Z j−C j 0 -2 2 0

Dari tabel II ke III:

B2×13 dan

B1−16

B2

III C j 8 6 0 0


8 x1 1 0 1/3 -1/6 12

6 x2 0 1 -1/6 1/3 6

Z j 8 6 5/3 2/3 Z=132

Z j−C j 0 0 5/3 2/3

Karena Z j−C j≥0

maka Zmaks=132

Untuk x1=12

; x2=6

; s1 , s2=0

10) Memaksimalkan : Z=40 x1+20 x2+60 x3

Dengan pembatas 2 x1+4 x2+10 x3≥24

5 x1+x2+5 x3 ≥48

x1 , x2 , x3≥0

Jawab:

(1) Mengubah ke dalam bentuk persamaan linier.

2 x1+4 x2+10 x3−t1+v1=24

5 x1+x2+5 x3−t1+v1 =8

(2) Nyatakan ke dalam bentuk matriks.

(2 4 10 −1 0 1 05 1 5 0 −1 0 1 )(

x1

x2

x3

t1

t2

v1

v2

)=(248 )

Untuk meminimumkan Z=40 x1+20 x2+60 x3+0 t1+0t2+Mv 1+Mv 2

dengan M adalah bilangan positif yang besar.

(3) Tabel Simpleks

– Simpleks minimum, optimal dapat dicapai jika ∀(Z j−C j )≤0

– Pilih KK dari Z j−C j

yang paling besar diantara harga

Z j−C j≥0

– Hitung Ri kemudian tentukan BK dari harga Ri yang paling kecil.

I C j 40 20 60 0 0 M M

C i x1 x2 x3 t1 t2 v1 v2 b i Ri

M v1 2 4 10 -1 0 1 0 24 24/10

M v2 5 1 5 0 -1 0 1 8 8/5

Z j 7M 6M 15M-M

-M

M M Z=32 M

Z j−C j7M-40

6M-20

15M-60

-M

-M

0 0

Dari tabel I ke II:

B2×15 dan B1−2B2

I C j 40 20 60 0 0 M M


M v1 -8 2 0 -1 2 1 -2 8 4

60 x3 1 1/5 1 0 -1/5 0 1/5 8/5 8

Z j -8M+60 2M+12 60 -M 2M-12 M -2M+12 Z=8 M+96

Zj – Cj -8M-20 2M-8 0 -M -M 0 -3M+12

Dari tabel II ke III:

B1×12 dan

B2−12

B1

I C j 40 20 60 0 0 M M


20 x2 -4 1/2 0 -1/2 1 1/2 -1 4

60 x3 9/5 0 1 1/10 -2/5 -1/10 2/5 4/5

Z j 28 20 60 -4 -4 4 4 Z=128

Zj – Cj -12 0 0 -4 -4 4-M 4-M

Jadi

Zmin=128 , untuk

x1=0

;

x2=4

;

x3=4

5

;

t1 , t2 , v1 , v2=0

Tugas program linier

Education

Transcript of Tugas program linier