Matematika SMA

Kelas/Semester: XI/1

Program linier

Materi pendukung Program Linier:

1.Persamaan dan pertidaksamaan

a. Satu variabel : ax + b = 0

b. Dua variabel :

ax + by + c = 0

2. Fungsi dan grafik

a.Dua variabel :

a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 =

0

b. Mengambar garis

c. Menentukan persamaan garis

d. Perpotongan garis

Daerah terarsir pada gambar di samping merupakan

daerah penyelesaian dari system pertidaksamaan …

A. 2 x 6 ; 0 y 2 ; 3y +4x 24,

x ≥ 0 ;y≥ 0B. x 2 ; y 2 ; 3x + 4x 24,

x ≥ 0 ; y≥ 0C. x 2 ; y 2 ; 4x +3y

24, ,x ≥ 0 ; y ≥ 0 D. x 2 ; 0 y 2 ; 4x + 3y

24 , x ≥ 0 ;y≥ 0,

E. 2 ; 0 y 2 ; 4x + 3y 24 ,

x ≥ 0 ;y≥ 0

Perhatikan gambar daerah yang diarsirDitanya : Daerah penyelesaian dari system

pertidaksamaanGaris 1 : x = 2, karena yg diarsir disebelah kanan maka x ≥ 2Garis 2 : y = 2, karena yg diarsir disebelah bawah maka y ≤ 2

Garis 3 : titik potongnya : Dengan sb x : (6, 0)sb y : (0, 8)Maka persamaannya : 8x + 6y = 48 4x + 3y = 24karena disebelah kiri yg diarsir maka 4x + 3y ≤ 24 Garis 3Jawaban : C

Model Matematika

Model matematika adalah suatu cara penyelesaian masalah dengan cara mengubah bentuk kalimat verbal menjadi suatu model yang selanjutnya diselesaikan dengan pendekatan matematika.

Contoh : Seorang pembuat paku membuat jenis paku dari bahan yang tersedia yaitu 5,5 kg A dan 2 kg bahan B. Paku jenis I tiap buah memerlukan 200 gram bahan A dan 75 gram bahan B sedangkan paku jenis II tiap buah memerlukan 150 gram bahan jenis A dan 50 gram bahan jenis B.Jika pengusaha menjual paku I dengan harga Rp 500,00 dan paku II dengan harga Rp 350,00 maka susunlah model matematikanya!.

Jawab :

Mengubah bentuk verbal menjadi model matematika dari soal diatas

Misalkan : Paku jenis I = x dan Paku jenis II = y

Tabel

Berdasarkan table sebelumnya didapat pertidaksamaan sebagai berikut : 200x + 150y ≤ 5.50075x + 50y ≤ 2.000 x ≥ 0y ≥ 0

Sedangkan fungsi objektifnya adalah z = 500x + 350y Kita sederhanakan dulu persamaan diatas 200x + 150y ≤ 5.500 → 4x + 3y ≤ 11075x + 50y ≤ 2.000 → 3x + 2y ≤ 80x ≥ 0y ≥ 0

Suatu apotek mampu menyediakan tidak lebih dari 25 dos obat, yang terdiri dari 2 macam obat yaitu obat A dan obat B. Harga obat A Rp 21.000,00/dos dan obat B Rp 30.000,00/dos. Modal yang tersedia di apotek tidak lebih dari Rp 630.000,00 Jika banyaknya obat A = x dan banyaknya obat B = y, maka grafik yang sesuai untuk permasalahan di atas adalah ….

soal

Nilai Optimum Program Linear

Langkah-langkah yang ditempuh untuk mendapatkan nilai optimum (maksimum atau minimum) :

1. Ubahlah persoalan verbal ke dalam model

matematika ( dalam bentuk sistem pertidaksamaan). 2. Tentukan Himpunan Penyelesaian

( daerah feasible).

3. Hitung nilai bentuk objektif untuk setiap titik-titik pojok dalam daerah feasible.

4. Dari perhitungan pada langkah 1 sampai 3 Nilai maksimum atau minimum dapat ditetapkan.

Contoh 1:

Tentukan nilai maksimum dari z= 3x + 2y yang memenuhi :x + y ≤ 5 ; x ≥ 0 ;y ≥ 0

Jawab 1: ditentukan titik-titik pojoknya z=3x +2y maka 3.0 + 2.5 = 10Z=3x +2y maka 3.5 + 2.0 = 15Jadi nilai maksimum adalah 15

y

x

B(0,5)

A(5,0)

Tentukan nilai maksimum dari

Z = 5x + 3y , dengan syarat

3x + 5y ≤ 15------garis I

5x + 2y ≤ 10------garis II

x > 0 ; y > 0

Contoh 2:

Dari Sistem pertidaksamaan di atas didapat Himpunan penyelesaiah seperti pada gambar di bawah ini (daerah terarsir).

Jawab 2:

HP berupa segi empat dengan titik pojok O, A, B dan C. Tentukan titik –titik O,A,B dan C. Kemudian kita uji titik-titik pojoknya.

Jadi nilai maksimum terjadi bila x = 20/19 dan y = 45/19 dengan nilai maksimum 235/19.

Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas tempat duduk tak lebih dari 48 orang. Setiap penumpang kelas utama dapat membawa bagasi seberat 60 kg dan kelas ekonomi 20 kg, sedangkan pesawat tersebut mempunyai kapasitas bagasi tak lebih dari 1440 kg. Apabila harga tiket tersebut untuk kelas utama dan ekonomi masing-masing Rp. 1.000.000 dan Rp. 500.000 per orang, tentukan banyaknya penumpang setiap kelas agar hasil penjualan tiket maksimum.

Contoh:

Kita susun model matematika dengan memisalkan:

Banyaknya penumpang kelas utama= x orang

Banyaknya penumpang kelas ekonomi = y orang

Maksimumkan: Z = 1.000.000x + 500.000y Syarat daya tampung : x + y ≤ 48

Syarat kapasitas bagasi: 60x + 20y ≤ 1440

x > 0 ; y > 0

Jawab:

Dari model matematika di dapat himpunan penyelesaian ( HP) di bawah ini:

Uji titik-titik pojok yaitu titik-titik O, A, B dan C.

Nilai maksimum Z adalah Rp.30.000.000,- dipenuhi oleh x = 12 dan y = 36, atau dengan kata lain penjualan tiket akan maksimum jika banyaknya penumpang kelas utama sebanyak 12 orang dan kelas ekonomi 36 orang.

Latihan

1. Untuk soal-soal berikut tentukan nilai x dan y yang memberikan nilai optimum serta nilai maksimum atau minimum dari bentuk objektif tersebut

a. 5x + 2y = 30 ; x + 2y = 10 ; x > 0 ; y >0 ;

Bentuk objektif Z = 3x + 2y b. x + y = 6 ; x + 3y = 6 ; x > 0 ; y > 0 ; Bentuk objektif Z = 20x + 30y c. x + 2y = 8 ; 3x + 2y = 12 ; x > 0 ; y > 0 ; Bentuk objektif Z = x + y

Suatu jenis roti membutuhkan 150 gram tepung

dan 50 gram mentega, sedangkan jenis yang

lain membutuhkan 75 gram tepung dan 75 gram mentega. Apabila bahan yang tersedia adalah 26,25 kg tepung dan 16,25 kg

metega.Jika keuntungan yang diperoleh dari hasil penjualan roti jenis pertama dan kedua masing-masing Rp. 200,- dan Rp. 300,- Tentukan tiap-tiap jenis roti yang harus

dibuatsupaya didapat hasil keuntungan yang maksimum dan keuntungan maksimumtersebut.

Latihan

JANGAN TAKUT SALAH SEBELUM MEMULAI PEKERJAN