Program Linier 123

42

description

Program Linier

Transcript of Program Linier 123

  • Persamaan Linier (PL)Penyelesaian PL dg eleminasiPenyelesaian PL dg subtitusiPenyelesaian PL dg matriksPenyelesaian PL dg gafisPenyelesaian PL dg metode simplexContoh:Carilah Penyelesaiana. persamaan3x + 4y = 22x 3y = 7

    b. persamaan3x + 2y = 194x + 3y = 26

  • Penyelesaian Persamaan Linier dengan MatriksMisalkan persamaan linier:ax + by = cdx + ey = f 1. Tuliskan matriks dari konstanta-2 persamaan linier2. digunakan operasi hitung, sehingga matriks tersebut menjadi Sehingga dpt disimpulkan penyelsaian sistem persamaan tsb. adalah (c, f)

  • Contoh:dik: sistem persamaan linier3x + 4y = 22x 3y = 71. Matriks dari konstanta-konstanta2. Kalikan baris pertama dg 1/33. Kalikan baris pertama dg -2 kemudian tambahkan kpd baris kedua

  • 4. Kalikan baris kedua dg -3/175. Kalikan baris kedua dg -4/3 kemudian tambahkan kpd baris pertama6. Jadi penyelesaian sistem 3x + 4y = 22x 3y = 7Adalah (2, -1)

  • LatihanCarilah penyelesaian sistem:

    3x + 2y = 194x + 3y = 26

    Dengan bantuan matriks

  • Sistem Persamaan Linier dg 3 variabelPerhatikan:a1x + b1y + c1z = pa2x + b2y + c2z = qa3x + b3y + c3z = rMaka dari sistem persamaan linier 3 varibel di atas perlu diusahakan memperoleh matriks:Ini berarti penyelesaian sistem persamaan di atas (p, q, r)

  • Contoh:x - 4z = 52x - y + 4z = -36x y + 2z = 10

    Matriks dari konstanta-konstanta adalah:1. Kalikan baris pertama dg -2 kemudian tambahkan kpd baris kedua

  • 2. Kalikan baris pertama dengan -6, kemudian tambahkan kpd baris ketiga3. Kalikan baris kedua dengan -14. Tambahkan baris kedua kpd baris ketiga, sehingga menjadi

  • 5. Kalikan baris ketiga dengan 1/146. Kalikan baris ketiga dg 12 kemudian tambahkan hasilnya kpd baris kedua7. Kalikan baris ketiga dg 4 kemudian tambahkan hasilnya kpd baris pertamadidapat x = 3, y = 7, dan z = -1/2. jadi penyelesaiannya (3, 7, -1/2)

  • LatihanSelesaikan persamaan linier berikut dengan bantuan matriks:2x y + z = -1x 2y + 3z = 44x + y + 2z = 4

  • Penyelesaian Sistem Persamaan Linier dengan Hukum Cramer1. Determinan dari matriks:adalah:didefinisikan= (ad bc)2. determinan dari adalah:

  • Perhatikan sistem persamaan liniera1x + b1y = c1a2x + b2y = c2apabila persamaan pertama kita kalikan dengan b2, dan persamaan kedua dikalikan dengan b1, kemudian kita jumlahkan kedua persamaan itu, maka diperoleh (a1b2 - a2b1)x = c1b2 c2b1, atau Analog, kita peroleh:

  • kalaumakadan; D0Sistem persamaan tiga varibela1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3 dan determinan dari

  • Latihan:Selesaikan dengan menggunakan cara cramer persamaan linier berikut:

    2x + 5y = 75x 2y = -3

    2. x 3y + 7z = 13x + y + z = 1x 2y + 3z = 4

  • Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan LinierDiketahui Pertidaksamaan Linier2x + y 24x + 3y 121/2 x 2y 0Diktanyakan:Gambar tiap persamaan tsbArsir daerah tiap pertidaksamaanGambar dalam satu bidang xoy kemudian arsir daerah yg memenuhi semua syarat di atas.

  • Jawab untuk pertidaksamaan

    2x + y 212

  • Jawab untuk pertidaksamaan4x + 3y 12 34

  • Jawab untuk pertidaksamaan1/2 x 2, 4x + 3y 12, 2x + y 2, x 0, y 043211/22xy

  • Nilai Ekstrem Fungsi LinierMisalkan sistem pertidaksamaan linier sbb:5x + 6y 30 , x 03x + 2y 12 , y 0dan relasi T = x + 5y, Carilah sepasang nilai (x, y) yang merupakan anggota penyelesaian pertidaksamaan di atas dan membuat nilai T optimum. 6654(3/2, 15/4)

  • Diketahui sistem pertidaksamaan:x y + 1 0x y + 3 02 x 5Carilah nilai maksimum dan minimum dari T = 9x + 40 y jika (x, y) merupakan anggota himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier di atas.

  • Uraian dan Contoh:Peternak ayam potong memiliki sejumlah ayam yg tiap waktu tertentu dijual kepada konsumen berdasarkan berat badannya. Karena itu peternak tersebut berusaha memberi makanan yang memenuhi syarat agar ayam-ayam menjadi lebih berat dan harga per ekornya menjadi lebih mahal. Berdasarkan saran petugas kesehatan hewan, peternak perlu menggunakan bahan A dan bahan B yang harus dicampur sendiri supaya lebih ekonomis. Kedua bahan makanan tersebut mengandung sejumlah tertentu protein, mineral, vitamin, dan kalori. Bagaimana kombinasi kedua bahan itu agar biaya yang ditanggung serendah mungkin dan hasil yang diperoleh akan memenuhi syarat.Model Matematika:Misal: bahan A adalah x bahan B adalah y, danharga perunit bahan A adalah pharga perunit bahan B adalah qTotal biaya yang perlu dikeluarkan oleh peternak T = px + qy

  • T = px + qy adalah fungsi tujuan (objektif)1. bahan A dan B bersifat non negatif variabel atau x 0 ; y 02. zat-zat yg terdapat bahan A dan B harus terpenuhi misalkan: jumlah minimum protein adalah c1 jumlah minimum mineral adalah c2 jumlah minimum vitamin adalah c3 jumlah minimum kalori adalah c3

    dalam satu unit bahan A terpenuhi dalam satu unit bahan B terpenuhi

    protein sebanyak a1; protein sebanyak b1 mineral sebanyak a2; mineral sebanyak b2 vitamin sebanyak a3; vitamin sebanyak b3 kalori sebanyak a4; kalori sebanyak b4

  • Sistem pertidaksamaan linier sebagai berikut:a1x + b1y c1.a2x + b2y c2.a3x + b3y c3.a4x + b4y c4.Nilai minimum dapat diperlihatkan dengan gambar berikut:ABCDE

  • LATIHANSeorang penjahit mempunyai bahan 60 m wol dan 40 m katun. Dari bahan tersebut akan membuat setelan jas dan rok untuk untuk dijual. Satu setel jas memerlukan 3 m wol dan 1 meter katun; satu rok memerlukan 2 m wol dan 2 m katun. Berapa stel jas dan rok yg harus ia buat agar mendapat keuntungan sebesar-besarnya, bila satu stel jas harganya Rp 80.000,00 dan satu stel rok harganya Rp 40.000,00.Terjemahkan dalam model matematika:a. aktivitas (variabel)b. fungsi tujuanc. fungsi pembatas (constraints)

  • Jawabx adalah jumlah stelan jasy adalah jumlah stelan rokb. fungsi tujuan f(x,y) = 80.000x + 40.000yc. fungsi pembatas adalah: 3x + 2y 60; x + 2y 40; x 0; y 0d. Agar mencapai keuntungan sebesar-besarnya stel jas dan rok yg harus dibuat adalah: 30202040

  • Latihan1. Seorang petani memerlukan zat kimia A, B, C berturut turut 20 kg, 18 kg dan 12 kg, untuk memupuk kebun sayurnya. Dlm stiap kaleng pupuk cair mengandung zat A = 1 kg,; B = 2 kg dan C = 3 kg. Pupuk kering tiap kantong mengandung zat A = 5 kg; B = 3 kg dan C = 1 kg. Harga 1 kaleng pupuk cair Rp 1000,- dan 1 kantong pupuk kering Rp 1.500,-. Berapa banyak tiap jenis pupuk harus dibeli dg harga paling murah dengan zat yg diperlukan terpenuhi?

  • 2. Seorang agen sepeda ingin membeli sepeda 25 buah untuk persediaan, ia ingin membeli sepeda biasa (jenis I) dg harga 60.000/buah, dan sepeda balap (jenis II) dg harga 80.000/buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp. 1.680.000,- dg harapan untung Rp 10.000 utk sepda biasa dan Rp 12.000 utk sepeda balap.Ditanyakan:a. aktivitas (variabel) b. fungsi tujuan (objektif)c. fungsi pembatas (constraints)3. Suatu perusahaan bangunan merencanakan membangun rumah-2 untuk 540 org. Banyak rumah yg akan dibangun tidak lebih dari 120 buah. Rumah jenis I dg biaya sewa Rp 90.000/tahun dan ditempati oleh 4 org; rumah jenis II dg sewa tiap tahun Rp 107.000 dan dapat ditempati 6 orang.Ditanyakan:a. aktivitasb. fungsi tujuanc. fungsi pembatas

  • Penyelesaian Program Linier dengan cara GrafisPersoalan dengan jawaban tunggalcontoh:sebuah pabrik baja mempunyai persdiaan 18 ton bahan mentah yg akan diproseskan menjadi besi beton dengan kontrak pembuatan 7,6 ton dari bahan yg tersedia dan menjual sebagian bahan mentah kepada pabrik lain. Tercatat selama proses pembuatan besi beon berlangsung, 5% baja hilang. Berapa banyak bahan mentah yg dijual kepada pabrik lain?Jawab:1. misal baja yg akan dijual adalah x ton2. jumlah baja yg diproses menjadi besi beton (18 x) ton3. bahan mentah yg hilang selama proses menjadi besi beton (18 x) 5% (18 x) = 95% (18 x) = 7,6. dengan demikian diperoleh : 18 x = (7,6) : (0,95) = 10 tonjadi jumlah besi beton yg dpt dijual kepada pabrik lain adalah 10 ton.

  • Penyelesian sistem persamaan linier (PL) tiga variabel dengan cara grafisTahapan proses penyelesaian dg 3 variabel:Terjemahkan data persoalan PL menjadi sistem pertidaksamaan sebagai pembatas dan fungsi linier T = ax1 + bx2 + cx3 sbg fungsi tujuan.Lukis bidang datar dari tiap pembatas dan arsir ruang himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linierMenentukan titik dalam ruang penyelesaian yg memungkinkan fungsi tujuan mencapai nilai optimum

  • Persoalan tiga variabel:Fungsi tujuan: T =c1x1 + c2x2 + c3x3x1 0, x2 0, x3 0yang mencapai optimumPembatasan: a11x1 + a12x2 + a13x3 h1 atau h1 a21x1 + a22x2 + a23x3 h2 atau h2 a31x1 + a32x2 + a33x3 h3 atau h3

  • Contoh:Gambar bidang datar yang ditunjuk oleh:2x1 + 3x2 + 6x3 = 120Maka titik potong sumbu koordinat adalah:Pd. Sb x1, bila x2 = 0, x3 = 0 mk P1(60,0,0)Pd. Sb x2, bila x1 = 0, x3 = 0 mk P2(0,40,0)Pd. Sb x3, bila x1 = 0, x2 = 0 mk P3(0,0,20)Gambarlah bidang datar 2x1 + 3x2 + 6x3 = 120

  • Gambar bidang datar 2x1 + 3x2 + 6x3 = 120p1P2P3

  • Latihan 1:Gambar dalam satu sistem koordinat, ketiga bidang datar yg ditunjukkan oleh sistem persamaan linier berikut:2x1 + 3x2 + 6x3 = 1206x1 + 2x2 + 3x3 = 1203x1 + 6x2 + 2x3 = 120

  • Latihan 2:Suatu perusahaan mempunyai 3 bahan mentah yaitu jenis I 480 unit, jenis II sebanyak 960 dan jenis III sebanyak 600 unit. Dari bahan mentah yg tersedia akan diproduksi tiga macam barang dg perincian, satu unit barang produksi memerlukan bahan mentah sbb:1 unit brg A memerlukan 4 unit bahan I, 6 unit bahan II dan 6 unit bahan III.1 unit brg B memerlukan 3 unit bahan I, 12 unit bahan II dan 5 unit bahan III1 unit brg C memerlukan 6 unit bahan I, 8 unit bahan II dan 6 unit bahan IIIHarga penjualan brg A, 1 unit menghasilkan Rp 90.000,-Harga penjualan brg B, 1 unit menghasilkan Rp 60.000,-Harga penjualan brg C, 1 unit menghasilkan Rp 120.000,-Ditanyakan: Nilai maksimum fungsi tujuan

  • Sistem Persamaan Linier lanjutan (persiapan simplex)Perhatikan sistem persamaan:2x1 + 3x2 + 4x3 = 12 X1 + 2x2 + 2x3 = 4Jumlah baris m = 2 dan jumlah n = 3, atau jumlah variabel lebih dari jumlah persamaan, jika x3=0 maka x1 dan x2 dpt dicari: 2x1 + 3x2 = 12x1 + 2x2 = 4

  • X1 = 12; x2 = -4; x3 = 0Adalah invers dari Jika x1 = 0, maka x2 dan x3 dapat dicari 3x2 + 4x3 = 122x2 + 2x3 = 4Sehingga diperoleh x1 = 0; x2 = -4; x3 = 6Bagaimana bila x2 = 0, berapa nilai x1 dan x3 ?

  • ContohCarilah pemecahan dasar dari sistem persamaan:X1 + 2X2 + X3 = 42X1 + 5X2 + 5X3 = 5Jawab:Banyaknya pemecahan dasar 3C2 = 3Pemecahan dasar itu adalaha) x3 = 0; X1 = , dan x2 = .x1 = 2; dan x2 = 1b) x2 = 0, x1 = ? dan x3 = ?c) x1 = 0, x2 = ? dan x3 = ?

  • Penyelsaian sistem persamaan linier dengan cara:1. penghapusan dari Gauss2. metode Gauss - JordanContoh: carilah penyelesaian daari sistem persamaan:2x1 + x2 + 4x3 = 163x1 + 2x2 + x3 = 10x1 + 3x2 + 3x3 = 16Jawab:a) dengan penghapusan Gausspers (1) diperoleh x1 + x2 + 2x3 = 8 ataux1= 8 1/2x2 2x3 ..(1)nilai x1 disubtitusikan ke dalam (2) dan (3) shg x1 hilang dari pers. (2) dan (3)dari (2) 3x1 + 2x2 + x3 = 10 menjadi

  • 3(8 1/2x2 2x3) + 2x2 + x3 = 101/2x2 5x3 = -14(2)dari (3)x1 + 3x2 + 3x3 = 16 menjadi(8 1/2x2 2x3) + 3x2 + 3x3 = 1621/2x2 + x3 = 8..(3)persamaan (2) dikalikan dengan 2 sehingga menjadix2 - 10x3 = 28 atau x2 = -28 + 10x3(2) kemudian disubtitusikan kedalam (3) sehingga menjadi21/2(-28 + 10x3) + x3 = 8-70 + 25x3 + x3 = 826x3 = 78 atau x3 = 3(3)x3 = 3 disubtitusikan kedalam (2) dan (1) sehingga merupakan penyelesaian sistem persamaan tsb di atas

  • b) dengan metode Gaus Jordanlangkah pertama kita gunakan cara penghapusan Gauss atau perhatikan sistem persamaan:x1 + 1/2x2 + 2x3 = 8 (1)1/2x2 5x3 = -14..(2)21/2x3 + x3 = 8.(3)dari (2) 1/2x2 5x3 = -14 kita cari x2 kemudian disubtitusikan kedalam (1) dan (3) x2 = -28 + 10x3 kedalm (1)menjadi: x1 + 7x3 = 22 (1) x2 10x3 = -28.(2) x3 = 3 .(3)kemudian x3 = 3 disubtitusikan kedalam (1) dan (2) maka diperoleh x1 = 1 dan x2 = 2 atau matriks segitiga dari penghapusan Gaus diubah menjadi

  • Soal-soalDiketahui sistem persamaanx1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 72x1 + x2 + x3 + 2x4 = 3a. berapa banyak pemecahan dasar maksimum yang mungkin diperoleh ?b. cari tipa pemecahan dasar yang mungkin dari sistem persamaan itu?Diketahui:3x1 + 2x2 + 4x3 = 72x1 + x2 + x3 = 4x1 + 3x2 + 5x3 = 2carilah pemecahan sistem persamaan itu dengan cara a. penghapusan Gausb. Gauss-Jordanc. Cramerd. cari invers matriks dan cari pemecahan pers. itu