Persamaan Linier (PL)
• Penyelesaian PL dg eleminasi
• Penyelesaian PL dg subtitusi
• Penyelesaian PL dg matriks
• Penyelesaian PL dg gafis
• Penyelesaian PL dg metode simplex
Contoh:Carilah Penyelesaiana. persamaan3x + 4y = 22x – 3y = 7
b. persamaan3x + 2y = 194x + 3y = 26
Penyelesaian Persamaan Linier dengan Matriks
Misalkan persamaan linier:
ax + by = c
dx + ey = f
1. Tuliskan matriks dari konstanta-2 persamaan linier
fed
cba
2. digunakan operasi hitung, sehingga matriks tersebut menjadi
f
c
10
01 Sehingga dpt disimpulkan penyelsaian sistem persamaan tsb. adalah (c, f)
Contoh:dik: sistem persamaan linier
3x + 4y = 22x – 3y = 7
732
243
1. Matriks dari konstanta-konstanta
732
3/23/43/3
732
3/23/41
2. Kalikan baris pertama dg 1/3
3/173/170
3/23/41
3. Kalikan baris pertama dg -2 kemudian tambahkan kpd baris kedua
110
3/23/41
4. Kalikan baris kedua dg -3/17
3/173/170
3/23/41
110
201
5. Kalikan baris kedua dg -4/3 kemudian tambahkan kpd baris pertama
6. Jadi penyelesaian sistem
3x + 4y = 22x – 3y = 7
Adalah (2, -1)
Sistem Persamaan Linier dg 3 variabel
r
q
p
100
010
001
Perhatikan:
a1x + b1y + c1z = p
a2x + b2y + c2z = q
a3x + b3y + c3z = r
Maka dari sistem persamaan linier 3 varibel di atas perlu diusahakan memperoleh matriks:
Ini berarti penyelesaian sistem persamaan di atas (p, q, r)
Contoh:
x - 4z = 52x - y + 4z = -36x – y + 2z = 10
Matriks dari konstanta-konstanta adalah:
10216
3412
5401
1. Kalikan baris pertama dg -2 kemudian tambahkan kpd baris kedua
10216
131210
5401
10216
131210
5401
2. Kalikan baris pertama dengan -6, kemudian tambahkan kpd baris ketiga
202610
131210
5401
3. Kalikan baris kedua dengan -1
202610
131210
5401
4. Tambahkan baris kedua kpd baris ketiga, sehingga menjadi
71400
131210
5401
5. Kalikan baris ketiga dengan 1/14
2/1100
131210
5401
6. Kalikan baris ketiga dg 12 kemudian tambahkan hasilnya kpd baris kedua
2/1100
7010
5401
7. Kalikan baris ketiga dg 4 kemudian tambahkan hasilnya kpd baris pertama
2/1100
7010
3001didapat x = 3, y = 7, dan z = -1/2. jadi
penyelesaiannya (3, 7, -1/2)
Latihan
Selesaikan persamaan linier berikut dengan bantuan matriks:
2x – y + z = -1
x – 2y + 3z = 4
4x + y + 2z = 4
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier dengan Hukum Cramer
dc
ba
1. Determinan dari matriks:
dc
baadalah:
dc
badidefinisikan…
= (ad – bc)
2. determinan dari
333
222
111
cba
cba
cba
adalah:
22
113
33
112
33
221
333
222
111
cb
cba
cb
cba
cb
cba
cba
cba
cba
Perhatikan sistem persamaan linier
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2apabila persamaan pertama kita kalikan dengan b2, dan persamaan kedua dikalikan dengan –b1, kemudian kita jumlahkan kedua persamaan itu, maka diperoleh (a1b2 - a2b1)x = c1b2 – c2b1, atau……
022
11,
22
11
22
11
ba
basyarat
ba
ba
bc
bc
x Analog, kita peroleh:
022
11,
22
11
22
11
ba
basyarat
ba
ba
ca
ca
y
kalau
22
11
ba
baD
22
11
bc
bcDx
22
11
ca
caDy
maka
D
Dxx dan D
Dyy ; D≠0
Sistem persamaan tiga varibel
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3 dan determinan dari
333
222
111
cba
cba
cba
D 333
222
111
cbd
cbd
cbd
Dx 333
222
111
cda
cda
cda
Dy 333
222
111
dba
dba
dba
Dz
D
Dxx
D
Dyy D
Dzz
Latihan:
Selesaikan dengan menggunakan cara cramer persamaan linier berikut:
1. 2x + 5y = 7
5x – 2y = -3
2. x – 3y + 7z = 13
x + y + z = 1
x – 2y + 3z = 4
Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linier
Diketahui Pertidaksamaan Linier
2x + y ≥ 2
4x + 3y ≤ 12
1/2 ≤ x ≤ 2
y ≥ 0
Diktanyakan:
1. Gambar tiap persamaan tsb
2. Arsir daerah tiap pertidaksamaan
3. Gambar dalam satu bidang xoy kemudian arsir daerah yg memenuhi semua syarat di atas.
Nilai Ekstrem Fungsi LinierMisalkan sistem pertidaksamaan linier sbb:
5x + 6y ≤ 30 , x ≥ 0
3x + 2y ≤ 12 , y ≥ 0
dan relasi T = x + 5y,
Carilah sepasang nilai (x, y) yang merupakan anggota penyelesaian pertidaksamaan di atas dan membuat nilai T optimum.
6
6
5
4
(3/2, 15/4)
x y T= x + 5y
0 5 25
4 0 4
0 0 0
3/2 15/4 20,25
Diketahui sistem pertidaksamaan:
x – y + 1 ≤ 0
x – y + 3 ≥ 0
2 ≤ x ≤ 5
Carilah nilai maksimum dan minimum dari T = 9x + 40 y jika (x, y) merupakan anggota himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier di atas.
Uraian dan Contoh:
Peternak ayam potong memiliki sejumlah ayam yg tiap waktu tertentu dijual kepada konsumen berdasarkan berat badannya. Karena itu peternak tersebut berusaha memberi makanan yang memenuhi syarat agar ayam-ayam menjadi lebih berat dan harga per ekornya menjadi lebih mahal. Berdasarkan saran petugas kesehatan hewan, peternak perlu menggunakan bahan A dan bahan B yang harus dicampur sendiri supaya lebih ekonomis. Kedua bahan makanan tersebut mengandung sejumlah tertentu protein, mineral, vitamin, dan kalori. Bagaimana kombinasi kedua bahan itu agar biaya yang ditanggung serendah mungkin dan hasil yang diperoleh akan memenuhi syarat.
Model Matematika:
Misal: bahan A adalah x
bahan B adalah y, dan
harga perunit bahan A adalah p
harga perunit bahan B adalah q
Total biaya yang perlu dikeluarkan oleh peternak
T = px + qy
T = px + qy adalah fungsi tujuan (objektif)
1. bahan A dan B bersifat non negatif variabel atau x ≥ 0 ; y ≥ 0
2. zat-zat yg terdapat bahan A dan B harus terpenuhi
misalkan: jumlah minimum protein adalah c1
jumlah minimum mineral adalah c2
jumlah minimum vitamin adalah c3
jumlah minimum kalori adalah c3
dalam satu unit bahan A terpenuhi dalam satu unit bahan B terpenuhi
protein sebanyak a1 ; protein sebanyak b1
mineral sebanyak a2 ; mineral sebanyak b2
vitamin sebanyak a3 ; vitamin sebanyak b3
kalori sebanyak a4 ; kalori sebanyak b4
Sistem pertidaksamaan linier sebagai berikut:
a1x + b1y ≥ c1…………………….
a2x + b2y ≥ c2…………………….
a3x + b3y ≥ c3…………………….
a4x + b4y ≥ c4…………………….
Nilai minimum dapat diperlihatkan dengan gambar berikut:
A
B
C
D
E
LATIHAN
1. Seorang penjahit mempunyai bahan 60 m wol dan 40 m katun. Dari bahan tersebut akan membuat setelan jas dan rok untuk untuk dijual. Satu setel jas memerlukan 3 m wol dan 1 meter katun; satu rok memerlukan 2 m wol dan 2 m katun. Berapa stel jas dan rok yg harus ia buat agar mendapat keuntungan sebesar-besarnya, bila satu stel jas harganya Rp 80.000,00 dan satu stel rok harganya Rp 40.000,00.
Terjemahkan dalam model matematika:
a. aktivitas (variabel)
b. fungsi tujuan
c. fungsi pembatas (constraints)
Jawab
a. x adalah jumlah stelan jas
y adalah jumlah stelan rok
b. fungsi tujuan f(x,y) = 80.000x + 40.000y
c. fungsi pembatas adalah: 3x + 2y ≤ 60; x + 2y ≤ 40; x ≥ 0; y ≥ 0
d. Agar mencapai keuntungan sebesar-besarnya stel jas dan rok yg harus dibuat adalah:
30
20
20
40
x y f(x,y)=80000x + 40000y
0 20 800.000
20 0 1.600.000
10 15 1.250.000
Latihan
1. Seorang petani memerlukan zat kimia A, B, C berturut turut 20 kg, 18 kg dan 12 kg, untuk memupuk kebun sayurnya. Dlm stiap kaleng pupuk cair mengandung zat A = 1 kg,; B = 2 kg dan C = 3 kg. Pupuk kering tiap kantong mengandung zat A = 5 kg; B = 3 kg dan C = 1 kg. Harga 1 kaleng pupuk cair Rp 1000,- dan 1 kantong pupuk kering Rp 1.500,-. Berapa banyak tiap jenis pupuk harus dibeli dg harga paling murah dengan zat yg diperlukan terpenuhi?
2. Seorang agen sepeda ingin membeli sepeda 25 buah untuk persediaan, ia ingin membeli sepeda biasa (jenis I) dg harga 60.000/buah, dan sepeda balap (jenis II) dg harga 80.000/buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp. 1.680.000,- dg harapan untung Rp 10.000 utk sepda biasa dan Rp 12.000 utk sepeda balap.
Ditanyakan:
a. aktivitas (variabel)
b. fungsi tujuan (objektif)
c. fungsi pembatas (constraints)
3. Suatu perusahaan bangunan merencanakan membangun rumah-2 untuk 540 org. Banyak rumah yg akan dibangun tidak lebih dari 120 buah. Rumah jenis I dg biaya sewa Rp 90.000/tahun dan ditempati oleh 4 org; rumah jenis II dg sewa tiap tahun Rp 107.000 dan dapat ditempati 6 orang.
Ditanyakan:
a. aktivitas
b. fungsi tujuan
c. fungsi pembatas
Penyelesaian Program Linier dengan cara Grafis
a. Persoalan dengan jawaban tunggal
contoh:
sebuah pabrik baja mempunyai persdiaan 18 ton bahan mentah yg akan diproseskan menjadi besi beton dengan kontrak pembuatan 7,6 ton dari bahan yg tersedia dan menjual sebagian bahan mentah kepada pabrik lain. Tercatat selama proses pembuatan besi beon berlangsung, 5% baja hilang. Berapa banyak bahan mentah yg dijual kepada pabrik lain?
Jawab:
1. misal baja yg akan dijual adalah x ton
2. jumlah baja yg diproses menjadi besi beton (18 – x) ton
3. bahan mentah yg hilang selama proses menjadi besi beton (18 – x) – 5% (18 – x) = 95% (18 – x) = 7,6.
dengan demikian diperoleh : 18 – x = (7,6) : (0,95) = 10 ton
jadi jumlah besi beton yg dpt dijual kepada pabrik lain adalah 10 ton.
Penyelesian sistem persamaan linier (PL) tiga variabel dengan cara grafis
Tahapan proses penyelesaian dg 3 variabel:
1. Terjemahkan data persoalan PL menjadi sistem pertidaksamaan sebagai pembatas dan fungsi linier T = ax1 + bx2 + cx3 sbg fungsi tujuan.
2. Lukis bidang datar dari tiap pembatas dan arsir ruang himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier
3. Menentukan titik dalam ruang penyelesaian yg memungkinkan fungsi tujuan mencapai nilai optimum
Persoalan tiga variabel:
Fungsi tujuan:
T =c1x1 + c2x2 + c3x3
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
yang mencapai optimum
Pembatasan:
a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ h1 atau ≥ h1
a21x1 + a22x2 + a23x3 ≤ h2 atau ≥ h2
a31x1 + a32x2 + a33x3 ≤ h3 atau ≥ h3
Contoh:
Gambar bidang datar yang ditunjuk oleh:
2x1 + 3x2 + 6x3 = 120
Maka titik potong sumbu koordinat adalah:
Pd. Sb x1, bila x2 = 0, x3 = 0 mk P1(60,0,0)
Pd. Sb x2, bila x1 = 0, x3 = 0 mk P2(0,40,0)
Pd. Sb x3, bila x1 = 0, x2 = 0 mk P3(0,0,20)Gambarlah bidang datar 2x1 + 3x2 + 6x3 = 120
Latihan 1:
Gambar dalam satu sistem koordinat, ketiga bidang datar yg ditunjukkan oleh sistem persamaan linier berikut:
2x1 + 3x2 + 6x3 = 120
6x1 + 2x2 + 3x3 = 120
3x1 + 6x2 + 2x3 = 120
Latihan 2:
Suatu perusahaan mempunyai 3 bahan mentah yaitu jenis I 480 unit, jenis II sebanyak 960 dan jenis III sebanyak 600 unit. Dari bahan mentah yg tersedia akan diproduksi tiga macam barang dg perincian, satu unit barang produksi memerlukan bahan mentah sbb:
1 unit brg A memerlukan 4 unit bahan I, 6 unit bahan II dan 6 unit bahan III.
1 unit brg B memerlukan 3 unit bahan I, 12 unit bahan II dan 5 unit bahan III
1 unit brg C memerlukan 6 unit bahan I, 8 unit bahan II dan 6 unit bahan III
Harga penjualan brg A, 1 unit menghasilkan Rp 90.000,-
Harga penjualan brg B, 1 unit menghasilkan Rp 60.000,-
Harga penjualan brg C, 1 unit menghasilkan Rp 120.000,-
Ditanyakan: Nilai maksimum fungsi tujuan…
Sistem Persamaan Linier lanjutan (persiapan simplex)
Perhatikan sistem persamaan:2x1 + 3x2 + 4x3 = 12
X1 + 2x2 + 2x3 = 4Jumlah baris m = 2 dan jumlah n = 3, atau jumlah variabel lebih dari jumlah persamaan, jika x3=0 maka x1 dan x2 dpt dicari: 2x1 + 3x2 = 12x1 + 2x2 = 4
4
12
21
32
2
1
x
xX1 = 12; x2 = -4; x3 = 0
21
32Adalah invers dari
21
32
Jika x1 = 0, maka x2 dan x3 dapat dicari
3x2 + 4x3 = 12
2x2 + 2x3 = 4
4
12
32
42
2
1
3
2
x
x
Sehingga diperoleh x1 = 0; x2 = -4; x3 = 6
Bagaimana bila x2 = 0, berapa nilai x1 dan x3 ?
ContohCarilah pemecahan dasar dari sistem persamaan:
X1 + 2X2 + X3 = 4
2X1 + 5X2 + 5X3 = 5
Jawab:
1. Banyaknya pemecahan dasar 3C2 = 3
2. Pemecahan dasar itu adalah
a) x3 = 0; X1 = …, dan x2 = ….
5
4
2
1
52
21
x
x
5
4
12
25
3
1
2
1
x
xx1 = 2; dan x2 = 1
b) x2 = 0, x1 = ? dan x3 = ?
c) x1 = 0, x2 = ? dan x3 = ?
Penyelsaian sistem persamaan linier dengan cara:1. penghapusan dari Gauss2. metode Gauss - Jordan
Contoh:
carilah penyelesaian daari sistem persamaan:2x1 + x2 + 4x3 = 163x1 + 2x2 + x3 = 10x1 + 3x2 + 3x3 = 16
Jawab:a) dengan penghapusan Gauss
pers (1) diperoleh x1 + ½ x2 + 2x3 = 8 ataux1= 8 – 1/2x2 – 2x3 ……………..(1’)nilai x1 disubtitusikan ke dalam (2) dan (3) shg x1 hilang dari pers. (2) dan (3)dari (2) 3x1 + 2x2 + x3 = 10 menjadi………
3(8 – 1/2x2 – 2x3) + 2x2 + x3 = 10
1/2x2 – 5x3 = -14………………………(2’)
dari (3)
x1 + 3x2 + 3x3 = 16 menjadi
(8 – 1/2x2 – 2x3) + 3x2 + 3x3 = 16
21/2x2 + x3 = 8………………………..(3’)
persamaan (2’) dikalikan dengan 2 sehingga menjadi
x2 - 10x3 = 28 atau x2 = -28 + 10x3………(2’’) kemudian disubtitusikan kedalam (3’) sehingga menjadi
21/2(-28 + 10x3) + x3 = 8
-70 + 25x3 + x3 = 8
26x3 = 78 atau x3 = 3………(3’’)
x3 = 3 disubtitusikan kedalam (2’’) dan (1’’) sehingga merupakan penyelesaian sistem persamaan tsb di atas
b) dengan metode Gaus – Jordan
langkah pertama kita gunakan cara penghapusan Gauss atau perhatikan sistem persamaan:
x1 + 1/2x2 + 2x3 = 8 ………………(1’)
1/2x2 – 5x3 = -14…………………..(2’)
21/2x3 + x3 = 8…………………….(3’)
dari (2’) 1/2x2 – 5x3 = -14 kita cari x2 kemudian disubtitusikan kedalam (1’) dan (3’) x2 = -28 + 10x3 kedalm (1’)
menjadi: x1 + 7x3 = 22 ………(1”)
x2 – 10x3 = -28…….(2”)
x3 = 3 ……………….(3”)
kemudian x3 = 3 disubtitusikan kedalam (1”) dan (2”) maka diperoleh x1 = 1 dan x2 = 2 atau matriks segitiga dari penghapusan Gaus diubah menjadi
3
2
1
3
2
1
100
010
001
x
x
x
Soal-soal
1. Diketahui sistem persamaanx1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 72x1 + x2 + x3 + 2x4 = 3a. berapa banyak pemecahan dasar maksimum yang mungkin diperoleh ?b. cari tipa pemecahan dasar yang mungkin dari sistem persamaan itu?
2. Diketahui:3x1 + 2x2 + 4x3 = 72x1 + x2 + x3 = 4x1 + 3x2 + 5x3 = 2carilah pemecahan sistem persamaan itu dengan cara a. penghapusan Gausb. Gauss-Jordanc. Cramerd. cari invers matriks dan cari pemecahan pers. itu
531
112
423