PERTIDAKSAMAAN kel.5

8/7/2019 PERTIDAKSAMAAN kel.5

http://slidepdf.com/reader/full/pertidaksamaan-kel5 1/12

KATA PENGANTAR

Puji syukur kita panjatkan kehadirat Allah SWT, Tuhan Yang Maha Esa yang

telah memberikan rahmat serta hidayah-Nya sehingga penyusunan tugas ini dapat

diselesaikan.

Tugas ini disusun untuk diajukan sebagai tugas mata kuliah Matematika Dasar

dengan judul ³Makalah Pertidaksamaan´ di Universitas Tanjung Pura fakultas

kehutanan.

Terima kasih disampaikan kepada Ibu Sarma siahaan,S.Si,M.Si selaku dosen mata

kuliah matematika Dasar yang telah membimbing dan memberikan kuliah demi

lancarnya tugas ini.

Demikianlah tugas ini disusun semoga bermanfaat, agar dapat memenuhi tugas

mata kuliah matematika Dasar.

Pontianak , 1 januari 2011

Penyusun

Helmi Hermawan

NIM. G01110090



BAB IPENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Matematika merupakan salah satu displin ilmu yang mempunyai peranan pentingdalam kehidupan. Banyak kegiatan sehari-hari yang melibatkan matematika, contoh

sederhana adalah dalam proses jual beli. Selain itu, matematika juga digunakan olehdisiplin ilmu lain sebagai ilmu penunjang, seperti Ilmu Pengetahuan Alam dan Ilmu

Pengetahuan sosial.Melihat pentingnya peranan matematika membuat mata pelajaran ini selalu diajarkan di

setiap satuan pendidikan dan di setiap tingkatan kelas dengan porsi jam pelajaran jauhlebih banyak daripada mata pelajaran lainnya. Hal tersebut menunjukkan bahwa para ahli

pendidikan dan para perancang kurikulum menyadari bahwa mata pelajaran matematikadapat memenuhi harapan dalam penyediaan potensi sumber daya manusia yang handal ±

yakni manusia yang memiliki kemampuan bernalar secara logis, kritis, sistematis,rasional, dan cermat; mempunyai kemampuan bersikap jujur, objektif, kreatif dan

terbuka; memiliki kemampuan bertindak secara efektif dan efisien; serta memilikikemampuan bekerja sama ± sehingga memiliki kesanggupan untuk menjawab tantangan

era globalisasi serta pesatnya perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi saat ini danmasa yang akan datang.

Mata kuliah Matematika dasar merupakan Mata Kuliah dasar pada semester 1 yang harusdipelajari dengan total 3 SKS oleh mahasiswa Program Studi kehutanan. Mata kuliah ini

merupakan mata kuliah dasar yang penting dikuasai mahasiswa karena banyak dipakaiuntuk mempelajari mata kuliah lain, oleh karena itu mata kuliah ini menjadi prasyrat

untuk mengambil beberapa mata kuliah berikutnya.

B. Batasan Masalah Adapun batasan masalah dalam makalah matematika ini adalah:1. definisi dari pertidaksamaan.2. sifat-sifat dari pertidaksamaan .3. jenis-jenis dari pertidaksamaan.

C. Tujuan Yang Ingin Dicapai Adapun tujuan penulis dalam penulisan makalah ini adalah:1. sebagai salah satu tugas terstruktur yang diberikan oleh dosen matematika.2. untuk menambah pengetahuan mahasiswa tentang apa itu pertidaksamaaan.3. untuk melatih mahasiswa menjadi kreatif dalam tugas yang diberikan oleh dosen

sehingga hasilnya memuaskan.

D. Metode Yang DigunakanMetode deskriftif dengan studi keperpustakaan atau literature, yaitu pengetahuan yang bersumber dari beberapa mediatulis baik berupa buku, literature dan media lainnya yang tentu ada kaitannya masalah-masalah yang dibahas didalam makalah ini.



BAB II

PERTIDAKSAMAAN

1. Pengertian:

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dimana ruas kiri dan kanannya dihubungkan dengantanda pertidaksamaan ,´>µ (lebih dari),´<µ (kurang dari),´ � µ (lebih besar dari dan samadenganµ atau´ �µ (lebih kecil dari dan sama dengan).

Sebelum meninjau lebih jauh mengenai pertidaksamaan, akan diberikan terlebihdahulu pengertian peubah atau variabel. Peubah (variabel) yang dimaksudkan di sini adalahlambang yang digunakan untuk menyatakan sembarang anggota dari suatu himpunan.

Sebagai misal jika diambil himpunannya adalah himpunan semua bilangan real R , makapeubahnya dinamakan peubah real.

Untuk selanjutnya yang dimaksudkan dengan peubah dalam pembahasan ini adalahpeubah real, di mana peubah ini memegang peranan penting dalam menyelesaikanpermasalahan pertidaksamaan.

Sebagai pembahasan awal, pertidaksamaan diberikan batasan pengertian sebagaikalimat matematika terbuka yang memuat peubah (variabel) dan satu atau lebih tanda berikut

ini : <, >, e atau u.

2. Sifat-sifat Pertidaksamaan:

1. a < b b > a

2. Jika a >b maka :a ± b > b ± c

b. ac > bc apabila c >0c. ac < bc apabila c < 0d. a ³ > b ³

3. Jika a > b dan b > c a > c

4. Jika a > b dan c > d a + c > b + d

5. Jika a > b > 0 dan c > d > 0 ac>bd

6. Jika a>b>0 maka :

a. a² > b²

b. <

7.

8.

a

1

b

1

0:00 �� babb

a

0:00 �"�" babb

a



Selanjutnya yang dimaksud dengan menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah

mencari semua nilai peubah yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.Beberapa jenis pertidaksamaan yang cukup terkenal di antaranya : pertidaksamaan

linier, pertidaksamaan kuadrat dan polinomial, pertidaksamaan pecahan (rasional),

pertidaksamaan irrasional dan pertidaksamaan dengan nilai mutlak.

A. PERTIDAKSAMAAN LINIER

Pertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan yang salah satu atau lebih ruasnyamemuat bentuk linier dalam x (sebagai peubahnya). Untuk menyelesaikanpertidaksamaan linier dapat digunakan sifat-sifat berikut ini :

Contoh 2 :Selesaikan pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini :1. 25162 x x 2. 11945 x

Pembahasan :

1. 25162 x x � 16252 x x .� 9 x

Sehingga himpunan penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan di atas adalah :

HP = { � x R | 9 x } : penulisan bentuk himpunan

= ( g, 9) : penulisan bentuk interval (selang)

= : penulisan dalam garis bilangan

Jika ba " dan k sembarang bilangan riil, maka pernyataan-pernyataanberikut ini senantiasa benar :

1. k bk a "

2. k bk a " , jika k positif, akan tetapi k bk a , jika k negatif

3. 22ba " , asalkan a dan b keduanya positif

4. d bca " , untuk d c " 5. bd ac " , asalkan d c " serta a , b , c dan d semuanya positif

9



2. 11945 x � 911495 x � 2044 x � 51 x

Dengan demikian HP = { � x R | 51 x } = (1, 5).

B. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT & POLINOMIAL

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memuat bentuk kuadratpeubahnya pada salah satu atau kedua ruas pertidaksamaan, sedangkan pertidaksamaanpolinomial adalah pertidaksamaan yang memuat bentuk polinomial (suatu fungsi denganpangkat atau derajat peubahnya adalah 3 atau lebih) pada salah satu atau kedua ruasnya.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pangkat dua (kuadrat) dan pertidaksamaanpolinomial (pangkat tiga atau lebih), langkah-langkahnya meliputi :

1. Jadikan nol ruas kanan pertidaksamaannya2. Tentukan semua pembuat nol ruas kiri dengan menyelesaikan persamaan yang

ruas kanannya sama dengan nol3. Gambarkan nilai-nilai pembuat nolnya pada garis bilangan4. Tentukan tanda dari masing-masing interval (selang) yang terbentuk 5. Arsirlah daerah sesuai dengan tanda pertidaksamaannya6. Tuliskan himpunan penyelesaiannya

Contoh 2 : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini :

1. 0652 "¡

x x

2. 0654 2e x x

Pembahasan :

1. Dari pertidaksamaan 0652" x x , pembuat nol ruas kiri adalah :

0652 ! x x � 032 ! x x

� 02 ! x atau 03 ! x � 2! x atau 3! x .

Jadi pembuat nol ruas kiri adalah : 2! x dan 3! x .Selanjutnya kita gambarkan nilai-nilai pembuat nol ini pada garis bilangan

Dengan adanya dua nilai pemuat nol ini,

garis riil (garis bilangan) terbagi ke dalam 3interval, yaitu : 2 x , 32 x dan 3" x .Untuk menentukan tanda dari setiap interval,ambil salah satu titik uji, misalkan 0! x (yang terletak pada interval 2 x ) dan

substitusikan ke 652 x x , diperoleh

2 3



660502 !� (positif). Jadi interval 2 x bertanda (+) (merupakan daerah +).Selanjutnya interval yang bersisian bertanda sebaliknya, yaitu ( ), seperti diberikan padagambar di bawah ini :

Dengan demikian himpunan penyelesaian

dari pertidaksamaan ini adalah :HP = { x | 2 x atau 3" x }

= ( g, 2) � (3, g ).

2. Pembuat nol ruas kiri : 0654 2 ! x x � 0234 !¤

x x

� 034 ! x atau 02 ! x � 34 ! x atau 2! x

� 4

3! x atau 2! x

Sehingga pembuat nilai nol ruas kiri adalah : 4

3

! x dan 2! x .

Selanjutnya gambarkan kedua nilai pembuat nol ini pada garis bilangan :

Dari dua nilai nol tersebut garis bilanganterbagi menjadi tiga buah interval yaitu :

4

3e x , 2

4

3ee x dan 2u x .

Untuk menentukan tanda setiap intervalnya,

ambil sembarang titik uji, misalkan 0! x (yang berada pada interval 24

3ee x ) dan

disubstitusikan ke 654 2 x x diperoleh 660504 2 !�� (negatif). Jadi interval

24

3ee x , di mana titik uji 0! x berada merupakan daerah negatif ( ) dan tanda

selengkapnya dari interval yang lain adalah :

Dengan demikian himpunan penyelesaianuntuk pertidaksamaan ini adalah :

HP = { x | 24

3ee x }

=? A

2,4

3

.

C. PERTIDAKSAMAAN PECAHAN

Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang berbentuk

0 x g

x f , dengan

x f dan x g merupakan fungsi polinom (suku banyak).

43

2

² ² ² ² ² + + + +

43

2

2 3

² ² ² + +



Langkah-langkah untuk menyelesaikan pertidaksamaan pecahan antara lain :1. Jadikan nol ruas kanan pertidaksamaan2. Tentukan nilai-nilai pembuat nol ruas kiri : meliputi pembuat nol pembilang dan

pembuat nol penyebut (atau disebut juga nilai kutub) 3. Gambarkan nilai-nilai pembuat nol untuk pembilang dan penyebut pada garis

bilangan

4. Tentukan tanda masing-masing interval yang terbentuk 5. Arsirlah daerah sesuai dengan tanda pertidaksamaan 6. Tuliskan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang bersangkutan.

Contoh 3 : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini :

1. 01

32u

x

x

2. 51

x

Penyelesaian :

1. Diketahui 01

32u

x

x. Perhatikan bahwa pertidaksamaan ini dapat diselesaikan asalkan

penyebut dari pertidaksamaan di atas, yaitu 01 { x atau 1{ x .Nilai-nilai pembuat nol ruas kiri :

a. Nilai pembuat nol pembilang : 032 ! x atau 32 ! x yaitu2

3! x

b. Nilai pembuat nol penyebut (nilai kutub) : 01 ! x atau 1! x

sehingga nilai-nilai pembuat nol ruas kiri adalah :2

3! x dan 1! x .

Selanjutnya gambarkan kedua nilai pembuat nol ini pada garis bilangan :

Dari dua nilai nol tersebut garis bilanganterbagi menjadi tiga buah interval yaitu :

1 x ,2

31 e x dan

2

3u x .

Untuk menentukan tanda setiap intervalnya,1

2

3



ambil sembarang titik uji, misalkan 0! x (yang berada pada interval2

31 e x ) dan

substitusikan ke pecahan

!

!

�!

10

302

1

32

x

x, sehingga interval

2

31 e x

(di mana titik uji 0! x berada) merupakan daerah merupakan daerah negatif. Sedangkantanda-tanda dari interval yang lain adalah :

Dengan demikian himpunan penyelesaiandari pertidaksamaan ini adalah :

HP = { x | 1 x atau2

3u x }

= 1, g atau ? ¦ ,23 .

2. Diketahui 5

1

x . Perhatikan bahwa 0

51

05

1

5

1

�� x

x

x x dan

pertidaksamaan ini dapat diselesaikan asalkan penyebut dari ruas kiri, yaitu 0{ x .Selanjutnya nilai-nilai pembuat nol ruas kiri adalah :

a. Nilai pembuat nol pembilang : 051 ! x atau5

1! x

b. Nilai pembuat nol penyebut : 0! x

yaitu

5

1! x dan 0! x .

Selanjutnya gambar kedua nilai pembuat nilai nol ini adalah :Dengan adanya dua nilai pemuat nol ini,garis riil (garis bilangan) terbagi ke dalam 3

interval, yaitu : 0 x ,5

10 x dan

5

1" x .

Untuk menentukan tanda dari setiap interval,ambil salah satu titik uji, misalkan 1! x

(yang terletak pada interval5

1" x ) dan

disubstitusikan ke pecahan x

x51 , diperoleh !

�!

4

1

15151

x

x, sehingga

interval5

1" x merupakan daerah negatif. Tanda selengkapnya untuk interval-interval

yang lain adalah :

05

1

1

2

3

± ± + + + +



Dengan demikian himpunan penyelesaiandari pertidaksamaan ini adalah :

HP = { x | 0 x atau5

1" x }

= 0,g atau g,51 .

Peringatan :Untuk menyelesaikan pertidaksamaan no. 2 tidak dibenarkan mengerjakan

5

1515

1"�� x x

x,

dengan perkataan lain, pada pertidaksamaan pecahan tidak berlaku perkalian silang.

D. PERTIDAKSAMAAN IRRASIONAL

Pertidaksamaan irrasional adalah suatu pertidaksamaan yang mengandung bentuk tak

rasional (yang dicirikan dengan adanya tanda di dalam pertidaksamaannya). Untuk

menyelesaikan pertidaksamaan irrasional, langkah-langkah yang dapat dilakukan antara lain :

1. Gunakan persyaratan riil : x f riil bilamana 0u x f

2. K uadratkan kedua ruas pertidaksamaan dan tentukan penyelesaiannya.3. Iriskan syarat pada no. 1 dan hasil pada no. 2 untuk memperoleh himpunan

penyelesaian dari pertidaksamaannya.

Contoh 4 : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini :

1. 223 x

2. 6" x x Penyelesaian :

1. Diketahui 223 x

Syarat akar : 023 u x sehingga 23 u x atau3

2u x (1)

K

uadratkan kedua ruas pertidaksamaan di atas, diperoleh263423223 �� x x x x (2)

Selanjutnya iriskan syarat (1) dan hasil (2) diperoleh 23

2e x .

Dengan demikian himpunan penyelesaian pertidaksamaan yang ditanyakan adalah

HP = { x | 23

2e x }.

051

+ + ± ± ± ±



2. Diberikan pertidaksamaan 6" x x

Syarat akar : 06 u x sehingga didapat 6u x (1)Syarat kedua : 0" x (2)K uadratkan kedua ruas pertidaksamaan yang ditanyakan, diperoleh

0320666 22 "�"�"�" x x x x x x x x

atau 32 x (3)Selanjutnya iriskan ketiga hasil yang diperoleh pada perhitungan di atas dandidapatkan HP = { x | 30 x }.

E. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Sebelum membahas lebih jauh mengenai pertidaksamaan dengan nilai mutlak, akandiberikan terlebih dahulu konsep nilai mutlak suatu bilangan riil.

Misalkan � x R , nilai mutlak dari x , dinotasikan dengan x , diberikan oleh

°¯®

u!

0untuk ,

0untuk ,

x x

x x x

Sifat-sifat Nilai Mutlak

Misalkan �ba, R , maka berlaku

1. baab !

2. b

ab

a ! , asalkan 0{b

3. baba e ( K etidaksamaan Segitiga)

4. baba u

Selanjutnya untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang mengandung nilai mutlak, sifat-sifat berikut ini sangat bermanfaat, di antaranya :

1. a xaa x �

2. a xa x �" atau a x "

3. 22 y x y x �

Contoh 5 : Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut :

1. 372 x

2. 165 u x



3. 732 x x

Penyelesaian :

1. Perhatikan bahwa 732733723372 �� x x x

521024 �� x x.Dengan demikian HP = { x | 52 x }.

Cara Lain : Dengan menggunakan sifat ke-3 :

949284372372372222

�� x x x x x

0107040284 22�� x x x x

052 � x x

dengan menyelesaikan pertidaksamaan terakhir didapatHP = { x | 52 x }.

2. Dengan menggunakan sifat ke-2 : 165165 e�u x x atau 165 u x

615 e� x atau 615 u x 55 e� x atau 75 u x

1e� x atau5

7u x .

Dengan demikian HP = { x | 1e x atau5

7u x } = ),

5

7[]1,( g�g .

BAB III

Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan pertidaksamaan di atas dapat disimpulkan hal-hal sebagai berikut:

- Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dimana ruas kiri dan kanannyadihubungkan dengan tanda pertidaksamaan ,´>µ (lebih dari),´<µ (kurang dari),´� µ (lebih besar dari dan sama denganµ atau´ �µ (lebih kecil dari dan sama dengan).

- pertidaksamaa juga memiliki sifat sifat sebagai berikut:1. a < b b > a

2. Jika a >b maka :a ± b > b ± cb. ac > bc apabila c >0

c. ac < bc apabila c < 0d. a ³ > b ³

3. Jika a > b dan b > c a > c

4. Jika a > b dan c > d a + c > b + d

5. Jika a > b > 0 dan c > d > 0 ac>bd



6. Jika a>b>0 maka :

a. a² > b²

b. <

7.

8.

DAFTAR PUSTAKA

� Noormandiri dan Sucipto, Endang, Matematika SMA, Jilid 1 Kelas x, PenerbitErlangga, Jakarta, 2004.

� www.google.com´ Matematika, Jenis ² jenis Pertidaksamaanµ.

a

1

b

1

0:00 �� babb

a

0:00 �"�" babb

a

PERTIDAKSAMAAN kel.5

Documents

Transcript of PERTIDAKSAMAAN kel.5