Pertemuan IIDeterminan Matriks

Pengertian Determinan

Determinan dinyatakan sebagai jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari matriks bujur sangkar A.

Determinan dari sebuah matriks bujur sangkar A, dinotasikan dengan det(A), atau

A

Menentukan nilai determinani) Matriks berordo 2 x 2ii) Matriks berordo 3 x 3iii) Matriks berordo n x n

● Dengan matriks kofaktor ● Dengan Transformasi Baris Elementer (TBE)

Menentukan nilai determinan matriks berordo 2 x 2

Jika A = ,

maka det(A) = = a.d – b.c

Contoh : Tentukan nilai determinan dari matriks

A =

Jawab : det (A) = 5 . 3 - (-4). 2 = 23

dcba

A

3245

Menentukan nilai determinan matriks berordo 3 x 3 dengan Aturan Sarrus

Jika B =

Digunakan aturan Sarrus:

a b c a b

|A| = d e f d e

g h i g h (-) (-) (-) (+) (+) (+)

= a.e.i + b.f.g + c.d.h – c.e.g – a.f.h – b.d.i

ihgfedcba

Contoh : Tentukan nilai determinan

dari matriks

B =

987654321

Sifat-sifat Determinan Jika setiap elemen suatu baris atau

kolom dari suatu matriks bujur sangkar A bernilai nol, maka det (A) = 0.

Contoh : A = , maka det(A) = 0

B = , maka det(B) = 0

714000532

014076032

Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka det (A) = det (AT).

Contoh :

A = , maka det(A) = 26

AT = , maka det(AT) = 26

714410432

744113402

Jika setiap elemen dari suatu baris atau kolom pada determinan dari matriks A dikalikan dengan suatu skalar k, maka k bisa dikeluarkan dari tanda determinan, atau : det(kA) = k.det(A).

Contoh :

A = , maka det(A) = 26

X = = = 78

det(X)=3.det(A)=3.26=78

714410432

7143.43.13.0432

7141230432

Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan cara mempertukarkan dua baris atau dua kolom, maka det(B) = - det(A).

Contoh :

A = , det(A)=72

Matriks B didapat dengan mempertukarkan baris ke 1 dan baris ke 3, sehingga

B = ,det(B)= -72

614610632

632610614

Jika dua baris atau kolom matriks A identik, maka det(A) = 0

Dua matriks dikatakan identik , jika suatu baris merupakan hasil kali dengan skalar k (di mana k anggota bilangan real) dari baris yang lain, atau suatu kolom merupakan hasil kali dengan skalar k ( di mana k anggota bilangan real) dari kolom yang lain.

Contoh :

A = , det(A) = 0, karena kolom ke 3,

merupakan hasil dari kolom ke 1, dikalikan

dengan skalar 2.

81418891035

Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang mempunyai ukuran sama, maka det(AB) = det(A) det(B).

Contoh :

A = ,det(A) =-137 B = ,det(B) =-119

A.B = ,det(A.B)=16303=-137.-

19=det(A).det(B)

6349821071

8216310942

66191613850931314582

Menentukan determinan matriks n x n dengan matriks Kofaktor

Minor dari suatu matriks bujur sangkar A adalah harga determinan sub matriks yang tetap, setelah menghilangkan baris ke i dan kolom ke j. Minor dari baris ke i dan kolom ke j, dinotasikan dengan Mij.

Kofaktor dari suatu matriks bujur sangkar dilambangkan dengan cij, yaitu cij = (-1)i+j Mij

Contoh : A =

MA =

CA =

265226146254168733

6359171042

265226146254168733

Terdapat 2 cara, yaitu : Ekspansi Kofaktor sepanjang baris ke i : det(A) = ai1ci1 + ai2ci2 + … + aincin

Ekspansi Kofaktor sepanjang kolom ke j :

det(A) = a1jc1j + a2jc2j + … + anjcnj

Menentukan determinan matriks n x n dgn Transformasi Baris Elementer (TBE)

a) Menukarkan dua barisNotasi = bij

Arti = menukarkan baris ke-i dgn baris ke-j

b) Mengalikan suatu bari dengan skalar k, k ≠ 0Notasi = k.bi

Arti = mengalikan setiap elemen dari

baris ke- i, dengan skalar k, k ≠ 0

c) Menambahkan baris ke- i dengan k kali baris ke- j (k ≠ 0)Notasi= bij(k)Arti = bi + k bj (Perubahan terjadi pada bi)

Menentukan Determinan Matriks dengan TBE

Langkah :i) Dengan menggunakan TBE, ubahlah matriks

yang ada, menjadi Matriks Segitiga Atas/Bawah

ii) Harga determinannya adalah perkalian antar elemen–elemen pada diagonal utamanya

Latihan Soal Untuk NIM GASAL

Tentukan nilai dari determinan berikut ini:

a). b).

Untuk NIM GENAP Tentukan nilai dari determinan berikut

ini: a). b).38

71

2765

261753

412

271643128