PERSAMAAN SCHRODINGER

Mekanika kuantum dikembangakan melalui pendekatan-pendekatan oleh Erwin

Schrodinger, Warner Heisenberg dan lain-lain pada tahun 1952-1926 di tempat yang terpisah.

Mekanika kuantum timbul saat mekanika klasik dianggap tidak mampu menjelaskan

banyaknya fakta eksperimen yang menyangkut perilaku sistem yang berukuran atom, bahkan

teori mekanika klasik memberi distribusi spektral yang salah radiasi dari suatu rongga yang

dipanasi.Mekanika kuantum menghasilkan hubungan antara kuantitas yang teramati, tatapi

prinsip ketidaktentuan menyebutkan bahwa kuantitas teramati bersifat berbeda dalam

kawasan atomik. Dalam mekanika kuantum kedudukan dan momentum awal partikel tidak

dapat diperoleh dengan ketelitian yang cukup.

Mekanika Newton Fisikawan Austria Erwin Schrödinger (1887-1961) mengusulkan

ide bahwa persamaan De Broglie dapat diterapkan tidak hanya untuk gerakan bebas partikel,

tetapi juga pada gerakan yang terikat seperti elektron dalam atom. Dengan memperluas ide

ini, ia merumuskan sistem mekanika gelombang. Pada saat yang sama Heisenberg

mengembangkan sistem mekanika matriks. Kemudian hari kedua sistem ini disatukan dalam

mekanika kuantum. Dalam mekanika kuantum, keadaan sistem dideskripsikan dengan fungsi

gelombang. Schrödinger mendasarkan teorinya pada ide bahwa energi total sistem, E dapat

diperkirakan dengan menyelesaikan persamaan. Karena persamaan ini memiliki kemiripan

dengan persamaan yang mengungkapkan gelombang di fisika klasik, maka persamaan ini

disebut dengan persamaan gelombang Schrödinger. Persamaan gelombang partikel (misalnya

elektron) yang bergerak dalam satu arah (misalnya arah x) diberikan oleh:

(-h2/8π2m) (d2Ψ/dx2) + VΨ = EΨ … (2.14) m adalah massa elektron, V adalah energi

potensial sistem sebagai fungsi koordinat, dan Ψ adalah fungsi gelombang.

Perbedaan mekanika Newton dan Mekanika Newton:

1. Kedudukan awal dapat ditentukan

2. Momentum awal

3. Gaya – gaya yang bereaksi padanya

4. Kuatitas teramati dengan teliti

5. Keadaan awal dan akhir dapat ditentukan dengan teliti

Mekanika Kuantum:

1. kuantitas dapat teramati

2. Kuantitas teramati bersifat berbeda dengan atomik

3. Kedudukan dan momentum awal tidak dapat dipereoleh dengan ketelitian yang

cukup

Untuk suatu partikel (elektreon proton). Kedudukannya tidak terukur dengan pasti.

p> Xoℏ2 p

ℏ2ΔXo

p= m V V = Δpm

= ℏ2mΔ Xo

X=V t

Kuantitas yang diperlukan dalam mekanika kuantum ialah fungsi gelombang Y dari benda

itu. Walaupun Y sendiri tidak mempunyai tafsiran fisis, kuadrat besar mutlak ½Y½2 ( atau

sama dengan YY* jika Y kompleks ) yang dicari pada suatu tempat tertentu pada suatu saat

berbanding lurus dengan peluang untuk mendapatkan benda itu di tempat itu pada saat itu.

Momentum, momentum sudut, dan energi dari benda dapat diperoleh dari Y. Persoalan

mekanika kuantum adalah untuk menentukan Y untuk benda itu bila kebebasan gerak

dibatasi oleh aksi gaya eksternal. Biasanya untuk memudahkan kita ambil ½Y½2 sama dengan

peluang P untuk mendapatkan partikel yang diberikan oleh Y, hanya berbadinng lurus

dengan P. Jika ½Y½2 sama dengan P, maka betul bahwa :

∫−x

x|Ψ|2 dV = 1 normalisasi

Karena

∫−x

xΡ dV = 1

ialah suatu pernyataan matematis bahwa partikel itu ada di suatu tempat untuk setiap saat,

jumlah semua peluang yang mungkin harus tertentu. Selain bisa dinormalisasi , Y harus

berharga tunggal, karena P hanya berharga tunggal pada tempat dan waktu tertentu , dan

kontinu.

Apabila prinsip komplemeter dan prinsip korespondensi serta asumsi interpretatif

dasar (yakni yang menyatakan bahwa hasil yang mungkin dari suatu besaran diberikan oleh

persamaan nilai eigen), maka akan diperoleh persamaan yang menentukan semua tingkatan

energi dari sistem. Secara eksplisit operator energi dalam sajian Schrodinger adalah

(72)

Persamaan nilai eigen energi adalah

(73)

Sajian ini merupakan persamaan Schrodinger.

Persamaan Schrodinger untuk sebuah partikel yang berada dalam pengaruh potensial adalah

(74)

Dalam 3 dimensi persamaan ini menjadi

(75)

Persamaan di atas akan diselesaikan untuk syarat batas yang menjadikan berhingga

dimana-mana (termasuk pada daerah tak hingga). Bentuk syarat batas dan makna fisisnya

akan diulas pada bagian selanjutnya.

Kasus khusus yang penting adalah persamaan atom hidrogen dengan energi potensial seperti

dalam diagram berikut. Dengan menganggap proton tak bergerak, kita gunakan koordinat

kutub dan memasukkan potensial Coulomb . Sehingga,

(76)

Hal penting yang patut diperhatikan adalah bahwa persamaan ini menghasilkan

tingkatan energi diskret yang sesuai pengamatan. Pembuktiannya menyangkutkan

perhitungan rumit, yang akan diulas pada Bab 7. Untuk sementara, akan dibahas model

sederhana.

Diagram energi untuk atom hidrogen ditunjukkan dalam Gambar 3.1. Jika energi kinetik

adalah dan energi total adalah , maka

Oleh karena secara klasik harus dipenuhi , partikel dengan energi dapat diamati hanya pada

daerah dengan garis di atas kurva

Garis putus-putus pada diagram bersesuaian dengan energi kinetik negatif, karena itu

berada pada posisi yang tak teramati. Untuk elektron dapat berada pada posisi sampai

takhingga. Untuk elektron terikat (bound). Untuk harga yang besar tetapi negatif, elektron

terbatas pada potensial yang berubah sangat cepat dalam daerah yang sangat sempit. Untuk

menganalisis sifat kualitatif dari sistem yang demikian kita tinjau harga energi kuantum dari

sebuah partikel yang terbatas dalam dinding potensial takhingga 1-d, yakni

 

(77)

Secara klasik partikel terbatas dalam daerah , dan berapapun energinya partikel terpantul

setiap kali menumbuk dinding potensial. Persamaan Schrodinger untuk sistem dengan

potensial , yang didefiniskan oleh (3.25), untuk , adalah

(78)

Oleh karena bernilai takhingga pada , sementara suku-suku lainnya tetap berhingga, maka

diperlukan syarat batas sebagai

(79)

Dengan memperkenalkan

(80)

Persamaan menjadi

(81)

Solusi persamaan di atas yang memenuhi syarat batas pada , adalah

(82)

dimana

(83)

dan

dimana

(85)

Dengan menggabungkan (3.31) dan (3.33), diperoleh

(86)

dan dengan menggunakan (3.28), tingkatan energi yang mungkin adalah

(87)

Sifat penting dari spektrum energi diskret telah muncul secara alamiah dari formalisme di

atas, dan dapat dibandingkan dengan rumus Bohr untuk atom hidrogen,

(88)

Kenyataan bahwa model yang ditinjau masih sederhana tetapi telah mendekati model

real atom hidrogen merupakan kesuksesan. Perbedaan dengan faktor merupakan kekhususan

dari pendekatan 1-d (dinding potensial) terhadap sistem 3-d (atom hidrogen). Sedangkan

perbedaan tanda muncul dari kenyataan bahwa tingkatan energi atom hidrogen diukur dari

puncak potensial ke bawah.

Persamaan Schrodinger merupakan persamaan pokok dalam mekanika kuantum –

seperti halnya hukum gerak kedua yang merupakan persamaan pokok dalam mekanika

Newton – dan seperti persamaan fisika umumnya persamaan Schrodinger berbentuk

persamaan diferensial. Bentuk umum persamaan Schrodinger adalah sebagai berikut,

dengan ? adalah fungsi Schrodinger yang mendefinisikan partikel yang bergerak dalam tiga

dimensi dengan energi tertentu dan berada di bawah pengaruh medan potensial V tertentu.

Bentuk khusus persamaan Schrodinger yaitu persamaan Schrodinger bebas waktu adalah

Bentuk ini lebih sering digunakan karena energi dan medan potensial sistem fisika umumnya

hanya bergantung pada posisi.

Walaupun rumusan matematis persamaan Schrodinger lebih sederhana dibandingkan

Mekanika Matriks dan Aljabar Kuantum, pemecahan persamaan ini tetap membutuhkan

pengetahuan matematika lanjut. Langkah pertama yang dilakukan adalah menentukan energi

kinetik dan potensial sistem dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan di atas. Langkah

kedua adalah merubah persamaan di atas kedalam sistem koordinat yang sesuai dengan

sistem yang ditinjau. Untuk sistem atom hidrogen sistem koordinat yang sesuai adalah sistem

koordinat bola. Langkah kedua adalah melakukan pemisahan variabel. Persamaan

Schrodinger mengandung tiga koordinat ruang yang saling ortogonal dan harus dipisahkan

menjadi 3 persamaan berbeda yang hanya mengandung satu koordinat ruang. Langkah ketiga

adalah memecahkan ketiga persamaan tersebut secara simultan. Hasil yang diperoleh

merupakan bilangan-bilangan kuantum yang memerikan struktur sistem berdasarkan tingka-

tingkat energi yang menyusun sistem tersebut. Struktur sistem ini selanjutnya dipergunakan

untuk meramalkan perilaku sistem dan interaksinya dengan sistem lain.

Penerapan persamaan Schrodinger pada sistem fisika memungkinkan kita

mempelajari sistem tersebut dengan ketelitian yang tinggi. Penerapan ini telah

memungkinkan perkembangan teknologi saat ini yang telah mencapai tingkatan nano.

Penerapan ini juga sering melahirkan ramalan-ramalan baru yang selanjutnya diuji dengan

eksperimen. Penemuan positron – yang merupakan anti materi dari elektron – adalah salah

satu ramalan yang kemudian terbukti. Perkembangan teknologi dengan kecenderungan alat

yang semakin kecil ukurannya pada gilirannya akan menempatkan persamaan Schrodinger

sebagai persamaan sentral seperti halnya yang terjadi pada persamaan Newton selama ini.

a. Persamaan Schrodinger bergantung waktu

Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang Y bersesuaian dengan variabel

gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun, Y bukanlah suatu kuantitas yang

dapat diukur, sehingga dapat berupa kuantitas kompleks. Karena itu, kita akan menganggap

Y dalam arah x dinyatakan oleh :

Y = Ae-2pI(Vt-x/l)

sehingga :

Y = Ae-(i/ħ)(Et-px)

Persamaan di atas merupakan penggambaran matematis gelombang ekuivalen dari partikel

bebas yang berenergi total E dan bermomentum p yang bergerak dalam arah +x. Namun,

pernyataan fungsi gelombang Y hanya benar untuk partikel yang bergerak bebas. Sedangkan

untuk situasi dengan gerak partikel yang dipengaruhi berbagai pembatasan untuk

memecahkan Y dalam situasi yang khusus, kita memerlukan persamaan

Schrodinger.Pendekatan Schrodinger disebut sebagai mekanika gelombang. Persamaan

Schrodinger dapat diperoleh dengan berbagai cara, tetapi semuanya mengandung kelemahan

yang sama yaitu persamaan tersebut tidak dapat diturunkan secara ketat dari prinsip fisis yang

ada karena persamaan itu sendiri menyatakan sesuatu yang baru dan dianggap sebagai satu

postulat dari mekanika kuantum, yang dinilai kebenarannya atas dasar hasil-hasil yang

diturunkan darinya.

Persamaan Schrodinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang partikel yang bergerak

bebas. Perluasan persamaan Schrodinger untuk kasus khusus partikel bebas (potensial V =

konstan) ke kasus umum dengan sebuah partikel yang mengalami gaya sembarang yang

berubah terhadap ruang dan waktu merupakan suatu kemungkinan yang bisa ditempuh, tetapi

tidak ada satu cara pun yang membuktikan bahwa perluasan itu benar. Yang bisa kita lakukan

hanyalah mengambil postulat bahwa persamaan Schrodinger berlaku untuk berbagai situasi

fisis dan membandingkan hasilnya dengan hasil eksperimen. Jika hasilnya cocok, maka

postulat yang terkait dalam persamaan Schrodinger sah, jika tidak cocok, postulatnya harus

dibuang dan pendekatan yang lain harus dijajaki.

i ℏ ∂Ψ∂ t

=− ℏ2

2m∂2Ψ∂ x2

+VΨ

i ℏ ∂Ψ∂ t

=− ℏ2

2m (∂2Ψ∂ x2

+ ∂2Ψ∂ y2

+∂2Ψ∂ z2 )+VΨ

dimana energi potensial partikel V merupakan fungsi dari x, y, z dan t.

Dalam kenyataanya, persamaan Schrodinger telah menghasilkan ramalan yang sangat

tepat mengenai hasil eksperimen yang diperoleh. Pada rumus terakhir diatas hanya bisa

dipakai untuk persoalan non relativistik dan rumusan yang lebih rumit jika kelajuan partikel

yang mendekati cahaya terkait. Karena persamaan itu bersesuaian dengan eksperimen dalam

batas – batas berlakunya, kita harus mengakui bahwa persamaan Schrodinger menyatakan

suatu postulat yang berhasil mengenai aspek tertentu dari dunia fisis.Betapapun sukses yang

diperoleh persamaan Schrodinger, persamaan ini tetap merupakan postulat yang tidak dapat

diturunkan dari beberapa prinsip lain, dan masing – masing merupakan rampatan pokok,

tidak lebih atau kurang sah daripada data empiris yang merupakan landasan akhir dari

postulat itu. Penjabaran Persamaan Schrodinger bergantung waktu

~ (identik) dengan y dalam gerak gelombang umum

: menggambarkan keadaan gelombang kompleks yang tak dapat terukur

= A e

−iω( t− x

v), = 2pf, V =lf

maka =A e−2 πi( ft− x

λ)

energi totalnya

E=h =

hcλ , dengan l=

hp =

2π ℏp , p=

2π ℏλ

F=

Eh =

E2π ℏ

(Persamaan Schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi)

(Persamaan Schrodinger bergantung waktu dalam tiga dimensi)

Persamaan gelombangnya menjadi

= Ae−( i

ℏh)( Et−px)

∂2Ψ∂ x2

= ∂2

∂ x2(Ae

−( iℏ )(Et−px)

)=− p2

ℏ2 [ Ae−( iℏ )(Et− px )

]

∂Ψ∂ x

=iApℏ e

−( iℏ )( Et−px)

jadi

∂2Ψ∂ x2

=− p2

ℏ2Ψ

∂Ψ∂ t

=−i ℏℏ Ψ

b. Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu

Dalam banyak situasi energi potensial sebuah partikel tidak bergantung dari waktu

secara eksplisit, gaya yang bereaksi padanya, jadi juga V, hanya berubah terhadap kedudukan

partikel. Jika hal itu benar, persamaan Schrodinger dapat disederhanakan dengan meniadakan

ketergantungan terhadap waktu t. Fungsi gelombang partikel bebas dapat ditulis

Y = Ae-(i/ħ)(Et – px) = Ae-( iE/ħ )te+(ip/ħ)x

= ψ e-(iE/ħ)t

ini berarti, Y merupakan perkalian dari fungsi bergantung waktu e-(iE/h)t dan fungsi yang

bergantung kedudukan ψ . Kenyataanya, perubahan terhadap waktu dari semua fungsi

partikel yang mengalami aksi dari gaya jenuh mempunyai bentuk yang sama seperti pada

partikel bebas.

Persamaan keadaan jenuh schrodinger dalam satu dimensi

∂2ψ∂ x2

+ 2mℏ2

(E−V )ψ=0

Persamaan keadaan jenuh schrodinger dalam tiga dimensi

∂2ψ∂ x2

+ ∂2ψ∂ y2

+ ∂2ψ∂ z2

+ 2mℏ2

(E−V )ψ=0

Pada umumnya kita dapat memperoleh suatu fungsi gelombang Y yang tidak saja

memenuhi persamaan dan syarat batas yang ada tetapi juga turunannmya jenuh, berhingga

dan berharga tunggal dari persamaan keadaan jenuh Schrodinger. Jika tidak, sistem itu tidak

mungkin berada dalam keadaan jenuh. Jadi kuantitas energi muncul dalam mekanika

gelombang sebagai unsur wajar dari teori dan kuantitas energi dalam dunia fisis dinyatakan

sebagai jejak universal yang merupakan ciri dari semua sistem yang mantap. Harga En

supaya persamaan keadaan tunak Schrodinger dapat dipecahkan disebut harga eigen dan

fungsi gelombang yang bersesuaian ψndisebut fungsi eigen. Tingkat energi diskrit atom

hidrogen :

En = -

me4

32π 2ε02 ℏ2 ( 1

n2 ) n = 1,2,3……

Dalam atom hidrogen , kedudukan elektron tidak terkuantitasi, sehingga kita bisa memikirkan

elektron berada disekitar inti dengan peluang tertentu ½Y½2 per satuan volume tetapi tanpa ada

kedudukan tertentu yang diramalkan atau orbit tertentu menurut pengertian klasik.

Pernyataan peluang ini tidak bertentangan dengan kenyataan bahwa eksperimen yang

dilakukan pada atom hidrogen selalu menunjukkan bahwa atom hidrogen selalu mengandung

satu elektron, bukan 27 persen elektron dalam satu daerah dan 73 persen di daerah lainnya;

peluang itu menunjukkan peluang untuk mendapatkan elektron , dan walaupun peluang ini

menyebar dalam ruang, elektronnya sendiri tidak.

Persamaan gelombang partikel bebas

Ψ=Ae−( i

ℏ )(et−px)

= Ae−( iℏ )Et+e

( ipℏ )x

= Ψe−( iEℏ )t

, dengan = Ae

Ambil persamaan Schrodinger yang bergantung waktu,

i ℏ ∂Ψ∂ t

=− ℏ2

2m∂2Ψ∂ x2

+vΨ

EΨe−( iEℏ ) t

=− ℏ2

2me

−( iEℏ )t=− ℏ2

2me

−( iEℏ )t ∂2Ψ2x2 +VΨe

−( iEℏ )t

EΨ=− ℏ2

2m∂2Ψ∂ x2

+VΨ→X2mℏ2

∂2Ψ∂ x2

+ 2mℏ2

(E−V )Ψ=0, tidak bergantung waktu

Analog terhadap persamaan schrodinger adalah tali terbentang yang panjangnya L yang

keduanya terikat.

∂2Ψ∂ x2

= 1V 2

∂2Ψ∂ t2

,Ψ=Y

λn=2 Ln+1 , n=0,1,2,…

Dengan tingkat energi diskrit atom Hidrogen

En=− me4

32 π2 to2 ℏ2( 1n2

) , n=1,2,3…..

Momentum sudut ditentukan

Li=( l( l+1 ))1/2

ℏ , l = 0,1,2,…..

dengan harga ekspektasi

¿G>∫−~

~

GΙΨΙ2dx ,Ψ