Asas Ketidakpastian Heisenberg Dan Persamaan Schrodinger

Ributhermanto201043118 fisika kuantum untuk Universitas

ASAS KETIDAKPASTIAN HEISENBERG DAN PERSAMAAN SCHRODINGER

a. Ketidakpastian Heisenberg

a) Rumusan Umum Ketidakpastian Heisenberg

Kenyataan bahwa sebuah partikel bergerak harus dipandang sebagai group

gelombang de Broglie dalam kedaan tertentu alih – alih sebagai suatu kuantitas yang

terlokalisasi menimbulakan batas dasar pada ketetapan pengukuran sifat partikel yang dapat

diukur misalnya kedudukan momentum.

Untuk menjelaskan faktor apa yang terlibat, marilah kita meninjau group

gelombang dalam gambar 2.3 berikut

Partikel yang bersesuaian dengan grup gelombang ini dapat diperoleh dalam selang

grup tersebut pada waktu tertentu. Tentu saja kerapatan peluang 2|| maksimum pada

tengah – tengah grup, sehingga patikel tersebut mempunyai peluang terbesar untuk

didapatkan di daerah tersebut. Namun, kita tetap mempunyai kemungkinan untuk

mendapatkan partikel pada suatu tempat jika 2|| tidak nol.

Lebih sempit grup gelombang itu, lebih teliti kedudukan partikel itu dapat

ditentukan (Gambar 2.4a).

Gambar 2.3. Group Gelombang


Namun, panjang gelombang pada paket yang sempit tidak terdefinisikan dengan baik ; tidak

cukup banyak gelombang untuk menetapkan dengan tepat. Ini

berarti bahwa karenavm

h , maka momentum mv bukan merupakan kuantitas yang dapat

diukur secara tepat. Jika melakukan sederetan pengukuran momentum, akan diperoleh

momentum dengan kisaran yang cukup lebar.

Sebaliknya, grup gelombang yang lebar seperti pada gambar 2.4b memiliki panjang

gelombang yang terdefinisikan dengan baik. Momentum yang bersesuaian dengan panjang

x

= ?

(a)

7

(b)

Gambar 2.4. (a) Group gelombang de Broglie terbatas. Posisi partikel dapatditentukan secara tepat tetapi panjang gelombangnya (karena momentum partikel)tidak dapat ditetapkan. (b) lebar group gelombang. Kini panjang dapat ditentukan

secara tepat tetapi bukan posisi partikel. partikel) tidak dapat ditetapkan.


gelombang ini menjadi kuantitas yang dapat ditentukan dengan teliti, dan sederetan

pengukuran momentum akan menghasil-kan kisaran yang sempit. Akan tetapi di manakah

kedudukan partikel tersebut? Lebar grup gelombang tersebut menjadi terlalu besar untuk

menentukan kedudukan pada suatu waktu.

Jadi kita sampai pada prinsip ketidakpastian : Tidak mungkin kita mengetahui

keduanya yaitu kedudukan dan momentum suatu benda secara seksama pada saat yang

bersamaan. Prinsip ini dikemukakan oleh Werner Heisenberg pada tahun 1927, dan

merupakan salah satu hukum fisis yang memegang peranan penting.

Persoalan berikutnya adalah mencari suatu besaran yang mampu menampung dan

mempresentasikan sifat – sifat partikel sekaligus sifat – sifat gelombang. Dengan demikian

kuantitas tersebut harus bersifat sebagai gelombang tetapi tidak menyebar melainkan

terkurung di dalam ruang. Hal ini dipenuhi oleh paket gelombang yang merupakan kumpulan

gelombang dan terkurung dalam ruang tertentu. Analisis yang formal mendukung kesimpulan

tersebut dan membuat kita mampu untuk menyatakannya secara kuantitatif. Contoh yang

paling sederhana dari pembentukan grup gelombang, perhatikan kombinasi dari dua

gelombang bidang berikut :

xktAtx 111 cos, (2.3)

xktAtx 222 cos,

Pinsip superposisi memberikan

txtxtx ,,, 21

xkk

tAR 22cos 2121

(2.4)

Dengan amplitudo AR

Dengan amplitudo AR


xkk

tAAR 22cos2 2121

(2.5)

Dalam bentuk grafik,

Bila gelombang tunggalnya diperbanyak,

+

=

Gambar 2.5. Superposisi dua gelombang tunggal

=

2, k2

1, k1

+

+3, k3

4, k4

+

+

k

Gambar 2.6. Superposisi dari n gelombang


Tampak dari gambar 2.6 bahwa paket gelombang terlokalisasi di daerah yang sebesar x danlokalisasi ini yang diharapkan sebagai posisi partikel klasik.

Setelah mendapatkan barang yang dapat menyatakan partikel sekaligus gelombangberikutnya harus dicari perumusan matematisnya. Formalisme matematis untuk paketgelombang yang terlokalisasi tersebut tidak lain adalah transformasi Fourier.

(2.6)

Sebagai contoh, jika distribusi gelombang dengan vektor gelombang k, g(k), diberikanseperti gambar.

Maka distribusi gelombang di dalam ruang koordinat f(x),

x

Gambar 2.7. Kemungkinan posisi partikel di daerah x

- a / 2 + a / 2k

g (k)

1/

Gambar 2.8. Distribusi g (k)




(2.6)



x


- a / 2 + a / 2k

g (k)

1/





(2.6)



x


- a / 2 + a / 2k

g (k)

1/



Grafiknya,

Dari uraian contoh dan gambar transformasi Fourier di atas, diperoleh hubungan antara x

dan k (atau p). Hubungan antara x dan k bergantung pada bentuk paket gelombang dan

bergantung pada k, x didefinisikan. Perkalian (x) (k) akan minimum jika paket gelombang

berbentuk fungsi Gaussian, dalam hal ini ternyata transformasi Fouriernya juga merupakan fungsi

Gaussian juga. Jika x dan k diambil deviasi standar dari fungsi (x) dan g(k), maka harga

minimum x k = ½. Karena pada umumnya paket gelombang tidak memiliki bentuk Gaussian

(bentuk lonceng), maka lebih realistis jika hubungan antara x dan k dinyatakan sebagai berikut :

x k ≥ ½ (2.7)

Panjang gelombang de Broglie untuk sebuah partikel bermomentum p adalah :

Bilangan gelombang yang bersesuaian dengannya adalah :

f(k)

6/a

4/a

2/a

4/a

2/a 6/a

x

Gambar 2.9. Transformasi Fourier dari g(k)


Grafiknya,








x k ≥ ½ (2.7)



f(k)

6/a

4/a

2/a

4/a

2/a 6/a

x



Grafiknya,








x k ≥ ½ (2.7)



f(k)

6/a

4/a

2/a

4/a

2/a 6/a

x



Oleh karena itu, suatu ketidakpastian k dalam jumlah gelombang pada gelombang de Broglie

berhubugan dengan hasil – hasil partikel dalam suatu ketidakpastian p dalam momentum partikel

menurut Persamaan

Karena

Dan

4

hpx (prinsip ketidakpastian) (2.8)

Persamaan ini menyatakan bahwa hasil kali ketidakpastian kedudukan benda x pada suatu saat dan

ketidakpastian komponen momentum dalam arah x yaitu p pada saat yang sama lebih besar atau

sama dengan h / 4π. Kita tidak mungkin menentukan secara serentak kedudukan dan momentum suatu

benda. Jika diatur supaya x kecil yang bersesuaian dengan paket gelombang yang sempit, maka p

akan menjadi besar. Sebaliknya, p direduksi dengan suatu cara tertentu, maka paket gelombangnya

akan melebar dan x menjadi besar.

Ketidakpastian ini bukan ditimbulkan oleh alat yang kurang baik tetapi ditimbulkan oleh

sifat ketidakpastian alamiah dari kuantitas yang terkait. Setiap ketidakpastian instrumental atau

statistik hanya akan menambah besar hasil kali x p. Karena kita tidak mengetahui secara tepat apa

partikel itu atau bagaimana momentumnya, kita tidak dapat menyatakan apapun dengan pasti –

bagaimana kedudukan partikel itu kelak dan seberapa cepat partikel tadi bergerak. Jadi, “ kita tidak

dapat mengetahui masa depan karena kita tidak mengetahui masa kin. ”

Kuantitas h/2π sering muncul dalam fisika modern, karena ternyata kuantitas itu merupakan

satuan dasar dari momentum sudut. Kuantitas ini sering disingkat dengan “ ħ (baca ; h bar)” :




menurut Persamaan

Karena

Dan

4



















menurut Persamaan

Karena

Dan

4

















Selanjutnya, dalam buku ini kita akan memakai ħ sebagai pengganti h/2π. Dinyatakandalam ħ, prinsip ketidakpastian menjadi :

2

px (2.9)

b) Perhitungan x p Untuk Berbagai Keadaan

Tetapan Planck berharga sangat kecil – hanya 6,63 x 10-34 J s – sehingga pembatasan

yang ditimbulkan oleh prinsip ketidakpastian hanya penting dalam dunia atomik. Dalam skala ini,

prinsip ini sangat menolong untuk mengerti banyak gejala. Perlu diingat bahwa batas bawah ħ /2

untuk x p sangat jarang dicapai : biasanya x p ħ.

Bentuk lain dari prinsip ketidakpastian kadang – kadang berguna. Mungkin kita ingin

mengukur energi E yang dipancarkan pada suatu waktu selama selang waktu t dalam suatu proses

atomik. Jika energi berbentuk gelombang elektromagnetik, batas waktu yang tersedia membatasi

ketepatan kita menentukan frekuensi dari gelombang itu. Marilah kita anggap paket gelombang itu

sebagai satu gelombang. Karena frekuensi gelombang yang sedang dipelajari sama dengan bilangan

yang kita hitung dibagi dengan selang waktu, ketidakpastian frekuensi dalam pengukuran kita

adalah :

Ketidakpastian energi yang bersesuaian ialah :



2

px (2.9)












adalah :




2

px (2.9)












adalah :



Sehingga

Perhitungan yang lebih teliti berdasarkan sifat paket gelombang mengubah hasil tersebutmenjadi :

2

tE (2.10)

Contoh 2.2. :

1. Atom hidrogen berjari – jari 5,3 x 10-11 m. Gunakan prinsip ketidakpastian untukmemperkirakan energi elektron yang dapat dimilikinya dalam atom itu.

Penyelesaian :Di sini kita dapatkan untuk x = 5,3 x 10-11 m,

Elektron yang momentumnya sebesar itu berperilaku sebagai partikel klasik, dan energikinetiknya adalah :

Yang sama dengan 3,4 eV, sebenarnya energi kinetik elektron pada tingkat energiterendah dalam atom hidrogen adalah 13,6 eV.

2. Sebuah elektron yang tereksitasi mengeluarkan kelebihan energinya denganmemancarkan sebuah foton yang memiliki frekuensi karakteristik tertentu. Periode rata –rata yang berlangsung antara eksitasi elektron dan saat memancarkannya adalah 10-8 s.Cari ketidakpastian energi dan frekuensi foton itu.


Sehingga


2

tE (2.10)

Contoh 2.2. :







Sehingga


2

tE (2.10)

Contoh 2.2. :







Penyelesaian :

Energi foton tertentu dengan besar :

Ketidakpastian frekuensi cahaya diberikan dalam bentuk :

b. Persamaan Schrodinger

a) Fungsi persamaan Schrodinger

Seperti yang diterangkan pada pembahasan materi sebelumnya, kuantitas yangdiperlukan dalam mekanika kuantum ialah fungsi gelombang dari benda itu, maka padabagian ini akan ditunjukkan bahwa Persamaan gelombangnya harus memenuhi persyaratandan memiliki banyak solusi. Walaupun sendiri tidak mempunyai tafsiran fisis, kuadratbesaran mutlaknya ||2 (atau sama dengan * jika kompleks) yang dicari pada suatutempat tertentu pada suatu saat berbanding lurus dengan peluang untuk mendapatkanbenda itu di tempat itu pada saat itu. Momentum, momentum sudut dan energi dari bendadapat diperoleh dari . Persoalan mekanika kuantum adalah untuk menentukan daribenda itu bila kebebasan gerak dibatasi oleh aksi gaya eksternal.

Dalam kejadian itu, fungsi gelombang adalah kompleks, dengan bagian realmaupun imajiner, kerapatan peluang ||2 diberikan oleh hasil kali * dari dan KonjugateKompleks *. Konjugate kompleks dari sembarang fungsi diperoleh dengan mengganti i (=

1 ) dengan – 1 di manapun konjugate kompleks tadi tampil dalam fungsi. Setiap fungsikompleks dapat ditulis dalam bentuk

= A + iB

Dengan A dan B adalah fungsi real. Konjugate kompleks * dari adalah

* = A – iB

Dengan demikian


Penyelesaian :








= A + iB


* = A – iB

Dengan demikian


Penyelesaian :








= A + iB


* = A – iB

Dengan demikian


* = A2 – i2B2 = A2 + B2

Karena i2 = -1. Jadi * akan selalu berupa kuantitas real positif.

Bahkan, sebelum kita meninjau perhitungan awal dari , kita dapat membangunpersyaratan yang harus dipenuhinya. Karena ||2 berbanding lurus dengan kerapatanpeluang P untuk mendapatkan benda yang diperikan (digambarkan) oleh , integral ||2 keseluruh ruang harus berhingga – benda harus didapatkan pada suatu tempat. Jika

02

dV

Partikel itu tidak ada, dan integralnya jelas tidak bisa dan tetap berarti sesuatu; ||2 tidakbisa negatif atau kompleks karena cara didefinisikannya, sehingga satu-satunyakemungkinan yang tertinggal ialah suatu kuantitas yang berhingga supaya memangmemberikan benda real.

Biasanya untuk memudahkan, kita ambil ||2 sama dengan kerapatan (densitas)peluang P untuk mendapatkan partikel yang digambarkan oleh , ketimbang hanyaberbanding lurus dengan P. jika ||2 sama dengan P, maka benar bahwa

12

dV (3.1)

Karena

1dVP

Ialah suati pernyataan matematis bahwa partikel itu ada di suatu tempat untuk setiap saat.Jumlah semua peluang yang mungkin harus tertentu.

Fungsi gelombang yang memenuhi Persamaan (3.1) dinamakan ternormalisasi.Setiap fungsi gelombang yang bisa dipakai dapat dinormalisasikan dengan mengalikannyadengan tetapan yang sesuai; kita akan melihat hal ini dengan segera bagaimana hal inidilakukan.

Di samping bisa dinormalisasi, harus berharga tunggal, karena P hanya berhargatunggal pada tempat dan waktu tertentu, dan kontinu. Peninjauan momentum memberisyarat bahwa turunan parsial


zyx

,,

Harus berhingga, kontinu dan berharga tunggal. Hanya fungsi gelombang dengan sifat-sifattersebut dapat memberikan hasil yang berarti fisis jika dipakai dalam perhitungan, jadi hanyafungsi gelombang yang ”berperilaku baik” yang diizinkan sebagai representasi matematisdari benda nyata.

Jika kita sudah mempunyai fungsi gelombang yang ternormalisasi dan dapatditerima, peluang (kemungkinan) partikel dapat ditemukan pada suatu daerah tertentu ialahintegral kerapatan peluang ||2 dalam daerah itu terhadap volume. Untuk partikel yanggeraknya terbatas pada arah – x, maka peluang untuk mendapatkan partikel antara x1 danx2 ialah

dxPeluangx

x

2

1

2|| (3.2)

Persamaan SchrÖdinger yang merupakan Persamaan pokok dalam mekanikakuantum serupa dengan hukum gerak kedua yang merupakan Persamaan pokok dalammekanika Newton, adalah Persamaan gelombang dalam variabel . Sebelum kitamenangani Persamaan SchrÖdinger, terlebih dahulu kita tinjau ulang Persamaangelombang.

2

2

22

2 1

t

y

vx

y

(3.3)

Yang menentukan gelombang dengan kuantitas variabel y yang menjalar dalam arah xdengan kelajuan v. Dalam kasus gelombang pada tali terbentang, y menyatakan pergeserantali dari sumbu x ; dalam kasus gelombang bunyi, y menyatakan perbedaan tekanan, dalamkasus gelombang cahaya, y menyatakan besarnya medan listrik atau elektronon.Persamaan gelombang seperti di atas diturunkan dalam buku mekanika untuk gelombangmekanis dan dalam buku kelistrikan dan kemagnetan gelombang elektromagnetik.

Contoh 3.1.

Fungsi gelombang suatu partikel yang bergerak sepanjang sumbu x adalah :

(x) = Ce - | x | sin x


a. Tentukan konstanta C jika fungsi gelombang ternormalisasi.b. Jika = , hitung kemungkinan untuk mendapatkan partikel berada di sebelah kanan x =

1.

Penyelesaian :

a. Secara eksplisit (x) diberikan oleh

Sehingga

Tampak bahwa fungsi terakhir adalah fungsi genap, karena itu

0222

0

2222 sinsin1|| dxxeCdxxeCdx xx

0

222 sin2 dxxeC x

Untuk menghitung integral terakhir ini, tuliskan fungsi sinus dalam bentukeksponensial dan diperoleh

0

2)22()22(2 24

121 dxeeeC xii

0

2)2()22(2

22222x

xixi

ei

e

i

eC

(x) =

Ce x sin x,

Ce - x sin x,

Untuk x < 0

Untuk x > 0

| (x)|2 =C2 e 2x sin2 x, Untuk x < 0

Untuk x > 0C2 e -2x sin2 x,


122

1

22

1

2

2

ii

C

1

44

4

2 2

2

C

Diperoleh konstanta normalisasi C :

2

212

C

Sehingga

xex x

sin12

)( ||2

2

b. Besar kemungkinan partikel berada di x 1

1

2|)(| dxxtxP

1

222

2

sin)1(2

dxxe x

2cos2sin12

22

2

e

Untuk = ,

068,02

12

etxP

3.1.1. Persamaan SchrÖdinger : Bergantung – WaktuDalam mekanika kuantum, fungsi gelombang bersesuaian dengan variabel

gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun, tidak seperti y, bukanlah suatu


kuantitas yang dapat terukur, sehingga dapat berupa kuantitas kompleks. Karena itulah kitaakan menganggap dalam arah x dinyatakan oleh

)/( vxtieA (3.4)

Jika kita ganti dalam rumus di atas dengan 2 dan v dengan , diperoleh

)/(2 xtieA (3.5)

Yang bentuknya menguntungkan, karena kita telah mengetahui hubungan dan dinyatakan dalam energi total E dan momentum p dari partikel yang diperikan oleh .Karena

2hE danpp

h

2

Diperoleh

)()/( xptEieA (3.6)

Persamaan (3.6) merupakan penggambaran matematis gelombang ekivalen daripartikel bebas yang berenergi total E dan bermomentum p yang bergerak dalam arah +x.

Pernyataan fungsi gelombang yang diberikan dalam Persamaan (3.6) hanyaberlaku untuk partikel yang bergerak bebas, sedangkan kita lebih tertarik pada situasidengan gerak partikel yang dipengaruhi berbagai pembatasan. Yang harus kita lakukansekarang adalah mendapatkan Persamaan diferensial pokok untuk , kemudianmemecahkan untuk situasi yang khusus. Persamaan ini, yang disebut PersamaanSchrÖdinger dapat diperoleh dengan berbagai cara, tetapi semuanya mengandungkelemahan yang sama : Persamaan itu tidak dapat diturunkan secara ketat dari prinsip fisisyang ada karena Persamaan itu menyatakan sesuatu yang baru. Apa yang akan dilakukandi sini adalah menunjukkan suatu cara untuk memperoleh Persamaan gelombang ,kemudian membahas pentingnya hasil tersebut.

Kita mulai dengan mendiferensiasi Persamaan (3.6) dua kali terhadap x yangmenghasilkan


2

2

2

2

p

x(3.7)

dan sekali terhadap t, diperoleh

Ei

t(3.8)

Untuk kelajuan yang kecil terhadap kelajuan cahaya, energi total partikel E ialah jumlah darienergi elektrono p2/2m dan energi potensial V, dengan V pada umumnya merupakanfungsi kedudukan x dan waktu t :

Vm

pE

2

2

(3.9)

Fungsi V menyatakan pengaruh dari sisa semesta pada partikel. Tentu saja, hanyasebagian dari semesta yang berinteraksi dengan partikel ; misalnya dalam kasus elektrondalam atom hidrogen, hanya medan listrik inti yang diperhitung-kan.

Dengan mengalikan kedua suku Persamaan (3.9) dengan fungsi gelombang , akanmenghasilkan :

Vm

pE

2

2

(3.10)

Dari Persamaan (3.7) dan (3.8), dapat dilihat bahwa

tiE

(3.11)

Dan

2

222

xp

(3.12)


dengan mensubstitusikan pernyataan untuk E dan p 2 dalam Persamaan (3.10) akandiperoleh

Vxmt

i2

22

2

(3.13)

Persamaan terakhir ini adalah Persamaan SchrÖdinger yang Bergantung – Waktu.Dalam tiga dimensi, Persamaan SchrÖdinger bergantung – waktu diberikan oleh

Vzyxmt

i2

2

2

2

2

22

2

(3.14)

Di mana energi potensial partikel V merupakan fungsi dari x, y, z, dan t.

Persamaan gerak kuantum partikel di dalam potensial V (x, t) diberikan oleh

),(),(2

),( 22

txVtxmt

txi

(3.15)

Setiap pembatasan yang dapat membatasi gerak partikel dapat mempengaruhi fungsi energipotensial V. Sekali bentuk V diketahui, Persamaan Schrodinger – nya dapat dipecahkanuntuk mendapatkan fungsi gelombang partikel , sehingga kerapatan peluang ||2 dapatditentukan untuk x, y, z, dan t tertentu.

Di sini Persamaan SchrÖdinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang partikel yangbergerak bebas. Perluasan Persamaan SchrÖdinger untuk kasus khusus partikel bebas(energi potensial V = konstan) ke kasus umum dengan sebuah partikel yang mengalamigaya sembarang yang berubah terhadap ruang dan waktu [ V = V(x, y, z, t )] merupakansuatu kemungkinan yang bisa ditempuh, tetapi tidak ada satu cara “a priori” yangmembuktikan perluasan itu benar. Yang bisa kita lakukan hanyalah mengambil postulatbahwa Persamaan SchrÖdinger berlaku, pecahkan untuk berbagai situasi fisis danbandingkan hasilnya dengan hasil eksperimen. Jika hasilnya sesuai, maka postulat yangterkait dalam Persamaan SchrÖdinger sah ; jika tidak sesuai, postulatnya harus dibuang danpendekatan yang lain harus dijejaki. Dengan kata lain, Persamaan SchrÖdinger tidak bisaditurunkan dari ”prinsip pertama”, tetapi Persamaan itu merupakan prinsip pertama.

Dalam kenyataannya, Persamaan SchrÖdinger telah menghasilkan ramalan yangsangat tepat mengenai hasil eksperimen yang diperoleh. Tentu saja, harus kita ingat bahwaPersamaan (3.14) hanya bisa dipakai untuk persoalan non – relativistik dan rumusan yanglebih memakan pikiran diperlukan jika kelajuan partikel yang mendekati kecepatan cahayatertkait. Karena Persamaan itu bersesuaian dengan eksperimen dalam batas-batas


berlakunya, kita harus mengakui bahwa Persamaan SchrÖdinger menyatakan suatupostulat yang berhasil mengenai aspek tertentu dari dunia fisis.

3.1.2. Persamaan SchrÖdinger : Keadaan Stasioner (Tunak)

Dalam banyak situasi, energi potensial sebuah partikel tidak bergantung dari waktusecara eksplisit ; gaya yang beraksi padanya ; jadi V, hanya berubah terhadap kedudukanpartikel. Jika hal itu benar, Persamaan SchrÖdinger dapat disederhanakan denganmeniadakan kebergantungan terhadap waktu t.

Mula-mula kita perhatikan bahwa fungsi gelombang satu dimensi partikel bebasdapat ditulis

xiptiExptEi eeAeA )/()/()()/(

tiEe )/( (3.16)

Ini berarti, merupakan hasil kali fungsi bergantung – waktu e–(iE/ħ)t dan fungsi yangbergantung kedudukan . Kenyataannya, perubahan terhadap waktu dari semua fungsipartikel yang mengalami aksi dari gaya tunak mempunyai bentuk yang sama seperti partikelbebas. Dengan mensubstitusikan dari Persamaan (3.16) ke Persamaan SchrÖdingeryang bergantung – waktu, diperoleh

tEitEitiE eVx

em

eE )/(2

2)/(

2)/(

2

(3.17)

Sehingga, jika dibagi dengan faktor eksponensial itu,

0)(2

22

2

VEm

x (3.18)

Persamaan (3.18) merupakan bentuk keadaan – tunak Persamaan SchrÖdinger. Dalam tigadimensi menjadi


0)(2

22

2

2

2

2

2

VEm

zyx (3.19)

Pada umumnya, Persamaan keadaan – tunak SchrÖdinger dapat dipecahkan hanya untukharga E tertentu. Dalam pernyataan itu tidak ditimbulkan oleh kesukaran matematis yangmungkin ada, tetapi oleh sesuatu yang lebih mendasar (fundamental). ”Memecahkan”Persamaan SchrÖdinger untuk suatu sistem berarti memperoleh suatu fungsi gelombang yang tidak saja memenuhi Persamaan dan syarat batas yang ada, tetapi juga harusmemenuhi syarat bisa diterimanya fungsi gelombang – yaitu turunannya harus kontinu,berhingga, dan berharga tunggal. Bila tidak terdapat fungsi gelombang seperti itu, systemitu tidak mungkin berada dalam keadaan tunak.

Jadi kuantisasi energi muncul dalam mekanika gelombang sebagai unsur wajar dariteori tadi, dan kuantisasi energi dalam dunia fisis dinyatakan sebagai gejala universal yangmerupakan ciri dari semua sistem yang mantap.

Suatu analogi yang sangat dekat dan sudah dikenal bagaimana kuantisasi energitimbul dalam memecahkan Persamaan SchrÖdinger ialah dalam tali terpentang yangpanjangnya L yang keduanya ujungnya terikat. Dalam hal ini, sebagai ganti gelombangtunggal yang menjalar terus-menerus dalam satu arah, gelombang akan menjalar dalamarah +x dan –x secara serentak dengan syarat bahwa pergeseran y selalu nol pada keduaujung tali. Suatu fungsi y (x, t) yang dapat diterima untuk menyatakan pergeseran(simpangan) dengan turunannya, harus seperti yang berperilaku baik dengan turunannya,dan lagi harus real karena y menyatakan suatu kuantitas yang dapat diukur langsung. Satu-satunya pemecahan Persamaan gelombang

2

2

22

2 1

t

y

vx

y

Yang sesuai dengan berbagai pembatasan itu ialah pemecahan yang panjanggelombangnya memenuhi

1

2

n

Ln ; n = 0, 1, 2, 3, …..

Seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 4.1.

= 2L

= L

= 2/3

L = 1/2

LL


Kombinasi Persamaan gelombang dan pembatasan yang merupakan syaratpemecahannyalah yang mendorong kita untuk menyimpulkan bahwa y (x, t) hanya dapatada untuk panjang gelombang tertentu n.

Contoh 3.2. :

Sebuah partikel bergerak yang memenuhi Persamaan :

txietx 50300,5,

Hitunglah energi dan momentum partikel tersebut.

Penyelesaian :

txiop e

xitxp 50300,5,

txie 50300,530

txtx ,3010055,1,30 34

tx,1065,31 34

Jadi besarnya energi yang dimiliki partikel tersebut adalah : 31,65 x 10 – 34 J.


txkiop eA

titxE

,

txtx ,1075,52,50 34

Jadi momentum dari partikel tersebut adalah : 52,75 x 10 – 34 kg m/s.

3.1.3. Harga Ekspektasi, Operator, Fungsi dan Harga Eigen

Sekali lagi, seandainya fungsi gelombang sudah diperoleh, kita dapat mengajukanbeberapa pertanyaan lagi. Misalnya, di manakah partikel sering berada atau berapamomentum rata-rata partikel? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teoremaEhrenfest.

Karena kita tidak dapat lagi berbicara dengan suatu kepastian tentang kedudukanpartikel, maka kita tidak dapat pula menjamin kepastian hasil satu kali pengukuran suatubesaran fisika yang bergantung pada kedudukannya. Namun demikian, jika kita dapatmenghitung probabilitas yang berkaitan dengan setiap koordinat, maka kita dapatmenemukan hasil yang mungkin dari suatu pengukuran satu kali atau rata-rata hasil darisejumlah besar pengukuran berkali-kali. Sebagai contoh, andaikanlah kita ingin mencarirata-rata kedudukan sebuah partikel dengan mengukur koordinat x – nya. Denganmelakukan sejumlah besar pengukuran berkali-kali, kita dapati bahwa dengan mengukurnilai x1 sebanyak n1 kali, x2 sebanyak n2, dan seterusnya, maka dengan cara yang lazim, kitadapat memperoleh nilai rata-ratanya, yaitu

..........

.........

21

2211

nn

xnxnx

i

ii

n

xn

Jika kita mempersoalkan sebuah partikel, kita harus mengganti bilangan ni daripartikel xi dengan peluang Pi bahwa partikel itu bisa didapatkan dalam selang dx di xi.Besar peluang ini adalah

Pi = | i |2 dx

Dengan i merupakan fungsi gelombang partikel yang diambil pada x = xi. Dengansubstitusi ini dan mengubah jumlah dengan integral, kita lihat bahwa harga rata-ratakedudukan partikel tunggal ialah


dx

dxx

x2

2

||

||

(3.20)

Jika merupakan fungsi gelombang yang ternormalisasi, penyebut dalam Persamaan(3.20) sama dengan peluang bahwa partikel itu terdapat di suatu tempat antara x = - danx = , sehingga harganya = 1. Dalam kasus ini

dxxx 2|| (3.21)

Persamaan (3.21) ini menyatakan harga bahwa x terletak pada pusat massa ( elektrononbegitu) dari ||2 ; jika ||2 diplot terhadap x pada suatu grafik dan bidang yang dibatasi kurvadan sumbu x digunting, titik setimbangnya ialah x.

Nilai rata-rata yang dihitung menurut Persamaan (3.21) dikenal sebagai harga ekspektasi(expectation values).

Prosedur yang sama dengan yang telah dilakukan di atas dapat dipakai untukmemperoleh harga ekspektasi G(x) dari suatu kuantitas [misalnya, energi potensial V(x)]yang merupakan fungsi dari kedudukan partikel x yang digambarkan oleh fungsi gelombang. Hasilnya adalah

dxxGxG 2|| (3.22)

Harga ekspektasi momentum p tidak dapat dihitung dengan cara biasa yangdemikian sederhana, karena sesuai dengan prinsip ketidakpastian, tidak ada fungsi sepertip(x) yang dapat berlaku. Jika kita menentukan x, sehingga dengan demikian x = 0, kitatidak dapat menentukan p yang bersesuaian karena x p h/2. Masalah yang sama terjadiuntuk harga ekspektasi energi E.

Pada bagian sebelumnya kita lihat bagaimana harga ekspektasi dapat diperoleh darikuantitas yang merupakan fungsi posisi x dari partikel yang dinyatakan oleh fungsigelombang . Jadi kita dapat memperoleh harga ekspektasi pada setiap saat t dari harga x,


dan energi potensial partikel V(x), keduanya merupakan bagian dari pemerian yang lengkapdari keadaan partikel. Kuantitas dinamis yang lain, seperti momentum p dan energi E, tidakdapat diperlakukan dengan cara yang sama. Harga Ekspektasi dari p dan E harus dihitungdari :

Persamaan ini sangat langsung, sampai kita menyadari bahwa karena = (x, t),harus menyatakan p dan E sebagai fungsi dari x dan t supaya kita dapat melakukanintegrasi, tetapi prinsip ketidakpastian mengakibatkan tidak terdapatnya fungsi seperti p(x, t)dan E(x, t) ; sekali x, dan t ditentukan, hubungan

berarti bahwa kita tidak dapat, pada prinsipnya, menentukan p dan E secara eksak.

Dalam fisika klasik tidak terdapat pembatasan seperti itu, karena dalam duniamakroskopik prinsip ketidakpastian dapat diabaikan. Jika kita terapkan hukum gerak keduapada gerak benda yang mengalami berbagai gaya, kita mengharapkan untuk mendapatkanp(x, t) dan E(x, t) dari solusinya seperti juga x(t) ; untuk memecahkan persoalan tersebutdalam mekanika klasik pada pokoknya berarti menentukan tempuhan masa depan gerakbenda tersebut. Dalam fisika kuantum, di pihak lain, semua yang kita dapatkan secaralangsung dari Persamaan SchrÖdinger dari gerak partikel itu ialah fungsi gelombang , dantempuhan masa depan gerak partikel itu – seperti juga keadaan awalnya – hanya diketahuipeluangnya, alih-alih sesuatu yang sudah tertentu.

Saran untuk mendapatkan dan dengan cara yang benar ialah denganmendiferensiasi fungsi gelombang partikel – bebas = A e – (i/ħ)(Et – px) terhadap x dan t.Diperoleh














yang dapat ditulis dengan cara

xi

p

(3.23)

t

iE (3.24)

Jelaslah kuantitas dinamis p dalam cara tertentu bersesuaian dengan operator diferensial xi // dan kuantitas dinamis E bersesuaian dengan operator diferensial ti /

(Operator memberikan informasi kepada kita operasi apa yang harus dilakukan padakuantitas yang ditulis setelahnya. ti / menginstruksikan kepada kita untuk mengambilturunan yang terdapat setelahnya terhadap t dan hasilnya dikalikan dengan i ).

Kita biasa melambangkan operator dengan huruf tebal tegak, sehingga p merupakanoperator yang bersesuaian dengan momentum p dan E ialah operator yang bersesuaiandengan energi E. Dari Persamaan (3.23) dan Persamaan (3.24) operator ini ialah

xip

(Operator momentum) (3.25)

tiE

(Operator energi) (3.26)

Walaupun kita hanya menunjukkan persesuaian yang dinyatakan dalam Persamaan (3.25)dan Persamaan (3.26) berlaku untuk partikel bebas, hubungan itu ternyata berlaku umumyang kesahannya dengan kesahan Persamaan SchrÖdinger. Untuk mendukung pernyataanini, kita dapat mengganti Persamaan E = T + V untuk energi total partikel denganPersamaan operator

E = T + V (3.27)

karena energi kinetik T dinyatakan dengan momentum p menurut hubungan

m

pT

2

2


diperoleh

2

2222

22

1

2 xmximm

pT

(3.28)

yang kita sebut “operator energi – kinetik”.

Persamaan (3.27) dapat ditulis sebagai berikut.

Vxmt

i

2

22

2

(3.29)

Sekarang kita kalikan identitas = dengan Persamaan (3.29), diperoleh

Vxmt

i

2

22

2

(3.30)

yang merupakan Persamaan SchrÖdinger. Mempostulatkan Persamaan (3.23) danPersamaan (3.24) setara dengan mempostulatkan Persamaan SchrÖdinger.

Karena p dan E dapat diganti dengan operator yang bersesuaian dalam Persamaan,kita dapat memakai operator ini untuk mendapatkan harga ekspektasi dari p dan E. Jadiharga ekspektasi p ialah

dxxi

dxxi

dxpp *** (3.31)

dan harga ekspektasi untuk E adalah

dxt

idxt

idxEE *** (4.32)


keduanya Persamaan (3.31) dan Persamaan (3.32) dapat dihitung untuk fungsi gelombangyang dapat diterima (x, t).

Jelaslah bahwa kita perlu menyatakan harga ekspektasi yang bersangkutan denganoperator dalam bentuk

dxpp *

Alternatif lain ialah

0***

idx

xidxp

karena * dan harus 0 di x = dan

dxxi

dxp

**

tidak mempunyai arti. Dalam kasus kuantitas aljabar seperti x dan V(x) urutan faktor dalamintegran tidak penting, tetapi jika operator diferensial terlibat, urutan yang benar dari faktoritu harus diteliti.

Setiap kuantitas yang teramati G yang merupakan karakteristik suatu elektron fisisdapat dinyatakan dengan operator mekanika – kuantum yang cocok G. Untuk memperolehoperator ini, kita perlu menyatakan G dalam x dan p dan mengganti p dengan xi // .Fungsi gelombang dari sistem diketahui, maka harga ekspektasi G(x, p) ialah

dxGpxG *, (3.33)

(Harga Ekspektasi Operator)

Hasil ini memperkuat pernyataan yang dibuat sebelumnya bahwa dari dapatdiperoleh semua informasi mengenai elektron yang diperbolehkan oleh prinsipketidakpastian.


Persyaratan bahwa variabel dinamis tertentu G terbatas pada harga diskrit Gn –dengan kata lain G terkuantisasi – ialah fungsi gelombang n dari elektron sedemikiansehingga

G n = Gn n (Persamaan Harga – Eigen) (3.34)

dengan G menyatakan operator yang bersesuaian dengan G dan masing-masing Gn

merupakan bilangan real. Bila Persamaan (3.34) berlaku untuk fungsi gelombang sebuahelektron, postulat pokok (kenyataannya, satu-satunya postulat pokok) dari mekanika

kuantum bahwa pengukuran G hanya dapat menghasilkan satu harga Gn. Jika pengukuranG dilakukan pada sejumlah elektron identik semua berada dalam keadaan yang diperikanoleh fungsi – eigen k, masing-masing pengukuran menghasilkan harga tunggal Gk.

Operator energi total E dari Persamaan (3.27) biasanya ditulis sebagai,

Vxm

H

2

22

2

(3.35)

dan disebut operator Hamiltonian; kuantitas itu merupakan energi total elektrondinyatakan dalam koordinat dan momentum. Jelaslah Persamaan SchrÖdinger keadaan –tunak dapat ditulis sebagai berikut.

Enn = Hn (3.36)

Harga energi En supaya Persamaan keadaan – tunak Schrodinger dapat dipecahkandisebut harga – eigen dan fungsi gelombang yang bersesuaian n disebut fungsi eigen.(Istilah ini berasal dari bahasa Jerman Eigenwert, yang berarti ”harga karakteristik yangsesungguhnya”, dan Eigenfunktion, atau ”fungsi karakteristik sesungguhnya”).

Tingkat energi diskrit atom hydrogen

2220

2

4 1

32 n

emEn

n = 1, 2, 3, ……..

Merupakan contoh sekelompok harga – eigen. Kita akan lihat pada Bab berikutnyamengapa harga tertentu E yang menghasilkan fungsi gelombang dapat diterima untuk

elektron dalam atom elektronon.


Contoh penting variabel dinamis selain energi total yang didapatkan terkuantisasikandalam keadaan mantap ialah momentum sudut. Dalam kasus atom elektron, kita akandapatkan bahwa harga–eigen besar momentum sudut di-tentukan oleh

)1( llLi l = 0, 1, 2, ……(n – 1)

Tentu saja, suatu variabel dinamis G boleh tidak terkuantisasi. Dalam hal ini pengukuran Gpada sejumlah elektron identik tidak menghasilkan hasil yang unik melainkan harga yangtersebar yang rata-ratanya merupakan harga ekspektasi

dxGG 2||

Dalam atom elektron, kedudukan elektronon tidak terkuantisasi, sehingga kitalec membayangkan elektronon berada di sekitar inti dengan peluang tertentu ||2 per

satuan volume tetapi tanpa ada kedudukan tertentu yang dapat diramalkan atau orbittertentu menurut pengertian klasik. Pernyataan peluang ini tidak bertentangan dengankenyataan bahwa eksperimen yang dilakukan pada atom elektronon selalu menunjukkanbahwa atom itu selalu mengandung satu elektron, bukan 27 persen elektron dalam satudaerah dan 73 persen di daerah lainnya; peluang itu menunjukkan peluang untukmendapatkan elektron, dan walaupun peluang ini menyebar dalam ruang, elektronnyasendiri tidak.

Asas Ketidakpastian Heisenberg Dan Persamaan Schrodinger

Documents

Transcript of Asas Ketidakpastian Heisenberg Dan Persamaan Schrodinger