PERSAMAAN GELOMBANG SCHRODINGER

NAMA : TOGA CLINTON SIHOTANG

NIM : 4143321044

KELAS : FISIKA EKSTENSI 2014

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

MEDAN

2015

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas rahmat dan

karunia-Nyalah sehingga penulis dapat menyelesaikan pembuatan makalah fisika

modern yang berjudul ‘Persamaan Gelombang Schrodinger ’ tepat pada

waktunya.

Harapan penulis semoga makalah ini membantu menambah pengetahuan

dan pengalaman bagi para pembaca, sehingga penulis dapat memperbaiki bentuk

maupun isi makalah ini sehingga kedepannya dapat lebih baik.

Makalah ini penulis akui masih banyak kekurangan karena pengalaman

yang penulis miliki sangat kurang, oleh karena itu penulis harapkan kepada para

pembaca untuk memberikan masukan-masukan yang bersifat membangun untuk

kesempurnaan makalah ini.

Medan, 21 November 2015

Toga Clinton sihotang

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Gelombang zat, atau gelombang pengarah (pemandu) telah menjadi bagian

khasanah ilmu Fisika pada tahun 1925 dengan ditandai oleh munculnya hipotesa

de-Broglie. Hipotesa tentang gelombang pengarah sangat diilhami oleh studi

mengenai gerak elektron dalam atom Bohr. Gelombang zat yang senantiasa

menyertai gerak suatu zarah melengkapkan pandangan tentang dualisme zarah

gelombang. Dengan demikian perbedaan antara cahaya dan zarah, atau lebih

tegasnya antara gelombang dan zarah menjadi hilang. Gelombang cahaya dapat

berperilaku sebagai zarah, sebaliknya zarah dapat berperilaku sebagai gelombang.

Pandangan semacam itu sangat berbeda dengan persepsi manusia tentang gejal-

gajal fisik konkret yang dialami nya sehari-hari.

Sejak abad ke-20 teori-teori klasik mulai dipertanyakan kesahihannya

untuk dipergunakan di tingkat atom yang sub-atom. Satu tahun setelah postulat

de-Broglie disebarluaskan seorang ahli fisika dari Austria, Erwin Schrodinger

berhasil merumuskan suatu persamaan diferensial umum untuk gelombang de-

Broglie dan dapat ditunjukkan pula kesahihannya untuk berbagai gerak elektron.

Persamaan diferensial ini yang selanjutnya dikenal sebagai persamaan gelombang

Schrodinger sebagai pembuka jalan ke arah perumusan suatu teori mekanika

kuantum yang komprehensip dan lebih formalistik. Pada tahun 1927, satu tahun

setelah Schrodinger merumuskan persamaan gelombangnya, Heisenberg

merumuskan suatu prinsip yang bersifat sangat fundamental. Prinsip ini

dirumuskan pada waktu orang sedang sibuk mempelajari persamaan Schrodinger

dan berusaha keras untuk dapat memahami maknanya.

Pada tahun 1926, Heisenberg juga muncul dengan suatu cara baru untuk

menerangkan garis-garis spektrum yang dipancarkan oleh sistem atom.

Pendekatannya sangat lain, karena yang digunakannya adalah matriks. Hasil yang

diperoleh dengan cara ini sama dengan apa yang diperoleh melalui persamaan

Schrodinger. Mekanika kuantumnya Heisenberg dikenal sebagai mekanika

matriks. Secara kronologis prinsip Heisenberg muncul sesudah dirumuskannya

persamaan Schrodinger. Tetapi sebagai suatu prinsip teoritik hal itu merupakan

suatu hal yang fundamental, dan dapat disejajarkan dengan teori kuantum

Einstein, postulat de-Broglie, dan postulat Bohr. Oleh karenanya dalam

pembahasannya prinsip Heisenberg ditampilkan lebih dahulu dari persamaan

Schrodinger. Teori Planck tentang radiasi thermal, teori einstein tentang foton,

teori Bohr tentang atom Hidrogen, dan postulat de-Broglie tentang gelombang zat,

serta prinsip Heisenberg dikenal sebagai teori kuantum lama. Dalam teori

kuantum lama terkandung hampir semua landasan bagi suatu teori yang dapat

menguraikan perilaku sistem-sistem fisika pada tingkat atom dan sub-atom.

B. Perumusan Masalah

1. Apa yang dimaksud Persamaan Schrodinger ?

2. Bagaimana Persamaan Gelombang Schrodinger bergantung waktu ?

3. Bagaimana Persamaan Gelombang Schrodinger bebas waktu

BAB II

PEMBAHASAN

A. Persamaan Schrodinger

Persamaan Schrodinger diajukan pada tahun 1925 oleh fisikawan Erwin

Schrodinger (1887-1961). Persamaan ini pada awalnya merupakan jawaban dari

dualisme partikel-gelombang yang lahir dari gagasan de Broglie yang

menggunakan persamaan kuantisasi cahaya Planck dan prinsip fotolistrik Einstein

untuk melakukan kuantisasi pada orbit elektron. Selain Schrodinger dua orang

fisikawan lainnya yang mengajukan teorinya masing-masing adalah Werner

Heisenberg dengan Mekanika Matriks dan Paul Dirac dengan Aljabar Kuantum.

Ketiga teori ini merupakan tiga teori kuantum lengkap yang berbeda dan

dikerjakan terpisah namun ketiganya setara. Teori Schrodinger kemudian lebih

sering digunakan karena rumusan matematisnya yang relatif lebih sederhana.

Meskipun banyak mendapat kritikan persamaan Schrodinger telah diterima secara

luas sebagai persamaan yang menjadi postulat dasar mekanika kuantum.

Persamaan Schrodinger merupakan persamaan pokok dalam mekanika

kuantum – seperti halnya hukum gerak kedua yang merupakan persamaan pokok

dalam mekanika Newton – dan seperti persamaan fisika umumnya persamaan

Schrodinger berbentuk persamaan diferensial. Bentuk umum persamaan

Schrodinger adalah sebagai berikut,

Bentuk khusus persamaan Schrodinger yaitu persamaan Schrodinger bebas waktu

adalah

Bentuk ini lebih sering digunakan karena energi dan medan potensial sistem fisika

umumnya hanya bergantung pada posisi.

Persamaan Schrödinger dapat diturunkan dari persamaan umum gelombang:

Dengan melakukan separasi variabel

didapatkan

dari persamaan di atas dapat diperoleh dua persamaan, yaitu:

yang solusi umumnya untuk   ialah:

mengingat   dan    , maka didapatkan solusi dari persamaan

gelombang:

Jika mengambil model partikel dalam kotak

Jika menggunakan syarat batas φ(x) = 0 untuk x = 0, didapati bahwa koefisien C =

0 sehingga suku pertama dapat ditiadakan. Dengan mengingat persamaan ke-dua,

solusi persamaan gelombang ini menjadi:

Sekarang kita menggambarkan gerak partikel dalam suatu keadaan ruang-waktu

dengan beranggapan keadaan partikel dalam bentuk gelombang, maka kita dapat

melakukan substitusi, di mana

dan v = E/p, sehingga didapatkan

Dengan substitusi nilai v serta substitusi  , persamaan gelombang dapat

dituliskan dalam bentuk:

mengingat  ,

maka   sehingga didapatkan bentuk

persamaan Schrödinger:

atau

Catatan:   = frekuensi (nu) dan   = kecepatan.

B. Persamaan Schrodinger bergantung waktu

Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang Y bersesuaian dengan

variabel gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun, Y bukanlah

suatu kuantitas yang dapat diukur, sehingga dapat berupa kuantitas kompleks.

Karena itu, kita akan menganggap Y dalam arah x dinyatakan oleh :

Y = Ae-2pI(Vt-x/l)

sehingga :

Y = Ae-(i/ħ)(Et-px)

Persamaan di atas merupakan penggambaran matematis gelombang

ekuivalen dari partikel bebas yang berenergi total E dan bermomentum p yang

bergerak dalam arah +x. Namun, pernyataan fungsi gelombang Y hanya benar

untuk partikel yang bergerak bebas.Sedangkan untuk situasi dengan gerak partikel

yang dipengaruhi berbagai pembatasan untuk memecahkan Y dalam situasi yang

khusus, kita memerlukan persamaan Schrodinger.

Pendekatan Schrodinger disebut sebagai mekanika gelombang. Persamaan

Schrodinger dapat diperoleh dengan berbagai cara, tetapi semuanya mengandung

kelemahan yang sama yaitu persamaan tersebut tidak dapat diturunkan secara

ketat dari prinsip fisis yang ada karena persamaan itu sendiri menyatakan sesuatu

yang baru dan dianggap sebagai satu postulat dari mekanika kuantum, yang dinilai

kebenarannya atas dasar hasil-hasil yang diturunkan darinya.

Persamaan Schrodinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang partikel

yang bergerak bebas. Perluasan persamaan Schrodinger untuk kasus khusus

partikel bebas (potensial V = konstan) ke kasus umum dengan sebuah partikel

yang mengalami gaya sembarang yang berubah terhadap ruang dan waktu

merupakan suatu kemungkinan yang bisa ditempuh, tetapi tidak ada satu cara pun

yang membuktikan bahwa perluasan itu benar. Yang bisa dilakukan hanyalah

mengambil postulat bahwa persamaan Schrodinger berlaku untuk berbagai situasi

fisis dan membandingkan hasilnya dengan hasil eksperimen. Jika hasilnya cocok,

maka postulat yang terkait dalam persamaan Schrodinger sah, jika tidak cocok,

postulatnya harus dibuang dan pendekatan yang lain harus dijajaki.

i ℏ ∂Ψ∂ t

=− ℏ2

2m∂2Ψ∂ x2 +VΨ

i ℏ ∂Ψ∂ t

=− ℏ2

2 m (∂2 Ψ∂ x2 + ∂2 Ψ

∂ y2 + ∂2Ψ∂ z2 )+VΨ

dimana energi potensial partikel V merupakan fungsi dari x, y, z dan t.

Dalam kenyataanya, persamaan Schrodinger telah menghasilkan ramalan

yang sangat tepat mengenai hasil eksperimen yang diperoleh. Pada rumus terakhir

diatas hanya bisa dipakai untuk persoalan non relativistik dan rumusan yang lebih

rumit jika kelajuan partikel yang mendekati cahaya terkait. Karena persamaan itu

bersesuaian dengan eksperimen dalam batas – batas berlakunya, kita harus

mengakui bahwa persamaan Schrodinger menyatakan suatu postulat yang berhasil

mengenai aspek tertentu dari dunia fisis.

Betapapun sukses yang diperoleh persamaan Schrodinger, persamaan ini

tetap merupakan postulat yang tidak dapat diturunkan dari beberapa prinsip lain,

dan masing – masing merupakan rampatan pokok, tidak lebih atau kurang sah

daripada data empiris yang merupakan landasan akhir dari postulat itu. Penjabaran

Persamaan Schrodinger bergantung waktu

~ (identik) dengan y dalam gerak gelombang umum

: menggambarkan keadaan gelombang kompleks yang tak dapat terukur

= A e−iω( t− x

v ), = 2pf, V =lf

maka =A e−2 πi( ft− x

λ )

energi totalnya

(Persamaan Schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi)

(Persamaan Schrodinger bergantung waktu dalam tiga dimensi)

E=h =

hcλ , dengan l=

hp =

2 π ℏp , p=

2 π ℏλ

F=

Eh =

E2 π ℏ

Persamaan gelombangnya menjadi

= Ae−( i

ℏh )( Et−px)

∂2Ψ∂ x2 = ∂2

∂ x2 ( Ae−( iℏ )(Et−px )

)=− p2

ℏ2 [ Ae−( iℏ )(Et − px )

]

∂Ψ∂ x

=iA pℏ e−( i

ℏ )( Et−px)

jadi

∂2Ψ∂ x2 =− p2

ℏ2 Ψ

∂Ψ∂ t

=− i ℏℏ Ψ

Kita tahu bahwa energi total

E= Ek+Ep (non relativistik)

= p2

2m+V

; dikali dengan

E=p2 Ψ2m

+VΨ, karena

∂Ψ∂ t

=− iEℏ Ψ

, maka

E=

ℏi∂ Ψ∂ t

∂2Ψ∂ x2 =− p2Ψ

ℏ2

p2Ψ =−ℏ2 ∂2 Ψ

∂ x2

-−ℏ

i∂ Ψ∂ t

=− ℏ2

2m∂2 Ψ∂ x2 +VΨ

sehingga menjadi :i2=−1→ i

−(1)2= i

1

i ℏ ∂Ψ∂ t

=− ℏ2

2m∂2 Ψ∂ x

+VΨ

(persamaan schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi)

C. Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu

Dalam banyak situasi energi potensial sebuah partikel tidak bergantung

dari waktu secara eksplisit, gaya yang bereaksi padanya, jadi juga V, hanya

berubah terhadap kedudukan partikel. Jika hal itu benar, persamaan Schrodinger

dapat disederhanakan dengan meniadakan ketergantungan terhadap waktu t.

Fungsi gelombang partikel bebas dapat ditulis

Y = Ae-(i/ħ)(Et – px) = Ae-( iE/ħ )te+(ip/ħ)x

= ψ e-(iE/ħ)t

ini berarti, Y merupakan perkalian dari fungsi bergantung waktu e-(iE/h)t dan fungsi

yang bergantung kedudukan ψ . Kenyataanya, perubahan terhadap waktu dari

semua fungsi partikel yang mengalami aksi dari gaya jenuh mempunyai bentuk

yang sama seperti pada partikel bebas.

Persamaan keadaan jenuh schrodinger dalam satu dimensi

∂2ψ∂ x2 + 2m

ℏ2 ( E−V ) ψ=0

Persamaan keadaan jenuh schrodinger dalam tiga dimensi

∂2ψ∂ x2 + ∂2ψ

∂ y2 + ∂2 ψ∂ z2 + 2m

ℏ2 ( E−V ) ψ=0

Pada umumnya dapat diperoleh suatu fungsi gelombang Y yang tidak saja

memenuhi persamaan dan syarat batas yang ada tetapi juga turunannmya jenuh,

berhingga dan berharga tunggal dari persamaan keadaan jenuh Schrodinger. Jika

tidak, sistem itu tidak mungkin berada dalam keadaan jenuh.

Jadi kuantitas energi muncul dalam mekanika gelombang sebagai unsur

wajar dari teori dan kuantitas energi dalam dunia fisis dinyatakan sebagai jejak

universal yang merupakan ciri dari semua sistem yang mantap.

Harga En supaya persamaan keadaan tunak Schrodinger dapat dipecahkan

disebut harga eigen dan fungsi gelombang yang bersesuaian ψn disebut fungsi

eigen. Tingkat energi diskrit atom hidrogen :

En = -

me4

32 π 2ε02 ℏ2 ( 1

n2) n = 1,2,3……

Dalam atom hidrogen , kedudukan elektron tidak terkuantitasi, sehingga

kita bisa memikirkan elektron berada disekitar inti dengan peluang tertentu ½Y½2

per satuan volume tetapi tanpa ada kedudukan tertentu yang diramalkan atau orbit

tertentu menurut pengertian klasik.

Pernyataan peluang ini tidak bertentangan dengan kenyataan bahwa

eksperimen yang dilakukan pada atom hidrogen selalu menunjukkan bahwa atom

hidrogen selalu mengandung satu elektron, bukan 27 persen elektron dalam satu

daerah dan 73 persen di daerah lainnya; peluang itu menunjukkan peluang untuk

mendapatkan elektron , dan walaupun peluang ini menyebar dalam ruang,

elektronnya sendiri tidak.

Persamaan gelombang partikel bebas

Ψ =Ae−( iℏ )( et− px )

= Ae−( iℏ )Et+e( ip

ℏ )x

= Ψe−( iEℏ ) t

, dengan = Ae

Ambil persamaan Schrodinger yang bergantung waktu,

i ℏ ∂Ψ∂ t

=− ℏ2

2m∂2 Ψ∂ x2 +vΨ

EΨe−( iEℏ ) t

=− ℏ2

2me−( iE

ℏ )t=− ℏ2

2me−( iE

ℏ )t ∂2Ψ2x2 +VΨe

−( iEℏ ) t

EΨ=− ℏ2

2 m∂2Ψ∂ x2 +VΨ →X 2m

ℏ2

∂2Ψ∂ x2 + 2 m

ℏ2 ( E−V )Ψ=0, tidak bergantung waktu

Analog terhadap persamaan schrodinger adalah tali terbentang yang

panjangnya L yang keduanya terikat.

∂2Ψ∂ x2 = 1

V 2∂2 Ψ∂ t2 , Ψ=Y

λn=2 L

n+1 , n=0,1,2,…

Dengan tingkat energi diskrit atom Hidrogen

En=− me4

32 π2 to2 ℏ2 ( 1n2 ) ,

n=1,2,3…..

Momentum sudut ditentukan

Li=( l( l+1))1/2

ℏ , l = 0,1,2,…..

dengan harga ekspektasi

¿G>∫−~

~

G ΙΨΙ2 dx ,Ψ

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

1. Persamaan Schrodinger adalah persamaan yang dapat digunakan untuk

menjelaskan sifat-sifat gelombang dari partikel.

2. Pemisahan variabel adalah suatu metoda penyelesaian persamaan

diferensial dengan beberapa variabel dengan menganggap bahwa solusi

merupakan produk dari persamaan satu variabel (biasanya variabel posisi

dan waktu).

3. Persamaan Schrodinger bebas waktu merupakan persamaan Schrodinger

hanya merupakan fungsi dari posisi saja (tidak tergantung dari waktu).

4. Pernyatan setara bagi mekanika kuantum adalah yang di dalam kurung

kurawal. Apabila sebuah benda bergerak melewati perbatasan dua daerah

dimana berkerja {gaya potensial}, maka perilaku gerak dasar dari benda

dapat dicari dengan memecahkan { hukum kedua Newton, persamaan

Schodinger} { Kedudukan fungsi gelombang} selalu kontinu pada daerah

perbatasan, dan bahwa { kecepatan turunan dψ/dx} juga kontinu apabila

perubahan {gaya perubahan potensial} tetap berhingga.

B. Saran

Setiap penelitian pasti ada kekurangan jadi di setiap penelitian pasti juga

akan perbaikan. Maka Saya sebagai penyusun sadar bahwa makalah ini

jauh dari kesempurnaan karena saya memiliki keterbatasan-keterbatasan

yang tidak dapat saya pungkiri,untuk itu saya harapkan kritik dan saran

yang membangun dari guru/dosen dan para pembaca

DAFTAR PUSTAKA

Beiser, Arthur and The Houw Liong. 1990. Konsep Fisika Modern. 

       Jakarta:Erlangga.

Kenneth Krane.1983.Modern Physics.John Wiley &Sons:USA

McEvoy, J.P. and Zarate, Oscar. 1996. Quantum Theory For Beginners. 

       Bandung:Mizan.

Serway, Raymond A.; Moses, Clement J.; and Moyer, Curt A.

1989. ModernPhysics. Florida: Harcourt Brace Jovanovich.