Ec. de Schrodinger Para Hidrogeno

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Apuntes de la asignatura Qu´ ımica F´ ısica II (Licenciatura en Qu´ ımica) Tema 7: El ´ atomo de hidr´ogeno ´ Angel Jos´e P´erez Jim´enez Dept. de Qu´ ımica F´ ısica (Univ. Alicante) ´ Indice 1. Part´ ıcula sometida a un potencial central  2 1.1. Ecuaci´on de Schr¨odinger para una part´ ıcula en un campo central . . . . . . . . . . 2 1.2. Autofunciones: producto de parte radial y un arm´ onico esf´ erico . . . . . . . . . . . 3 1.3. Ecuaci´on radial para un potencial central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Ecuaci´ on de Schr¨ odinger para un ´ atomo o i´on hidrogenoide  6 2.1. Descripci´ on del problema: forma del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2. Separaci´ on del movimiento relativo y del centro de masas  . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3. Resoluci´on de la ecuaci´on radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4. Funciones de onda: orbitales hidrogenoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3. An´ alisis del espectro y de los orbitales hidrogenoides  16 3.1. Niveles energ´ eticos. Degeneraci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2. Caracterizaci´ on y representaciones gr´ aficas de orbitales hidrogenoides . . . . . . . . 17 4. Esp´ ın  20 4.1. Evidencia experimental del momento angular intr´ ınseco o esp´ ın . . . . . . . . . . . 20 4.2. Introducci´ on del esp´ ın en Mec´anica Cu´antica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.3. Esp´ ın-orbitales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5. Unidades at´ omicas  26 6. Problemas  27

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    Apuntes de la asignaturaQumica Fsica II (Licenciatura en Qumica)

    Tema 7: El atomo de hidrogeno

    Angel Jose Perez JimenezDept. de Qumica Fsica (Univ. Alicante)

    Indice

    1. Partcula sometida a un potencial central 2

    1.1. Ecuacion de Schrodinger para una partcula en un campo central . . . . . . . . . . 21.2. Autofunciones: producto de parte radial y un armonico esferico . . . . . . . . . . . 31.3. Ecuacion radial para un potencial central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    2. Ecuacion de Schrodinger para un atomo o ion hidrogenoide 6

    2.1. Descripcion del problema: forma del potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Separacion del movimiento relativo y del centro de masas . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.3. Resolucion de la ecuacion radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4. Funciones de onda: orbitales hidrogenoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    3. Analisis del espectro y de los orbitales hidrogenoides 16

    3.1. Niveles energeticos. Degeneracion.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2. Caracterizacion y representaciones graficas de orbitales hidrogenoides . . . . . . . . 17

    4. Espn 20

    4.1. Evidencia experimental del momento angular intrnseco o espn . . . . . . . . . . . 204.2. Introduccion del espn en Mecanica Cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    4.3. Espn-orbitales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    5. Unidades atomicas 26

    6. Problemas 27

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    2 Tema 7: El atomo de hidrogeno

    1. Partcula sometida a un potencial central

    1.1. Ecuacion de Schrodinger para una partcula en un campo central

    Potencial en un campo central.

    En esta seccion vamos a estudiar la estructura y posibles soluciones de la ecuacion deSchrodinger para una partcula de masa m que se mueve bajo un potencial esfericamentesimetrico:

    V(r) =V(r) (1)

    A este tipo de potencial tambien se le denomina potencial centraly se caracteriza por-que la energa potencial solo depende de la distancia al origen del campo, r, siendo

    independiente de la orientacion.Una fuerza centrales una fuerza que proviene de un potencial central. La relacion entreambas se deduce de:

    F = V(x,y,z) =

    V

    x

    i +

    V

    y

    j+

    V

    z

    k

    (2)

    Si V =V(r)

    V/x= (x/r)(dV/dr)V/y= (y/r)(dV/dr)V/z= (z/r)(dV/dr)

    (3)

    F =

    1

    r

    dV

    dr

    xi + y

    j+ z

    k

    = dV

    dr

    r

    r (4)

    donder/r= ur es el vector unitario en la direccion radial: una fuerza central solo tienecomponente radial.

    Estructura de la ecuacion de Schrodinger en coordenadas esfericas.

    La ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo para esta partcula es: h

    2

    2m2 + V(r)

    (r) =E (r) (5)

    Dado que el Hamiltoniano es esfericamente simetrico utilizaremos las coordenadas esferi-cas introducidas en el Tema anterior. El operador Laplaciana se separa entonces en unaparte radial,2r, y en una parte angular,2:

    2 = 2r 1

    h2r22 (6)

    2r =1

    r

    2

    r2r (7)

    2 =

    L2 =

    h2 1

    sen

    sen

    + 1

    sen2

    2

    2 (8)

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    1 Partcula sometida a un potencial central 3

    De forma que la ecuacion de Schrodinger en coordenadas polares adopta la forma:

    h2

    2m

    1

    r

    2

    r2r+

    1

    2mr2L2 + V(r)(r) =E(r) (9)

    Por tanto, el Hamiltoniano se divide en una parte radialasociada a la suma de energapotencial, V(r) y de energa cinetica radial

    h2

    2m

    1

    r

    2

    r2r=

    p2r2m

    (10)

    pr = ih1r

    rr (11)

    y una parte angulardonde L2

    /(2mr2

    ) puede identificarse con la energa cinetica rota-cional originada por la rotacion pura de la partcula alrededor del origen.

    1.2. Autofunciones: producto de parte radial y un armonico esferico

    Conjunto completo de operadores que conmutan.

    Puesto que L no depende de r conmuta tanto con V(r) y la energa cinetica radialconmuta con H.

    Como Lz

    conmuta con L2, los tres operadores H, L2 y Lz

    conmutan entre s:

    H,L2

    =

    H,Lz

    = 0 (12)

    Por tanto H, L2 y Lz poseen un conjunto de funciones propias simultaneas para elproblema de fuerzas centrales.

    Dado que Hes la suma de una parte radial y una parte angular, podemos buscar solu-ciones que sean productos de una parte radial y una parte angular.

    Como, ademas, la parte angular de H es proporcional a L2, la parte angular de lasautofunciones son armonicos esfericos:

    (r) =nlm(r,,) =Rnl(r)Ylm(, ) (13)

    Conclusiones. La funcion de onda radialRnl(r)debe ser determinada para cada tipo de potencialV(r) y, como veremos, en general depende de l y el numero cuantico nasociado a la energadel sistema:

    Hnlm(r,,) =Ennlm(r,,) (14)

    L2nlm(r,,) =l(l+ 1)h2nlm(r,,); l= 0, 1, 2, 3, . . . (15)

    Lznlm(r,,) =mlhnlm(r,,); ml = l, l+ 1, . . . , 0, . . . , l 1, l (16)

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    4 Tema 7: El atomo de hidrogeno

    1.3. Ecuacion radial para un potencial central

    Ecuacion radial de un potencial central.

    Sustituyendo (13) en la ecuacion de Schrodinger (9) y teniendo en cuenta que nlm(r,,)es autofuncion de L2 segun la ecuacion (15) llegamos a:

    h22m

    d2

    dr2

    rRnl(r)

    +

    V(r) +

    l(l+ 1)h2

    2mr2

    rRnl(r)

    = En(rRnl(r)

    (17)

    Es importante resaltar que la estructura de la ecuacion anterior es la de una ecuacionunidimensional enr

    h2

    2m

    d2Unl(r)

    dr2 +Vef(r)Unl(r) =EnUnl(r) (18)

    denominada ecuacion radial de un potencial central.

    Cuyas soluciones proporcionan los niveles de energa del sistema y cuyas autofuncionesse relacionan con Rnl(r) mediante

    Unl(r) =rRnl(r) (19)

    El potencial

    Vef(r) =V(r) +

    l(l+ 1)h2

    2mr2 (20)

    se denomina potencial efectivo o centrfugo, donde

    V(r) es el potencial central

    l(l+ 1)h2/2mr2 es un potencial repulsivo centrfugo asociado con el momento angularorbital que tiende a repeler la partcula del origen

    Para que la ecuacion radial describa estados ligados V(r) debe ser atractivo (negativo)

    La Figura1 muestra que, a medida que l aumenta la profundidad de Vef(r)disminuye ysu mnimo se aleja del origen

    al aumentar el modulo del momento angular la partcula

    esta cada vez menos ligada.

    Autovalores de la ecuacion radial.

    Los autovalores de dicha ecuacion proporcionan la energa total del sistema.

    Como la ecuacion no depende del numero cuantico m se deduce que los autovalo-res estan (2l + 1)-degenerados: para un l dado hay (2l + 1) autofunciones distintas:n,l,l, n,l,l+1, . . . , n,l,l1, n,l,l con el mismo valor de la autoenerga En.

    La degeneracion anterior es tpica de los potenciales centrales.

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    1 Partcula sometida a un potencial central 5

    E

    r

    l(l+1)h2/42mr2

    V(r)Vef(r), l=1Vef(r), l=2Vef(r), l=3

    Figura 1: Potencial efectivoVef(r) =V(r)+ h2l(l+1)/(2mr2)para distintos valores del = 0, 1, 2, 3.

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    6 Tema 7: El atomo de hidrogeno

    Autofunciones de la ecuacion radial.

    Las autofunciones de la ecuacion radial proporcionan la funcion radial, que depende de

    l al aparecer este en dicha ecuacion.

    Su forma explcita es funcion de la expresion matematica del potencial central.

    En la siguiente seccion se aborda el caso del potencial Coulombiano presente en el atomode Hidrogeno.

    2. Ecuacion de Schrodinger para un atomo o ion hidrogenoi-

    de

    2.1. Descripcion del problema: forma del potencial

    El atomo de hidrogeno consiste en un electron y un proton. Por simplicidad ignoraremos elespn (ver4).

    Por tanto la funcion de onda depende de 6 coordenadas: tres del proton y tres del electron:

    re=xei + yej+ zek (21)

    rp=xpi + ypj+ zpk (22)

    De acuerdo con la interpretacion probabilstica de la funcion de onda, la cantidad

    |(re, rp, t)|2d3red3rp (23)

    representa la probabilidad de que la medida simultanea de la posicion del electron y el proton enel instantet resulte en que el primero se encuentre en el elemento de volumend3re, localizadoenre, y el segundo en elemento de volumen d

    3rp, localizado enrp.

    La ecuacion de Schrodinger dependiente del tiempo es:

    h

    2

    2mp2p

    h2

    2me2e+ V(r)

    (re, rp, t) =ih

    t(re, rp, t) (24)

    donde 2p y 2e representan los operadores Laplaciana respecto a las coordenadas de posici onde proton y electron, respectivamente:

    2p= 2

    x2p+

    2

    y2p+

    2

    z2p(25)

    2e =

    2

    x2e+

    2

    y2e+

    2

    z2e(26)

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    2 Ecuacion de Schrodinger para un atomo o ion hidrogenoide 7

    El potencialV(r)es un potencial central pues representa la energa de atraccion electrostaticaentre el proton y el electron:1

    V(r) = e2

    r = e2

    re rp (27)Como V(r) no depende del tiempo las soluciones de (24) son estacionarias:

    (re, rp, t) =(re, rp)eiEt/h (28)

    dondeEes la energa total del sistema. Sustituyendo esta en (24) se llega a la correspondienteecuacion de Schrodinger independiente del tiempo:

    h2

    2mp2p

    h2

    2me2e

    e2

    re rp

    (re, rp) =E (re, rp) (29)

    cuya resolucion abordamos en las dos secciones siguientes.

    2.2. Separacion del movimiento relativo y del centro de masas

    Cambio de coordenadas.

    Como V solo depende de la distancia entre proton y electron es conveniente hacer elcambio de variables de forma que, en lugar de rp yre usemos la coordenada del centro

    de masas, Ry la coordenada relativa r, definidas como:

    R= Xi + Yj+ Zk =mere+mprp

    me+ mp

    (30)

    r= xi + yj+ zk = re rp (31)De tal manera que la ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo en el nuevosistema de coordenadas queda as:

    h2

    2M2R

    h2

    22r

    e2

    r

    E( R, r) =EE( R, r) (32)

    Y donde

    E( R, r) =(re, rp) (33)

    2R= 2

    X2+

    2

    Y2+

    2

    Z2 Laplaciana del centro de masas (34)

    2r = 2

    x2+

    2

    y2+

    2

    z2 Laplaciana del movimiento relativo (35)

    M=me+ mp Masa total (36)

    = mempme+ mp

    Masa reducida (37)

    1En el sistema cgs la fuerza de atracci on electrostatica entre dos cargas Q1 y Q2 separadas una distancia ren el vaco es F = Q1Q2/r

    2, donde las cargas vienen en statcoulombios (statC), mientras que en el SI es F =Q1Q2/40r2, conQ1 yQ

    2en Columbios (C). Para simplificar las expresiones asumiremos que estamos trabajando

    en el sistema cgs hasta que introduzcamos un nuevo sistema de unidades at omicas en la seccion5.

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    8 Tema 7: El atomo de hidrogeno

    El Hamiltoniano en el nuevo sistema de coordenadas es separable.

    Tal y como se puede comprobar el Hamiltoniano en este nuevo sistema de coordenadas

    es separable, por lo que podemos buscar soluciones del tipo:E( R, r) = ( R)(r) (38)

    donde ( R) y (r) son funciones de onda para el movimiento del centro de y relativo,respectivamente.

    Sustituyendo (38) en (32) y dividiendo por ( R)(r) se tiene que: h

    2

    2M

    1

    ( R)2R( R)

    +

    h

    2

    2

    1

    (r)2r(r) + V(r)

    = E (39)

    Como el primer termino solo depende de vecR y el segundo solo de r, siendo ambasvariables independientes, cada una de ellos debe ser igual a una constante; de forma que:

    h2

    2M2R( R) =ER( R) (40)

    h2

    22r(r) + V(r)(r) =Er(r) (41)

    ER+ Er =E (42)

    Interpretacion fsica: separacion del movimiento.

    Interpretacion matematica: hemosreducidolaecuacionde Schrodinger (32), quedependede dos variables, R yr, a dos ecuaciones, (40) y (41), cada una de las cuales dependede una sola variable.

    La primera ecuacion describe el movimiento del centro de masas, y se corresponde conel de una partcula libre de masa M, cuya solucion conduce a:

    ( R) = (2)3/2eik R (43)

    ER=h2k2

    2M (44)

    dondek y ER representan, respectivamente, el vector de onda y la energa cinetica delcentro de masas.

    La segunda ecuacion, (41), representa la ecuacion de Schrodinger de una partcula fic-ticia de masa moviendose en el potencial centrale2/r.Interpretacion fsica: la ecuacion (32) es separable en sendas ecuaciones correspondientesal movimiento del centro de masas como una partcula libre y al movimiento relativo deelectron y nucleo respecto al centro de masas.

    Es importante resaltar que la funcion de onda total E( R, r) = ( R)(r) se usa ra-ramente. Cuando se menciona el problema del atomo de hidrogeno se hace referenciaimplcita a (r) y Er, que se toman como la funcion de onda y la energa del atomo de

    hidrogeno.

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    2 Ecuacion de Schrodinger para un atomo o ion hidrogenoide 9

    2.3. Resolucion de la ecuacion radial

    Lmites asintoticos y solucion general.

    La ecuacion de Schrodinger (41) correspondiente al movimiento relativo tiene la formade una ecuacion para un potencial central.

    Tal y como hemos visto en1la solucion general es de la forma:(r) =R(r)Ylm(, ) (45)

    dondeYlm es un armonico esferico y la parte radial,R(r), puede obtenerse al resolver laecuacion radial:

    h2

    2

    d2U(r)

    dr2 +

    l(l+ 1)h2

    2r2 e

    2

    r

    U(r) =E U(r) (46)

    donde

    U(r) =rR(r) (47)

    Comenzamos la resolucion de la ecuacion anterior considerando sus soluciones asintoticas:

    r 0 : 0 = d2U(r)

    dr2 +

    l(l+ 1)

    r2 U(r) (48)

    Solucion general: U(r) =Ar l+1 + Brl (49) U(r)no diverge en 0: B = 0 (50)

    r 0 = d2U(r)

    dr2 +

    2E

    h2 U(r) (51)

    Solucion gral. estados ligados(E

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    10 Tema 7: El atomo de hidrogeno

    Cuantizacion y condiciones de contorno.

    Insertando la expresion general

    U(r) =r l+1f(r)er

    con definido como

    =

    2(E)/h (58)en la ecuacion radial (46) se llega a una ecuacion diferencial para el polinomio f(r):

    d2f

    dr2 + 2

    l+ 1

    r

    df

    dr+ 2

    (l+ 1) + e2/h2

    r

    f(r) = 0 (59)

    A partir de la cual se obtiene la siguiente relaci on de recurrencia para los coeficientes delpolinomio f(r):

    k(k+ 2l+ 1)bk= 2

    (k+l) e

    2

    h2

    bk1 (60)

    Al igual que hemos visto con el oscilador armonico y los armonicos esfericos, para que lafuncion sea aceptable no puede diverger cuando r , por lo que el polinomio f(r)debe truncarse a un cierto orden N:

    f(r) =N

    k=0

    bkrk (61)

    de forma que los coeficientes bN+1, bN+2, . . . deben ser cero. En particular, cuandobN+1= 0 la formula (60) conduce a:

    (N+ l+ 1) e2

    h2 = 0 (62)

    Teniendo en cuenta (58) y definiendo el numero cuantico n como

    n N+ l+ 1 (63)se tiene que los autovalores de la energa Er estan cuantizados:

    En = e4

    2h21

    n2 = e

    2

    2a0

    1

    n2 (64)

    donde se ha introducido el radio de Bohr

    a0= h2

    e2 (65)

    en funcion del cual puede escribirse :

    = 2

    h2

    En= 2 1e2

    a0

    e2

    2a0n2

    = 1

    na0(66)

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    2 Ecuacion de Schrodinger para un atomo o ion hidrogenoide 11

    Puesto que N = 0, 1, 2, 3, . . . los valores permitidos de n son l+ 1, l+ 2, l+ 3, . . . Enotras palabras:

    n= 1, 2, 3, . . . (67)l= 0, 1, 2, . . . , n 1 (68)

    Observese como los valores de En coinciden con los deducidos en el modelo de Bohr.

    Por otro lado, el tratamiento realizado hasta el momento es igualmente valido paracualquier ion hidrogenoide (por ejemplo, He+, Li2+, etc.) pues V(r) = Ze2/r, con loque:

    En= e4

    2h2Z2

    n2 (69)

    Polinomios asociados de Laguerre.

    Los polinomios que obedecen la ecuacion diferencial (59) y la correspondiente ley derecurrencia (60) estan relacionados con los polinomios asociados de Laguerre, LNk(x),(ver tabla1).

    Tabla 1: Algunos polinomios asociados de Lague-rre.

    k N LNk(x)

    1 1 12 1 4 + 2x2 2 2

    3 1 18 + 18x 3x23 2 18 6x3 3 6

    4 1 96 + 144x 48x2 + 4x34 2 144

    96x + 12x2

    4 3 96 + 24x4 4 24

    5 1 600 + 1200x 600x2 + 100x3 5x45 2 1200 1200x + 300x2 20x35 3 1200 + 600x 60x25 4 600 120x5 5 120

    En este caso en particular las soluciones de (59) son los polinomios asociados de Laguerre

    L2l+1n+l (2r).

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    12 Tema 7: El atomo de hidrogeno

    Con lo que las funciones radiales R(r) para el atomo de hidrogeno estan dadas por laexpresion:

    Rnl(r) =Nnl

    2rna0

    ler/na0L2l+1n+l

    2rna0

    (70)

    siendoNnl el correspondiente factor de normalizacion:

    Nnl =

    2

    na0

    3/2 (n l 1)!2n

    (n + l)!3 (71)

    En la Tabla2se recogen las expresiones matematicas de algunas funciones radiales.

    En ella, ademas de la expresion analtica, se incluye la notacion habitual de estas funciones

    que consiste en el numero cuantico principal, n, mas una letra,s,p,d,. . ., dependiendodel valor del numero cuantico angularl, como ya vimos en el tema anterior.

    Tabla 2: Funciones de onda radiales Rnl de atomos hidrogenoides.

    Designacion n l Rnl(r)a

    1s 1 0 (Z/a0)3/2 2exp(/2)

    2s 2 0 (Z/a0)3/2 81/2(2

    )exp(

    /2)

    2p 2 1 (Z/a0)3/2 241/2 exp(/2)

    3s 3 0 (Z/a0)3/2 2431/2(6 6 + 2)exp(/2)

    3p 3 1 (Z/a0)3/2 4861/2(4 ) exp(/2)

    3d 3 2 (Z/a0)3/2 24301/22 exp(/2)

    4s 4 0 (Z/a0)3/2 961(24 36 + 122 3)exp(/2)

    4p 4 1 (Z/a0)3/2 153601/2(20 10 + 2) exp(/2)

    4d 4 2 (Z/a0)3/2 460801/2(6 )2 exp(/2)

    4f 4 3 (Z/a0)3/2 3225601/23 exp(/2)

    a = 2Zr/(na0).

    Representacion grafica y caracterizacion. En la figura2 se representan graficamente funciones

    radiales conn= 1, 2, 3.

  • 5/20/2018 Ec. de Schrodinger Para Hidrogeno

    13/28

    2 Ecuacion de Schrodinger para un atomo o ion hidrogenoide 13

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    1.6

    1.8

    2

    0 5 10 15 20

    R10

    r/a0

    1s

    0

    0.02

    0.04

    0.06

    0.08

    0.1

    0.12

    0.14

    0.16

    0 5 10 15 20

    R21

    r/a0

    2p

    -0.1

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0 5 10 15 20

    R20

    r/a0

    2s

    -0.04

    -0.02

    0

    0.02

    0.04

    0.06

    0.08

    0.1

    0 5 10 15 20

    R31

    r/a0

    3p

    -0.1

    -0.05

    0

    0.05

    0.1

    0.15

    0.2

    0.25

    0.3

    0.35

    0.4

    0 5 10 15 20

    R30

    r/a0

    3s

    0

    0.005

    0.01

    0.015

    0.02

    0.025

    0.03

    0.035

    0.04

    0.045

    0 5 10 15 20

    R32

    r/a0

    3d

    Figura 2: Representacion de la funcion radial para los primeros estados del atomo de hidrogeno.

    Comportamiento asintotico cuando r : todas las funciones radiales tienden a ceropues en ese lmite domina el termino exponencial: ecuaciones (51)-(53).

    Comportamiento asintotico cuando r

    0: debido al termino en rl de la ecuacion (70)

    existen dos situaciones1. l = 0 Rn0(0)= 0 debido a la ausencia del termino repulsivo centrfugo en

    Vef(r): ver ecuacion (20) y la Figura1.

    2. l= 0 Rnl(0) = 0 pues el termino repulsivo centrfugo es proporcional a r2,mientras que el termino atractivo es proporcional a r1.

    Las funciones Rnl(r) poseen n l 1 nodos radiales pues L2l+1n+l es un polinomio deordenn l 1.De las representaciones de la figura2podra pensarse que cuandol = 0la probabilidad depresencia del electron es maxima sobre el nucleo, pero ello no es as pues falta considerar

    la dependencia angular, como veremos en la siguiente seccion.

  • 5/20/2018 Ec. de Schrodinger Para Hidrogeno

    14/28

    14 Tema 7: El atomo de hidrogeno

    2.4. Funciones de onda: orbitales hidrogenoides

    Expresion matematica. En definitiva, la expresion matematica de las funciones de onda de los

    estados ligados de un atomo o ion hidrogenoide, denominadas orbitales hidrogenoides es lasiguiente:

    nlm(r,,) =Rnl(r)Ylm(, );

    n= 1, 2, 3,. . .l= 0, 1, 2,. . . n 1m= l, l+ 1, . . . , l 1, l

    (72)

    Rnl(r) =

    2

    na0

    3/2(n l 1)!2n

    (n + l)!3

    2r

    na0

    ler/na0L2l+1n+l

    2rna0

    (73)

    Yl,m(, ) = (1)m(2l+ 1)(l |m|)!4(l+ |m|)!

    1/2

    P

    |m|

    l (cos )eim

    (74)

    Estados y numeros cuanticos

    Los orbitales hidrogenoides estan definidos a partir de los numeros cuanticos:

    n: determina la energanumero cuantico principal.l: determina el modulo del momento angular

    numero cuantico angular.

    m: determina la proyeccion del momento angular en el eje z numero cuantico azimutalo magnetico.

    Los correspondientes estados estan, pues, caracterizados por dichos numeros cuanticos,por lo que se suelen designar con la notacion|nlm.Otra notacion muy empleada consiste en designar al orbital con el numero n seguido dela notacion introducida para el armonico esferico. Por ejemplo:

    |100 1s|200 2s|210 2p0|21 1 2p1|211 2p1|300 3s|310 3p0

    En la Tabla3 se recogen las expresiones para las funciones de onda hidrogenoides reales,construidas a partir de Rnl y los armonicos esfericos reales introducidos en el tema

    anterior.

  • 5/20/2018 Ec. de Schrodinger Para Hidrogeno

    15/28

    2 Ecuacion de Schrodinger para un atomo o ion hidrogenoide 15

    Tabla 3: Funciones de onda hidrogenoides reales.

    1s= 11/2

    Za0

    3/2eZr/a0

    2s= 14(2)1/2

    Za0

    3/22 Zra0

    eZr/2a0

    2pz = 1

    4(2)1/2

    Za0

    5/2reZr/2a0 cos

    2px = 1

    4(2)1/2Za05/2

    reZr/2a0sen cos

    2py = 1

    4(2)1/2

    Za0

    5/2reZr/2a0sen sen

    3s= 181(3)1/2

    Za0

    3/227 18Zra0 + 2

    Z2r2

    a20

    eZr/3a0

    3pz = 21/2

    811/2

    Za0

    5/26 Zra0

    reZr/3a0 cos

    3px = 21/2

    811/2

    Za05/2

    6 Zra0

    reZr/3a0sen cos

    3py = 21/2

    811/2

    Za0

    5/26 Zra0

    reZr/3a0sen sen

    3dz2 = 1

    81(6)1/2

    Za0

    7/2r2eZr/3a0

    3cos2 1

    3dxz = 21/2

    811/2Za0

    7/2

    r2eZr/3a0 cos sen cos

    3dyz = 21/2

    811/2

    Za0

    7/2r2eZr/3a0 cos sen sen

    3dx2y2 = 1

    81(2)1/2

    Za0

    7/2r2eZr/3a0sen2 cos2

    3dxy = 1

    81(2)1/2

    Za0

    7/2r2eZr/3a0sen2 sen2

  • 5/20/2018 Ec. de Schrodinger Para Hidrogeno

    16/28

    16 Tema 7: El atomo de hidrogeno

    3. Analisis del espectro y de los orbitales hidrogenoides

    3.1. Niveles energeticos. Degeneracion.

    Recordemos que los autovalores de la energa en el atomo de hidrogeno y en iones hidrogenoidesson independientes dem y de l. Lo primero es consecuencia de tener un potencial central ylo segundo es caracterstico del potencial Coulombiano.

    Como consecuencia de lo anterior los niveles energeticos en dichos sistemas tienen cierto nivelde degeneracion. Tal y como puede comprobarse en la Tabla4 para cada valor den hay n 1posibles valores de l, y para cada uno de estos 2l+ 1 posibles valores de m, con lo que ladegeneracion de cada nivel es:

    gn=n1

    l=0

    (2l+ 1) =n2 (75)

    Tabla 4: Niveles de energa y sus degeneraciones en el atomo dehidrogeno (sin tener en cuenta el espn).

    n l Tipo de orbital m gn En

    1 0 s 0 1 e2/(2a0)

    2 0 s 0 4 e2/(8a0)2 1 p -1,0,1

    3 0 s 0 9 e2/(18a0)3 1 p -1,0,13 2 d -2,-1,0,1,2

    4 0 s 0 16 e2/(32a0)4 1 p -1,0,14 2 d -2,-1,0,1,24 3 f -3,-2,-1,0,1,2,3

    5 0 s 0 25 e2/(50a0)5 1 p -1,0,15 2 d -2,-1,0,1,25 3 f -3,-2,-1,0,1,2,35 4 g -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4

  • 5/20/2018 Ec. de Schrodinger Para Hidrogeno

    17/28

    3 Analisis del espectro y de los orbitales hidrogenoides 17

    En la Figura3se presenta el diagrama de niveles energeticos del atomo de hidrogeno, del cualse desprende que:

    Todos los niveles tienen energa negativa: estados ligados.

    A medida que n aumenta la separacion entre niveles disminuye.

    -1

    -0,25

    -0,1111-0,0625

    0

    n=1

    n=2

    n=3n=4

    n=

    E/hcRH

    Figura 3: Diagrama de niveles energeticos para el atomo de hidrogeno

    El valor de energa cero corresponde al lmite de la ionizacion del atomo: Electron y proton no estan ligados la energa de un nivel cambiada de signo = potencial de ionizacion para ese nivel 13,6 eV para el estado fundamental.El valor de energa cero corresponde, pues, a la transicion entre los estados ligados y no ligados. En los estados ligados la energa esta cuantizadaespectro discreto. En los estados no ligados la energa no esta cuantizadaespectro continuo.

    3.2. Caracterizacion y representaciones graficas de orbitales hidrogenoi-des

    Caractersticas de los orbitales hidrogenoides: densidad de distribucion radial.

    Densidad de distribucion radial: proporciona la densidad de probabilidad de encontrar alelectron a una distancia r, por lo que se obtiene al integrar|nlm(r,,)|2 respecto alos angulos y:

    Dnl(r) 2

    =0

    =0

    nlm(r,,)nlm(r,,)r2sen dd= R2nl(r)r

    2 (76)

    donde se ha tenido en cuenta que los armonicos esfericos estan normalizados.

  • 5/20/2018 Ec. de Schrodinger Para Hidrogeno

    18/28

    18 Tema 7: El atomo de hidrogeno

    Por tanto, la cantidad Dnl(r)dr= R2nl(r)r

    2dr proporciona la probabilidad de encontrarun electron en una cascara esferica de anchura dr situada a una distancia r.

    En la figura4se representa D(r) para distintos orbitales con n= 1, 2, 3, de las que se

    deduce que:

    1. Dnl(0) = 0 debido al termino en r2: la densidad de probabilidad de encontrar el

    electron en el nucleo es nula.

    2. Dnl(r ) = 0 pues domina el termino exponencial de Rnl(r).3. Dnl(r)se hace maxima para ciertos valores der. En particular, es posible demostrar

    que

    rmax(Dn,l=n1) =n2a0 (77)

    de manera que los radios de Bohr dan la posici on del maximo para la densidad de

    probabilidad radial para el orbital con l= lmax=n 1.

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0 5 10 15 20

    r2R2

    10

    r/a0

    1s

    00.020.040.060.08

    0.10.120.140.160.18

    0.2

    0 5 10 15 20

    r2R2

    21

    r/a0

    2p

    0

    0.02

    0.04

    0.06

    0.08

    0.1

    0.12

    0.14

    0.16

    0.18

    0.2

    0 5 10 15 20

    r2R2

    20

    r/a0

    2s

    0

    0.02

    0.04

    0.06

    0.08

    0.1

    0.12

    0 5 10 15 20

    r2R2

    31

    r/a0

    3p

    0

    0.02

    0.04

    0.06

    0.08

    0.1

    0.12

    0 5 10 15 20

    r2R2

    30

    r/a0

    3s

    0

    0.02

    0.04

    0.06

    0.08

    0.1

    0.12

    0 5 10 15 20

    r2R2

    32

    r/a0

    3d

    Figura 4: Representacion de la funcion de distribucion radial para los primeros estados del H.

  • 5/20/2018 Ec. de Schrodinger Para Hidrogeno

    19/28

    3 Analisis del espectro y de los orbitales hidrogenoides 19

    Obviamente, de la condicion de normalizacion de n,l,m(r,,) se cumple que:

    r=0

    Dnl(r)dr= 1 (78)

    Caractersticas de los orbitales hidrogenoides: valores esperados. A continuacion especifica-mos el valor esperado de diversas potencias de r y componentes de la energa:

    Dado que nlm(r,,) =Rnl(r)Ylm(, ) se comprueba que el valor esperado de rk es

    independiente del numero cuantico azimutal m:

    rk = nlm|rk|nlm=

    rk|nlm(r,,)|2r2sen drdd

    =

    0

    rk+2|Rnl(r)|2dr

    0

    sen d 2

    0

    Ylm(, )Ylm(, )d (79)

    =

    0

    rk+2|Rnl(r)|2dr (80)

    Empleando la ecuacion anterior junto con las propiedades de los polinomios de Laguerrees posible demostrar que:

    r =12

    3n2 l(l+ 1)

    a0 (81)

    r2 =1

    2n2

    5n2

    + 1 3l(l+ 1)a20 (82)r1 = 1

    n2a0(83)

    r2 = 2n3(2l+ 1)a20

    (84)

    Observese que 1/r = 1/r, pero son del mismo orden de magnitud, pues:r n2a0 (85)

    La razon por la cual rmax=r (por ejemplo rmax(1s) = a0=1s|r|1s = 3a0/2) esque la funcion de distribucion radial no es simetrica respecto a su maximo: ver Figura 4.

    Empleando la ecuacion (83) parar1 se puede determinar el valor esperado de laenerga potencial Coulombiana:

    V(r) = e21

    r

    = e

    2

    a0

    1

    n2 (86)

    que resulta ser el doble de la energa total:

    En=1

    2V(r)

    =

    e2

    2a0

    1

    n2 (87)

  • 5/20/2018 Ec. de Schrodinger Para Hidrogeno

    20/28

    20 Tema 7: El atomo de hidrogeno

    El resultado anterior es consecuencia del denominado teorema del virial, segun el cual siV(r) =nV(r) entonces

    T =n

    2 V (88)

    Por ejemplo, para un potencial Coulombiano V(r) = 1V(r) T =V/2E= V/2 + V = V/2.

    Representacion grafica. Como los orbitales hidrogenoides son funciones de tres variables su repre-sentacion grafica requerira el uso de cuatro dimensiones. Debido a este hecho dichos orbitalesse pueden visualizar de varias formas que enumeramos a continuacion:

    1. Representar por separado la parte radial y angular (ver figuras correspondientes en estetema y el anterior).

    2. Seleccionar un plano y representar la funcion en dicho plano: al restringir el valor de unacoordenada se puede representar en funcion de las otras dos: ver figura 5.

    3. Representarfiguras envolventes: superficie de isodensidad tridimensional en el interior dela cual la probabilidad de presencia del electron tiene un valor determinado; por ejemplo95 %: ver figura6.

    4. Espn4.1. Evidencia experimental del momento angular intrnseco o espn

    Estructura fina del espectro de emision del hidrogeno.

    El tratamiento mecano-cuantico realizado en las secciones anteriores es incompleto.

    Debido a diversos terminos adicionales no incluidos en el Hamiltoniano se produce eldesdoblamiento de las correspondientes lneas del espectro conformando su estructurafina(ver Tema 9).

    Experimento de SternyGerlach. En 1922 estos dos cientficos observaron que, al hacer pasarun haz de atomos de plata o alcalinos a traves de un campo magnetico no uniforme, seseparaba en dos haces simetricos en la direccion del campo.

    Dicho experimento no poda ser explicado a partir de la Mecanica Clasica el desdo-blamiento deba ser continuo y simetricorespecto a la direccion original del haz.

    Tampoco poda ser explicado mediante la Mecanica Cuantica desarrollada hasta el mo-mento pues sera necesario que el momento angular fuese distinto de cero, cosa que no

    suceda para los atomos en cuestion (ver Tema 9).

    http://en.wikipedia.org/wiki/Walther_Gerlachhttp://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1943/stern-bio.html
  • 5/20/2018 Ec. de Schrodinger Para Hidrogeno

    21/28

    4 Espn 21

    00.050.10.150.20.250.30.350.40.45

    1s

    x

    y

    -0.04-0.0200.020.040.060.080.10.120.140.16

    2s

    x

    y

    -0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.08

    2py

    x

    y

    -0.03-0.02-0.0100.010.020.03

    3py

    x

    y

    -0.015

    -0.01-0.00500.0050.010.0150.020.0250.03

    3dz2

    x

    z

    -0.015

    -0.01-0.00500.0050.010.015

    3dx2-y2

    x

    y

    Figura 5: Representacion de algunos orbitales hidrogenoides en un plano que contiene al nucleo.

  • 5/20/2018 Ec. de Schrodinger Para Hidrogeno

    22/28

    22 Tema 7: El atomo de hidrogeno

    Figura 6: Arriba: superficies de isodensidad dentro de las cuales la probabilidad de encontrar alelectron es del 95 % para algunos estados del atomo de hidrogeno; de izquierda a derecha: 1s,2pz,3dz2,3dyz . Abajo: idem para el orbital 3dyz al 99 % de probabilidad. El signo de cada orbital en cada

    region del espacio se indica mediante color: blanco=positivo, azul=negativo.

    4.2. Introduccion del espn en Mecanica Cuantica

    Momento angular de espn. Para justificar los resultados experimentales anterioresUhlenbeckyGoudsmitpropusieron en 1925 que, ademas de su momento angular orbital:

    El electron tiene un momento angular intrnsecodenominado momento angular deespno, simplemente, espn.

    En ocasiones se justifica el espn considerando que el electron es una esfera cargada querota (en ingles spin) alrededor de su eje.

    Sin embargo la imagen anterior es erronea pues el momento angular de espn no dependede los grados de libertad espaciales.

    El espn es un grado de libertad intrnseco de toda partcula microscopicaque no tieneanalogo clasico, siendo un concepto puramente mecano-cuantico.

    Surge de forma natural deltratamiento mecano-cuantico relativistadesarrollado porDiracen 1928.

    La complejidad de dicho tratamiento obliga a introducir el espn en Mecanica Cuantica

    no relativista mediante una serie de postulados adicionales a los del Tema 4.

    http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Dirac.htmlhttp://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1933/dirac-bio.htmlhttp://www.lorentz.leidenuniv.nl/history/spin/goudsmit.htmlhttp://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Uhlenbeck.html
  • 5/20/2018 Ec. de Schrodinger Para Hidrogeno

    23/28

    4 Espn 23

    Tratamiento teorico del espn.

    Se postula que el momento angular de espn tiene asociado los correspondientes

    operadores S2, Sx, Sy, Sz que estan relacionados segun

    S2 = S2x+S2y+

    S2z (89)

    y obedecen las siguientes reglas de conmutacion:

    Sx, Sy

    = ihSz (90)

    Sy, Sz

    = ihSx (91)

    Sz, Sx

    = ihSy (92)S2

    , Sx] = 0 (93)S2,Sy] = 0 (94)S2, Sz] = 0 (95)

    de manera que el electron posee un momento magnetico intrnseco dado por

    S= ge e2mec

    S (96)

    donde ge = 2, 0023 es el denominado factor de Lande o ratio girodinamico del

    electron.

    De las reglas de conmutacion (90)-(95) se deduce que las autofunciones comunes de S2

    y Sz cumplen las siguientes ecuaciones de autovalores:

    S2|s, ms =s(s + 1)h2|s, ms ; s= 0,12

    , 1,3

    2, . . . (97)

    Sz|s, ms =msh|s, ms ; ms= s, s + 1, . . . , s 1, s (98)

    es decir el modulo y la componente zdel momento angular de espn estan cuantizados.

    Toda partcula fundamental poseeun espn especfico, denominandose bosonesa aquellascon espn entero: s = 0, 1, 2, . . . y fermiones a aquellas con espn semi-entero s =1/2, 3/2, . . ..

    Ejemplos de bosones: piones (s= 0) y fotones (s= 1).

    Ejemplos de fermiones: electrones , protones y neutrones; todos con s = 1/2. En estecaso, de las relaciones (97)-(98) se tiene que, para el electron:

    S2|1/2, ms =34

    h2|1/2, ms (99)Sz|1/2, ms =msh|1/2, ms ; ms =

    1

    2 (100)

  • 5/20/2018 Ec. de Schrodinger Para Hidrogeno

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    24 Tema 7: El atomo de hidrogeno

    donde las autofunciones|1/2, 1/2y|1/2, 1/2forman una base completa ortonormalpara el grado de libertad del espn:

    12

    ,12

    12 ,12= 1 (101)1

    2, 1

    2

    12 , 12

    = 1 (102)

    1

    2, 1

    2

    12 ,12

    = 0 =

    1

    2,1

    2

    12 , 12

    (103)

    La existencia del momento magnetico de espn del electronSy la cuantizacion anteriorpermiten explicar correctamente la estructura fina de los espectros (ver Tema 9) y lainteraccion con campos magneticos, como en el experimento de Stern y Gerlach.

    Funciones y .

    Es comun representar las autofunciones de S2 y Sz mediante la siguiente notacion:

    | |1/2, 1/2 (104)| |1/2, 1/2 (105)

    de forma que las ecuaciones (99)-(103) pueden escribirse de la siguiente forma:

    S2| =34

    h2| (106)

    S2| =34

    h2| (107)

    Sz| = +12

    h| (108)

    Sz| = 12

    h| (109)| = | = 1 (110)

    |

    =|

    = 0 (111)

    Cuales son las variables de las funciones propias de espn y ?A menudo se habla de una coordenada de espn sin especificar que es.Es muy habitual tomar el numero cuantico ms como la variable de la que dependenlas funciones propias de espn, de manera que:

    | (ms) =ms,1/2 (112)| (ms) =ms,1/2 (113)

    donde las igualdades se han introducido para que se cumplan las condiciones de ortonor-

    malidad; dado que ms vara de forma discreta, estas pueden escribirse formalmente de

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    4 Espn 25

    la siguiente manera:

    +1/2

    ms=1/2 |

    (ms)|2 = 1 (114)

    +1/2ms=1/2

    |(ms)|2 = 1 (115)

    +1/2ms=1/2

    (ms)(ms) = 0 (116)

    4.3. Espn-orbitales.

    La funcion de onda que especifica el estado de un electron depende, pues, de las tres coorde-nadas de posicion x,y,z, y tambiendel estado del espn del electron. Que efecto tiene en las funciones de onda y valores de la energa?En el tratamiento aproximado no relativista el espn se introduce expresando el vector deestado del electron como el producto

    |nlmlms = |nlml|gms (117)

    donde|nlml representa los orbitales hidrogenoides de la seccion2.4y|gms=|, | enfuncion del valor que tome ms.

    De manera que la correspondiente funcion de onda,denominada espn-orbital, adopta la forma:

    nlml(r; ms) =nlml(r)g(ms) (118)

    donde se usa el numero cuantico ms como variable de espn.

    Debido a las condiciones de ortonormalidad de los orbitales hidrogenoides y de las funcionesde espn se cumple que:

    nlmlms|nlmlms =nnllmlmlmsms (119)

    Despreciando la interaccion entre el momento angular de espn y el momento angular orbitaldel electron (ver Tema 9) el operador Hamiltoniano del atomo de hidrogeno es independientedel espn, de forma que:

    H[nlml(r; ms)] =g(ms)Hnlml(r) =E[nlml(r; ms)] (120)

    de forma que obtenemos las mismas energas deducidas sin considerar el espn.

    Bajo la aproximacion anterior la unica diferencia al considerar el espn es duplicar el numerode estados posibles con la misma energa: nlml

    nlml, nlml

    La degeneracion de los niveles de energa del atomo de hidrogeno pasa a ser 2n2.

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    26 Tema 7: El atomo de hidrogeno

    5. Unidades atomicas

    En la resolucion de la ecuacion de Schrodinger para atomos y moleculas es necesario arrastrar

    toda una serie de constantes.Para simplificar la expresion de la misma se introduce un nuevo sistema de unidades, denomi-nadas unidades atomicas(u.a.), en las que:

    La unidad de masa es la del electron me= 1.La unidad de carga es la del proton |e| = 1.La unidad de momento angular es h h= 1.

    De esta forma, la expresion para el Hamiltoniano del atomo de hidrogeno suponiendo masanuclear infinita ( me) se simplificara de la siguiente manera:

    H= h2

    2me2 e

    2

    r 1

    22 1

    r (en u.a.) (121)

    Analogamente el valor numerico de a0 (el radio de Bohr) en unidades atomicas (masa nuclearinfinita) es la unidad, pues:

    a0= h2

    mee2 a0 = 1 (en u.a.) (122)

    y se toma como unidad atomica de longitud, denominandose Bohr:

    1 Bohr a0 h2

    mee2 = 0, 529177A (123)

    As mismo los autovalores de la energa del atomo de hidrogeno, asumiendo masa nuclearinfinita, expresados en unidades atomicas quedan as:

    En= mee4

    2h21

    n2 = e

    2

    2a0

    1

    n2 En= 1

    2n2 (en u.a.) (124)

    tomandose como unidad atomica de energa el denominado Hartree:

    1 Hartree Eh e2

    a0= 27, 2114 eV = 4, 35974418 1018 J (125)

    con lo que la energa del estado fundamental del hidrogeno es1/2 en unidades atomicas.Para obtener la unidad atomica de cualquier otra magnitud se combinan h, me y e paraproducir una cantidad que tenga las dimensiones deseadas. Por ejemplo: la unidad atomica de tiempo es h/Eh= 2, 41884 1017 s

    la unidad atomica de momento dipolar electrico es ea0= 8, 47836

    1030 C m.

  • 5/20/2018 Ec. de Schrodinger Para Hidrogeno

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    6 Problemas 27

    6. Problemas

    1:

    a) Mostrar que los orbitales1sy2s del hidrogeno son ortonormales:

    1s=

    1

    12

    a3/20 e r

    a0 2s=

    1

    32

    12

    a3/20 (2 r

    a0)e

    r2a0

    b) Comprobar si son ortogonales las funciones de Slater para los orbitales 1s y 2s del carbono,dadas por:

    1s=Z31s

    1

    2

    eZ1sr

    2s=Z52s

    96

    1

    2

    re

    Z2sr

    2

    tal que:Z1s= 6 0,30 yZ2s= 6 2(0,85) 3(0,359)

    2: La ecuacion radial para un atomo o ion hidrogenoide (en unidades atomicas y considerandomasa nuclear infinita) es :

    1

    2r2

    rr2

    rR(r) +

    l(l+ 1)

    2r2

    Z

    r R(r) =ER(r)a) Transformar esta ecuacion considerando el cambio: P(r) = rR(r). b) Representar la funcionpotencial efectivoque aparece en la ecuacion para P(r), frente a r, para los tres primeros valoresde l , suponiendo que Z= 1.

    3: Calcular, para la funcion de onda para el estado fundamental del atomo de hidrogeno:

    1s= 1

    a3/20 e

    r/a0

    a) La densidad de probabilidad de encontrar al electron a una distancia del nucleo igual a 1 a0.

    b) La probabilidad de encontrar al electron en cualquier lugar entre 0,9 a0 y1,1 a0.

    c) La probabilidad de encontrarlo mas alla de 2 a0.

    d) Calcular el radio de la esfera que encierra un 90 % de probabilidad de encontrar el electrondescrito por este orbital.

    e) La distancia mas probable del electron con respecto al nucleo.

    f) El valor promedio de r.

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    28 Tema 7: El atomo de hidrogeno

    4: Conocida la expresion del operador2 en coordenadas polares:

    2= 1

    r2

    rr2

    r+ 1

    r21

    sen

    sen

    + 1

    r21

    sen2

    2

    2

    Calcule el valor deT,V yH para la siguiente funcion, correspondiente al atomo dehidrogeno =N er, analizando la relacion que existe entre ellos.

    5: Dados los siguientes orbitales hidrogenoides:

    2p1 =N rer/2senei 2px =N re

    r/2sen cos

    Son funciones propias de los operadores Lz y L2?. Si se puede conocer, cuanto vale el modu-

    lo del momento angular asociado a ambas funciones?, y la componente z de dicho momento?.Comentar los resultados.