Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

21
Makalah Fisika Kuantum Persamaan Schrodinger D I S U S U N OLEH  ERVINA  KRISNA (4113240016)  MUTIA AMALIA  VICKY ( 4103240039) FISIKA Non_Dik 2011 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2013

Transcript of Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

Page 1: Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

7/27/2019 Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-1-persamaan-schrodinger 1/21

Makalah Fisika Kuantum

“Persamaan Schrodinger

” 

D

I

S

U

S

UN

OLEH

 ERVINA

 KRISNA (4113240016)

 MUTIA AMALIA

 VICKY ( 4103240039)

FISIKA Non_Dik 2011

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

2013

Page 2: Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

7/27/2019 Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-1-persamaan-schrodinger 2/21

Kata pengantar

Puji dan Syukur Penulis Panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa karena berkat

limpahan Rahmat dan Karunia-Nya sehingga penulis dapat menyusun makalah ini yang

 berjudul "Persamaan Schrodinger" dan membandingkan nya dari 3 ebook dan 2 internet

serta tepat pada waktunya.

Penulis menyadari bahwa didalam pembuatan makalah ini berkat bantuan dan

tuntunan Tuhan Yang Maha Esa dan tidak lepas dari bantuan berbagai pihak, untuk itu dalam

kesempatan ini penulis menghaturkan rasa hormat dan terima kasih yang sebesar-besarnya

kepada semua pihak yang membantu dalam pembuatan makalah ini.

Akhir kata semoga makalah ini dapat memberikan manfaat kepada para pembaca.

Penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan baik dari bentuk 

 penyusunan maupun materinya. Kritik dan saran dari pembaca sangat penulis harapkan untuk 

 penyempurnaan makalah selanjutnya.

Medan, 09 Oktober 2013

Penulis 

Page 3: Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

7/27/2019 Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-1-persamaan-schrodinger 3/21

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ……………………………………………….................... i

DAFTAR ISI ………………………………………………………........................ ii

BAB I: PENDAHULUAN ………………………….………………..................... 1

a.  Latar Belakang …………………………………………………............................. 1

BAB II: ISI ……………………..…………………………………........................ 4

a.  Persamaan Schrodinger  ………………………………………….......................... 4

 b.  Persamaan Gelombang Schrodinger Untuk Atom Hidrogen …........…..….............. 6

BAB III: PENUTUP ...………………………………………………..................... 8

a.  Kesimpulan .……………...……………………………………………….…........... 8

DAFTAR PUSTAKA ……………………….………………………...................... 9 

Page 4: Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

7/27/2019 Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-1-persamaan-schrodinger 4/21

BAB I

PENDAHULUAN

A.  Latar Belakang

Pada awalnya orang menganggap materi (zat) bersifat kontinu. Tetapi hasil

 penemuan berikutnya seperti penemuan muatan elementer melalui percobaan

simpangan sinar katoda membuat para ilmuan mulai memikirkan bahwa materi

 bersifat diskrit. Lalu konsep atom muncul karena rasa ingin tahu terhadap struktur zat.

Struktur zat berarti komponen-komponen dan hubungan antar komponen yang

membentuk zat tersebut.

Penjelasan Rutherford tentang penerapan mekanika Newton pada model atom,dimana elektron diandaikan melakukan gerak mengelilingi atom, seperti planet

mengelilingi matahari. Dalam gerak itu elektron mengalami percepatan sentrifugal.

Gambaran ini dapat disimpulkan bahwa elektron pada atom tidak stabil. Karena

mengalami percepatan maka elektron akan memancarkan gelombang

elektromagnetik. Energi pancaran ini akan mengurangi energi total elektron sehingga

 jari-jari elektron akan mengecil. Karena adanya pancaran gelombang elektromagnetik 

maka spektrum panjang gelombang yang dipancarkan adalah spektrum yang kontinu.

 Namun dalam konsep mekanika modern menganggap bahwa di dalam atomterdapat kestabilan. Hal ini didukung oleh percobaan yang dilakukan oleh J.J. Balmer 

 pada tahun 1855 yang bereksperimen tentang pemanasan gas hidrogen pada beda

 potensial tinggi yang menghasilkan spektrum emisi diskrit, dan juga ditambahkan

dengan teori atom Bohr yang menyatakan bahwa elektron memiliki kestabilan.

Penjelasan mengenai struktur atom yang lebih lengkap diperlukan untuk 

mengetahui struktur yang lebih detail tentang elektron di dalam atom. Model atom

yang lebih lengkap harus dapat menerangkan efek Zeeman dan sesuai untuk atom

 berelektron banyak. Efek Zeeman merupakan terpecahnya satu garis spektrum atomik 

yang dialiri arus listrik melalui gas dalam sebuah tabung menjadi beberapa garis di

dalam medan magnet. Berikut adalah gambar pemisahan garis spektrum atomik di

dalam medan magnet.

Page 5: Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

7/27/2019 Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-1-persamaan-schrodinger 5/21

 

Erwin Schrodinger (1887-1961), merumuskan teori mekanika gelombang,

yang menggambarkan perilaku partikel kecil yang membentuk segi materi

gelombang. Pembuktian mekanika gelombang, schrodinger meneruskan penemuan

Louis de Broglie yaitu elektron atau partikel memiliki sifat gelombang yang tidak 

memiliki posisi tertentu di dalam ruang. Persamaan dinamika Newton yang sedianya

untuk menjelaskan gerak elektron digantikan oleh persamaan schrodinger yang

menyatakan fungsi gelombang untuk elektron. Untuk model atom pada prinsip ini

disebut model atom mekanika kuantum.

 Posisi dan keberadaan elektron di dalam atom dinyatakan sebagai peluang terbesar 

elektron di dalam atom

Pada gambar atom diatas, elektron mengandung tiga bilangan kuantum yang

 jika ditentukan akan diperoleh hasil berupa orbital. Ketiga bilangan kuantum ini

adalah bilangan kuantum utama, orbital, dan magnetik. 2 menggambarkan rapatan

muatan elektron atau peluang menemukan elektron pada suatu titik dalam atom.

Page 6: Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

7/27/2019 Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-1-persamaan-schrodinger 6/21

BAB II

ISI

A.  Persamaan Schrodinger

Perbedaan pokok antara mekanika klasik dengan mekanika kuantum terletak 

 pada cara penggambarannya. Dalam mekanika klasik, masa depan partikel dapat

ditentukan berdasarkan keadaan awal (kedudukan awal, momentum awal) serta gaya-

gaya yang bekerja padanya melalui hukum kedua Newton. Artinya dengan

menyelesaikan secara matematis dari hukum kedua Newton, maka bisa diketahui

dengan pasti kedudukan dan momentum partikel untuk setiap saat.

Dalam mekanika kuantum ketentuan tentang keadaan masa depan partikel

seperti pada mekanika klasik tidak mungkin diperoleh, karena kedudukan dan

momentum awal tidak dapat diperoleh dengan ketelitian yang cukup.

Penggambaran besar energi perilaku partikel pada mekanika klasik yaitu

 penjumlahan energi kinetik (Ek) dan energi potensial (Ep) kecil, yaitu:

 

, dimana:

,  

Dalam mekanika kuantum fungsi gelombang Ψ bersesuaian dengan variabel

gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Untuk Ψ merupakan menyatakan

matematis gelombang yang ekuivalen dari partikel bebas yang berenergi total E dan

 bermomentum p yang bergerak kearah + x , yaitu Ψ ( ⁄ )().Apabila kedua suku pada persamaan energi dikalikan dengan fungsi

gelombang Ψ menghasilkan persamaan,

Ψ Ψ Ψ, dimana; Ψ

Ψ

 

Ψ

Ψ

 

Sehingga persamaan menjadi,

Ψ

Ψ

Ψ,

Persamaan diatas adalah persamaan Schrodinger yang bergantung pada waktu

dalam tiga dimensi.

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ 

Page 7: Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

7/27/2019 Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-1-persamaan-schrodinger 7/21

Dalam banyak situasi energi potensial sebuah partikel V tidak bergantung dari

waktu, sehingga hanya berubah terhadap kedudukan partikel (x,y,z). untuk itu kita

dapat menyederhanakan persamaan Schrodinger dengan meniadakan kebergantungan

terhadap waktu t. fungsi gelombang bebas dapat dituliskan sebagai,

Ψ ( ⁄ )() ( ⁄ ) ( ⁄ ) 

Ψ ( ⁄ ) ( ⁄ ) =  ( ⁄ )

Jadi Ψ merupakan perkalian dari fungsi yang bergantung kedudukan dan

fungsi bergantung waktu ( ⁄ ) . pada kenyataannya perubahan terhadap waktu dari

semua fungsi partikel yang mengalami aksi gaya tunak mempunyai bentuk yang sama

seperti pada partikel bebas. Selanjutnya, dengan mensubtitusikan persamaan

gelombang diatas kedalam persamaan Schrodinger yang bergantung waktu diperoleh,

( ⁄ ) ( ⁄ ) ( ⁄ )

Selanjutnya dengan membagi kedua suku dengan faktor eksponensial bergantung

waktu diperoleh,

, atau

( )  

Maka persamaan Schrodinger dalam keadaan tunak dalam tiga dimensi menjadi,

( )  

B.  Nilai Eigen

Mekanika kuantum dikembangakan melalui pendekatan-pendekatan oleh Erwin

Schrodinger, Warner Heisenberg dan lain-lain pada tahun 1952-1926 di tempat yang terpisah.

Mekanika kuantum timbul saat mekanika klasik dianggap tidak mampu menjelaskan

 banyaknya fakta eksperimen yang menyangkut perilaku sistem yang berukuran atom, bahkan

teori mekanika klasik memberi distribusi spektral yang salah radiasi dari suatu rongga yang

dipanasi.Mekanika kuantum menghasilkan hubungan antara kuantitas yang teramati, tatapi

 prinsip ketidaktentuan menyebutkan bahwa kuantitas teramati bersifat berbeda dalam

kawasan atomik. Dalam mekanika kuantum kedudukan dan momentum awal partikel tidak dapat diperoleh dengan ketelitian yang cukup.

Page 8: Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

7/27/2019 Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-1-persamaan-schrodinger 8/21

Page 9: Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

7/27/2019 Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-1-persamaan-schrodinger 9/21

Kuantitas yang diperlukan dalam mekanika kuantum ialah fungsi gelombang dari

 benda itu. Walaupun sendiri tidak mempunyai tafsiran fisis, kuadrat besar mutlak 2 (

atau sama dengan * jika kompleks ) yang dicari pada suatu tempat tertentu pada suatu

saat berbanding lurus dengan peluang untuk mendapatkan benda itu di tempat itu pada saatitu. Momentum, momentum sudut, dan energi dari benda dapat diperoleh dari . Persoalan

mekanika kuantum adalah untuk menentukan untuk benda itu bila kebebasan gerak 

dibatasi oleh aksi gaya eksternal. Biasanya untuk memudahkan kita ambil 2 sama dengan

 peluang P untuk mendapatkan partikel yang diberikan oleh , hanya berbadinng lurus

dengan P. Jika 2 sama dengan P, maka betul bahwa :

 x

 x

2

dV = 1 normalisasi

Karena

 x

 xdV = 1

ialah suatu pernyataan matematis bahwa partikel itu ada di suatu tempat untuk setiap saat,

 jumlah semua peluang yang mungkin harus tertentu. Selain bisa dinormalisasi , harus

 berharga tunggal, karena P hanya berharga tunggal pada tempat dan waktu tertentu , dan

kontinu.

Apabila prinsip komplemeter dan prinsip korespondensi serta asumsi interpretatif 

dasar (yakni yang menyatakan bahwa hasil yang mungkin dari suatu besaran diberikan oleh

 persamaan nilai eigen), maka akan diperoleh persamaan yang menentukan semua tingkatan

energi dari sistem. Secara eksplisit operator energi dalam sajian Schrodinger adalah

(72)

Persamaan nilai eigen energi adalah

(73)

Sajian ini merupakan persamaan Schrodinger.

Page 10: Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

7/27/2019 Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-1-persamaan-schrodinger 10/21

Persamaan Schrodinger untuk sebuah partikel yang berada dalam pengaruh potensial adalah

(74)

Dalam 3 dimensi persamaan ini menjadi

(75)

Persamaan di atas akan diselesaikan untuk syarat batas yang menjadikan berhingga

dimana-mana (termasuk pada daerah tak hingga). Bentuk syarat batas dan makna fisisnya

akan diulas pada bagian selanjutnya.

Kasus khusus yang penting adalah persamaan atom hidrogen dengan energi potensial seperti

dalam diagram berikut. Dengan menganggap proton tak bergerak, kita gunakan koordinat

kutub dan memasukkan potensial Coulomb . Sehingga,

(76)

Hal penting yang patut diperhatikan adalah bahwa persamaan ini menghasilkan

tingkatan energi diskret yang sesuai pengamatan. Pembuktiannya menyangkutkan

 perhitungan rumit, yang akan diulas pada Bab 7. Untuk sementara, akan dibahas model

sederhana.

Page 11: Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

7/27/2019 Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-1-persamaan-schrodinger 11/21

Diagram energi untuk atom hidrogen ditunjukkan dalam Gambar  3.1. Jika energi

kinetik adalah dan energi total adalah , maka

Oleh karena secara klasik harus dipenuhi , partikel dengan energi dapat diamati

hanya pada daerah dengan garis di atas kurva

Garis putus-putus pada diagram bersesuaian dengan energi kinetik negatif, karena itu

 berada pada posisi yang tak teramati. Untuk elektron dapat berada pada posisi sampai

takhingga. Untuk elektron terikat (bound ). Untuk harga yang besar tetapi negatif, elektron

terbatas pada potensial yang berubah sangat cepat dalam daerah yang sangat sempit. Untuk 

menganalisis sifat kualitatif dari sistem yang demikian kita tinjau harga energi kuantum dari

sebuah partikel yang terbatas dalam dinding potensial takhingga 1-d, yakni

(77)

Secara klasik partikel terbatas dalam daerah , dan berapapun energinya partikel terpantul

setiap kali menumbuk dinding potensial. Persamaan Schrodinger untuk sistem dengan

 potensial , yang didefiniskan oleh (3.25), untuk , adalah

(78)

Oleh karena bernilai takhingga pada , sementara suku-suku lainnya tetap berhingga, maka

diperlukan syarat batas sebagai

(79)

Page 13: Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

7/27/2019 Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-1-persamaan-schrodinger 13/21

(87)

Sifat penting dari spektrum energi diskret telah muncul secara alamiah dari formalisme di

atas, dan dapat dibandingkan dengan rumus Bohr untuk atom hidrogen,

(88)

Kenyataan bahwa model yang ditinjau masih sederhana tetapi telah mendekati model

real atom hidrogen merupakan kesuksesan. Perbedaan dengan faktor merupakan kekhususan

dari pendekatan 1-d (dinding potensial) terhadap sistem 3-d (atom hidrogen). Sedangkan

 perbedaan tanda muncul dari kenyataan bahwa tingkatan energi atom hidrogen diukur dari puncak potensial ke bawah.

Persamaan Schrodinger merupakan persamaan pokok dalam mekanika kuantum  –  

seperti halnya hukum gerak kedua yang merupakan persamaan pokok dalam mekanika

 Newton  –  dan seperti persamaan fisika umumnya persamaan Schrodinger berbentuk 

 persamaan diferensial. Bentuk umum persamaan Schrodinger adalah sebagai berikut,

dengan adalah fungsi Schrodinger yang mendefinisikan partikel yang bergerak dalam tiga

dimensi dengan energi tertentu dan berada di bawah pengaruh medan potensial V tertentu.

Bentuk khusus persamaan Schrodinger yaitu persamaan Schrodinger bebas waktu adalah

Bentuk ini lebih sering digunakan karena energi dan medan potensial sistem fisika umumnya

hanya bergantung pada posisi.

Walaupun rumusan matematis persamaan Schrodinger lebih sederhana dibandingkan

Mekanika Matriks dan Aljabar Kuantum, pemecahan persamaan ini tetap membutuhkan

 pengetahuan matematika lanjut. Langkah pertama yang dilakukan adalah menentukan energi

kinetik dan potensial sistem dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan di atas. Langkah

Page 14: Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

7/27/2019 Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-1-persamaan-schrodinger 14/21

kedua adalah merubah persamaan di atas kedalam sistem koordinat yang sesuai dengan

sistem yang ditinjau. Untuk sistem atom hidrogen sistem koordinat yang sesuai adalah sistem

koordinat bola. Langkah kedua adalah melakukan pemisahan variabel. Persamaan

Schrodinger mengandung tiga koordinat ruang yang saling ortogonal dan harus dipisahkan

menjadi 3 persamaan berbeda yang hanya mengandung satu koordinat ruang. Langkah ketiga

adalah memecahkan ketiga persamaan tersebut secara simultan. Hasil yang diperoleh

merupakan bilangan-bilangan kuantum yang memerikan struktur sistem berdasarkan tingka-

tingkat energi yang menyusun sistem tersebut. Struktur sistem ini selanjutnya dipergunakan

untuk meramalkan perilaku sistem dan interaksinya dengan sistem lain.

Penerapan persamaan Schrodinger pada sistem fisika memungkinkan kita

mempelajari sistem tersebut dengan ketelitian yang tinggi. Penerapan ini telah

memungkinkan perkembangan teknologi saat ini yang telah mencapai tingkatan nano.

Penerapan ini juga sering melahirkan ramalan-ramalan baru yang selanjutnya diuji dengan

eksperimen. Penemuan positron  – yang merupakan anti materi dari elektron  – adalah salah

satu ramalan yang kemudian terbukti. Perkembangan teknologi dengan kecenderungan alat

yang semakin kecil ukurannya pada gilirannya akan menempatkan persamaan Schrodinger 

sebagai persamaan sentral seperti halnya yang terjadi pada persamaan Newton selama ini.

C.  Persamaan Schrodinger bergantung waktu

Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang bersesuaian dengan variabel

gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun, bukanlah suatu kuantitas yang

dapat diukur, sehingga dapat berupa kuantitas kompleks. Karena itu, kita akan menganggap

dalam arah x dinyatakan oleh :

= Ae-2I(Vt-x/)

sehingga :

= Ae-(i/ħ)(Et-px)

Persamaan di atas merupakan penggambaran matematis gelombang ekuivalen dari

 partikel bebas yang berenergi total E dan bermomentum p yang bergerak dalam arah +x.

 Namun, pernyataan fungsi gelombang hanya benar untuk partikel yang bergerak bebas.

Page 15: Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

7/27/2019 Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-1-persamaan-schrodinger 15/21

Sedangkan untuk situasi dengan gerak partikel yang dipengaruhi berbagai pembatasan untuk 

memecahkan dalam situasi yang khusus, kita memerlukan persamaan

Schrodinger.Pendekatan Schrodinger disebut sebagai mekanika gelombang. Persamaan

Schrodinger dapat diperoleh dengan berbagai cara, tetapi semuanya mengandung kelemahanyang sama yaitu persamaan tersebut tidak dapat diturunkan secara ketat dari prinsip fisis yang

ada karena persamaan itu sendiri menyatakan sesuatu yang baru dan dianggap sebagai satu

 postulat dari mekanika kuantum, yang dinilai kebenarannya atas dasar hasil-hasil yang

diturunkan darinya.

Persamaan Schrodinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang partikel yang bergerak 

 bebas. Perluasan persamaan Schrodinger untuk kasus khusus partikel bebas (potensial V =

konstan) ke kasus umum dengan sebuah partikel yang mengalami gaya sembarang yang

 berubah terhadap ruang dan waktu merupakan suatu kemungkinan yang bisa ditempuh, tetapi

tidak ada satu cara pun yang membuktikan bahwa perluasan itu benar. Yang bisa kita lakukan

hanyalah mengambil postulat bahwa persamaan Schrodinger berlaku untuk berbagai situasi

fisis dan membandingkan hasilnya dengan hasil eksperimen. Jika hasilnya cocok, maka

 postulat yang terkait dalam persamaan Schrodinger sah, jika tidak cocok, postulatnya harus

dibuang dan pendekatan yang lain harus dijajaki.

 xmt i

2

22

2

 

 

  

 

 z  y xmt i

2

2

2

2

2

22

2

 

dimana energi potensial partikel V merupakan fungsi dari x, y, z dan t.

Dalam kenyataanya, persamaan Schrodinger telah menghasilkan ramalan yang sangat

tepat mengenai hasil eksperimen yang diperoleh. Pada rumus terakhir diatas hanya bisa

dipakai untuk persoalan non relativistik dan rumusan yang lebih rumit jika kelajuan partikel

yang mendekati cahaya terkait. Karena persamaan itu bersesuaian dengan eksperimen dalam

 batas  –  batas berlakunya, kita harus mengakui bahwa persamaan Schrodinger menyatakan

(Persamaan Schrodinger bergantung waktu

dalam satu dimensi)

(Persamaan Schrodinger bergantung

waktu dalam tiga dimensi)

Page 16: Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

7/27/2019 Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-1-persamaan-schrodinger 16/21

suatu postulat yang berhasil mengenai aspek tertentu dari dunia fisis.Betapapun sukses yang

diperoleh persamaan Schrodinger, persamaan ini tetap merupakan postulat yang tidak dapat

diturunkan dari beberapa prinsip lain, dan masing  –  masing merupakan rampatan pokok,

tidak lebih atau kurang sah daripada data empiris yang merupakan landasan akhir dari

 postulat itu. Penjabaran Persamaan Schrodinger bergantung waktu

~ (identik) dengan y dalam gerak gelombang umum

: menggambarkan keadaan gelombang kompleks yang tak dapat terukur 

= A e

)(v

 xt i  

, = 2f, V =f 

maka =A e)(2

   x ft i

 

energi totalnya

E=h = 

hc, dengan =

 p

h=

 p

 2, p=

 

 2 

F=h

 E =

 2

 E  

Persamaan gelombangnya menjadi

= Ae))(( px Et 

h

i

 

][)())((

2

2))((

2

2

2

2 px Et  px Et 

ii

 Ae p

 Ae x x

 

))(( px Et i

e p

iA x

jadi

2

2

2

2

 p

 x 

i

t   

D. 

Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu

Page 17: Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

7/27/2019 Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-1-persamaan-schrodinger 17/21

Dalam banyak situasi energi potensial sebuah partikel tidak bergantung dari waktu

secara eksplisit, gaya yang bereaksi padanya, jadi juga V , hanya berubah terhadap kedudukan

 partikel. Jika hal itu benar, persamaan Schrodinger dapat disederhanakan dengan meniadakan

ketergantungan terhadap waktu t. Fungsi gelombang partikel bebas dapat ditulis

= Ae-(i/ħ)(Et – px) = Ae-( iE/ħ )te+(ip/ħ)x 

=  e-(iE/ħ)t 

ini berarti, merupakan perkalian dari fungsi bergantung waktu e-(iE/h)t dan fungsi yang

 bergantung kedudukan   . Kenyataanya, perubahan terhadap waktu dari semua fungsi

 partikel yang mengalami aksi dari gaya jenuh mempunyai bentuk yang sama seperti pada

 partikel bebas.

Persamaan keadaan jenuh schrodinger dalam satu dimensi

02

22

2

 

 V  E 

m

 x  

Persamaan keadaan jenuh schrodinger dalam tiga dimensi

02

22

2

2

2

2

2

 

   V  E 

m

 z  y x  

Pada umumnya kita dapat memperoleh suatu fungsi gelombang yang tidak saja

memenuhi persamaan dan syarat batas yang ada tetapi juga turunannmya jenuh, berhingga

dan berharga tunggal dari persamaan keadaan jenuh Schrodinger. Jika tidak, sistem itu tidak 

mungkin berada dalam keadaan jenuh. Jadi kuantitas energi muncul dalam mekanika

gelombang sebagai unsur wajar dari teori dan kuantitas energi dalam dunia fisis dinyatakan

sebagai jejak universal yang merupakan ciri dari semua sistem yang mantap. Harga En

supaya persamaan keadaan tunak Schrodinger dapat dipecahkan disebut harga eigen dan

fungsi gelombang yang bersesuaian n  disebut fungsi eigen. Tingkat energi diskrit atom

hidrogen :

En = -  

  

 222

0

2

4 1

32 n

me

    n = 1,2,3…… 

Page 18: Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

7/27/2019 Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-1-persamaan-schrodinger 18/21

Dalam atom hidrogen , kedudukan elektron tidak terkuantitasi, sehingga kita bisa memikirkan

elektron berada disekitar inti dengan peluang tertentu 2 per satuan volume tetapi tanpa

ada kedudukan tertentu yang diramalkan atau orbit tertentu menurut pengertian klasik.

Pernyataan peluang ini tidak bertentangan dengan kenyataan bahwa eksperimen yangdilakukan pada atom hidrogen selalu menunjukkan bahwa atom hidrogen selalu mengandung

satu elektron, bukan 27 persen elektron dalam satu daerah dan 73 persen di daerah lainnya;

 peluang itu menunjukkan peluang untuk mendapatkan elektron , dan walaupun peluang ini

menyebar dalam ruang, elektronnya sendiri tidak.

Persamaan gelombang partikel bebas

))(( pxet i

 Ae

 

= x Et 

ipi

e Ae)()(

 

=t iE 

e)(

, dengan = Ae

Ambil persamaan Schrodinger yang bergantung waktu,

v

 xmt i

2

22

2

 

t iE 

t iE 

t t eV 

 xe

me

me E 

iE iE  )(

2

2)(

2)(

2)(

222

 

22

22 2

2

m X V 

 xm E 

 

0)(2

22

2

V  E 

m

 x , tidak bergantung waktu

Analog terhadap persamaan schrodinger adalah tali terbentang yang panjangnya L yang

keduanya terikat.

Y t V  x

,

12

2

22

2

 

Page 19: Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

7/27/2019 Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-1-persamaan-schrodinger 19/21

1

2

n

 Ln   , n=0,1,2,… 

Dengan tingkat energi diskrit atom Hidrogen

),1

(32 2222

4

nto

me E n

    n=1,2,3….. 

Momentum sudut ditentukan

2/1

))1(( l l  Li , l = 0,1,2,….. 

dengan harga ekspektasi

~

~

2 ,dxGG  

Page 20: Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

7/27/2019 Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-1-persamaan-schrodinger 20/21

BAB III

PENUTUP

A.  Kesimpulan

Persamaan gelombang materi Schrodinger untuk elektron yang bergerak

mengelilingi inti atom hidrogen dalam sistem koordinat kartesian

( )  

dengan energi potensial listrik

()  

Schrodinger merumuskan teori mekanika gelombang, yang menggambarkan

perilaku partikel kecil yang membentuk segi materi gelombang.

Pada intinya Schrodinger menggambarkan besar energi perilaku partikel yaitu

bersumber dari mekanika Newton yang kedua sukunya dikalikan dengan fungsi

gelombang,

 

Page 21: Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

7/27/2019 Makalah Kelompok 1. Persamaan Schrodinger

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-1-persamaan-schrodinger 21/21

DAFTAR PUSTAKA

Beisser A, 1987. Konsep Fisika Modern. Edisi Keempat . McGraw-Hill International

Book Company

Sukardiono-dkk. 2003. Konsep Dasar Fisika Modern. Yogyakarta: Universitas

Negeri Yogyakarta

www.wikipedia.com/persamaan schrodinger

www.wordpress.com/dunia fisika

www. math.ucla.edu

www.physlink.com