BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Gelombang zat, atau gelombang pengarah (pemandu) telah

menjadi bagian khasanah ilmu Fisika pada tahun 1925 dengan ditandai

oleh munculnya hipotesa de-Broglie. Hipotesa tentang gelombang

pengarah sangat diilhami oleh studi mengenai gerak elektron dalam atom

Bohr. Gelombang zat yang senantiasa menyertai gerak suatu zarah

melengkapkan pandangan tentang dualisme zarah gelombang. Dengan

demikian perbedaan antara cahaya dan zarah, atau lebih tegasnya antara

gelombang dan zarah menjadi hilang. Gelombang cahaya dapat

berperilaku sebagai zarah, sebaliknya zarah dapat berperilaku sebagai

gelombang. Pandangan semacam itu sangat berbeda dengan persepsi

manusia tentang gejal-gajal fisik konkret yang dialami nya sehari-hari.

Sejak abad ke-20 teori-teori klasik mulai dipertanyakan kesahihannya

untuk dipergunakan di tingkat atom yang sub-atom. Satu tahun setelah

postulat de-Broglie disebarluaskan seorang ahli fisika dari Austria, Erwin

Schrodinger berhasil merumuskan suatu persamaan diferensial umum

untuk gelombang de-Broglie dan dapat ditunjukkan pula kesahihannya

untuk berbagai gerak elektron. Persamaan diferensial ini yang selanjutnya

dikenal sebagai persamaan gelombang Schrodinger sebagai pembuka jalan

ke arah perumusan suatu teori mekanika kuantum yang komprehensip dan

lebih formalistik. Pada tahun 1927, satu tahun setelah Schrodinger

merumuskan persamaan gelombangnya, Heisenberg merumuskan suatu

prinsip yang bersifat sangat fundamental. Prinsip ini dirumuskan pada

waktu orang sedang sibuk mempelajari persamaan Schrodinger dan

berusaha keras untuk dapat memahami maknanya. Pada tahun 1926,

Heisenberg juga muncul dengan suatu cara baru untuk menerangkan garis-

garis spektrum yang dipancarkan oleh sistem atom. Pendekatannya sangat

lain, karena yang digunakannya adalah matriks. Hasil yang diperoleh

1

dengan cara ini sama dengan apa yang diperoleh melalui persamaan

Schrodinger. Mekanika kuantumnya Heisenberg dikenal sebagai mekanika

matriks. Secara kronologis prinsip Heisenberg muncul sesudah

dirumuskannya persamaan Schrodinger. Tetapi sebagai suatu prinsip

teoritik hal itu merupakan suatu hal yang fundamental, dan dapat

disejajarkan dengan teori kuantum Einstein, postulat de-Broglie, dan

postulat Bohr. Oleh karenanya dalam pembahasannya prinsip Heisenberg

ditampilkan lebih dahulu dari persamaan Schrodinger. Teori Planck

tentang radiasi thermal, teori einstein tentang foton, teori Bohr tentang

atom Hidrogen, dan postulat de-Broglie tentang gelombang zat, serta

prinsip Heisenberg dikenal sebagai teori kuantum lama. Dalam teori

kuantum lama terkandung hampir semua landasan bagi suatu teori yang

dapat menguraikan perilaku sistem-sistem fisika pada tingkat atom dan

sub-atom.

B. Perumusan Masalah

Adapun masalah yang dihadapi berdasarkan latar belakang diatas adalah,

1. Apa yang dimaksud Persamaan Schrodinger ?

2. Bagaimana asal – usul Persamaan Schrodinger terjadi ?

3. Apa sajakah resep Persamaan Schrodinger ?

4. Bagaimana Pembenaran yang dtimbulkan dari Persamaan

Schrodinger?

C. Tujuan Makalah

Tujuan dalam penyusunan makalah ini adalah untuk memenuhi nilai mata

kuliah Fisika Modern. Selain itu, penyusun berharap dengan adanya

makalah ini dapat menambah wawasan mahasiswa mengenai Pembenaran

Persamaan Schrodinger dan Resep Schrodinger, serta untuk mengetahui

dan mendalami penerapan Persamaan Schrodinger.

BAB II

2

PEMBAHASAN

A. Pembenaran Persamaan Schrodinger

Baik hukum Newton, persamaan Maxwell, maupun persamaan

Schrodimger tidak dapat diturunkan dari seperangkat asas dasar, namun

pemecahan yang diperoleh darinya ternyata sesuai dengan pengamatan

percobaan. Persamaan Cshrodinger hanya dapat dipecahkan secara eksak

untuk beberapa potensial sederhana tertentu; yang paling sederhana adalah

potensial konstan dan potensial osilator harmonik. Kedua kasus sederhana

ini memang tidak “fisis,” dalam artian bahwa pemecahannya tidak dapat

diperiksa kebenarannya dengan percobaan-tidak ada contoh di alam yang

berkaitan dengan gerak sebuah pertikel yang terkukung dalam sebuah

kotak satu dimensi, ataupun sebuah osilator harmonik mekanika kuantum

ideal (meskipun kasus seperti ini seringkali merupakan hampiran yang

cukup baik bagi situasi fisis yang sebenarnya). Namun demikian, brbagai

kasus sedrhana ini cukup bermanfaat dalam memberikan gambaran

tentang teknik umum pemecahan persamaan Schrodinger yang akan

dibahas dalam bab ini.

Kita bayangkan sejenak bahwa kita adalah Erwin Schrodinger dan

sedang meneliti suatu persamaan diferensial yang akan menghasilkan

pemecahan yang sesuai bagi fisika kuantum. Akan kita dapati bahwa kita

dihalangi oleh tidak adanya hasil percobaan yang dapat kita gunakan

sebagai bahan perbandingan. Oleh karena itu, kita harus merasa puas

dengan hal berikut-kita daftarkan semua sifat yang kita perkirakan akan

dimiliki persamaan kita, dan kemudian menguji macam persamaan

manakah yang memenuhi semuan criteria tersebut.

1. Kita tidak boleh melanggar hukum kekekalan energy. Meskipun kita

hendak mengorbankan sebagian besar kerangka fisika klasik, hukum

kekekalan energy adalah salah satu asas yang kita inginkan tetap

berlaku. Oleh karena itu, kita mengambil

3

K + V = E (5.1)

Berturut-turut, K, V, dan E adalah energy kinetic, potensial, total.

(karena kajian kita tentang fisika kuantum ini dibatasi pada keadaan

takrelativistik, maka K= 1/2mv² = p²/2m; E hanyalah menyatakan

jumlah energy kinetic dan potensial, bukan energy massa relativistic).

2. Bentuk persamaan diferensial apa pun yang kita tulis, haruslah taat

asas terhadap hipotesis deBrogile-jika kita pecahkan persamaan

matematikanya bagi sebuah partikel dengan momentum p, maka

pemecahan yang kita dapati haruslah berbentuk sebuah fungsi

gelombang dengan sepanjang gelombang λ yang sama dengan h/p.

dengan menggunakan persamaan p = hk, maka enrgi kinetic dari

gelombang deBrogile partikel bebas haruslah K = p²/2m = ђ²k²/2m.

3. Persamaanya haruslah “berperilaku baik,” dalam pengertian

matematika. Kita mengharapkan pemecahannya memberikan informasi

kepada kita tentan porbalitas untuk menemukan partikelnya; kita akan

terperanjat menemukan bahwa, misalnya, probalitas tersebut berubah

secara tidak kontinu, karena ini berarti bahwa partikelnya menghilang

secara tiba-tiba dari suatu titik dan muncul kembali pada titik lainnya.

Jadi, kita syaratkan bahwa fungsinya haruslah bernilai tunggal-artinya,

tidak boleh ada dua probalitas untuk menemukan partikel di satu titik

yang sama. Ia harus pula linear, agar gelombangnya memiliki sifat

superposisi yang kita harapkan sebagai milik gelombang yang

berperilaku baik.

Dengan memilih bernalar dalam urutan terbalik, akan kita

tinjau terlebih dahulu pemecahan dari persamaan yang sedang kita

cari. Anda telah mempelajari di depan tentang gelombang tali, yang

memiliki bentuk matematik y(x,t) = A sin (kx-ωt ¿, dan gelombang

electromagnet, yang memiliki pula bentuk serupa E(x,t) = E0 sin (kx –

ωt ¿ dan B(x,t) = B0 sin (kx – ωt ¿. Oleh karena itu, kita postulatkan

bahwa gelombang deBrogile partikel bebas Ψ (x , t) memiliki pula

bentuk sebuah gelombang dengan amplitude A yang merambat dalam

4

arah x positif. Katakanlah t = 0, jadi dengan mendifinisikan

sebagai , maka

(5.2)

Persamaan diferensial, yang pemecahannya adalah ,

dapat mengandung turunan terhadap x atau t , tetapi ia haruslah hanya

bergantung pada pangakat satu dari atau ( tidak boleh

muncul. Didepan telah didapati bahwa , sehingga satu-

satunya cara untuk memperoleh suku yang mengandung adalah

dengan mengambil turunan kedua dari terhadap x.

(5.3)

Perlu ditekankan bahwa yang kita lakukan disini bukanlah

suatu penurunan; kita hanya sekedar membentuk suatu persamaan

diferensial dengan ketiga sifat berikut : (1) ia taat asas dengan

kekekalan energi; (2) ia linear dan bernilai tunggal; (3) ia memberikan

pemecahan partikel bebas yang sesuai dengan sebuah gelombang

deBrouglie tunggal. Persamaan (5.3) adalah persamaan SchrŐdinger

waktu-bebas satu dimensi. Meskipun gelombang nyata selain

bergantung pada koordinat ruang dan juga waktu , dan bahwa alam

kita bukan berdimensi satu melainkan tiga, kita dapat belajar mengenai

matematika dan fisika dari mekanika kuantum dengan mempelajari

berbagai pemecahan.

B. Resep Schrodinger

5

Mengingat teknik untuk memecahkan Persamaan (5.3) bagi

berbagai bentuk potensial V (yang pada umumnya bergantung pada

x),adalah hamper sama, maka kita dapat menyusun saja suatu daftar urutan

langkah, seperti dibawah ini, yang perlu diterapkan untuk memperoleh

pemecahannya. Anggaplah kita diberi suatu V (x)tertentu yang diketahui,

dan kita ingin memperoleh fungsi gelombang ψ(x) dan enegi E. Ini adalah

contoh persoalan umum yang dikenal sebagai persamaan nilai eigen

(pribadi , baca:aigen). Akan kita temukan bahwa persamaan ini hanya

memperkenankan pemecahan dengan nilai energy tertentu E saja, yang

dikenal sebagai nilai eigen energy.

1. Mulailah dengan menuliskan persamaan (5.3) untuk V(x) yang

bersangkutan. Perhatikan jika potensialnya berubah secara tidak

kontinu [ V(x) mungkin saja dapat tidak kontinu, tetapi ψ(x) tidak

boleh ], maka untuk daerah x(ruang) yang berbeda perlu kita tuliskan

pula persamaan yang berbeda. Contoh –contoh kasus seperti ini akan

disajikan dalam pasal 5.4

2. Dengan menggunakan teknik matematika yangs esuai pada bentuk

persamaan yang ditulis, carilah suatu fungsi matematika ψ(x) sebagai

pemecahan bagi persamaan bagi persamaana diferensial yang

bersangkutan. Karena tidak ada teknik khusus yang kami uraikan

untuk memecahkan berbagai persamaan diferensial, maka kita hanya

akan belajar dari sejumlah contoh mengenai bagaimana mendapatkan

pemecahan tersebut.

3. Pada umumnya, kita dapati banyak pemecahan yang memenuhi.

Dengan menerapkan syarat-syarat batas, maka beberapa dari antara

pemecahan itu dapat dikesampingkan dan semua tetapan( integrasi)

yang tidak diketahui dapat ditentukan. Biasanya, penerapan syaratan

yang menentukan pemilihan nilai-nilai eigen energy.

4. Jika anda sedang mencari pemecahan bagi suatu potensial yang

berubah secara tidak kontinu, maka anda harus menerapkan

6

persyaratan kekontinuan pada ψ(dan juga dψ/dk pada batas antara

daerah daerah ketidak kontinuan.

5. Tentukanlah semua tetapan (integrasi) yang belum diketahui, misalnya

tetapan A dalam persamaan (5.2).Metode penentuan ini akan diuraikan

dalam pasal berikut.

Sekarang , marilah kita tinjau salah satu contoh dari isika klasik

yang memerlukan beberapa teknik pemecahan yang sama seperti pada

[ersoalan – persoalan khas fisika kuantum. Persyaratan kekontinuan

pada batas antara dua daerah adalah sesuatu yang seringkali diterapkan

dalam berbagai persoalan klasik. Untuk mengilustrasikannya akan kita

pelajari persoalan klasik berikut :

Contoh

Sebuah benda bermassa m dijatuhkan dari ketinggian H di atas

tangki air. Ketika memasuki air, ia mengalami gaya apung B yang lebih

besar daripada beratnya. (Kita abaikan gaya gesek (viskos) oleh air pada

benda Carilah perpindahan dan kecepatan benda, dihitung dari saat

dilepaskan hingga ia muncul kembali kepermukaan air.

Pemecahan

Kita pilih sebuah system koordinat dengan y positif keatas, dan

mengambil y=0 pada permukaan air. Selama benda jatuh bebas, ia hanya

dipengaruhi gaya gravitasi. Maka, dalam daerah 1(diatas air, hukum kedua

Newton memberikan

-mg = m

Yang memiliki pemecahan

v₁(t) = v₀₁ - gt

y₁(t) = y₀₁ + v₀₁t – 1/2gt²

v₀₁ dan y₀₁ adalah kecepatan dan ketinggian awal pada saat t=0. Ketika

benda memasuki air (daerah 2), gayanya menjadi B-mg, sehingga hukum

kedua Newton menjadi

7

B-mg = m

Yang memiliki pemecahan

v₂ (t) = v₀₂ + –g ) t

v₂ (t) = y₀₂+v₀₂t + –g ) t²

Keempat pemecahan ini memiliki empat koefisien tidak

tertentukan y₀₁, v₀₁, y₀₂, v₀₂ (Perhatikan bahwa y₀₂ dan v₀₂ bukanlah

nilai pada saat t=0, tetapitetapan yang akan ditentukan kemudian). Kedua

tetapan pertama diperoleh dengan menerapkan syarat awal – pada saat t=0

(ketika benda dilepaskan) y₀₁=H dan v₀₁ = 0, karena benda dilepaskan

dari keadan diam. Oleh karena itu, pemecahan dalam daerah 1 adalah

v₁ (t) = - gt

y₁(t) = H -1/2gt²

Langkah berikut dalam penerapan syarat batas pada permukaan air .

Misalkan t₁ adalah saat ketika benda memasuki air. Syarat batasnya

menghendaki bahwa v dan y kontinu pada daerah batas antara air dan

udara, yakni:

y₁(t₁) = y₂(t₂)dan

v₁(t₁) = v₂(t₂)Persyaratan pertama mengatakan bahwa benda nya tidak lenyap

pada suatu saat tertentu dan kemudian muncul kembali di suatu titik lain

pada saat berikutnya. Persyaratan kedua setara dengan mensyaratkan

lajunya berubah secara mulus pada permukaan air. [Jika syarat tidak

dipenuhi , maka v₁ (t₁-Δt) v₂ (t₁-Δt) meskipun Δt 0, shingga percepatan

akan menjadi takhingga]. Untuk menerapkan syarat batas ini, kita harus

terlebih dahulu mencari t₁ ketika y₁ menjadi nol.

y₁(t₁) = H – ½ gt² = 0

sehingga

8

t =

Dengan demikian, laju benda ketika menyentuh air v₁(t₁) adalah

v₁(t₁) = -gt = -g =

Maka syarat batas memberikan

y₂(t₁) = y₀₁ + v₀₂ + ½ ( – g) ( ) = 0

dan

v₂(t₁) = v₀₂ + ( – g) ( ) = -

Kedua persamaan ini dapat dipecahkan secara serempak untuk

memperoleh y₀₂ dan v₀₂, yang menghasilkan v₀₂ = - (B/m) dan

y₀₂ = H (1 + B/mg). Jadi, pemecahan lengkap dalam daerah 2 adalah

v₂(t₁) = - + ( – g) t

v₂(t₁) = H + - t+ ½ ( – g) t²

Persamaana bagi v₁, y₁, dan v₂ dan y₂ memberikan perilaku gerak

benda dari saata t = 0 hingga ia muncul kembali ke permukaan air.

Hasil – hasil ini dapat kita terapkan untuk menghitung sifat gerak

lainnyaa; sebagai contoh, kita dapat mencari kedalama maksimum yang

dicapai benda, yang terjadi ketika v₂=0 . Jika kita ambil t₂ sebagai waktu

pada saat hal ini terjadi, maka

v₂(t₂) = - + ( – g) t₂ = 0

(t₂) =

Kedalaman D adalah nilai y₂ pada saat t₂ ini , yaitu

D = y₂(t₂) = (H + - + ½ ( – g) t₂²

D = -

9

Rangkuman kegiatan dalam kegiatan kita dalam contoh ini adalah :

kita menggunakan persamaan gerak untuk mencari pemecahan

persoalannya, kemudian menghitung semua tetapan tidak tentu dalam

pemecahan yang kita peroleh dengan menerapkan syarat awal dan syarat

batas, dan kita peroleh dengan menerapkan hasil pemecahan kita untuk

menghitung salah satu perilaku kemudian dari benda (dalam hal ini,

kedalam maksimum D). Prosedur yang sama akan kita terapkan pula pada

persoalan fisika kuantum.

Perilaku gerak bendanya diperlihatkan dalam Gambar 5.1 , yang

memperlihatkan percepatan, kecepatan, dan kedudukannya sebagai fungsi

dari waktu. Perhatikan bahwa v(t) dan y(t) kedua-duanya kontinu,

sebagaimana kita syaratkan pada penerapan syarat batas.

Andaikanlah airnya kita ganti dengan sebuah permukaan lantai

tegar yang memantulkan benda itu (yang juga tegar) secara elastic. Maka

untuk keadaan yang ideal, ketergantungan percepatan, kecepatan, dan

kedudukan benda sebagai fungsi dari waktu adalah seperti yang

diperlihatkan pada Gambar 5.2. Perhatikan bahwa pada kasus ini, benda

menderita gaya tidak hingga ketika ia menyentuh permukaan lantai tegar,

sehingga kecepatannya berubah secara takkontinu, tetapi kedudukannya

berubah secara kontinu (ia tetap tidak menghilang seketika dan muncul

ditempat lain).

C. Probalitas dan Normalisasi

Fungsi gelombang ψ(x) menyatakan suatu gelombang yang

memiliki panjang gelombang dan bergerak dengan kecepatan fase yang

jelas. Masalah yang muncul ketika hendak menafsirkan amplitudonya.

Apakah yang dinyatakan oleh amplitudo ψ(x) dan variabel fisika apakah

yang bergetar? Ini merupakan suatu jenis gelombang yang berbeda, yang

nilai mutlaknya memberikan probabilitas untuk menemukan partikelnya

pada suatu titik tertentu. Dimana|ψ(x)|2 dx memberikan probabilitas untuk

10

menemukan partikel dalam selang dx di x. Rapat probabilitas P(x)

terhadap ψ(x) menurut persamaan Schrödinger sebagai berikut:

P(x)dx=|ψ(x)|2dx (5.4)

Tafsiran |ψ(x)|2 ini membantu memahami persyaratan kontinu ψ(x),

walaupun amplitudonya berubah secara tidak jelas dan kontinu.

Probabilitas untuk menemukan partikel antara x dan x adalah jumlah

semua probabilitas P(x)dx dalam selang antara x1 dan x2 adalah sebagai

berikut :

∫x1

x2

P ( x ) dx = ∫x1

x2

|ψ (x)|2 dx (5.5)

Dari aturan ini, maka probabilitas untuk menemukan partikel

disuatu titik sepanjang sumbu x, adalah 100 persen, sehingga berlaku:

∫−∞

+∞

|ψ ( x)|2 dx=1 (5.6)

Persamaan (2.3) dikenal dengan syarat Normalisasi, yang

menunjukkkan bagaimana mendapatkan tetapan A. Dimana tetapan A

tidak dapat ditentukan dari persamaan Differensialnya. Sebuah fungsi

gelombang yang tetapan pengalinya ditentukan dari persamaan (2.3)

disebut ternormalisasikan. Hanyalah fungsi gelombang yang ternomalisasi

secara tepat, yang dapat digunakan untuk melakukan semua perhitungan

yang mempunyai makna fisika. Jika normalisasinya telah dilakukan secara

tepat, maka persamaan (2.3) akan selalu menghasilkan suatu probabilitas

yang terletak antara 0 dan 1. Setiap pemecahan persamaan Schrödinger

yang menghasilkan |ψ(x)|2 bernilai tak hingga,harus dikesampingkan.

Karena tidak pernah terdapat probabilitas tak hingga untuk menemukan

partikel pada titik manapun. Maka harus mengesampingkan suatu

pemecahaan dengan mengembalikan faktor pengalinya sama dengan nol.

Sebagai contoh, jika pemecahan matematika bagi persamaan differensial

mmenghasilkan ψ(x) = Aekx + Be-kx bagi seluruh daerah x > 0, maka

syaratnya A = 0 agar pemecahannya mempunyai makna fisika. Jika tidak

|ψ(x)) | akan menjadi tak hingga untuk x menuju tak hhingga (Tetapi jika

11

pemecahannya dibatasi dalam selang 0 < x < L, maka A tidak boleh sama

dengan nol). Tetapi jika pemecahannya berlaku pada seluruh daerah

negatif sumbu x < 0, maka B = 0.

Kedudukan suatu partikel tidak dapat dipastikan, dalam hal ini

tidak dapat menjamin kepastian hasil suatu kali pengukuran suatu besaran

fisika yang bergantung pada kedudukannya. Namun jika menghitung

probabilitas yang berkaitan dengan setiap koordinat, maka ditemukan hasil

yang mungkin dari pengukuran satu kali atau rata-rata hasil dari sejumlah

besar pengukuran berkali-kali.

D. Beberapa Penerapan

Persamaan Schrodinger dapat diterapkan dalam berbagai persoalan

fisika. Dimana pemecahan persamaan Schrodinger yang disebut fungsi

gelombang, memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari

partikel.

1. Pada Partikel Bebas

Yang dimaksud dengan “partikel bebas” adalah sebuah partikel

yang bergerak tanpa dipengaruhi gaya apapun dalam suatu bagian

ruang, yaitu, F = −dV (x )dx

=0 sehingga menempuh lintasan lurus

dengan kelajuan konstan. Sehingga energy potensialnya nol.

Partikel bebas dalam mekanika klasik bergerak dengan momentum

konstan p, yang mengakibatkan energy totalnya jadi konstan. Tetapi

partikel bebas dalam mekanika kuantum dapat dipecahkan dengan

persamaan Schrodinger tidak bergantung waktu. Persamaan

Schrodinger pada partikel bebas dapat diperoleh dari persamaan (5.8)

berikut:

(5.7)

Untuk partikel bebas V = 0, maka persamaanya menjadi

−ħ ²2m

∂ ² Ψ (x)∂ x ²

= EΨ(x) (5.8)

12

atau

∂ ² Ψ (x)∂ x ²

= 2mħ ² EΨ(x) (5.9)

atau

∂ ² Ψ (x)∂ x ²

+ 2mEħ ² Ψ(x) = 0 (5.10)

karena :

k ²=¿+ 2mE

ħ ²atau E=ħ² k ²

2 m (5.11)

Dengan demikian diperoleh :

∂ ² Ψ (x)∂ x ²

=−k ² Ψ (x) (5.12)

∂ ² Ψ (x)∂x ²

+k2 Ψ ( x )=0 (5.13)

Persamaan (5.14) adalah bentuk umumdari persamaan differensial

biasa berorde dua, dengan k² adalah positif, dimana Ψ(x) merupakan

kuantitas kompleks yang memiliki bagian real (nyata) dan bagian

imajiner, maka :

∂ ² Ψ (x)∂x ²

+k2 Ψ ( x )=0 (5.14)

Maka didapatkan

Ψ(x) = A sinkx + B cos kx (5.15)

Pemecahan ini tidak memberikan batasan pada k, maka partikel

yang diperkenankan memiliki semua nilai (dalam istilah kuantum,

bahwa energinya tidak terkuantitas). Sedangkan penentuan nilai A dan

B mengalami beberapa kesulitan, karena integral normalisasi tidak

dapat dihitung dari -∞ hingga +∞, bagi fungsi gelombang itu.

2. Partikel dalam Sumur Potensial

Sumur potensial adalah yang tidak mendapat pengaruh potensial.

Hal ini berarti bahwa partikel selama berada dalam sumur potensial,

merupakan electron bebas. Kita katakana bahwa electron terjebak di

13

sumur potensial, dan kita anggap bahwa dinding potensial sangat

tinggi menuju ∞, atau kita katakana sumur potensial sangat dalam.

Dalam gambar (5.1) berikut kita akan menggambarkan sumur

potensial. Daerah I dan daerah II adalah daerah-daerah dengan V = ∞,

sedangkan di daerah II, yaitu antara 0 dan L, V =. Kita katakana bahwa

lebar sumur potensial ini adalah L.

V(x) = 0, 0≤ x≤ L

V(x) = ∞ x¿0 , x> L,

Gambar 5.1 partikel dalam sumur potensial daerah II

Pada sumur potensial yang dalam, daerah I dan III adalah daerah

dimana kemungkinan berada electron bisa dianggap nol, Ψ1(x) = 0 dan

Ψ2(x) = 0. Sedangkan pada daerah dua Kita dapat member spesifikasi

pada gerak partikel = 0 dan x = L disebabkan oleh dinding keras tak

berhingga. Sebuah partikel tidak akan kehilangan Energinya jika

bertumbukan dengan dinding, energy totalnya tetap konstan.

Dari pernyataan tersebut maka enrgi potensial V dari partikel itu

menjadi tak hingga di kedua sisi sumur, sedangkan V konstan di dalam

sumur, dapat dikatakan V memiliki Energi tak hingga, maka partikel

tidak mungkin ditemukan di luar sumur, sehingga fungsi gelombang Ψ

= 0 untuk 0≤ x≤ L. Maka yang perlu dicari adalah nilai Ψ di dalam

sumur, yaitu antara x = 0 dan x = L. persamaan Schrodinger bebas

waktu adalah :

−h ²2m

d ²dx ²

φn = Enφn (5.16)

Dengan

14

d ² φdx ²

=−k ² φ (5.17)

Dimana

k = √2 mEnh

(5.18)

sesuai dengan persamaan gelombang maka :

Ψ(x) = A sin kx + B cos kx (5.19)

Pemecahan ini belum lengkap, karena belum ditentukan nila A

dan B, juga belum menghitung nilai energy E yang diperkenankan.

Untuk menghitungnya, akan diterapkan persyaratan bahwa Ψ(x) harus

kontinu pada setiap batas dua bagian ruang. Dalam hal ini akan dibuat

syarat bahwa pemecahan untuk x ¿0 dan x>0 bernilai sama di x = 0.

Begitu pula pemecahan untuk x ¿ L danx<L haruslah bernilai sama di

x = L. jika x =0, untuk x ¿0 jadi harus mengambil Ψ(x) = 0 pada x = 0.

Ψ(0) = A sin 0 + B cos 0

Ψ(0) = 0 + B.1 = 0 (5.20)

Jadi, didapat B = 0. Karena Ψ = 0 untuk x ¿ L , maka haruslah berlaku

Ψ(L) = 0,

Ψ(L) = A sin kL + B cos kL = 0 (5.21)

Karena telah didapatkan bahwa B = 0, maka haruslah berlaku:

A sin kL = 0 (5.22)

Disini ada dua pemecahan yaitu A = 0, yang memberikan Ψ(x) =

0 dan Ψ²(x) = 0, yang berarti bahwa dalam sumur tidak terdapat

partikel (Pemecahan tidak masuk akal) atau sin kL = 0, maka yang

benar jika:

15

kL = π ,2 π .3 π , ….n=1,2,3 …. (5.23)

dengan :

k = √2 mEnh

=nπL

(5.24)

dari persamaan (5.23) dan persamaan (5.24) diperoleh bahwa energy

partikel mempunyai harga tertentu yaitu harga eigen. Harga eigen ini

membentuk tingkat energisitas yaitu:

En = n ² π ² ħ ²2mL ² (5.25)

Dimana enrgi yang kita tinjau disini berbeda dengan energy Born

dimana pada energy Born menyatakan enrgi tingkat atomic sedangkan

tingkat energy pada persamaan Schrodinger menyatakan tingkat

energy untuk electron.

Fungsi gelombang sebuah partikel di dalam sumur yang berenrgi En

ialah:

Ψn = A sin √2mEnħ

x (5.26)

Untuk memudahkan E1 = ħ²π ²/2 mL ², yang mana tampak bahwa

unit energy ini ditentukan oleh massa partikel dan lebar sumur. Maka

E = n²E1 dan seterusnya. Karena dalam kasus ini energy yang

diperoleh hanya laju tertentu yang diperkenenkan dimiliki partikel. Ini

sangat berbeda dengan kaasus klasik, misalnya manic-manik (yang

meluncur tanpa gesekan sepanjang kawat dan menumbuk kedua

dinding secara elastic) dapat diberi sembarang kecepatan awal dan

akan bergerak selamanya, bolak-balik, dengan laju tersebut.

Dalam kasus kuantum, hal ini tidaklah mungkin, karena hanya

laju awal tertentu yang dapat memberikan keadaan gerak tetap,

16

keadaan gerak khusus ini disebut keadaan stasioner (disebut keadaan

“stasioner” karena ketergantungan pada waktu yang dilibatkan untuk

membuat Ψ(x,t), |Ψ ( x , t)|² tidak bergantung waktu). Hasil pengukuran

energy sebuah partikel dalam sebuah sumur potensial harus berada

pada salah satu keadaan stasioner, hasil yang lain tidaklah mungkin.

Pemecahan bagi Ψ(x) belum lengkap, karena belum ditentukan tetapan

A. untuk menentukannya, ditinjau kembali persyaratan normalisasi,

yaitu ∫−∞

+∞

|Ψ (x)|² dx=1. karena Ψ(x) = 0

Kecuali untuk 0≤ x≤ L sehinggaberlaku :

∫0

L

|A2|si n2 (kL ) dx=1 (5.26)

Maka diperoleh A = √2/ L . dengan demikian, pemecahan lengkap bagi

fungsi gelombang untuk 0≤ x≤ Ladalah :

Ψn = √ 2L

sin nπx

L n = 1,2,3… (5.27)

Dalam gambar 5.2 dan 5.3 akan dilukiskan berbagai tingkat

energy, fungsi gelombang dan rapat probalitas |Ψ|² yang mungkin

untuk beberapa keadaan terendah. Keadaan energy terendah, yaitu

pada n=1, dikenal sebagai keadaan dasar dan keadaan dengan energy

yang lebih tinggi (n¿1¿ dikenal sebagai keadaan aksitasi.

17

Gambar 5.2 tingkat energy dalam sumur secara konstan

Gambar 5.3 probalitas keberadaan electron dalam sumur potensial

Kita lihat disini bahwa energy electron mempunyai nilai-nilai

tertentu yang diskrit, yang ditentukan oleh bilangan bulat n, Nilai

diskrit ini terjadi karena pembatasan yang harus dialami oleh Ψ2 yaitu

bahwa ia harus berada dalam sumur potensial. Ia harus bernilai nol di

batas-batas dinding potensial dan hal itu akan terjadi bila lebar sumur

potensial L sama dengan bilangan bulat kali setengah panjang

gelombang. Jika tingkat energy untuk n = 1 kita sebut tingkat energy

yang pertama, maka tingkat energy yang kedua pada n=2, tingkat

energy yang ketiga pada n=3 dan sterusnya. Jika kita kaitkan dengan

bentuk gelombangnya, dapat kita katakana bahwa tingkat-tingkat

energy tersebut sesuai dengan jumlah titik simpul gelombang. Dengan

demikian maka diskritasi energy electron terjadi secara wajar melalui

pemecahan persamaan Schrodinger.

Persamaan (5.25) memperlihatkan bahwa selisih energy antara

satu tingkat dengan tingkat berikutnya, misalnya antara n=1 dan n=2,

berbanding terbalik dengan kuadrat lebar sumur potensial. Makin lebar

sumur ini, makin kecil selisih energy tersebut, artinya tingkat-tingkat

energy semakin rapat. Untuk L sama dengan satu satuan misalnya,

18

selisih energy untuk n=2 dan n=1 adalah E2 – E1 = 3ħ²/8m dan jika L

10 kali lebih lebar maka selisih ini menjadi E2-E1= 0,03ħ²/8m.

Gambar 5.4 Pengaruh lebar sumur terhadap energy

Jadi makin besar L maka perbedaan nilai tingkat-tingkat energy akan

semakin kecil dan untuk L semakin lebar maka tingkat-tingkat energy

tersebut akan semakin rapat sehingga kontinyu.

E. Osilator Harmonik Sederhana

Persoalan ideal lain yang dapat ditangani secara mudah dengan

menggunakan persamaan schrodinger adalah osilator harmonic sederhana

satu dimensi. Osilator seperti ini dapat dianalisis dengan menggunakan

hukum Newton yang mengungkapkan frekuensi ω0=√k /m dan periode

T=2π √m /k. Osilator harmonic ini memiliki energy kinetic maksimum di

x=0; energy kinetiknya nol pada titik balik x=± A0, dimana A0 amplitudo

geraknya. Pada titik balik, isolator berhenti sejenak kemudian berbalik

arah geraknya. Tentu saja gerakannya terbatasi pada daerah −A0 ≤ x≤+ A0.

Meskipun dalam alam nyata kita tidak pernah menjumpai contoh

isolator kuantum satu dimensi, terdapat sebuah sistem yang berprilaku

menghampiri system ini, misalnya vibrasi sebuah molekul diatomic.

Ternyata, hingga orde hampir terendah setiap system pada daerah

minimum sebuah potensial berprilaku seperti sebuah osilator harmonik

sederhana.

19

Sebuah gaya F=−kx memiliki potensial V=12

k x2, jika kita

memperoleh persamaan schrodinger:

−ℏ2

2md2ψd x2 +1

2k x2 ψ=Eψ(5.28)

Persamaan diferensial ini sulit sekali dipecahkan secara langsung,

karena itu kita akan menebak saja pemecahannya. Semua pemecahan

persamaan (2.2.1) harus menuju nol bila x→ ± ∞, dan untuk limit x→ ± ∞.

Prilakunya haruslah seperti ekponensial −x2. Oleh karena itu kita

mencoba dengan ψ ( x )=A e−ax2

, dimana A dan a adalah dua tetapan yang

ditentukan dengan mengevaluasikan persamaan (5.28)bagi pilihan ψ ( x )

ini. Kita mulai dengan mengevaluasi d2 ψ /d x2.

dψdx

=−2 ax ( A e−ax2 )

d2ψd x2 =−2 a ( A e−a x2 )−2 ax (−2ax ) A e−a x2

Dan kemudian menyisipkan ψ ( x ) dan d2 ψ /d x2 kedalam (5.28)

untuk melihat apakah piliahan ini memberikan suatu pemecahan.

−ℏ2

2m(−2aA e−a x2

+4 a2 x2 A e−ax2 )+ 12

k x2 ( A e−ax2 )=EA e−ax2

(5.29)

Pembagian dengan factor sekutu A e−a x2

memberikan

ℏ2

m−2 a2ℏ2

mx2+1

2k x2=E (5.30)

Persamaan (5.30) bukanlah pesamaan yang harus dipecahkan bagi

x, karena kita sedang mencari pemecahan yang berlaku bagi semuax,

bukan hanya bagi nilai x tertentu. Agar hal ini berlaku bagi sembarang x,

maka semua koefisien dari x2 haruslah saling menghapuskan dan semua

20

tetapan yang sisa haruslah sama(missal, tinjau persamaan ax+b=0.

Persamaan ini tentu berlaku bagi x=−b /a, tetapi bila kita mengiginkan

persamaan ini berlaku bagi sembarang dan semua x, maka persyaratannya

a=0 dan b=0. Jadi:

−2a2ℏ2

m+ 1

2k=0 (5.31)

Dan

−ℏ2 am

=E (5.32)

Yang menghasilkan

a=√km2ℏ (5.33)

Dan

E=12ℏ√ k

m (5.34)

Pernyataan energy ini dapat pula kita nyatakan dalam frekuensi

klasikω0=√k /m sebagai:

E=12ℏω0 (5.35)

Salah satu ciri pemecahan ini yang mencolok adalah bahwa

probabilitas untuk menemukan pertikel di luar titik balik x=± A0 adalah

tidak nol. Karena diluar x=± A0 energi potensial lebih besar dari pada

energy total E tetap, maka energi kinetiknya menjadi negative, ini adalah

adalah hal yang tidak mungkin terjadi dalam kerangka fisika klasik, karena

itu partikel klasik tidak memungkinkan ditemukan di |x|> A0. Tetapi

sebaliknya dalah mungkin bagi gelombang kuantum untuk merembes

kedaerah terlarang klasik ini.

21

F. Ketergantungan pada Waktu

Disini kita tidak akan meninjau metode pemecahannya secara terperinci,

tetapi hanya mengutip hasilnya.bila diketahui pemecahan tidak bergantung

waktu ψ ( x ) dari persamaan schrodinger. Untuk energi E maka fungsi

gelombang bergantung waktunya ψ ( x , t )didapati menurut rumus

ψ ( x , t )=ψ (x ) e−iωt (5.36)

Frekuensi ω diberikan oleh hubungan deBroglie

ω= Eℏ (5.37)

Sebagaimana disebutkan dalam pasal 4.1 belum jelas apakah

energi E dalam hubungan deBroglie diatas harus energi total klasik energi

total relativistik karena kita tidak memperoleh petunjuk dari hubungan

E=hν bagi foton. Kita telah menggunakan hubungan klasik E=V+K dan

mengabaikan sumbangan energi diam pada E. Seharusnya menulis

E=V +K+m0 c2 (tetapi karena kita hanya meninjau kasus dimana v<<c,

maka bentuk klasik ½ mv2 bagi K sudah memadai). Penambahan suku

energi diam mengubah persamaan (2.2.9) dengan memperkenalkan faktor

e−i m0 c2 t /ℏ . Tetapi karena sifat-sifat terukur dari ψ ( x , t ) bergantung pada

ψ∗ψ yakni hasil kali ψdengan konyugat kompleksnya (complex

conjugate) yang diperoleh dengan menggantikan i dengan –i, maka faktor

tambahan ini tidak memberi akibat yang teramati, sehingga kita dapat saja

mengabaikannya. Untuk melihat bagaimana perkalian dengan e−iωt

memberikan suatu gelombang, kita tinjau bagaimana fungsi gelombang

partikel bebas. Persamaan ψ ( x )=A sin kx+B cos kx memberikan fungsi

gelombang ψ ( x , t )ini menjadi sederhana jika menuliskan kembali

ψ ( x )=A sin kx+B cos kx dalam bentuk eksponensial kompleks e ikx dan e−ikx

bentuknya adalah

ψ ( x )=A ' eikx+B ' e−ikx (5.38)

22

Tetapan A’ dan B’ dapat dicari dari tetapan A dan B jadi bagi fungsi

gelombang bergantung waktu yang bersangkutan , kita peroleh

ψ ( x , t )=( A' eikx+B' e−ikx) e−iωt

¿ A' ei ( kx−ωt )+B' e− (kx +ωt)

(5.39)

Suku pertama diruas kanan menyatakan suatu fungsi trigonometri

dengan fase (kx−ωt ) adalah sebuah gelombang yang bergerak dalam arah

x positif , suku kedua menyatakan suatu gelombang yang bergerak dalam

arah x negatif. Kuadrat nilai mutlak koefisien-koefisiennya memberikan

intensitas masing-masinggelombang ini, jadi gelombang yang bergerak

dalam arah x positif memiliki intensitas |A '|2 dan yang bergerak dalam

arah x negatif |B '|2

Andaikanlah kita memiliki seberkas partikel berenergi tunggal

yang bergerak dalam arah x positif yang dinyatakan oleh sebuah fungsi

gelombang dalam bentuk suku pertama dari persamaan (2.4). Maka

probabilitas untuk menentukan letak sebuah partikel diberikan oleh |A '|2.

Ini adalah sebuah tetapan, yang tidak bergantung pada kedudukan x

sebuah partikel dapat ditemukan dimana saja pada sumbu x. Jika fungsi

gelombangnya mengandung amplitudo yang sama bagi kedua gelombang

ini (yakni |A '|=|B '| ), maka terdapat beberapa kedudukan dimana rapat

probabilitas ψ∗ψ sama dengan nol. Terdapat sejumlah titik pada mana

probabilitas untuk menemukan partikel adalah nol. Seperti halnya fisika

klasik, apabila kita menjumlahkan dua gelombang dengan ampliudo sama

yang bergerak dalam arah berlawanan, maka kita memperoleh sebuah

gelombang berdiri, yang memiliki beberapa titik tertentu (yang dikenal

sebagai “simpul” ) pada mana amplitudo gelombang resultan adalah nol

untuk setiap saat.

G. Potensial Tangga dan Halang

Dalam jenis persoalan umum berikut, kita akan menganalisis apa

yang terjadi apabila sebuah partikel yang sedang bergerak dalam suatu

daerah berpotensial tetap tiba – tiba bergerak memasuki suatu daerah

23

berpotensial berbeda yang juga tetap nilainya. Kita tidak akan membahas

pemecahan persoalan ini secara terinci, tetapi karena metode

pemecahannya sama, kita dapat menentukan secara garis besar langkah –

langkah yang perlu di ambil untuk mendapatkan pemecahan tersebut.

Dalam bahsan ini kita akan mengambil E sebagai energy total (yang tetap)

dari partikel dan V0 sebagai nilai energy potensial tetapnya.

1. Apabila E lebih besar dari pada V0, maka pemecahan persamaan

Schrodingernya berbentuk

ψ ( x )=A sin kx+B cos kx (5.40)

Dimana

k=√ 2 mħ2 ( E−V 0 ) (5.41)

A dab B adalah dua tetapan yang dapat ditentukan dari syarat

normalisasi dan kekontinuan. Sebagai contoh, tinjau potensial

tangga yang di perlihatkan pada Gambar 5.5

V0

X=0

Gambar 5.5 Potensial tangga dengan tinggi v0

V ( x )=0 x<0

¿V 0 x ≥ 0

24

Jika E adalah energy total dan lebih besar dari pada V0,

maka kita dengan mudah dapat menuliskan pemecahan persamaan

Schrodinger dalam kedua daerah ini sebagai berikut :

ψ0 ( x )=A sin k0 x+B cosk 0 x k 0=√ 2mħ2 x<0(5.42a)

ψ1 ( x )=A sin k1 x+B cosk1 x k1=√ 2mħ2 ( E−V 0 ) x>0

(5.42b)

Hubungan antara keempat tetapan A,B,C,dan D dapat dicari

dengan menerapkan persyaratan bawa ψ (x ) dan ψ ' ( x )=dψ /dx

haruslah kontinu pada batas kedua daerah, jadi

ψ0(0)=ψ1(0) , ψ '0(0)=ψ1

' (0). Pemecahan hanya disketsakan pada

gambar 5.12. Perhatikan bahwa penerapan syarat kekontinuan

menjamin peralihan mulus dari Gelombang yang satu ke yang lain

pada titik batas.

Sekali lagi, kita dapat menggunakan persamaan

e iθ=cosθ+i sin θ untuk mentransformasikan kedua pemecahan ini

dari bentuk sinus dan kosinus ke dalam bentuk kompleks, yakni :

ψ0 ( x )=A ' ei k0 x+B ' e−i k0 x x<0 (5.43a)

ψ1 ( x )=C' ei k1 x+D ' e−i k1 x x>0 (5.43b)

Apabilla ketergantungan pada waktu dimaksukkan dengan

mengalikan masing – masing suku dengan e−iωt, maka kita dapat

menafsirkan masing – masing gelombang ini. Ingatlah bahwa

(kx−ωt) adalah fase Gelombang yang bergerak dalam arah x

positif, sedangkan (kx+ωt) adalah fase Gelombang yang bergerak

dalam arah x negative, dan bahwa kuadrat nilai mutlak dari tiap –

tiap koefisien memberikan intensitas dari komponen Gelombang

yang bersangkutan. Pada daerah x<0, persamaan menyatakan

25

superposisi antara sebuah Gelombang berintensitas |A '|2 yang

bergerak dalam arah x positif (dari -∞ menuju 0) dengan sebuah

Gelombang berintensitas |B '|2 yang bergerak dalam arah x

negative. Andaikanlah kita maksudkan pemecahan ini menyatakan

partikel – partikel yang mulanya datang dari bagian sebelah kiri

potensial. Maka |A '|2 memberikan intensitas Gelombang datang

(atau lebih tepat lagi, gelomabng deBroglie yang menytakan berkas

partikel datang yang menyatakan berkas partikel datang ) dan |B '|2

memberikan intensitas Gelombang pantul. Nisbah |B '|2/|A '|2

memberikan fraksi intensitas Gelombang datang. Dalam daerah

x>0, Gelombang dengan intensitas |D '|2 yang bergerak dalam arah

negative x tidak dapat hadir jika partikel – partikelnya kita

tembakan dari sebelah kiri, jadi untuk situasi percobaan istimewa

ini, kita dapat mengambil D’ sama dengan nol. Dengan demikian

intensitas Gelombang transmisi ini adalah |C '|2.

Kita dapat menganalisis semua pemecahan di atas dari

sudut pandang energy kinetic. Pada daerah dimana energy kinetic

partikel adalah terbesar, momentum linear p=√2mK atau pula

menjadi yang terbesar, dan panjang Gelombang deBroglie λ=h/ p

akan menjadi yang terkecil. Jadi, panjang Gelombang deBroglie

dalam daerah x>0 lebih kecil dari pada yang di dalam daerah x<0.

2. Apabila E lebih kecil dari pada V0, maka kita peroleh pemecahn

berbeda :

ψ ( x )=A ekx+B e−kx (5.44)

Dimana

k=√ 2 mħ2 (V 0−E ) (5.45)

26

Jika daerah pemecaan ini meliputi dari +∞ atau -∞, kita

harus menjaga agar ψ tidak menjadi takhingga dengan menggambil

A atau B sama dengan nol, jika daerahnya hanya mencakup

koordinat x yang berhingga, hal ini tidak perlu dilakukan.

Sebagai salah satu contohnya, jika dalam soal sebelumnya,

E lebih kecil dari pada V0, maka pemecahan bagi ψ0 akan tetap

diberikan oleh persamaan 5.42 atau 5.43, tetapi pemecahan ψ1

menjadi

ψ1 ( x )=C ek1 x+ D e−k1 x k1=√ 2mħ2 (V 0−E ) (5.46)

Sekali lagi, kita harus memastikan bahwa semua

pemecahan ini bersambung mulus pada batas – batas daerah

berlaku masing – masingnya, penerapan syaratbatas ini dilakukan

seperti pada kasus sebelumnya. (Kita mengambil C=0 agar

menghindari ψ1 ( x )menjadi takhingga bila x→+∞).

Pemecahan ini mengilustrikan suatu perbedaan penting

antara mekanika klasik dan kuantum. Secara klasik, partikelnya

tidak pernah dapat ditemukan pada daerah x>0, karena energy

totalnya tidak cukup untuk melampaui potensial tangga. Tetapi,

mekanika kuantum memperkenankan fungsi Gelombang, dank

arena itu partikel, untuk menerobos masuk ke dalam daerah

terlarang klasik.

Rapat probabilitas dalam daerah x>0 adalah |ψ1|², yang

menurut persamaan 5.56 adalah sebanding dengan e−2 k1 x. Jika kita

definisikan jarak terobosan Δ x sebagai jarak dari x=0 hingga ke

titik dimana probabilitasnya menurun menjadi 1/e, maka

e−2 k1 x=e−1

Δ x= 12 k1

=12

ħ√2m(v0−E) ( 5.47)

27

Agar partikel dapat memasuki daerah x>0, ia harus

sekurang – kurangnya mendapat tambahan energy sebesar V0 – E

agar dapat melampaui tangga potensial, jadi ia harus memperoleh

tambahan energy kinetic jika ia memasuki daerah x>0. Tentu saja,

ini melanggar kekekalan energy bila partikel memperoleh sebarang

tambahan energy secara tiba – tiba, tetapi menurut hubungan

ketidakpastian ΔΕ ∆ t ħ, kekekalan energy tidak berlaku pada

selang waktu yang lebih kecil dari pada ∆ t kecuai hingga suatu

jumlah energy sebesar ΔΕ ħ/∆ t . Artinya, jika partikel

“meminjam” sejumlah energy ∆ E dan “mengembalikan” dalam

selang waktu Δt ħ/∆ E , maka kita sebagai pengamat tetap

percaya bahwa energy adalah kekal. Andaikanlah kita meminjam

sejumlah energy tertentu yang cukup untuk menyebabkan partikel

memiliki suatu energy kinetic K dalam daerah terlarang. Dengan

energy tersebut, berapa jauhkah partikel menembus daerah

terlarang ini?

Energy “pinjaman” adalah (V0 - E) + K, suku (V0 – E)

mengangkat partikel ke puncak tangga dan suku sisa K

memberikan geraknya. Energy harus kita kembaikan dalam selang

waktu

∆ t= ħV 0−E+K (5.48)

Karena partikel bergeraak dengan laju v = √2K /m, maka

jarak yang dapat ditempuhnya adalah

∆ x=12 √ 2 K

mħ

V 0−E+K (5.49)

Dalam limit K→0, maka menurut persamaan 5.49 jarak

terobos ∆ x menuju nol, karena partikel memiliki kecepatan nol

begitu pula ∆ x→0 dalam limit K →∞, karena selang waktu

28

tempuhnya ∆ t dapat dikatakan nol. Diantara kedua limit ini, harus

terdapat suatu nilai maksimum dari ∆ x untuk suatu nilai K

tertentu. Dengan mendiferensiasikan persamaan 5.49, maka nilai

maksimum ini dapat kita cari yaitu

∆ xmaks=12 √ ħ

2m(V ¿¿0−E)¿ (5.50)

Nilai ∆ x ini identik dengan persamaan 5.47! Hasil ini

memperlihatkan bahwa penerobosan ke dalam daerah terlarang

yang dibeikan oleh persamaan Schrodnger sesuai dengan

hubungan ketidakpastian. Apa yang sebenarnya kita perlihatkan

adalah bahwa persamaan Schrodnger memberikan taksiran yang

sama seperti yang diberikan oleh hubungan ketidakpastian

Heisenberg.

Sekarang marilah kia tinjau potensial haling seperti yang

diprrlihatkan pada gambar 5.14.

V ( x )=0 x<0

¿V 0 0 ≤ x≤ a

¿0 x>a

Partikel dengan energy E yang lebih kecil dari pada V0

datang dari sebelah kiri. Dari penaaman kita di depan, kita

terdorong untuk memperkirakan bahwa pemecahannya berbentuk

seperti yang diperlihatkan pada gambar 5.6 berbentuk sinus dalam

daerah x<0, eksponensial dalam daerah 0 ≤ x≤ a, dan sinus kembali

ke dalam daerah x>a. Intensitas Gelombang transmisi dapat dicari

dengan menerapkan secara tepat syarat – syarat kontinu, yang tidak

akan kita bahas disini, yang mana didapati bergantung pada energy

partikel dan tinggi serta lebar potensial haling. Secara klasik,

partikel tidak pernah muncul di x>a, karena tidak memiliki energy

29

yang cukup untuk melewati halangan potensial, situasi ini adalah

contoh dari efek terobos haling (barrier penetration), yang dalam

mekanika kuantum seringkali disebut dengan nama efek

terowongan (tunneling). Partikel memang tidak pernah dapat

diamati berada dalam daerah terlarang klasik 0≤ x≤ a, tetapi ia

dapat “menerowong” melalui daerah tersebut sehingga teramati

pada daerah x>a.

Gambar 5.6 sebuah potensial haling dengan tinggi Vo dan

lebar a.

Gambar 5.7

Meskipun potensial pada gambar 5.6 adalah semata – mata

skematis dan hipotetis, terdapat banyak contoh di alam yang

memperlihatkan efek terowongan ini. Berikut kita tinjau tiga

contoh nyata efek terowongan ini.

30

a. Peluruhan alfa sebuah inti atom (nucleus) terdiri atas sejumlah

proton dan newton yang berada dalam suatu keadaan gerak

tertentu, kedua jenis partikel ini kadang – kadang dapat

bergabung membentuk suatu ikatan baru yang terdiri atas dua

proton dan neutron, yang disebut partikel alfa. Dalam salah

satu bentuk peluruhan radioaktif, inti atom dapat memancarkan

suatu partikel alfa, yang dapat diamati dalam laboratorium.

Tetapi, untuk dapat keluar dari inti atom, partikel yang tampak

pada gambar 5.8. Probabilitas bagi sebuah partikel alfa untuk

menembusi potensial haling ini, sehingga teramati dalam

laboratorium, bergantung pada tinggi dan tebal potensial

halang. Probabilitas peluruhan ini dapat diukur dalam

laboratorium dan ternyata didapati sangat sesuai dengan yang

diramalkan berdasarkan perhitungan mekanika kuantum

terhadap efek penerobosan penghalang.

Gambar 5.8

b. invers amoniak Gambar 5.9 adalah gambar bangun molekul

amoniak NH3. Jika kita mencoba menggerakkan atom nitrogen

sepanjang sumbu molekul, menuju bidang yang memuat atom

– atom nitrogen, akan kita rasakan adanya tolakan oleh ketiga

atom hydrogen, yang menghasilkan suatu potensial seperti

31

yang diperlihatkan pada gambar. Menurut mekanika klasik,

atom nitrogen tidak akan pernah mampu melewati potensial

halang dan muncul pada bagian molekul di balik bidang

nitrogen, kecuali bila kita memasok energy yang mendekati

baginya. Namun, menurut mekanika kuantum, nitrogen dapat

menerobosi potensial halang tersebut dan muncul pada bagian

molekul yang berlawanan.

Gambar 5.9

c. Dioda terowong piranti elektronik yang menggunakan gejala

penerowongan ini adalah diode terowong (tunnel dioda).

Bahasan secara terinci dari sifat piranti semikonduktor ini akan

disajikan dalam Bab 14. Potensial yang “dilihat” oleh sebuah

electron dalam diode terowong. Arus yang mengalir melallui

piranti seperti ini dihasilkan oleh electron – electron yang

menerowong ini, dengan demikian arus yang dihasilkannya

dapat diatur dengan hanya mengubah tinggi potensial

halang,yang dapat dilakukan dengan menggunakan suatu

tegangan elektrik. Hal ini dapat dilakukan dengan sangat cepat,

sehingga dapat dicapai frekuensi switching sekitar 10Hz. Arus

pada diode semikonduktor yang lazim dikenal, bergantung

pada difusi electron melalui suatu junction, karena itu, mereka

32

beroperasi pada skala waktu yang lebih lama (frekuensi yang

lebih rendah).

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Pernyatan setara bagi mekanika kuantum adalah yang di dalam

kurung kurawal. Apabila sebuah benda bergerak melewati perbatasan dua

daerah dimana berkerja {gaya potensial}, maka perilaku gerak dasar dari

benda dapat dicari dengan memecahkan { hukum kedua Newton,

persamaan Schodinger} { Kedudukan fungsi gelombang} selalu kontinu

pada daerah perbatasan, dan bahwa { kecepatan turunan dψ/dx} juga

kontinu apabila perubahan {gaya perubahan potensial} tetap berhingga.

Dalam kasus mekanika klasik, persoalan yang kita hadapi dicirikan

oleh hadirnyagaya tertentu F. dengan menuliskan hukum kedua newton

bagi gaya tersebut, kita pecahkan permasalahan matematikanya untuk

memperoleh kedudukan dan kecepatan partikelnya. Dalam kasus

elektromagnetik, kita berhadapan dengan persoalan yang dicirikan oleh

sekumpulan muatan dan arus.

Seperti halnya dalam fisika klasik, setiap personal menghendaki

teknik pemecahan yang agak berbeda , sehingga sulit untuk merumuskan

prosedur umum . Langkah-langkah pemecahaan yang diutarakan dalam

pasal ini, kiranya dapat member gambaran kepada anda mengenai arah

umum yang perlu diambil untuk mencari pemecahannya. Cara terbaik

untuk mempelajari teknik-tekni ini adalah dengan mempelajari semua

33

contoh soal yang disajikan dalam bab ini. Pada tahap ini resepnya tidak

lengkap, karena akita hanya membahas teknik matematika untuk

mendapatkan pemecahan ψ(x) ; tetapi kita tidak membahas tafsiran

pemecahan tersebut atau penerapannya pada berbagai situasi fisis. Semua

ini akan kita bahas dalam beberapa pasal berikut.

DAFTAR PUSTAKA

Khusnul.“PersamaanSchrodinger.”

khusnull.weebly.com/uploads/1/1/4/4/11448634/cd_fismod_jadi.docx.

(diakses tanggal 5 mei 2013)

Krane, Kenneth.2011. Fisika Modern.Jakarta: UI-Press

Paradoks.Persamaan Schrodinger.

http://paradoks77.blogspot.com/2011/06/persamaan-schrodinger.html

(diakses tanggal 4 Mei 2013)

34