Makalah Fisika Kuantum

Persamaan Schrödinger

AGUSUTRISNO (

DEDDY HARYANTO (3225071887)

EKO WIDODO(3225071869)

M. WAHYUDIN (3225055003)

SUPRIYADI(3225071899)

WAHYU ANGGARA(3225071878)

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA

2009

KATA PENGANTAR

Puji syukur kita panjatkan kehadirat ALLAH SWT, berkat rahmat dan hidayah-Nya sehingga kami diberikan kesehatan dan ilmu untuk menyelesaikan makalah ini. Sebelumnya kami mengucapkan rasa terima kasih kepada dosen pengajar mata kuliah Fisika Kuantum, Bapak Iwan Sugihartono,Msi.

Tujuan kami membuat makalah ini adalah untuk melengkapi tugas mata kuliah Fisika Kuantum. Dan tema yang kami angkat adalah Persamaan Schrodinger. Sebagai penunjang inti makalah, kami memperoleh referensi melalui buku dan media pembelajaran lainnya.

Kami mengharapkan, makalah ini dapat menjadi media bagi pembaca untuk memperdalam kajian tentang Persamaan Schrodinger. Dan kami menyadari bahwa sebagai manusia yang memiliki keterbatasan , tentu hasil karya penulis ini tidak mungkin luput dari kekurangan. Penulis senantiasa mengharapkan kontribusi pemikiran pembaca, sehingga makalah ini dapat bermanfaat untuk kita semua. Semoga ALLAH SWT meridhai hasil karya ini, Amin Ya Rabbal’alamin.

Jakarta, 12 Desember2009

ttd

Tim Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ………………………………………………………………. i

DAFTAR ISI ……………………………………………………………………….. ii

BAB I: PENDAHULUAN ……………………………………….………………… 1

a. Latar Belakang ………………………………………………………………... 1

BAB II: ISI ……………………………………..………………………………….. 4

a. Persamaan Schrodinger …………………………………………………….. 4b. Persamaan Gelombang Schrodinger Untuk Atom Hidrogen ……..… 6

BAB III: PENUTUP ………………………………………………………………... 8

a. Kesimpulan ………………………………...……………………………………………….….. 8

DAFTAR PUSTAKA …………………………………….………………………... 9

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pada awalnya orang menganggap materi (zat) bersifat kontinu. Tetapi hasil penemuan berikutnya seperti penemuan muatan elementer melalui percobaan simpangan sinar katoda membuat para ilmuan mulai memikirkan bahwa materi bersifat diskrit. Lalu konsep atom muncul karena rasa ingin tahu terhadap struktur zat. Struktur zat berarti komponen-komponen dan hubungan antar komponen yang membentuk zat tersebut.

Penjelasan Rutherford tentang penerapan mekanika Newton pada model atom, dimana elektron diandaikan melakukan gerak mengelilingi atom, seperti planet mengelilingi matahari. Dalam gerak itu elektron mengalami percepatan sentrifugal. Gambaran ini dapat disimpulkan bahwa elektron pada atom tidak stabil. Karena mengalami percepatan maka elektron akan memancarkan gelombang elektromagnetik. Energi pancaran ini akan mengurangi energi total elektron sehingga jari-jari elektron akan mengecil. Karena adanya pancaran gelombang elektromagnetik maka spektrum panjang gelombang yang dipancarkan adalah spektrum yang kontinu.

Namun dalam konsep mekanika modern menganggap bahwa di dalam atom terdapat kestabilan. Hal ini didukung oleh percobaan yang dilakukan oleh J.J. Balmer pada tahun 1855 yang bereksperimen tentang pemanasan gas hidrogen pada beda potensial tinggi yang menghasilkan spektrum emisi diskrit, dan juga ditambahkan dengan teori atom Bohr yang menyatakan bahwa elektron memiliki kestabilan.

Penjelasan mengenai struktur atom yang lebih lengkap diperlukan untuk mengetahui struktur yang lebih detail tentang elektron di dalam atom. Model atom yang lebih lengkap harus dapat menerangkan efek Zeeman dan sesuai untuk atom berelektron banyak. Efek Zeeman merupakan terpecahnya satu garis spektrum atomik yang dialiri arus listrik melalui gas dalam sebuah tabung menjadi beberapa garis di dalam medan magnet. Berikut adalah gambar pemisahan garis spektrum atomik di dalam medan magnet.

Erwin Schrodinger (1887-1961), merumuskan teori mekanika gelombang, yang menggambarkan perilaku partikel kecil yang membentuk segi materi gelombang. Pembuktian mekanika gelombang, schrodinger meneruskan penemuan Louis de Broglie yaitu elektron atau partikel memiliki sifat gelombang yang tidak

memiliki posisi tertentu di dalam ruang. Persamaan dinamika Newton yang sedianya untuk menjelaskan gerak elektron digantikan oleh persamaan schrodinger yang menyatakan fungsi gelombang untuk elektron. Untuk model atom pada prinsip ini disebut model atom mekanika kuantum.

Posisi dan keberadaan elektron di dalam atom dinyatakan sebagai peluang terbesar elektron di dalam atom

Pada gambar atom diatas, y elektron mengandung tiga bilangan kuantum yang jika ditentukan akan diperoleh hasil berupa orbital. Ketiga bilangan kuantum ini

adalah bilangan kuantum utama, orbital, dan magnetik. y2 menggambarkan rapatan muatan elektron atau peluang menemukan elektron pada suatu titik dalam atom. Pada makalah ini, kami hanya membahas tentang persamaan Schrodinger berserta tinjauan dalam atom hidrogen yang menjadikan landasan pengembangan fisika kuantum serta penerapan fisika kuantum.

BAB II

ISI

A. Persamaan Schrodinger

Perbedaan pokok antara mekanika klasik dengan mekanika kuantum terletak pada cara penggambarannya. Dalam mekanika klasik, masa depan partikel dapat ditentukan berdasarkan keadaan awal (kedudukan awal, momentum awal) serta gaya-gaya yang bekerja padanya melalui hukum kedua Newton. Artinya dengan menyelesaikan secara matematis dari hukum kedua Newton, maka bisa diketahui dengan pasti kedudukan dan momentum partikel untuk setiap saat.

Dalam mekanika kuantum ketentuan tentang keadaan masa depan partikel seperti pada mekanika klasik tidak mungkin diperoleh, karena kedudukan dan momentum awal tidak dapat diperoleh dengan ketelitian yang cukup.

Penggambaran besar energi perilaku partikel pada mekanika klasik yaitu penjumlahan energi kinetik (Ek) dan energi potensial (Ep) kecil, yaitu:

, dimana: ,

Dalam mekanika kuantum fungsi gelombang Ψ bersesuaian dengan variabel gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Untuk Ψ merupakan menyatakan matematis gelombang yang ekuivalen dari partikel bebas yang berenergi total E dan

bermomentum p yang bergerak kearah +x , yaitu Ψ .

Apabila kedua suku pada persamaan energi dikalikan dengan fungsi gelombang Ψ menghasilkan persamaan,

, dimana;

Sehingga persamaan menjadi,

,

Persamaan diatas adalah persamaan Schrodinger yang bergantung pada waktu dalam tiga dimensi.

Dalam banyak situasi energi potensial sebuah partikel V tidak bergantung dari waktu, sehingga hanya berubah terhadap kedudukan partikel (x,y,z). untuk itu kita dapat menyederhanakan persamaan Schrodinger dengan meniadakan kebergantungan terhadap waktu t. fungsi gelombang bebas dapat dituliskan sebagai,

=

Jadi merupakan perkalian dari fungsi yang bergantung kedudukan dan

fungsi bergantung waktu . pada kenyataannya perubahan terhadap waktu

dari semua fungsi partikel yang mengalami aksi gaya tunak mempunyai bentuk yang sama seperti pada partikel bebas. Selanjutnya, dengan mensubtitusikan persamaan gelombang diatas kedalam persamaan Schrodinger yang bergantung waktu diperoleh,

Selanjutnya dengan membagi kedua suku dengan faktor eksponensial bergantung waktu diperoleh,

, atau (

Maka persamaan Schrodinger dalam keadaan tunak dalam tiga dimensi menjadi,

B. Persamaan Gelombang Schrodinger Untuk Atom Hidrogen

Model atom Bohr telah memberikan gambaran mental yang sangat bermanfaat mengenai struktur sebuah atom. Banyak gambaran tentang atom yang dapat dijelaskan berdasarkan orbit-orbit Bohr. Bahkan model ini sangat mengesankan dengan gagasan baru tentang energi diskret dan keadaan mantap suatu atom.

Meskipun model atom Bohr berhasil menerangkan banyak aspek dari gejala atom, model ini masih mempunyai beberapa kelemahan. Model ini tidak bisa menjelaskan tentang hasil pengamatan bahwa garis spektum ternyata bukan merupakan garis tunggal, melainkan terdiri dari dua atau lebih garis spektrum yang jaraknya sangat berdekatan. Dengan menggunakan model ini kita dapat menghitung energi spektrum dengan teliti, tetapi kita tidak dapat menghitung intensitasnya.

Hasil pengamatan bahwa kebanyakan garis spektrum ternyata bukan merupakan garis tunggal, melainkan terdiri atas dua atau lebih garis spektrum yang jaraknya sangat berdekatan menunjukkan adanya sub-tingkat energi yang sangat berdekatan dalam tingkat-tingkat energi utama. Untuk menjelaskan kenyataan ini, Erwin Schrodinger (1887-1961) mengemukakan suatu pendekatan baru yang dikenal dengan mekanika gelombang. Berbeda dengan Bohr yang melakukan percobaan dengan elektron-elektron partikel, Schrodinger memperlakukan elektron-elektron tersebut sebagai gelombang de Broglie.

Selanjutnya penyelesaian persamaan Schrodinger khusus untuk atom hidrogen yang menampilkan keadaan kuantum, sehingga membantu kita memahami sifat-sifat dasar atom. Atom hidrogen terdiri dari inti bermuatan +e dan sebuah elektron (partikel yang bermuatan –e). Untuk memudahkan, inti atom dianggap diam dan elektron mengelilingi inti karena pengaruh gaya Coulomb dari inti. Persamaan Schrodinger untuk elektron dalam sistem koordinat kartesian tiga dimensi,

( , dengan energi potensial listrik

Karena energi potensial hanya merupakan fungsi dari r, maka persamaan Schrodinger lebih mudah diselesaikan dengan menggunakan sistem koordinat bola. Persamaan Schrodinger dalam sistem koordinat bola berbentuk,

Dan telah diketahui bahwa operator Laplacian adalah

dan dalam koordinat bola menjadi,

Dengan , yang dapat ditulis berbentuk,

BAB IIIPENUTUP

A. Kesimpulan

Persamaan gelombang materi Schrodinger untuk elektron yang bergerak mengelilingi inti atom hidrogen dalam sistem koordinat kartesian

(

dengan energi potensial listrik

Schrodinger merumuskan teori mekanika gelombang, yang menggambarkan perilaku partikel kecil yang membentuk segi materi gelombang.

Pada intinya Schrodinger menggambarkan besar energi perilaku partikel yaitu bersumber dari mekanika Newton yang kedua sukunya dikalikan dengan fungsi gelombang,

DAFTAR PUSTAKA

Beisser A, 1987. Konsep Fisika Modern. Edisi Keempat. McGraw-Hill International Book Company

Sukardiono-dkk. 2003. Konsep Dasar Fisika Modern. Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta

www.wikipedia.com/persamaan schrodinger

www.wordpress.com/dunia fisika

www. math.ucla.edu

www.physlink.com